Деформирование кусочно-однородных блоков пород с трещинами при расклинивании Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------------ © А.А. Красновский, В.Е. Миренков,

2010

УДК 622:519.87

А.А. Красновский, В.Е. Миренков

ДЕФОРМИРОВАНИЕ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ БЛОКОВ ПОРОД С ТРЕЩИНАМИ ПРИ РАСКЛИНИВАНИИ

Проведено математическое моделирование составных блоков пород с разрезами, моделирующими трещины по границе раздела сред, получены системы сингулярных интегральных уравнений, связывающие все нормальные и касательные напряжения и смещения на границах. Составлена программа численной реализации полученных уравнений. Ключевые слова: кусочно-однородные блоки, расклинивание, касательные и нормальные напряжения, математическое моделирование.

Неделя горняка

Яесмотря на значительные успехи, достигнутые в применении численных методов к решению задач механики разрушения, по прежнему сохраняется актуальность в разработке эффективных методик, сочетающих строгость аналитических методов и мощь современных ЭВМ. Свои нюансы, связанные с точностью решения, имеются в методе конечных элементов, граничных интегральных уравнений, вариационных методах, да и, вообще, всегда при численной реализации задач механики. Одна из причин катастроф -низкое качество проектных расчетов, основанных на данных компьютерного моделирования. Любое деформирование предполагает конкретный контакт рассматриваемой области с другими телами, передающими внешнюю нагрузку. Во всех случаях силового, энергетического или деформационного критерия разрушения необходимо знать напряженное и деформированное состояние тел с трещинами. При математическом моделировании составных блоков пород с разрезами, моделирующими трещины по границе раздела сред получены системы сингулярных интегральных уравнений,

связывающие все нормальные и касательные напряжения и смещения на границах. Возможность менять формулировки граничных условий на разрезах позволяет, используя метод суперпозиции, перейти к случаям растяжения таких блоков, когда на разрезах отсутствуют напряжения или заданы по любому закону. Составлена программа численной реализации полученных уравнений.

Рассмотрим блок пород, составленный из двух различных материалов, так что на части границы раздела сред имеет место разрез, расклиниваемый нормальными напряжениями их = а0 (у). В данном случае не только существенна анизотропия блоков пород, но и несиммет-рия геометрии, которые, даже каждая по отдельности, требуют нахождения и касательных и нормальных напряжений на продолжении разреза, т.е. самый общий случай из возможных (рис. 1). Разрез занимает отрезок ^ h, а расклинивающие усилия приложены на участке h2 h^, не исключая случаев h¡ = h, h2 = h¡, т.е. самый

1 (/ (і) + 2л g (t)

/(О + 2щ(О = -

ті t -і

¿і,

Рис. 1. Расчетная схема расклиниваемого блока пород

общий случай формулировки граничных условий. Обозначим Г1 = Г11 + +Г12 + Г13 + Г14 и Г2 = Г21 + Г22+Г23+ + Г24 границы однородных первой и второй частей, соответственно, рассматриваемого составного блока пород. Все величины, относящиеся к частям 1 и 2, имеют соответствующий индекс.

Граничные условия на разрезе hз h сформулируем в виде

с'п = тп = 0; hз <у , hl <у <h

(Гп = с>о(у), Тп = 0; h2 <у <h1, (1)

На внешнем контуре однородных частей 1 и 2 отсутствуют нормальные и касательные напряжения, т.е.

Гп = Тп = 0, на Гп + Г12 + Г13

Гп = Тп = 0, на Г21 + Г22 + Г23 (2)

Все величины имеющие размерность длины отнесены к ширине однородной части 1, а имеющие размерность напряжений - к максимальному значению расклинивающих напряжений. На продолжении разреза (0 < у < hз) предполагается сцепление, т.е. непрерывность нормальных и касательных напряжений и смещений

и14 = и24-> ^14 = ^24;

сх14 = сx24, Т14 = Т24 (3)

Для каждой из рассмотренных частей блока пород (рис. 1) имеют место соотношения [1]

1 [к/(і) - 2Лg (і)

¿і

к/(і0) - 2л g (О = - / г

ті t -

1 І

-—. Л/(і) + 2^ё(t)]

ті і - и

где к, л - упругие постоянные материала; g = и + ¡у;

/ (і) = і К Х„ + У ) ¿в,

(5)

Хп, Уп - усилия на Г , (І = 1, 2) в направлении осей х и у; і є Г1 и Г2 ; і0 - аффикс точки границы; черточка над функцией обозначает комплексно сопряженное значение; і - мнимая единица; под Г , (І = 1, 2) понимаются контура частей составляющих блок пород.

