Деонтическая квазиматричная логика. Логика норм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 164.3+164.08

DOI: 10.18698/2306-8477-2018-7-538

Деонтическая квазиматричная логика. Логика норм

© Ю.В. Ивлев МГУ имени М.В. Ломоносова

Предлагаемая логика строится на основе принципа квазифункциональности, согласно которому в природе, социуме, познании между явлениями имеет место не только отношение однозначной обусловленности, но и отношение неоднозначной обусловленности, т. е., в частности, определенная причина может вызывать как определенное следствие, так и при одинаковых условиях в первом случае — одно определенное (из нескольких возможных) следствие, а во втором — другое (из тех же нескольких возможных случаев). Частными случаями квазифункциональности являются функциональность (однозначная обусловленность) и полная неопределенность (хаотичность). В статье рассмотрен метод доказательства полноты построенного ранее автором исчисления трехзначной логики. Этот метод предоставляет возможность разработки технических приложений деонтической логики.

Ключевые слова: деонтическая логика, принцип квазифункциональности, исчисление, полнота исчисления, трехзначная деонтическая логика, пятизначная деонтическая логика, шестизначная деонтическая логика

До 1960-х годов предпринимались попытки построить логику рассуждений, в которых встречаются нормы в посылках и заключениях. При этом отношения между деяниями (действиями и бездействиями) представлялись в качестве функций. Результат оказался отрицательным. Автор настоящей статьи предложил построение логики норм на основе принципа квазифункциональности. Логика была построена семантическим методом и представлена в ряде статей и кандидатской диссертации автора [1]. Позже автору удалось аксиоматизировать логику норм и наметить метод доказательства семантической полноты исчисления [2, 3]. Завершить доказательство этим методом (методом Хенкина, обобщенным автором настоящей статьи) автору удалось только в начале 2018 г. В предлагаемой статье это доказательство представлено.

Изложенный квазифункциональный (квазиматричный) подход предложен автором статьи и представлен не только в многочисленных публикациях на русском языке, но и на других языках, в основном на английском [4-7]. В настоящее время этот подход широко обсуждается в международных журналах. Так, в статье [Marcelo E. Co-niglio, Luis Farinas del Cerro, Newton M. Peron. Finite non-deterministic

semantics for some model systems. Journal of non-Classical Logics, 2015, vol. 25, no. 1, р. 20-45] есть разделы: «2. Ivlev (1988) systems and Nmatrices», с. 21-27; «4. More Ivlev-like systems and Nmatrices», с. 34-40. В статье [Omori H., Skurt D. More Modal Semantics Without Possible Worlds. IFColog Journal of Logics and their Applications, 2016, vol. 3, p. 815-846] — раздел «3.3. A discussion on the result of Ivlev», с. 827, 828.

Предлагаемая статья предназначена, во-первых, для тех, кто имеет философское образование (на философских факультетах логика изучается три семестра, каждую неделю лекция и семинарское занятие, в основном это символическая логика), во-вторых, для студентов, аспирантов, выпускников факультетов информатики и инженерных факультетов. Автор предполагает возможность технического приложения принципа квазифункциональности.

В статье применено цифровое обозначение разделов статьи, как это принято в международных журналах. Такое обозначение предложил в середине ХХ в. отечественный ученый, член-корреспондент АН СССР А.А. Марков (младший). Цифровое обозначение обусловлено тем, что одно и то же содержание научной работы может быть представлено на разных языках, и страницы, на которых эти результаты изложены, могут не совпадать.

1.0. Трехзначная деонтическая логика

Язык содержит символы:

1) p, g, r, s, p1, g1, ... — переменные для деяний (действий и бездействий);

2) •, и, ' — знаки операций над деяниями, соответственно читаются «и», «или», «не» («воздержание от.»);

3) О, Р — операторы, которые читаются «обязательно», «разрешено»;

4) —, &, V, з — логические связки;

5) скобки.

