CC BY
230
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика
УДК 681.325.3:621.391.25:621.394.14
ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМ GF(2)
В.И. КУБИЦКИЙ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Рудельсоном Л.Е.
Рассматривается операция деления многочленов над полем GF(2). Выводятся математические выражения для выполнения указанной операции, и предлагается подход к построению комбинационных схем, реализующих эти выражения. Определяются возможные аппаратурные и временные сложности реализации этих схем.
Введение
Операции в конечных полях (или полях Галуа) лежат в основе алгоритмов кодирования и декодирования циклических кодов (Лагранжа, БЧХ, CRC, Файра и др.). Развитие теории и практики кодирования диктует необходимость реализации вычислений в конечных полях. На основе этих операций также могут быть реализованы некоторые алгоритмы цифровой обработки сигналов, такие как вычисление цифровой свертки или дискретного преобразования Фурье [1]. Вычисления в конечных полях используются в целях повышения точности действия радиолокационных станций, для модуляции выходных сигналов которых применяются М-последовательности [2, 3]. Теория конечных полей также может использоваться в криптографических преобразованиях с открытыми ключами (типа RSA [4]) на сети общего пользования со многими абонентами.
Однако набор команд современных универсальных ЭВМ не приспособлен для выполнения операций над элементами конечных полей. Как следствие, для таких операций создаются дополнительные подпрограммы или специальные вычислительные устройства.
Вычисления в конечных полях с помощью вычислительных устройств могут быть реализованы различными способами. Основу аппаратной реализации могут составить специальные конечные автоматы, комбинационные схемы с использованием программируемых логических матриц, специализированные процессоры с микропрограммным управлением [5] и систолические структуры с использованием транспьютеров [6]. Операции над многочленами и элементами конечных полей можно реализовать в линейных последовательностных машинах [2, 7, 8]. Они также могут выполняться с помощью процедур, предложенных в [3, 9], которые находят широкое применение в процессах кодирования и декодирования [7, 10]. Эти виды аппаратной реализации используют элементную базу широкого назначения.
Для вычислений можно использовать табличные методы. Тогда результаты произведений элементов поля и результаты их мультипликативных инверсий должны содержаться в таблицах, для хранения которых можно использовать постоянные запоминающие устройства на диодных матрицах [11] или программируемые логические матрицы [12].
В [13] предлагается для выполнения операций над элементами конечных полей применять матричное вычислительное устройство.
Некоторые алгоритмы вычислений в полях Галуа могут быть реализованы только программным способом. Так, если для криптографических преобразований используются поля высоких порядков GF (2127) или GF (2400), то логарифм, представляющий элемент поля, вычисляется с помощью специальных алгоритмов [14], которые реализуются программными методами с применением высокопроизводительных ЭВМ.
Для большинства информационно-вычислительных систем и систем связи значительную роль играют такие параметры как аппаратурная сложность составляющих их элементов и время
обработки/передачи информации. С точки зрения улучшения этих параметров необходимо рассматривать реализацию операций в конечных полях.
Из операций в конечных полях представляют интерес операции над многочленами поля GF(2), вызванный следующими причинами, связанными с кодированием/декодированием:
1). Применяются в процедурах кодирования/декодирования циклических полиномиальных кодов [5, 8, 9, 15].
2). Каждый элемент поля GF(pm) можно представить в виде многочлена над полем GF(p), степень которого меньше m. В этом случае:
- сложение элементов a, beGF(pm) выполняется по правилу сложения представляющих их многочленов, т. е. a(x)+b(x)=c(x);
- умножение элементов a, beGF(pm) выполняется по правилу умножения представляющих эти элементы многочленов по модулю некоторого заданного неприводимого примитивного многочленаp(x), т. е. a(x)-b(x)=c(x) modp(x);
- делению одного элемента ae GF(pm) на другой элемент be GF(pm) соответствует умножение многочлена a(x) на многочлен c(x), соответствующий элементу ceGF(pm), обратному be GF(pm), где многочлен c(x) должен удовлетворять условию b(x)-c(x)=1 modp(x).