Численное решение системы (4), определяющих все компоненты смещений и функции /(ї0) на Г1 и Г2 , осуществлялось аналогично [2]. Расчеты проводились при с0 = 1, h = 6, 5; ^ = 6, ^ = 5, hs = 4, Л1 = 1,154 . 105, Л2 = 3,846 ' 104, к = к2 = 2,08 для вариантов:

а) в = 1; в = 0,6; в = 0,33;

в = 0,16; (6)

б) в = 1,66; в = 3; в = 7 (7)

На рис. 2 представлены результаты расчета компонент смещений и значений /(у), отвечающих вариантам (6), для границы Г2 развернутой в прямую линию так, что Г11 отвечают точки от 1 до 11, Г12 - от 11 до 41, Г13 - от 41 до 51 и Г14 - от 51 до 130. На рис. 3 приводятся результаты, аналогичные рис. 2, для вариантов (7), отвечающих границе Г1. Численное дифференцирование значений /(у) для случаев (6), (7) показало, что область растягивающих нормальных напряжений пород вершиной трещины уменьшается,

и

і

Яе(Г)

МО

(8)

реза. Другие варианты не реализуются. Наличие в уравнениях механики разрушения слагаемых с бесконечными членами, своего рода предупреждение о том, что не все в порядке в такой теории, т.е. низводит теорию до абсурда. Однако сингулярность решения в вершине разреза считается допустимой и даже больше - такие решения считаются почему-то упругими [4]. В общем случае, корневая особенность возникла за счет нарушения коформности отображения эллипса на разрез в двух точках или, все равно что, предположение

о скачке смещений в вершинах разрезов, что недопустимо при выводе уравнений теории упругости.

Получение численным дифференцированием Д^) напряжений сх(у) и т(у) сопряжено с потерей точности. Поэтому, продифференцировав уравнения (4) по у после достаточно громоздких выкладок получим

Рис. 2. Деформированное состояние границы части 2 блока

сдвигаясь к вершине, это же относится и к сжимающим напряжениям на продолжении разреза. Наблюдается несколько перемен знаков для т(у) на продолжении разреза.

Согласно общей теории сингулярных интегральных уравнений [3] нормальные сх(у) и касательные т(у) напряжения могут иметь либо корневую особенность, либо обращаться в ноль в вершине раз-

1 3 Ъ

«1сх (У) - «2 - I ------¿В = N1(УX

- 0в - у

1 ^ с

а2т( у) + а2— I —^ ¿в = N (у)

- і в - У

Здесь N1(у), М2(у) известные функции от компонент смещений границ частей

1 и 2 (рис. 1), которые приведены на рис. 2, 3. Ограниченное решение (7), согласно [3], имеет вид

Re(f)

МП

20 40 60

Г

г

*( У)

JyUh-y)

а2п

“3

Í

(N + а1ах )ds

Vs(h! -s) (s - y ) ’

yjy(h3 - У)

(У ) = -

N2 + а1т

a2n

í

ф(Из - s) (s - y)

при условии, что

ds

h3

N1 + ai°x о Vy(h3 - у)

h N2 + а1т

J

л/у(h3 - У)

dy = 0, dy = 0

20 40 60 80 100 120

Рис. 3. Деформированное состояние границы части 1 блока 00004

К проверке выполнения последних условий и сводится процесс нахождения т(у) и сх(у).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ № 07-05-

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1998. - 168 с.

2. Шутов В.А., Красновский А.А., Миренков

В.Е. К вопросу о разрушении блоков пород. -ФТПРПИ. № 2. 2006. - С. 10-17.

3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука. 1966. - 606 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. - 708 с. iisrj=i

X

— Коротко об авторах -------------------------------------------------------------

Красновский A.A. - кандидат физико-математических наук,

Миренков В.Е. - доктор технических наук, профессор, лаборатория механики горных пород, ИГД СО РАН, [email protected]__________________________________________________