CC BY
7
Научни трудове на Съюза на учените в България-Пловдив. Серия В. Техника и технологии, естествен ии хуманитарни науки, том XVI., Съюз на учените сесия "Международна конференция на младите учени" 13-15 юни 2013. Scientific research of the Union of Scientists in Bulgaria-Plovdiv, series C. Natural Sciences and Humanities, Vol. XVI, ISSN 1311-9192, Union of Scientists, International Conference of Young Scientists, 13 - 15 June 2013, Plovdiv.
ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ВЪРТЯЩИЯ МОМЕНТ, ПРИ РЯЗАНЕ НА ХРАНИТЕЛНИ ПРОДУКТИ С ДИ СКОВ НОЖ С ОТЧИТАНЕ НА ТРИЕНЕТО МЕЖДУ ПРОДУКТА И СТРАНИЧНИТЕ СТЕНИ НА
НОЖА
Илиана Илиева -Университетпо Хранителни Технологии - Пловдив Симеон Василев - Университет по Хранителни Технологии - Пловдив Дойчин Бояджиев — Университет „Паисий Хилендарски " — Пловдив
DETERMINING THE MOMENT OIF FORCE DURING DISC BLADE CUTTING OF FOOD PRODUCTS WITH REPORTING ON FRICTION BETWEEN THE MATERIAL AND THE BLADE SIDE WALLS
Iliana Ilieva - UFT - Plovdiv Simeon Vasilev - UFT - Plovdiv Doychin Boyadzhiev - University of Plovdiv
Abstract:
An analytical determining of the part of the resultant moment of force during disc blade cutting of food products caused by the friction between the material and the blade side walls has been suggested in the following paper. A convenient formula for engineering calculations has been obtained. Analytical solutions, for the contained integrals in the formula, have been suggested and accomplished, based on special kind of integrals called elliptic.
1. Въведение
Редица материали, предимно хранителни продукти ефективно се режат чрез дискови ножове с гладък (без назъбване) режещ ръб. Обикновено това са продукти, при които рязането е съпроводено с еластично свиване на материала в аксиално направление (фиг.1).
I I
г-
тояр
*
фиг. 1
Очевидно е, че тази деформация ще породи сили на триене между страничните повърхнини на ножа и разрязвания материал. В много от общоизвестните модели за пресмятане на резултантния съпротивителен въртящ момент тези сили се считат за пренебрежимо малки и не се отчитат [1,2,3]. В редица случаи обаче, особено при рязане на храни (месо, млечни продукти, захарни и сладкарски изделия и др.) тази еластична деформация, респективно триещите сили, породени от нея, съставляват естествена част от резултантния съпротивителен въртящ момент и отчитането им е необходимо.
2. Динамичен модел при наличие на триещи сили
Използвани са следните означения, показани на фиг.2, някои от които са взаимствани от [4] : г - радиус на ножа; В - ширина на разрязвания материал; р , р - полярни
координати на произволна точка С от страничната стена на ножа от зоната на рязане; рд, ф - гранични полярни ъгли; Т - сила на триене; ц - коефициент на триене при
плъзгаие; Е- модул на еластичност на разрязвания продукт;
х
О
фиг. 2
d - дебелина на ножа; I - разстояние от средната повърхнина на ножа до по -близкия край на разрязвания материал, мерена по перпендикулярно на тази повърхнина направление; а - максимална абсолютна деформация (а = 0,5d); ю -ъглова скорост на диска; у - скорост на рязане; уп - скорост на подаване на материала; V - абсолютна скорост; ^ - ъгъл между ур и V .
2 = - отношение на периферната скорост на диска към скоростта на подаване,
скоростен коефициент.
Елементарната сила на триене, породена съгласно закона на Кулон от натиска вследствие еластичното свиване на материала, за безкрайно малката площадка в близката околност на произволна точка С(р,р) от страничната повърхнина на диска ще бъде
dT = /л]Ы = |лpdA
(1)
където dA = pdpdф е лицето на площадката, а
Е
р = — а У I
(2)
е налягането, породено от еластичното свиване [4]. За елементарния триещ момент имаме:
dMT = dTpcos^ = СО%ц/р2 dq)dp.
(3)_
Според модела описан в [4], вектор dT е противоположно насочен на абсолютната скорост V на материала спрямо диска. Очевидно е, че в зоната на рязане според направлението на V ще се формират три участъка: зони на врязване КЛЬ и на излизане БрР, симетрични спрямо Оу, в които силите на две симетрични точки С и
С са антисиметрични, т.е. компонентите dTx и dTx са еднопосочни и се сумират, а
dTy и dTy - с противоположни посоки и взаимно се уравновесяват. В третата зона ЛБРЬ, представляваща равнобедрен трапец, също е налице симетрия спрямо Оу . Тогава тя може да се разглежда, като съставена от безброй много тънки ивици, успоредни на х, за които елементарната триеща сила dT2 = dTx, тъй като
абсолютната скорост V = vх.