Определение субформулы:

1) переменная для деяний является субформулой;

2) если А и В являются субформулами, то А', (А-В), (АиВ) — субформулы;

3) ничто иное не является субформулой.

Определение формулы:

1) если А — субформула, то ОА, РА — формулы;

2) если В и С — формулы, то —В, (В&С), (BvC), (ВзС) — формулы;

3) ничто иное формулой не является.

Определения.

(А-В) п с 1

п п с 1

с с 1/с 1

1 1 1 1

(АиВ) п с 1

п п п п

с п п/с с

1 п с 1

А А'

п 1

с с

1 п

Значения п, с, i соответственно читаются «обязательно», «безразлично», «запрещено»; 1/с и п/с — «то ли 1, то ли с» и « то ли п, то ли с». Операции ', •, и имеют следующий смысл: выражение А' обозначает деяние, заключающееся в воздержании от деяния А; (А-В) — деяние, заключающееся в последовательном выполнении деяний А и В (А, а затем В) или же в одновременном выполнении этих деяний; АиВ обозначает деяние, заключающееся в выполнении или деяния А, или деяния В, или в последовательном выполнении деяний А и В (А, а затем В), или в одновременном выполнении этих деяний.

Определения терминов О и Р.

А ОА РА

п t t

с Г t

1 Г Г

Формула принимает значения из области Г}. Выделенное значение — t. Определения терминов —, &, V, з обычные.

Формализацией семантически заданной логики является исчисление S3d, содержащее схемы аксиом, совпадающие со схемами аксиом классического исчисления высказываний (КИВ), в которых мета-переменные обозначают формулы (но не субформулы), а также следующие дополнительные схемы аксиом, где буквами А и В обозначены субформулы:

ОАзРА, —ОА'зРА, РАз—ОА', ОАз—РА', ОА&ОВзО(А-В), О(А-В)зОА&ОВ, РА&ОВзР(А-В), ОА&РВзР(А-В), Р(А-В)зРА&РВ, ОАvОВзО(АuВ), РАvРВзР(АиВ), Р(АиВ)зРАvРВ, О(АиВ)зРАvОВ, О(АиВ)зОАvРВ, О(А^В)'зО(А'иВ'), Р(А^В)'зР(А'иВ'), О(А'иВ')зО(А^В)', Р(А'иВ')з Р(А-В)'.

Правила вывода:

П1 — modus ponens;

П2 — замена произвольного вхождения субформулы А'' на А и vica versa;

П3 — замена произвольного вхождения субформулы (А-В)' на (А'иВ') и vica versa;

П4 — замена произвольного вхождения субформулы (АиВ)' на (А'-В') и vica versa.

Определение. ЗА =df —РА («ЗА» читается «запрещено А»).

Определение альтернативной интерпретации — функции | |.

(I) Приписывание значений субформулам.

Базис. Если а — переменная для деяний, то |а| е {n, c, i}.

Индукционный шаг: | А'| = n о | А | = i; | А'| = c о | А | = c; | А'| = i о | А | = n; | А-B | = n о | А | = | В | = n;

если или | А | = n и | В | = c, или | А | = c и | В | = n, то | А-B | = c;

если | А | = i, или | В | = i, то | А^В | = i;

если | А | = | В | = c, то | АВ | е {c, i};

если | А | = n, или | В | = n, то | АиВ | = n;

если или | А | = c и | В | = i, или | А | = i и | В | = c, то | АиВ | = c; | АиВ | = i о | А | = | В | = i;

если | А | = | В | = c, то | АиВ | е {n, c}.

Субформуле, подставленной вместо другой субформулы по какому-то из правил П1-П4, приписывается то же значение, что и исходной субформуле, если исходная субформула имеет какие-то (другие) вхождения в формулу. Таким образом, формулам (А-В)' и (А'иВ') приписывается одно и то же значение, как и формулам (АиВ)' и (А'-В'). (Слабое место в семантике автора статьи.)

(II) Приписывание значений формулам.