Операции сложения и умножения многочленов над полем GF(2) рассматриваются в [16]. В [ 17] показано, что схемы умножения многочленов для предложенного в [16] непосредственного способа умножения в целом лучше схем, построенных на базе матричных вычислительных устройств, а время умножения на них значительно меньше времени умножения в линейных последовательностных машинах.
В данной статье предложен способ деления многочленов над полем GF(2), позволяющий выполнять эту операцию на схемах, структура которых однородна и универсальна, в отличие от структуры линейных последовательностных машин (ЛПМ), а время деления меньше времени деления на ЛПМ.
1. Математические выражения для деления многочленов
Из [9] известно, что деление многочлена c(x) на многочлен a(x) производится в соответствии с выражением:
c( x) = a( x) b( x) + r( x),
которое с учетом того, что операции над многочленами выполняются в поле GF(2), можно записать в виде:
c( x) = a( x) ® b( x) © r( x) = e( x) © r( x), (1)
/ \ m—1 m— 2
где: a(x) = am—1 x + am—2x +... + a1 x + a0;
n— 1 і Z. „„n—2
n — 2 m — 1
Ъ(X) = Ъп_ххп~ + Ъп_2х"~ +... + Ъхх + Ъ0; г(х) = гг_1хг_ + гг_2хг_2 +... + г1х + г0; а{, Ъ}, т5 є GF(2);
(пі—1)+( п _1) П _1 т_1 т + к 1
Ф)= £ Єіх = £ Є( т_1)+кх т~1)+к + £ е1х = 2 Єт + кх + £ е1х ;
і=0 к=1 1=0 к = 0 1 = 0
і
еі = £ а® Ъ _(здесь выполняется суммирование по модулю 2);
1 = 0
® , © - умножение и сложение по модулю 2 соответственно.
Степень ёе§ с(х) многочлена с(х) (делимого) равна:
ёе§ с(х) = (ё-1) = [(т -1) + (п -1)].
Степень ёе§ Ъ(х) многочлена Ъ(х) (частного) неизвестна, но ее можно вычислить как
ёе§ Ъ(х) = (п -1)=(^-1) - (т -1).
Степень многочлена г(х) (остатка) определяется степенью делителя а(х) и равна:
ёе§ г(х)=(г-1)<&е% а(х) <(т-1).
Запишем выражение (1) в виде:
(т-1)+(п-1) т - 2 п - 2 т-1
„5 /Х""' 0 „т+к
' б" V~'т+к
і=0 5= 0 к=0 I=0
с(х)= £© £гХ = (£ет+к^т+к + £еХ) е £гу = £^-,+,„х
т-2 п-2
5 _ V „ лг(т-1)+к
б” / і^іт-1)+к’
5=0 к=0
+ £ (е ©г) х =
п-2
т-2
= £ %_!)+,х(^^ + £ (е, )Г5 = £ С(т_!)+,х
к=0 5=0 к=0
Представим коэффициенты с многочлена с(х) для различных соотношений между степенями многочленов а(х) и Ъ(х).
