CC BY
36
А.М. Валуев
ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ НА КАРЬЕРАХ
ШМдея декомпозиционного построения методов решения за-.ж1 дач оптимального планирования имеет связана с наличием хотя бы одного из двух свойств: 1) блочности, т.е. специфического характера системы ограничений, 2) динамического характера задачи. Блочность означает, что переменные разбиваются на группы, так что большая часть ограничений связывает переменные из одной группы, а ограничений, связывающих все переменные, относительно мало. Обе черты могут сочетаться в динамических задачах оптимизации для сложных систем. Целью декомпозиционных методов изначально являлось существенное повышение вычислительной эффективности решения задач, без чего многие задачи вообще не могли быть решены за разумное время. Первоначальное развитие идея декомпозиционных методов (1960-1970-е гг.), начиная с метода Данцига-Вулфа, связано с решением статических блочных задач линейного программирования [1]. Для этого направления характерно выделение локальных задач (для подсистем) и координирующей задачи.
Для нелинейных динамических задач оптимального управления В.Г. Болтянским (1973 г.) был предложен метод локальных сечений, позволяющий (при соблюдении специальных условий регулярности задачи) декомпозировать условия оптимальности для процесса в целом на совокупность условий, формулируемых для отдельных этапов [2]. Та же идея была положена в основу развитых в 1980-х гг. декомпозиционных численных методов, в которых на каждой итерации находятся улучшающие вариации и строятся приращения управления в направлении оптимума. Методы, развитые А.Е. Илютовичем с соавторами [3] и автором настоящей статьи [4], расширяют идею метода локальных вариаций; в работе [5] для задач динамического линейного программирования введена иная декомпозиционная конструкция — метод блочной факторизации.
Значение декомпозиции для уменьшения объема вычислений в задачах оптимального управления умеренной размерности, например, в задачах оптимального текущего и оперативного планирования, безусловно, не столь велико, как во время разработки этих методов, однако сохраняет значение большая вычислительная устойчивость этих методов. Получение решения за существенно меньшее время, чем при использовании других методов, имеет значение, когда решаемая задача рассматривается не как единичная задача, а как элемент системы имитационного моделирования управляемой производственной системы и решается многократно для одного и того же временного периода (при разных наборах значений случайных и неопределенных величин, характеризующих внутреннюю и внешнюю среду).
Можно выделить три класса задач, оправдывающих применение и развитие методов декомпозиции на современном этапе.
1. Задачи распределения ресурсов при выполнении комплекса работ [6]; для горного производства здесь может идти речь о комплексах вспомогательных работ. Это динамические, как правило, линейные задачи высокой размерности как по числу этапов, так и по размерности управления на этапе.
2. Задачи оптимизации гибридных производственных систем, т.е. систем с качественно-количественной динамикой [7, 8].
Класс гибридных моделей для задач планирования открытых горных работ был введен и обоснован в работе автора [9]. Задачи данного класса позволяют явно описывать зависящие от плановых решений сценарии производственного процесса на карьере, т.е. последовательности качественных изменений (применительно к текущему и оперативному планированию). Также они позволяют формулировать задачи совместного объемно-календарного и организационного планирования [10]. Задачи распределения ресурсов при выполнении проекта в форме [6] также являются задачами оптимизация гибридных систем. Методы их решения, описанные в работах [6, 11], используют декомпозиционные построения двояко: 1) при оптимизации по фиксированному сценарию, как в обычной задаче дискретного оптимального управления со смешанными ограничениями; 2) при проверке условий оптимальности сценария [12].
3. Нелинейные статические и динамические задачи с иерархической системой взаимосвязей. Такая система взаимосвязей характерна для моделей горных работ на карьерах, дающих львиную до-
лю ограничений в задачах планирования на период от года (или даже квартала) и выше. Частный пример применения декомпозиционного подхода для этой цели продемонстрирован в работе [13]. Автору представляется бесспорным, что именно на этом пути лежит решение проблемы оптимизации развития горных работ на карьере как единой динамической задачи. До сих пор, кроме интуитивных решений и условно-динамического подхода, к этой проблеме ничего не применялось, что, безусловно, сказывается на качестве получаемых решений.
Общее осмысление применения декомпозиционных методов в отношении задач, похожих по структуре ограничений на динамические, привело к концепции «декомпозиции по набору ограничений» [14]. Основной областью применения декомпозиции по набору ограничений служит задача нелинейного программирования (с квазидинамической структурой ограничений) относительно вектора
и = {Мі(1),...,ит(і)(1), ..., Мі(^),..., ит(Ю(Щ = {«(1),..., «(ЩєІЇ1:
^о(м)^ШІП, ^(и(1))<0, ІЄІП, ^(и(1))=0, ІЄІ2Ї, Fi(u(1), и(2))<0, ІЄІ12, ^(и(1), и(2))=0, ІЄІ22; ..., ^(и(1),..., и(И))<0, ієіш, ^(«(1), ■■■, и(Щ)=0, ІЄІ2М. (1)
Концепция [14] основана на представлениях соответственно множества активных ограничений І^и) и возможного направления:
І1г(и)={ієІ1: ^і(«)>-£}, І(і)=ІІІ(и)^І2=А^...^ь; М=ИїУ1 + .. ЛИ^ь,
(2)
где матрицы И\,...Иь определены из условия: для любого вектора
^ги(и), М)=(^ги(и), Иу) І^І.