Базис. Если формула является элементарной, т. е. имеет вид ОЕ или РЕ, где Е — субформула, то | ОЕ | = t о | Е | = n; | ОЕ | = f о |е| = c или |е| = i; |ре| = t о |е| = n или |е| = c;

|ре| = fо |е| = i.

Индукционный шаг и индукционное допущение очевидны.

Метатеорема 1. Исчисление S3d является непротиворечивым.

Доказательство опускается.

Метатеорема 2. Каждая общезначимая формула является теоремой.

Докажем утверждение, эквивалентное утверждению метатеоремы 2. Если множество формул Д совместимо с исчислением, то оно выполнимо.

Лемма 1. Множество формул Д, совместимое с Sзd, можжно расширить до максимального совместимого с S3d множества формул 0.

Доказательство опускается.

Лемма 2. Максимальное совместимое с исчислением Sзd множество формул 0 обладает следующими свойствами:

(1) для каждой субформулы А верно: или РА&РА' е 0, или ОА е е 0, или —РА е 0;

(2) если Г | - В и Ге 0, то В е 0;

(3) —В е 0 о В£0;

(4) (С&В) е 0 о С е 0 и В е 0;

(5) (^В) е 0 о С е 0 или В е 0;

(6) (СзВ) е 0 о —С е 0 или В е 0;

(7) если В — теорема, то В е 0.

Для доказательства утверждения «Если множество формул Д совместимо с исчислением, то оно выполнимо» образуем функцию Ц || 0.

Определение:

|| а || 0 = п о Оа е 0 (а — субформула);

|| а || 0 = с о Ра&Ра'е 0;

|| а || 0 = 1 о —Ра е 0;

10 = и о Ае0 (А — формула).

Докажем, что эта функция обладает всеми свойствами альтернативной интерпретации, т. е. является альтернативной интерпретацией I I 0. Доказательство осуществим возвратной индукцией по числу вхождений логических терминов в формулу А.

Сначала докажем, что функция || || 0 обладает всеми свойствами функции I I 0 при приписывании значений субформулам. Доказательство осуществим индукцией по числу вхождений логических терминов в субформулу.

Базис. Субформула а не содержит логических терминов, т. е. является переменной для деяний. Требуется доказать, что || а ||0 е {п, с, Так как для каждой субформулы А верно: или РА&РА' е 0, или ОА е е 0, или —РА е 0, то на основе определений || а || 0 = п о Оа е 0, || а || 0= с е Ра&Ра'е 0; || а || 0= 1 о —Ра е 0 имеем || а||0е {п, с, ¡}.

Индукционное допущение. Функция Ц ||0 обладает всеми свойствами функции | 10 при приписывании значений субформулам, имеющим к (к < п) вхождений логических терминов в субформулу. Докажем, что она обладает этим же свойством при приписывании значений субформулам, имеющим п + 1 вхождение логических терминов.

Случай 1. Субформула а есть А'. Требуется доказать:

|А'| = п о |А| = ч

|А'| = с о | А| = с, I А'| = ^о ||А|| = п.

Пусть ||А' || = п. Тогда, в силу определения, ОА' е 0. Используя схему аксиом РАз—ОА', получаем —РА е 0. Тогда, в силу определения, ||А||0 = I

Пусть ||А||0 = i. Тогда, в силу определения, —РА е 0. Отсюда ОА' е 0. (С использованием схемы аксиом — ОА'зРА.) Таким образом, || А'|| 0 = п.

Следовательно, || А' 10 = п о ||А||0 = I

Пусть | А' | = с. Тогда РА'е 0 и РА'' е 0, т. е. РА' е 0 и РА е 0. Отсюда: |А| 0 = с.

Пусть ||А|| 0 = с. Тогда РА' е 0 и РА е 0. Отсюда: РА' е 0 и РА'' е 0 и || А'|| 0 = с.

Следовательно, || А' 10 = с о ||А|| 0 = с. Пусть || А'|| 0 = I Тогда —РА'е 0.

