Декомпозиционный алгоритм оптимизации аппаратурного состава химико-технологических систем с дискретным режимом работы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.011.001.57075 О. А. Спиридонова. В. В. Макаров Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва, Россия.

ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ АППАРАТУРНОГО СОСТАВА ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ РЕЖИМОМ РАБОТЫ

Decomposition algorithm of batch plant equipment cost optimization has been developed. Original problem is formulated as a geometric programming one of arbitrary degree of difficulty, which decomposition allows for its formulation as local problems of zero degree of difficulty and coordination problem of non-large dimension: the algorithm operation mode is illustrated on the example of two-stages plant for single product.

Описан декомпозиционный алгоритм оптимизации аппаратурного состава хими-ко-технологических систем с дискретным режимом работы. Исходная задача формулируется как задача геометрического программирования произвольной степени трудности, декомпозиции которой позволят сформулировать локальные задачи, имеющие нулевую степень трудности, а координирующую задачу - в виде задачи оптимизации небольшой размерности. Работа алгоритма иллюстрируется на примере двухстадийной химико-технологической системы, ориентированной на производство единственного продукта.

Аппараты химико-технологических систем с дискретным режимом работы могут простаивать из-за различия длительности их циклов, определяемой технологическими процессами. На рисунке 1 приведена принципиальная схема двухстадийной химико-технологической системы, а на рисунке 2 - возможные варианты расписания её работы.

4X1—-* А..

4X1-

А.

-CXh

Рис. 1. Принципиальная схема химико-технологической системы с непосредственным взаимодействием технологических аппаратов: Ац А2 - технологические аппараты

Рис.2. Графики Гантта расписания работы системы с непосредственным взаимодействием аппаратов: а) Т| < т2; б) Т] > тг; ть тг - длительности циклов аппаратов

Рис.3 Принципиальная схема двустадийной химико-технологической системы с параллельными аппаратами: а) т( < тг; б) Т1 > т2

ч ч

Рис.4. Графики Гантта расписания работы химико-технологической системы с дискретным режимом работы с параллельными аппаратами: а) т, < тг; б) т1 > т%

Сократить длительность простоя аппаратов можно установив параллельные аппараты; например при расписании работы, изображенном на рис.2,а применив схему, изображенную на рис.3,а, а при расписании на рис.2,б - схему на рис.3,б. Графики Гантта расписания работы этих химико-технологических систем будут иметь вид, показанный на рис.4.

Если принять в качестве критерия оптимальности капитальные затраты на оборудование, а за варьируемые переменные: массовый размер партии продукта g, длительность цикла системы я, объемы аппаратов Уу; и количество параллельных аппаратов то задачу оптимизации можно представить в виде:

(1)

тт - V аЖЬг 'М, — дт,

при | п ^ Г (2)

да; : <3)

(4)

где О - годовой объем выпуска, Т - годовой фонд времени; &) - материальные индексы; ф/- коэффициенты заполнения объема аппаратов; г = 1,2. Преобразуем эту задачу, придав ей вид задачи геометрического программирования [1, 2]

(5)

при уд'1ц < 1 (6)

(7)

supiXiN^bj? si i - U ^

Степень трудности Тэтой задачи равна

Т = Л> - CV,L. - 1) = 8 - (6 - 1) = 1 (9)

Выполним декомпозицию; тогда будем иметь две локальные задачи вида (индекс, обозначающий номер локальной задачи опущен)

mtnlaVbN + gTL} (Ю)

при^-а"1^ < i (11)

(12)

rír'ífsi (13)

Степень трудности каждой локальной задачи

Г = Л'Г- CVy- 1) = 5 -Й - 1) = о (И)

С локальной задачей связана двойственная задача

при <S0l - 5ц + ¿и, = о

¿01 + ¡2l ~ Í3. = 0

Ь«5оз - о si = о

"01-031 = о

«Па + ans = 1

Двойственная координирующая задача, связывающая оптимальные значения критериев локальных задач с оптимальным значением критерия исходной задачи имеет вид [3]:

ТП,%Г П П (I 2 Н'

'II X -АСО^^) ¡- (16)

Максимум критерия а® двойственной задачи определим сканированием при выполнении условия я, + я- — 1 (рис.5)

Переход от двойственной задачи к прямой задаче производится по обычным формулам [2]:

&

п' х

ччпи'У

«о/ПЦ*,

(17)

п.2 <>.-» «.<» О.К 1.(1

О.К «.6 О.-! (1,2

Рнс.5. Зависимость критерия двойственной задачи от вспомогательных переменных

В результате имеем систему линейных алгебраических уравнений относительно 1п х, откуда находим оптимальные значения переменных прямой задачи, доставляющих минимум капитальным затратам на оборудование.

Библиографические ссылки

1. Уайлд Д. Оптимальное проектирование. М.: Мир, 1981. 272 с.

2. Геометрическое программирование в задачах проектирования процессов химической технологии / В.В. Макаров [и др.]. М. Моск. хим.-технол. ин-т им. Д.И. Менделеева. М.: Изд-во МХТИ, 1980. 48 с.

3. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука, 1981.352 с.