(3)
Управление и* назовем регулярным относительно множества ограничений J^I0(u*) ^-регулярно), если линейно независимы векторы {^Іи*(и), iєJ}. Для допустимого в задаче (1) J-регулярного управления и* совокупность матриц И1,...,ИЬ задает декомпозиционную схему на и* для J, если:
1) множество J разбивается на Ь непересекающихся подмножеств J1,..., JL, так что если І£ Jl, то ЕІи*Т(и*) ИІ = 0;
2) при І = 1,., Ь матрицы И1,...,ИЬ имеют полный ранг, а количество Мі столбцов Иі не меньше числа элементов Jl; 3) матрица И = [И1 | И21 ... | ИЬ] имеет полный ранг.
Теорема [14]. Если J-регулярное управление «*єЯМ является решением задачи (1) и совокупность матриц И1(и ,^,..., ИЬ(и*/)(и ,^ задает декомпозиционную схему на и* для J, то при любом 1=1,., Ь(и*,1) для произвольного вектора уЙ удовлетворяющего условиям
(^ги*(и*), Иі(и*,І)-уі)<0, І є с^іОІ10(и*), Fгu*(u*), Щи*/)уі)=0,
І Є ^>ЛпІ2,
справедливо (^0и*(и*), Их(и*^»ух)>0.
Если в области и все иєи 10(и)-регулярны, то при некотором в>0 то же верно и для Іє(«). Для таких областей можно определить регулярную декомпозиционную схему на и зависимостями Ь(и,І), И(«,7) = (И^и^^.^ци^и^), определенными для всех иєи, JcIє(u), для которых И(«Д=И(«Ду(иД), где у(«ДєМ, М конечно и зависимости И^Д^) непрерывны.
Вычисление декомпозицонных схем обобщенного метода локальных сечений, метода блочной факторизации и комбинированных декомпозиционных схем сводится к следующим базовым операциям:
• выделения из матрицы Я полного ранга максимальной квадратной подматрицы Ж(Я) и оставшихся столбцов Ж (Я);
• объединения столбцов матриц (или векторов) Я1 ©Я2;
• сложения, умножения и обращения матриц.
Вычисление оптимального управления для задачи (1 ) выполняется по гибридному декомпозиционному методу, объединяющему черты методов проекции градиента и возможных направлений [14]. На каждой (г-й) итерации метода основные вычисления состоят в определении И1,.,ИЬ(г) и решении при 1=1,...,Ь(г) следующих задач линейного программирования относительно скаляра щ и векторау1 при известном значении 5(г),
По і = (Е0и (и(г )),Нгу,) ^ тіп,
(Ри(и{п), Н 1-у1) < 0, і є Jl п іЩг}(и(г>), (Ри(и(г^), (2)
НгУі) = о, і є J| п 12,
-1 < у/(. < 1, і = 1,...,М,,
причем если T]0=^0\+.+^0L>—сл5(г)у, то 5(r) уменьшается (например, 5(r)=5(r)/2) и задачи (2) решаются вновь.
При использовании декомпозиционной схемы обобщенного метода локальных сечений используется представление
к-1
w (к) = у (к) + X С (k, t )• w (t) + X K9m (к )■ (3)
t=1 me M (k)
Для заданного k определяются матрицы A(k,t), строки которых — FiU(t)(u(V),— , u(k)), ieIek(u), - и в матрице A(k,k) с помощью специально организованного процесса гауссовых исключений, выделяется квадратная подматрица A0(k) максимального ранга. Строки A0(k) соответствуют набору «правильных» ограничений P(k)<^Iek(u), остальные ограничения активные ограничения образуют множество избыточных ограничений L(k)=Iek(u)\ P(k). Если количество правильных ограничений dim P(k)<m(k) и LS(k+1) = dim L(k+1)+... + dim L(N)> MS(k+1) = dim M(k+1)+... + dim M(N), определяется непустое множество M(k) = {MS(k+1)+ +1,., min{LS(k+1),
MS(k+1)+m(k)-P(k)}}. Для вычисления матриц C(k,t) решаются системы линейных уравнений A0(k)C(k,t) = =-A(k,t), а в качестве векторов gm(k), meM(k), используются линейно независимые решения системы A0(k)gm(k) = 0. Величины Xm, meM(k), k = 1,., N, определяются из условия к
XFiu{t)U(1),...,и(к))• w(t) = 0, ieIek(u)\P(k), k = 1,., N, (4)
t=1
сводящегося к системе линейных уравнений, для определения которых выполняется расчет сопряженных траекторий, т.е. решение сопряженных разностных уравнений.
