Деформации поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 138-147

Механика =

УДК 539.3

Деформации поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе *

А. С. Харламов

Аннотация. Рассмотрены деформации поперечных сечений свободной балки в процессе ее конечного чистого изгиба. В рамках теории упругости получены поля перемещений точек балки в случае конечных поворотов срединной линии, а также была проведена линеаризация для сравнения полученного решения с уже известными результатами.

Ключевые слова: балка, чистый изгиб, поперечное сечение, конечный поворот, теория упругости.

Рассмотрим исходную конфигурацию балки с прямоугольным поперечным сечением. Пусть рассматриваемая балка имеет следующие размеры:

1о 1о Л0 Л0 п0 п0

— — < XI < —, - — < Х2 < —, — — < Х3 ^ —.

2 2 ' 2 2 ' 2 2

Система координат и изображение начальной конфигурации балки представлены на рис. 1.

X,

Х1

%

Рис. 1. Начальная конфигурация балки

Рассмотрим чистый изгиб балки под действием двух равных по модулю, но противоположных по направлению моментов, приложенных к торцам Х\ = т0 и Х\ = —10. Введем следующие основные гипотезы:

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

- кривизна срединной линии в деформированном состоянии будет постоянной во всех точках (срединная линия будет иметь вид дуги окружности);

- поперечные сечения, перпендикулярные срединной линии в начальном состоянии, останутся перпендикулярными к срединной линии и в деформированном состоянии;

- деформации в плоскости поперечных сечений малы (поворот и деформации в плоскости Х1Х2 считаем конечными);

- базисные векторы (г = 1, 2, 3) остаются главными в процессе изгиба. Рассмотрим радиус вектор Но произвольной точки в начальном

состоянии:

Но = Го + Х2в2 + Х3ё3, Го = Х{ё\, (1)

где Го — радиус вектор точки срединной линии в начальном состоянии. В деформированном состоянии радиус-вектор этой же точки срединной линии можно записать с помощью вектора перемещения:

в = Го + и(о) (Х1). (2)

Рассмотрим срединную линию балки в деформированном состоянии (рис. 2).

Вектор тi — касательный к срединной линии, Т2 — нормаль к срединной линии, Тз — параллельный декартовому вектору ёз. Связь векторов T¿ (i = 1, 2, 3) с начальным декартовым базисом можно записать через угол поворота 7:

Т1 = cos 7ё1 — sin 7ё2,

Т 2 = sin 7ё1 + cos 7ё2, (3)

Тз = ёз.

Радиус-вектор произвольной точки балки в деформированном состоянии можно записать в следующем виде:

К = 8 + (Х2 + W2 (Х2,Хз)) 7б1 + С08 7б2) + (Х3 + Wз (Х2,Хз)) вз, (4)

где w2 (Х2,Х3), w3 (Х2,Х3) — неизвестные функции, характеризующие перемещения в поперечных сечениях.

Далее найдем зависимость угла поворота 7 от координаты Х1. Пусть длина срединной линии в деформированном состоянии увеличивается в Л раз, а ее радиус кривизны равен р (рис. 3).

Рис. 3. Определение зависимости угла поворота от продольной

координаты

Тогда из формулы для определения длины дуги окружности получаем следующую зависимость:

ЛХ1 = р7 ^

7(Х1) = ЛХ1. р

(5)

Определим радиус-вектор произвольной точки срединной линии в деформированном состоянии. По определению касательный к срединной линии вектор т 1 определяется выражением:

1

1

т1 =

Л ^Х1

(6)

Подставляя (2) и (3) в (6) и учитывая зависимость (5), получаем уравнения для определения компонент перемещений точек срединной линии:

¿и

(0)

¿Х1

= Л СОЭ

¿и

(о)

¿Х1

= — Л 8Ш

ЛХ1

р

ЛХ1

Р

1,

1

2

Начальным условием для уравнений (7) будет служить тот факт, что точка, совпадающая с началом координат в начальном состоянии, перемещаться не будет, то есть

u

(0)

X1=0

= u

(0)

X1=0

0,

dui

(0)

dXi

du

(0)

X1=0

dXi

X1=0

Решая уравнения (7) с начальными условиями (8), получаем вектор перемещений точек срединной линии

u(0) =

рsin ( pX^ — ei + p ^cos ^Pxi ) — 1 ) ё2. (9)

Перейдем к определению аффинора деформации Ф. Для этого найдем

_ dR

материальный базис эг = dx:

si = Р (р + X2 + W2) (cos Yei — sin 762); P

Э2 = ( 1 + "etíf" ) (sinYei + cos7в2) + т^г"ез;

dX2

dX2

(10)

эз = (l + IXf) ез + IX3 (sinYei + cosYe2).

По определению аффинор связывает между собой векторы материальной системы в начальном и конечном состояниях:

Эг = ёг • Ф.

Тогда компоненты аффинора можно найти из следующего соотношения:

Ф ij — эг • ej •

(11)

Подставляя в (11) найденные ранее векторы материального базиса (10), получаем аффинор деформации Ф в разложении по диадам начального декартового базиса:

i

2

2

0

( - (р + X + —2)008 7--(р + Х2 + —2) в1п 7

р , р.

д—2 \ 1+ ех2)С087 д—2 . д—2

-

Ф

1 , д—Л .