1) При ёе§ а(х) > ёе§ Ъ(х):
С0 = е0 © Г0 = а0 ® Ъ0 © Г0
т-2
+ £ сХ •
5 = 0
с1 = е1 © г1 = а1 0 Ь0 © а0 0 Ь1 © г1
с2 = е2 © г2 = а2 0 Ь0 © а1 0 Ь1 © а0 0 Ь2 © г2
Сп-1 = еп-1 © Гп-1 = ап-1 0 Ь0 © ап-2 0 Ь1 © ••• © а0 0 Ьп-1 © Гп-1
(2а)
и
с 2 = е 2 © г 2 = а 2 0 Ь0 © а 3 0 Ь © ... © а (+1) 0 Ь 1 © г 2
т-2 т-2 т-2 т-2 0 т-3 1 т-(п+1) п-1 т-2
с 1 = е 1 = а 1 0 Ь0 © а 2 0 Ь1 © ... © а 0 Ь 1
т-1 т-1 т-1 0 т-2 1 т-п п-1
с( 1)+1 = е( 1)+1 = а 1 0 Ь1 © а 2 0 Ь2 © ... © а ( 1) 0 Ь 1
(т 1)+1 (т 1)+1 т 1 1 т 2 2 т (п 1) п 1
с( 1)+2 = е( 1)+2 = а 1 0 Ь2 © а 2 0 Ь, © ... © а ( 2) 0 Ь 1
(т-1)+2 (т-1)+2 т-1 2 т- 2 3 т-(п-2) п-1
(2б)
с(т-1)+(п-2) = е(т-1)+(п-2) = ат-1 0 Ьп-2 © ат-2 0 Ьп-
© ат-2 0 Ьп-1
т-2 п-1
В матричной записи выражения (2) представляются в виде:
с(т-1)+(п-1) = е(т-1)+(п-1) = ат-1 0 Ьп-1 .
с0 1 о 1 0 ог 1 а0 1 0 Ь0 Ь 1 "г0 " і о 1 г0
с1 е1 © г1 а а0 г1 г1
с2 = *** е © 2г = а2 а1 а0 0 Ь2 © г2 = а 0 Ь2 © г2
Сп-1 е , © г , п-1 п-1 ап-1 ап - 2 • • • а1 а0 2 - п . ^ гп-1 Ьп-2 гп-1
1 з і © §г 1 1 Ь-1 _ Ь-1 _
1 О § 2 1 1 а 3 2 а , ... а а , +,, т-3 т - п т-(п+1) 1 2 - гт 1 2
ст-1 ет-1 - т а -1 т сз ел - т а * * ат-(п-1) а т-п Ь " Л
ст ет ат-1 - т а а - - т-(п-2) ат-( п-1) Ь1 Ь1
ст +1 = ет +1 = а л • т -1 СП - (п -( т а - (п -( т а 0 Ь2 = А 0 Ь2
О т ( п 3 СП - г V т е ат -1 а- т-2 Ьп-2 Ьп
о т ( п 2 і 1 т ( п 2 і а л т -1 Ьп-1 _ А
п-2
Здесь: Ьп , ..Ьт_] равны 0; Л\ - (т-1, п)-матрица; А2 - квадратная матрица порядка п.
2) При ёе§ а(х) < ёе§ Ь(х) коэффициенты сі многочлена с(х) приобретают вид
с0 = е0 0 г0 = а0 0 Ь0 0 г0
и
С1 = е1 0 г1 = а1 0 Ь0 0 а0 0 Ъ1 0 г1
С2 = е2 0 г2 = а2 0 Ъ0 0 а1 0 Ь1 0 а0 0 Ъ2 0 г2
Ст 2 = ет 2 0 гт 2 = ат 2 0 Ъ0 0 ат 3 0 ¿,0 ... 0 а0 0 Ът 2 0 гт 2
т—2 т—2 т—2 т—2 0 т—3 1 0 т—2 т—2
Ст—1 = Єт—1 = ат—1 0 Ь0 0 ат—2 0 Ь1 0 ... 0 а0 0 Ьт—1
С(т—1)+1 = Є(т—1)+1 = ат—1 0 Ъ1 0 ат— 2 0 Ъ2 0 ... 0 а1 0 Ьт—1 0 а,
(3а)
С(т—1)+2 Є(т—1)+2 ат—1 0 ¿2 0 ат—2 0 ¿3
0 «т-2 0 ^3 0 ••• 0 «1 0 Ьт 0 «0 0 Ьт+1 0 «»-2 0 Ьп-1
В матричной записи эти выражения можно представить в виде:
(Зб)
С(т—1)+(п—2) Є(т—1)+(п—2) ат—1 ип—2^'/ ат—2<у ип—
Є(т—1)+(я—1) = Є(т—1)+(п—1) = ат—1 0 Ъп—1 .