(1) —ОА'зРА — схема аксиом;

(2) —ОА''зРА' — в качестве А берем А';

(3) — РА'з —1—1 ОА'' — из (2);

(4) —РА'зОА — из (3) — с использованием правила «замена произвольного вхождения субформулы А'' на А и vica versa».

Тогда ОА е 0 и ||А||0 = п.

Пусть ||А||0 = п. Тогда ОА е 0. ОАз—РА' — схема аксиом. —РА'е 0. Отсюда |А|в = т. е. | А'10 = i о |А|0 = п. Утверждение для случая 1 доказано. Случай 2. Субформула а есть (А-В). Требуется доказать: |А-В ||0 = п о ||а||0 = ||в||0 = п;

если или ||А||0 = п и ||в||0 = с, или||А||0 = с и ||в|0 = п, то

||АВ |0 = с;

если | А| 0 = i, или |В| 0 = ^ то || А-В 10 = i; если | А10 = |В|0 = с, то ||А-В |0 е {с,

Подслучай 1. Пусть ||А-В||0 = п. Тогда О(А-В) е 0. О(А-В)з

з ОА&ОВ — схема аксиом. Таким образом, ОА е 0 и ОВ е 0, т. е. || А10 = п и ||В||0 = п и || А-В || 0 = п ^ ||А| 0 = || В|0 = п.

Пусть ||А||0 = ||в||0 = п. Тогда ОА е 0 и ОВ е 0. ОА&ОВзО(А-В) — схема аксиом. Отсюда: О(А-В) е0 и || А-В 10 = п.

Подслучай 2. Пусть ||А|| 0 = п и ||в|| 0 = с. Тогда ОА е 0 и РВ е е 0 и РВ' е 0. ОА&РВ з Р(А-В) — схема аксиом. Следовательно, Р(А-В) з 0.

Подслучай 3. Требуется доказать: если ||А||0 = 1, или || В||0 = 1, то || А-В ||0 = 1.

Пусть || А10 = 1. Тогда —РА е 0. Р(А-В)зРА&РВ — схема аксиом; —(РА&Рв)з—Р(А-В) — теорема; (—РАv—РВ)з—(РА&РВ) — теорема; — РАз(—РАv—РВ) — теорема. Таким образом, —Р(А-В) е е 0. Отсюда ||А-В ||0 = 1.

Доказательство второй возможности аналогично.

Подслучай 4. Требуется доказать: если ||А| 0 = ||в|| 0 = с, то || А-В || 0 е {с, 1}.

Пусть ||А|| 0 = ||в|| 0 = с. Тогда РА е 0 и РА'е 0, а также РВ е 0 и РВ' е 0. Требуется доказать, что (Р(А-В) е 0 и Р(А-В)' е 0) или —Р(А-В) е 0, т. е. что || А-В 10 е {с, 1}.

Будем рассуждать от противного. Допустим, что утверждение «|| А-В || 0 е {с, 1}» неверно, т. е. || А-В 10 й {с, 1}. Тогда || А-В 10 = п. В силу определения функции || ||0 О(А-В) е 0. Отсюда ОА е 0 и ОВ е 0. Тогда —РА'е 0 и —РВ' е 0 и 0 противоречиво. Следовательно, если ||А||0 = ||в||0 = с, то || А-В 10 е {с, 1}.

Случай 3. Субформула а есть (АиВ). Требуется доказать:

если ||А||0 = п, или ||в||0 = п, то || АиВ ||0= п;

если или ||А||0 = с и ||в||0 = 1, или ||А||0 = 1 и ||в||0 = с, то || АиВ || 0 = с;

||АиВИе = 1 о ||а|0 = |в|0 = 1;

если || А| 0 = || В|0 = с, то |АиВ|0 е {п, с}.

Подслучай 1. Пусть ||А|| 0 = п, или ||в|| 0 = п. Требуется доказать, что ||АиВ||0 = п.