Задача (2) также может иметь структуру (1). В этом случае для ее решения может применяться декомпозиционный метод для задач линейного программирования обобщенной динамической структуры. Не исключается возможность, когда вспомогательные задачи для решения последней снова имеют структуру (1). Такая многоуровневая декомпозиция представляется наиболее перспективным путем решения динамических задач оптимизации развития горных работ. Здесь уровень 1 - это год (этап), уровень 2 - уступ, уровень 3 - сектор или вершина аппроксимирующего многоугольника.
Действительно, на верхнем уровне имеем обычную задачу оптимизации дискретного процесса весьма высокой размерности со смешанными ограничениями, связывающими текущее положение горных работ (ПГР) с предыдущим. На следующем уровне в задачах (2) имеем для каждого этапа линеаризованные ограничения модели ПГР, связывающие приращения координат вершин контуров смежных по высоте уступов. Наконец, на нижнем уровне также почти для каждого элемента ограничения связывают его переменные с одним из предшествующих элементов. Действительно, основные соотношения контурной модели имеют вид PAXih yih Xjl+\, yjl+\, Xj+\l+\, yj+\l+\)—dminl,
p\(xi+\h yi+\h Xjl+\, yj+1l, xj+1l+1, yj+\l+\)—dminb p\(xjl+\, yjl+\, xih yil, xi+\l, yi+1l)—dminl,
(xj+11+1, yj+\l+\, Xlh yih x^1l, yi+\l)—dminl,
а секторной модели —
Xil—Xil-1+dl, где dl = (hl_\+hl)ctg$nax/2+dmm, Х^-Х,-^ — *0.
В формулировке (1) ограничения зависят от вектора u(k) и всех предыдущих. В действительности в статических и динамических задачах оптимизации горных работ подавляющее большинство ограничений имеет вид либо Fi(u(k))—0, либо Fi(u(k-1), u(k))—0, либо Fi(u(k-ni(k)), u(k))—0. Вычисления w(k) по формуле (3) и решение сопряженных систем и уравнений (4) в этом случае обладают трудоемкостью, сопоставимой с обычными динамическими задачами, для которых эффективность декомпозиционных методов подтверждена обширной вычислительной практикой.
-------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем. — М.: Наука, 1975. — 432 с.
2. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными процессами. — М.: Наука, 1973. — 320 с.
3. Илютович А.Е. Методы декомпозиции по времени в задачах оптимального управления и их приложения в расчетах динамики сложных систем: Дис.докт. техн. наук. — М.:ВНИИСИ, 1990. — 263 с.
4. Валуев А.М. Численный метод для многошаговых задач оптимизации с пошаговым вычислением направлений спуска // ЖВМиМФ. — 1987.— Т.27. — №10. — С. 1474-1488.
5. Кривоножко В.Е., Пропой А.И., Тверской И.В. Метод блочной факторизации для задач динамического линейного программирования: Препринт. — М.: ВНИИСИ, 1987. — 62 с.
6. Valuev A.M. A new model of resource planning for optimal project scheduling // Mathematical Modelling and Analysis. — 2007. — Vol. 12. — No. 2. — P. 255-266.
7. Branicky M.S, Borkar V.S., Mitter S.K. A unified framework for hybrid control: model and optimal control theory. // IEEE Trans. Autom. Control. — 1998. — Vol. 43. — No. 1 — P. 31-45.
8. Варайя П., Куржанский А.Б. Задачи динамики и управления в гибридных системах // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. — Т.1. — С.21-37.
9. Valuev A.M. On the substantiation of technological solutions for open pits via production planning simulation // Mine Planning and Equipment Selection: Proceedings of the fifth international symposium. Sao Paulo, 22-26 October 1996. — P. 91-95.
10. Валуев А.М. К унификации моделей внутригодового планирования открытой угледобычи с учетом организационного фактора // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2004. — №9. — С. 37-44.
11. Валуев А.М. Оптимизация событийно-переключаемых процессов в дискретно-непрерывном времени // Обозрение прикл. и промышл. математ. — 2005. — Т. 12. — вып. 4. — С. 923-925.
12. Valuev A.M. Control problem for event-switched processes // Acta Universita-tis Apulensis. — 2005. — No. 10. — P. 7-18.
13. Валуев А.М. О применении дискретного оптимального управления для решения задач определения контуров рабочей зоны карьера // Открытая разработка угольных месторождений: Межвуз. сб. науч. тр. Кемерово, 1987. — С. 62-67.
14. Валуев А.М. О некоторых способах декомпозиции по ограничениям прямых методов решения многошаговых задач оптимизации // Сб. тру-дов/М.:ВНИИСИ. 1989. Вып. 1: Модели и методы оптимизации.—С.21-29.ШШ
Коротко об авторе ___________________________________
Валуев A.M. - Московский государственный горный университет.
-------------------------- © Е.А. Васильева, А.Ч. Ахохов,
А.Б. Маврин, 2008
Е.А. Васильева^ А.Ч. Ахохов, А.Б. Маврин
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СРЕДСТВА ТЕСТИРОВАНИЯ МЕЖСЕТЕВЫХ ЭКРАНОВ
Технология межсетевого экранирования появились практически одновременно с возникновением проблемы обеспе-