След интегриране на проекциите на тези елементарни триещи сили в съответните граници, за триещия момент е получен израза:
М тр =мЕ- [г3 О 6-(г - а - В)3 О 7 ],
(4)
където О6 и О7 представляват определените в границите на зоната на рязане интеграли.
■ СОЪф . ■ 2-СОБ^
■ 2- СОБ® , . т ■ 2 0 6 =] 0 7 = 1 -3-Г 2
■ V1 + 22 - 22 СОБ ■ ■ СОБ3 ■ 1 + 2- 22 СОБ ■
3. Определяне на интегралните параметри J и J7
Предложен е метод за решаването им, който ги свежда до използването на специален вид интеграли, наречени елиптични. Интеграл от вида
JR[t,4Щ)fü ,
(6)
където p(() е полином от трета или четвърта степен и няма многократни корени, а R(() е рационална функция на t и ■s/p(t) се нарича елиптичен интеграл.
В случая, когато p(() = (a -1)(b -1)(t - c), a > b > y > c и разглеждаме интеграла в интервала [c, y] се използва следната субституция:
sn2 (и, к ) = -—С, b - c
(7)
където sn(u, к) е една от елиптичните функции на Якоби. Разглеждаме първия интеграл от (5):
гп Я- cos® ,
J 6 =J I 2 d®
1+ Я2 - 22cos®
Прилагаме препоръчаната субституция (7) и като имаме в предвид, че
a = ^_±i > b = 1 > c = -1, получаваме sn2 (и, к) = — ^ 2Я y ' 2
t = 2sn2 (и, к)-1.
(8)
От основните зависимости на елиптичните функции на Якоби и според изведеното в [5] за интеграл J6 получаваме:
J 6 = ^ [ g к)-F (т, к)] к)-Е(т, к )] (9)
където: к2 = , F(g к) и F(т к) са непълни елиптични интеграли от първи
~(Л +1)2 ' '
род, а Е(g, к) и Е(т, к) са непълни елиптични интеграли от вторирод и
„ Icos® +1 „ Icos®,, +1 (cos® +1 cos® +1 sing=J---' g = arcsmJ---' smT = J-2-т = arcsmJ-2-
V 2 V 2 V 2 V 2
Прилагайки аналогична методика за интеграл J7 получаваме:
J7 =-
2Ä1)[ 4kF тk k»-k)]
[[a2, k )-п(а\ k )]
А-3Л3-Л
+
2 (Л + 1)( +1) + 2 -Л2 ^ (l - cos рд )(l + cos рд )(Л2 +1 - 2А cos рд) 2 (л2 +1)2 cos рд
д/(1 - cos р )(l + cos р )(Л2 +1 - 2Л cos р ) --]
cosp
Л ^/(1 - cos рд )(1 + cos рд )(Л2 +1 - 2Л cos рд) 2(Л2 +1)[ cos2 рд
- cos р )(1 + cos р )(А +1 - 2Л cos р )
--2-]
cos р
(10) където:
F(Ч,k) и F(т,k) са непълни елиптични интеграли от първирод, k) и E(т, k) са непълни елиптични интеграли от втори род, и(ч-а2, k) и п(Т-а2, k) са непълни елиптични интеграли от трети род.
Тук:
2 4А cos рд +1 . cos рд +1 . (cospг +1
k2 = --т- -sin^ = J-д--Ч = arcsinJ-д--sinr =
(Л +1)2 " "
Jcosp + 1
-2-
2
2
Литература
1. Даурский А., Ю. Мачихин, Резание пищевых материалов, Пищевая промышленность, Москва, 1980, 237стр.
2. Карпов В.И., Силы полезных сопротивлений, возникающие при резании рыбного сырья(теория резания), КТИРПХ, Калининград, 1971, 66 стр.
3. Василев С., Моделиране и динамичен анализ на механични процеси и системи в хранително - вкусовата промишленост, Хабилитационен труд, Пловдив, 2010, 336стр.
4. Бояджиев Д., С. Василев, И. Илиева, Аналитичен метод за определяне на силата на съпротивление при рязане с дисков нож, породена от триенето между материала и страничните стени на ножа, Научни трудове на Съюза на учените - Пловдив, сер. В, т.Х, 2013, стр.119-122.
5. Byrd P.F., M.D. Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists,1971.