Рассуждаем разбором случаев. Пусть ||А|| 0 = п. Тогда, по определению функции | | 0, ОА е 0. В силу схемы аксиом ОАvОВзО(АuВ): О(АиВ) е 0 и ||АиВ||0 = п. Аналогично рассуждаем во втором случае.

Подслучай 2. Пусть или ||А|| 0 = с и || В 10 = 1, или ||А|| 0 = 1 и

||b|| 0 = c. Требуется доказать, что || AuB || 0 = с, т. е. что P(AuB) е 0 и P(AuB)' е0. Рассуждаем разбором случаев. Пусть ||a||0 = с и ||b|| 0 = i. Тогда РАе 0 и РА'е 0, а также -РВ е 0. Если РАе 0, то P(AuB) е 0. (Используем схему аксиом РАvРВзР(АuВ).) Далее:

(1) 0(АuВ)з0АvPВ — схема аксиом;

(2) — ОА&—РВз—О(АиВ) — из (1);

(3) РА'з—ОА — теорема (используем схему аксиом РАз—ОА', подстановку А' вместо А и правило П2);

(4) —О(АиВ)зР(АиВ)' — теорема (используем схему аксиом —ОА'зРА, подстановку и правило П2).

Доказано. Второй подслучай доказывается аналогично.

Подслучай 3. Требуется доказать, что || AuB || 0 = i тогда и только тогда, когда ||а|| 0 = ||в|| 0 = i.

Пусть || AuB || 0 = i. Тогда —Р(АиВ) е 0. Следовательно, —РА е 0 и —РВ е 0. (Используем схему аксиом РАvРВзР(АuВ).) Отсюда:

1|а|| 0 = |В|0 = i.

Пусть ||а|0 =|В|0 = i. Тогда —РА е 0 и —РВ е 0. Доказываем с использованием схемы аксиом: Р(АuВ)зРАvРВ. Доказано.

Подслучай 4. Докажем, что если ||а|| 0 = ||в|| 0= с, то | AuB || 0 е е{n, с}.

Рассуждаем от противного: пусть ||AuB||0 £ {n, с}. Тогда | AuB || 0 = i и —P(AuB) е 0. РА е0 и РА'е 0, РB е 0 и РB'е 0, по определению. Множество 0 оказывается противоречивым, что противоречит условию (используем схему аксиом РАvРВзР(АuВ)).

Доказано, что функция || || 0 обладает всеми свойствами функции I | 0 при приписывании значений субформулам.

Доказательство того, что функция || || 0 обладает всеми свойствами функции I 10 при приписывании значений формулам, является обычным.

1.1. Пятизначная деонтическая логика

В [3, с. 212, 213] автор сформулировал задачу построить пятизначную деонтическую логику, в которой переменные для деяний принимают значения «обязательно», «одобряемо», «безразлично», «запрещено», «порицаемо». Эту задачу решил А.М. Кузнецов [8].

Язык содержит те же символы, что и язык трехзначной деонтической логики за следующим исключением. Вместо символов О и Р используются символы Он, Ом, Рн, Рм, которые читаются «обязательно нормативно», «обязательно морально», «разрешено нормативно», «разрешено морально». Соответствующим образом изменяется определение формулы.

В семантике используются следующие значения субформул: о, о', б, з, з', которые соответственно читаются «обязательно», «одобряемо», «безразлично», «запрещено», «порицаемо». Предшествующие значения являются более сильными, чем последующие.

Определения.

А о о' б з з'

А' з з' б о о'

Пусть | | — функция приписывания значений субформулам. |А-В| = = min (|А|, |В|), кроме случая, когда |А| = |В| = б. В этом случае |А-В| е е(б, з, з'}. |АиВ| = max (|А|, |В|), кроме случая, когда |А| = |В| = б. В этом случае |АиВ| е {б, о, о'}.

А ОнА ОмА РнА РмА

о t t t t

о' f t t t

б f f t t

з' f f t f

з f f f f

Здесь t — выделенное значение. Остальные логические термины определяются обычным образом.