С0 1 о 0 сГ 1 а0 1 1 Г0 1 0 Ъ 1 Г0
С1 е1 0 г1 а1 а0 ¿1 Г ¿1 Г1
С2 = 2е 0 2г = "\а ... -а а о 0 ¿2 0 Г2 = Л1 0 ¿2 0 Г2
Ст—3 е т 1 0 Г 3 2 1 т а СП 1 т сз •• а0 Ът—3 СП 1 Ът—3 СП 1
1 0 т 1 1 1 т 1 0 Г 1 1 1 а т 2 а т 3 1а а 0 1 1 2 1 т Ъ 1 1 2 1 1 Ът—2 _ 1 2 1 1
Ст—1 ет—1 а т—1 2 1 т а а1 а0 ат • ап—1 "
Ст ет а , ... т—1 а2 а1 а0 ат • 2 1 п ап
Ст+1 = ет +1 = а- т- 1 • • а2 а1 а0 • СП 1 п ап
Ст+( п —3) ет+(п-3) ат-1 2 1 т сз
Ст+( п —2) ет+( п —2) а л т-1
0
¿0 " "¿0 "
¿1 ¿1
Ът—1 = Л2 0 Ът—1
Ът Ът
К— _ К— _
Здесь: ат , ..., ап-і равны 0; Л1 - квадратная матрица порядка (т-1); Л2 - квадратная мат рица порядка п.
3) При ёе§ а(х) = ёе§ Ъ(х):
С0 = е0 0 Г0 = а0 0 Ъ0 0 Г0
с1 = е1 0 г1 = а1 0 Ъ0 0 а0 0 Ъ1 0 г1
С2 = е2 0 г2 = а2 0 Ъ0 0 а1 0 Ъ1 0 а0 0 Ъ2 0 г2
(4а)
с 2 = е 20 г 2 = а 20 ъ 0 а ,
т—2 т—2 т—2 т—2 0 т—3
0 ат-3 0 Ъ1 0 . . . 0 а0 0 Ът-2 0 гт-2
т-3 1 0 т-2 т-2
и
ст-1 = ет-1 = ат-1 0 Ъ0 0 ат-2 0 Ъ1 0 . . . 0 а0 0 Ът-1
т-1 т-1 т-1 0 т-2 1 0 т-1
Ст = ет = ат—1 0 Ъ1 0 ат—2 0 Ъ2 0 ... 0 а1 0 Ът—1
Ст+1 = ет+1 = ат—1 0 Ъ2 0 ат—2 0 Ъ3 0 ... 0 а2 0 Ът—1
с2т-3 = е2т-3 = ат-1 0 Ът-2 0 ат-2 0 Ът-1
е2т-2 = е2т-2 = ат-1 0 Ът-1 .
Запишем эти соотношения в виде матриц.
(4б)
С0 е0 © 70 а0 1 1 70 1 1 70
С1 е1 © 71 а1 а0 ¿1 71 ¿1 7
С2 = *** е © 27 = 2а ... -а а о ® ¿2 © 72 = А1 ® ¿2 © 72
Ст-3 т 1 © з7 3 2 - т а 3 - т СЗ .. а0 Ьт-3 3 - 3 - 3 -
1 0 т 1 1 1 т 1 © з7 1 1 1 а т 2 а т 3 1а а 0 1 Ьт-2 _ 1 2 - 7т 1 1 2 - 1 2 - 7т 1
Ст-1 ет-1 1 а т 1 а т 2 а т 3 . а1 а0 "¿0 " "¿0
Ст ет 2 - т а -1 т а а2 а1 ¿1 ¿1
Ст+1 = +1 = а , .. т -1 а3 а2 ® ¿2 = А2 ® ¿2
С Ч 2т-3 3 - т 2 а- т-1 2 - т а 2 - т 2 - т
1 2 т 1 1 1 2 т 1 1 а Л т -1 .¿т-1 _ ¿т-1
Здесь: Л\- квадратная матрица порядка (т-1); А2 - квадратная матрица порядка т.