Формализация пятизначной деонтической логики, осуществленная А.М. Кузнецовым:

1) схемы аксиом, совпадающие со схемами аксиом КИВ, в которых метапеременные обозначают формулы (но не субформулы);

2) дополнительные схемы аксиом, в которых буквами А и В обозначены субформулы:

ОнАзОмА, ОнАзРнА, ОмАзРмА, ОнАзРмА, ОмАзРнА, -ОнА' = РнА, -ОмА' = РмА, РмАзРнА,

ОнА&ОнВ = Он(АВ), ОмА&ОмВ = Ом(АВ), ОнА&РнВ з Рн(АВ), ОнА&ОмВ з Ом(АВ), ОмА&РмВ з з Рм(АВ),

Рн(АВ) з РнА&РнВ, Рм(АВ) з РмА&РмВ, -РнА'з РнА,

ОнА з Он(АиВ), ОмА з Ом(АиВ), РнАvРнВ = Рн(АиВ), РмАvРмВ = Рм(АиВ), Он(АиВ) з РнАvОнВ, Ом(АиВ) з РмАvОмВ, РнА&РнВ' з Рн(АВ)', РмА&РмВ' з Рм(АВ)',

РнА з Рн(АиВ),

Pmá'v—РмВ з РМ(АиВ)';

3) правила вывода и определения те же, что и в предшествующей системе.

1.2. Шестизначная деонтическая логика

В [3, с. 212, 213] автор сформулировал задачу построить шестизначную деонтическую логику, в которой значение «безразлично» заменяется двумя значениями: «безразлично юридически», «безразлично морально». Эту логику построила методом аналитических таблиц П.Э. Аркадскова [9].

Заключение. Изложенная логика норм может быть применена при создании абстрактных и реальных автоматических устройств. Для этого требуется разработать метод доказательства метатеоремы о семантической полноте исчисления, решающий одновременно проблему разрешимости — обобщенный метод Кальмара. Для трехзначной алетической логики такой метод разработал автор настоящей статьи [7].

В [10, 11] обозначены другие возможные приложения принципа квазифункциональности в области логики и вне логики. В последнем случае таковыми являются: генетика, нервные сети, социальное прогнозирование, теория убеждения, управленческое решение, модель специалиста.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ивлев Ю.В. Логика норм. Дис. ... канд. филос. наук. Москва, 1972.

[2] Ивлев Ю.В. Содержательная семантика модальной логики. Москва, Издательство Московского университета, 1985, 170 с.

[3] Ивлев Ю.В. Модальная логика. Москва, Издательство Московского университета, 1991, 224 с.

[4] Ivlev Yu.V. Quasi-matrix logic as a paraconsistent logic for dubitable information. Logic and Logical Philosophy, 2000, vol. 8, pp. 91-97.

[5] Ivlev Yu.V. Theory of Logical Modalities. Multiple Valued Logic. An International Journal, 2000, vol. 5, pp. 91-102.

[6] Ivlev Yu.V. Quasi-matrix logic. Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing. Old City Publishing, Inc. (United States), 2005, vol. 11, no. 3-4, pp. 239-252.

[7] Ivlev Yu.V. Generalization of Kalmar's method for quasi-matrix logic. Logical Investigations. Centre of Humanitarian Initiatives, 2013, vol. 19, pp. 281-307.

[8] Кузнецов А.М. Квазиматричная логика норм. Дис. ... канд. филос. наук. Москва, 1998, 131 с.

[9] Аркадскова П.Э. Шестизначная квазиматричная логика норм. Логико-философские исследования, 2016, вып. 7, с. 145-152.

[10] Ивлев Ю.В. Мировоззренческая составляющая методологии социального познания (на примере квазифункциональной логики). Человек и общество

в контексте современности. Философские чтения памяти профессора П.К. Гречко, 2017, т. 1, с. 275-279. [11] Ивлев Ю.В. Методологическая функция квазиматричной (квазифункциональной) логики. В сб.: Методология в науке и образовании. Мат. Всерос. конф. университетов и академических институтов РАН. Москва, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017, с. 61-65.