Анализ выражений (2)-(4) и их матричных представлений показывает:
1) Выражение (2а) является системой (т-1) линейных уравнений с (п+т-1) неизвестными ( Ьо, ¿1,..., Ьп_1 и 70, Гт-2 ).
2) Выражения (3 а), (4а) являются системами (т-1) линейных уравнений с 2(т-1) неизвестными ( ^ Ь1,..., Ьт _2 и 70, 71,••■, 7т-2).
3) Выражение (2б) представляет собой системы п линейных уравнений с п неизвестными (Ь0, ¿1,..., Ьп-1), которые являются также неизвестными для выражений (2а).
4) Выражение (3б) представляет собой систему п линейных уравнений с п неизвестными (Ь0, Ь1,..., Ьт-2, Ьп-1), из которых (т-1) неизвестного являются также неизвестными для выражений (3 а).
5) Выражение (4б) представляет собой систему т линейных уравнений с т неизвестными (Ь0, Ь1,..., Ьт-2, Ьт-1), из которых (да-1) неизвестных являются также неизвестными для выражений (4а).
6) Все матрицы А2 являются треугольными квадратными матрицами, порядок которых определяется разрядностью делителя (степенью многочлена Ь(х)).
7) Для случаев ёе§ а(х) < ёе§ Ь(х) матрицы А1 являются квадратными матрицами порядка (т-1), определяемого степенью многочлена а(х).
8) Для случая ёе§ а(х) > ёе§ Ь(х) матрица А1 является (т-1, п)-матрицей.
2. Алгоритм деления многочленов
Предложим следующий алгоритм деления многочленов над полем ОБ(2).
1) Из выражений (2б), (3б), (4б) определяется частное (коэффициенты при неизвестных многочлена Ь(х)).
Проверим, имеют ли системы линейных уравнений (2б), (3б), (4б) решения.
Нетрудно видеть, что число уравнений в каждой из этих систем совпадает с числом неизвестных. Определители матриц А2 систем отличны от нуля, так как отличны от нуля диагональные элементы этих треугольных матриц (аш.1=1). Следовательно, системы линейных уравнений (2б), (3б), (4б) являются крамеровскими системами и имеют только одно решение [18]. Пока-
жем это на примере случая, когда соотношение степеней многочленов определяется неравенством ёе§ а(х) > ёе§ Ъ(х).
1 а
Ъ = И
2 - т а 3 - т а • Ст-1 а т ( п 1 а т
1 2 - т а Ст а - - т-(п-2) а- т-
1 •• * Ст+1 3) - (п -( т а а- т-
С 1
ит+(п-3) * • * 1
С
т+(п-2) * * *
7=0, 1, 2, ... , (п-1).
Так как А2 = 1 [18], то получим:
Ъ, =
1 а
т-2
1
3 - т а • Ст-1 7 (п -( т а а- т-п
2 - т а Ст 2) - (п -( т а 7 (п -( т а
1 •• * Ст+1 3) - (п -( т а 2) - (п -( т а
Ст +(п-3) ••• 1 ат-2
С 1
т +(п-2) * * *
(5)
2) Из выражений (2а), (3 а), (4а) определяется остаток (коэффициенты при неизвестных многочлена г(х)).
На примере случая, когда ёе§ а(х) > ёе§ Ъ(х), выражение для определения остатка будет следующим:
Г0 С0
Г1 С1
Г2 = С2 ®
Гп-1 Сп-1
Гт - 2 _ Ст - 2 _
а
а
а
а
а1 а0
ап-1 ап-2
а
а
ат-п ат-(п+1)
®
(6)
где величины Ъ0, Ъ1,..., Ьт-2, Ъп-1 определены на первом этапе вычислений.