Статья поступила в редакцию 21.05.2018

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Ивлев Ю.В. Деонтическая квазиматричная логика. Логика норм. Гуманитарный вестник, 2018, вып. 7.

http://dx.doi.org/10.18698/2306-8477-2018-7-538

Ивлев Юрий Васильевич — д-р филос. наук, профессор кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. e-mail: [email protected]

Quasi-matrix deontic logic. The logic of norms

© Yu.V. Ivlev Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia

The paper proposes the logic based on the principle of quasi-functionality. In line with it, not only the relation of unambiguous conditioning takes place in nature, society, cognition between phenomena, but also the relation of ambiguous conditioning. In particular, a certain reason can cause both a certain consequence, and under the same conditions in the first case — one certain consequence from several possible cases, and in the second -another consequence from the same several possible cases. Functionality, i.e. unambiguous conditioning, and total uncertainty, i.e. randomness, are particular cases of quasi-functionality. The paper considers the method of proving the completeness of the calculus of three-valued logic constructed earlier by the author. This method provides the possibility of developing technical applications of deontic logic.

Keywords: deontic logic, the principle of quasi-functionality, calculus, completeness of the calculus, three-valued deontic logic, five-figure deontic logic, six-figure deontic logic

REFERENCES

[1] Ivlev Yu.V. Logika norm. Diss. ... kand. filos. nauk [The logic of norms. Cand. philos. sc. diss.]. Moscow, 1972.

[2] Ivlev Yu.V. Soderzhatelnaya semantika modalnoy logiki [Containing semantics of modal logic]. Moscow, MSU Publ., 1985, 170 p.

[3] Ivlev Yu.V. Modalnaya logika [Modal logic]. Moscow, MSU Publ., 1991, 221 p.

[4] Ivlev Yu.V. Logic and Logical Philosophy, 2000, vol. 8, pp. 91-97.

[5] Ivlev Yu.V. Theory of Logical Modalities. Multiple-Valued Logic: an International Journal, 2000, vol. 5, pp. 91-102.

[6] IvlevYu.V. Quasi-matrix logic. Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing. Old City Publishing, Inc. (United States), 2005, vol. 11, no. 3-4, pp. 239-252.

[7] Ivlev Yu.V. Generalization of Kalmar's method for quasi-matrix logic. Logical Investigations. Centre of Humanitarian Initiatives, 2013, vol. 19, pp. 281-307.

[8] Kuznetsov A.M. Kvazimatrichnaya logika norm. Diss. ... kand. filos. nauk [Quasi-matrix logic of norms. Cand. philos. sc. diss.]. Moscow, 1998, 131 p.

[9] Arkadskova P.E. Logiko-filosofskie issledovaniya — Logical investigations, 2016, no. 7, pp. 145-152.

[10] Ivlev Yu.V. Mirovozzrencheskaya sostavlyayuschaya metodologii sotsial'nogo poz-naniya (na primere kvazifunktsional'noy logiki) [World outlook component of the methodology of social cognition (on the example of quasi-functional logic)]. Che-lovek i obschestvo v kontekste sovremennosti. Filosofskie chteniya pamyati professora P.K. Grechko [Man and society in the context of modernity. Philosophical readings in memory of Professor P.K. Grechko]. 2017, vol. 1, pp. 275-279.

[11] Ivlev Yu.V. Metodologicheskaya funktsiya kvazimatrichnoy (kvazifunktsional-noy) logiki [Methodological function of quasi-matrix (quasifunctional) logic]. V sb.: Metodologiya v nauke i obrazovanii. Materialy Vserossiyskoy konferentsii universitetov i akademicheskikh institutov RAN [In: Methodology in Science and Education. Materials of the All-Russian Conference of Universities and Academic Institutes of the Russian Academy of Sciences]. 2017, pp. 61-65.

Ivlev Yu.V., Dr. Sc. (Philos.), Professor, Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University. e-mail: [email protected]