2. Деление многочленов на комбинационных схемах
Выражения (5)-(6) могут быть реализованы с помощью комбинационных схем. Операции умножения и сложения будут выполняться над двоичными последовательностями (Со, Сі, ... , ст+(п-2)), (ао, а1, ... , ат-1) и (Ъо, Ъ1, ..., Ъп-1), соответствующими многочленам с(х), а(х) и Ъ(х) над полем ОБ(2). Вычисление величин Ъ0, Ъ1, ..., Ът-2, Ъп-1 будет производиться последовательно, начиная со старшего коэффициента и заканчивая младшим: первым будет определено значение Ъп-1, последним - значение Ъ0. Величины остатка г0, г1,..., гт-2, гт-1 определяются параллельно,
т. е. все значения этих величин будут получены одновременно.
Комбинационные схемы деления многочленов (КСДМ) над полем ОБ(2) можно строить на основе функциональной ячейки (ФЯ), состоящей из одного двухвходового элемента И и сумматора по модулю 2, и эта ФЯ выбирается в качестве базовой ячейки (БЯ). Структура комбинационной схемы, построенной на основе БЯ, будет обладать однородностью и универсальностью.
1
Ъ
Ъ
2
п-2
п-1
аа
т-2 т-3
КСДМ можно будет легко адаптировать к изменениям степеней многочлена-делимого с(х) и многочлена-делителя а(х).
При делении любого многочлена над полем ОБ(2) на фиксированный многочлен а(х) степени (т-1) и веса (у+1) КСДМ можно упростить. Такие схемы будем называть комбинационными схемами деления на фиксированный многочлен (КСДФМ). В этом случае значения величин а^ (0 или 1) фиксированного многочлена а(х) известны заранее (до синтеза схемы) и должны учитываться в структуре схемы деления, в которой будут отсутствовать некоторые БЯ, характерные для КСДМ. Отсутствуют те БЯ, на один из входов которых подается величина аг=0. Количество таких БЯ будет равно п • п . Базовая ячейка (БЯ) КСДФМ будет состоять из одного двухвходового сумматора по модулю 2.
Определим аппаратурную и временную сложности схем, реализующих операцию деления многочленов предложенным выше способом. При построении таких схем используются схемы И и сумматоры по модулю 2.
Под аппаратурной сложностью реализации схемы будем понимать число функциональных элементов базисного набора (схем И с двумя входами, схем ИЛИ с двумя входами и схем НЕ) в схеме, реализующей заданную функцию.
Под временной сложностью реализации схемы будем понимать время, необходимое для реализации схемой заданной функции; при этом за единицу времени принимается время срабатывания элемента базисного набора (¿).
Примем, что сложность (аппаратурная и временная) всех функциональных элементов базисного набора одинакова. Известно, что сумматор по модулю 2 можно реализовать с помощью 4-х элементов базисного набора. Время сложения в сумматоре по модулю 2 составляет 3t.
С учетом сказанного имеем:
1) Для аппаратурной сложности.
Количество БЯ равно (т - 1)п, и для построения комбинационной схемы деления многочленов (КСДМ) над полем ОБ(2) необходимо иметь элементов:
NКСдм = 5(т - 1)п = 5(т -1)(ё - т +1),
где ё - разрядность делимого, т - разрядность делителя, п - разрядность частного.
2) Для временной сложности.
Время выполнения деления многочленов в КСДМ равно:
Тксдм = 4(ё - т + ^ .
Видно, что аппаратурная и временная сложности схемы деления определяются степенями делимого и делителя.
При делении на фиксированный многочлен сложность комбинационной схемы деления (КСДФМ) будет следующей:
N КСДФМ = 4[(т - 1)п - т] = 4(т -1 - п)(ё - т +1),
ТКСДФМ = 3(ё - т + ^ .
Временная сложность схемы деления, в отличие от аппаратурной сложности, не зависит от веса фиксированного многочлена, а определяется только степенями делимого и делителя.
Заключение
Предложенный способ построения схем деления многочленов над полем ОБ(2) позволяет создавать схемы, структура которых однородна и универсальна, в отличие от структуры линейных последовательностных машин, определяемой видом многочленов, над которыми производятся эти операции. Однородность структуры этих устройств делает их перспективными для реализации в виде БИС. Структуру схем, синтезируемых предложенным способом, можно легко наращивать при увеличении степени многочленов.
Полученные математические выражения для определения сложности схем, реализующих деление многочленов, позволяют не только определять и давать оценку этой сложности, но и делают возможным производить выбор наилучших схем по параметрам сложности (аппаратурной, временной) из числа известных для выполнения указанной операции схем, если известны сложности этих схем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маккеллан Дж., Рейдер Ч. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов: Пер. с англ./Под ред. Ю. И. Манина.-М.: Радио и связь, 1983.
2. Гилл А. Линейные последовательностные машины. - М.: Наука, 1974.
3. Bartee T.C., Shneider D.I. Computations with finite fields. - Information and control, 1963, 6, - pp. 79-98.
4. ТИИЭР, 1988, т. 76, № 5. - С. 36.
5. Кларк Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи: Пер. с англ. / Под ред. Б.С. Цыбакова. - М.: Радио и связь, 1987.
6. Никонов В. В., Кравцов С. Г., Самошин В. Н. Систолическая обработка информации: элементная база и алгоритмы // Зарубежная радиоэлектроника, 1987, № 7, с. 34-51.
7. Блох Э. Л., Зяблов В. В. Обобщенные каскадные коды. - М.: Связь, 1976.
8. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. - М.: Мир, 1976.
9. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. - М.: Мир, 1971.
10. Берлекэмп Э. Теория кодирования с исправлением ошибок // ТИИЭР, № 5, 1980, с. 24-58.
11. Горяков С. А. Полупроводниковые диодные матрицы // Электронная промышленность, 1972, № 6, с. 30-32.
12. Франке Г., Чапенко В. П. Проектирование дискретных управляющих устройств промышленного назначения на основе программируемых матриц // Автоматика и телемеханика, 1981, № 3, с. 18-27.
13. Смолов В. Б., Шумилов Л. А., Зайкова Л. А. Построение матричных вычислительных устройств для выполнения операций над многочленами и элементами конечных полей GF(2m) // Электронное моделирование, 1979, № 2, с. 63-67.
14. Coppersmith D. - IEEE Trans., 1984, v. IT-30, № 4.
15. Амербаев В.М., Бияшев Р.Г. Интерполяция и коды, исправляющие ошибки. - В кн.: Теория кодирования и информационное моделирование. - Алма-Ата: Наука, 1973.
16. Кубицкий В.И. Операции над многочленами в поле GF(2) // Научный Вестник ГосНИИ “Аэронавигация”, серия Проблемы организации воздушного движения. Безопасность полетов, №7, 2007.
17. Кубицкий В.И. Сложность реализации операций над многочленами в поле GF(2) // Научный Вестник ГосНИИ “Аэронавигация”, серия Проблемы организации воздушного движения. Безопасность полетов, №7, 2007.
18. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1975.
DIVISION OF POLYNOMIALS OVER FIELD GF(2)
Kubitskiy V.I.
Operation of division of polynomials above field GF(2) is considered. Mathematical expressions are deduced for performance of the specified operation and the approach to construction of the combinational schemes realizing these expressions is offered. Possible hardware and time complexities of realization of these schemes are defined.
Сведения об авторе
Кубицкий Валерий Иванович, 1951 г. р., окончил КИИГА (1973), начальник сектора ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», автор 26 научных работ, область научных интересов - проектирование, эксплуатация, надежность и помехоустойчивость АС УВД.