1+дх^;81п 7

V

дХз

ЭШ 7

дХз

ООЭ 7

0

д—з

1 +

1+ дХз /

■ (12)

Найдем меру деформаций Коши-Грина С. По определению тензор С связан с аффинором деформации следующим соотношением:

С = Ф • Фт ■

Зная компоненты аффинора (12), определим компоненты меры деформаций Коши-Грина. Согласно введенной гипотезе векторы ё^ (г = 1, 2, 3) остаются главными в процессе изгиба, из чего следует равенство нулю смешанных компонент тензора С.

Считая деформации в плоскости поперечных сечений малыми, можно пренебречь вторыми и более степенями перемещений -—2, —з и их производных по сравнению с первыми степенями. В этом случае получаем, что

С С д—2 + д—з 0

С23 = Сз2 = дхз + =°,

а линеаризованный тензор С будет иметь компоненты

(13)

-2

С=

-о (р + X + —2)2

0

р2

V

1+2

д—2

0 0

1+2

д—з дХз }

(14)

Ранее уже были записаны радиус-вектор произвольной точки Ко в начальном состоянии (1) и радиус-вектор К этой же точки в деформированном состоянии (4). Тогда, используя эти векторы, можно записать вектор поля перемещений. По определению вектор перемещения записывается в виде

и = К — К0 ■

(15)

Подставляя (1) и (4) в (15), а также учитывая найденный вектор перемещений точек срединной линии (9), получаем вектор перемещений и:

0

и

+

(р + X2 + W2) sin AXi

AXi

- Xi

(р + X2 + W2) cos

р

р

- р - X2

ei +

в2 + W363.

Связь между напряжениями и деформациями представим в виде:

^11 = -1 (0"11 - V (^22 + озз)), Е

(16)

^22 = E (^22 - V (стц + СТ33))

(17)

^33 = 7; (^33 - V (^22 + 0"п)) , Е

где V — коэффициент Пуассона, а = а^ ¿у — первый инвариант тензора напряжений. В тензоре напряжения учтем три компоненты:

S = aii eiei + а22в2в2 + 0336363.

(18)

Тензор деформаций в данном случае можно найти, используя вектор перемещений (16) и связь

1 О

е= 2 I Vи + иV + Vи ■ и V

или в покомпонентном виде:

1 / Ou, Ou,

+

= 2 V 0Х,

+

дит ди

дХ, дХ, дХ,

m = 1,2,3.

(19)

Подставляя (16) в (19), линеаризуя по -Ш2, ^3 и учитывая условие (13) получаем компоненты тензора деформаций

( (0) , Л2 (Х2 + W2) eii +

е =

р

0

0W2

дХ2 0

0

0

0w3

0X3 }

(20)

где еЦ = 2 (А2 — 1) — деформации срединной линии.

Следует отметить, что тензор деформаций можно было найти, используя меру деформаций Коши-Грина (14):

е = 1 (g - e

(21)

Подставив (14) в формулу (21), можно убедиться, что полученный результат идентичен (20).

Так как дХ ^ 1, из (10) получаем, что

Э1 ^ т 1, Э2 ~ т2, эз = ёз. (22)

Далее запишем условие равновесия

V ■ 5 = (23)

где V = э^.

Подставляя тензор напряжений (18) в условие равновесия (23) и учитывая соотношения (22), получаем следующие уравнения равновесия:

Г =0,

дХ1 ,

+ - (^22 — щ) = 0, (24)

дХ2 р дстзз

I дХз

0.

Из первого уравнения получаем, что ст11 = ст11 (Х2), а из третьего — стзз = = 0.

Далее из обобщенного закона Гука (17) выразим напряжения через деформации и подставим их во второе уравнение системы (24):

1 д -

(£22 + ^ц) + - (еИ + £22) = 0. (25)

1 — V дХ2 р

Используя компоненты тензора деформаций (20), запишем уравнение (25) через искомую функцию —2:

д2—о - (-V — V + 1) д—2 . _ 2-2У + - (-2 — 1)(1 — V)

+-+ = — кХ--, (26)

дХ| р дХ2 р

где к = д3 (р12-^).

Найдем решение для случая, когда удлинение срединной линии - = 1. С учетом этого уравнение (26) примет вид

д2—2 ,1 д—2 ,1 — V V — 1 V

^^ + +—Т- —2 = —Х2 — - ■ (27)

дХ2 р дх2 р2 р2 р

Решением уравнения (27) служит функция

W2 (X2) = e-l2 ^Ci sin( 4v X^j + C2 cos ^ 4v X2 ) ) - X2 + p.

Используя граничные условия

0) = 0,

0,

W2 (0) = 0, dw2

dX2

X2=0

определяем постоянные интегрирования и искомую функцию W2:

X

W2 (X2) = e 2р

sm —--X2 — p cos —--X2

- X2 + p.

V3 — 4v V 2p J r v 2p

(28)

Используем оставшееся третье соотношение закона Гука (17): выразим 033 через деформации:

v

033 = -т (£11 + £22) • (29)

v — 1

Подставляя компоненты тензора деформаций (20) в соотношение (29) и учитывая, что 033 = 0, получаем уравнение

v f W2 (X2) + Xo d \

~ + -J4TW2 (X2H = f (X2) • (30)

дХз (V -1) V Р йХ

Правая часть уравнения (30) является функцией одной переменной Х2, поэтому не составляет труда проинтегрировать данное уравнение с начальным условием шз = — = 0:

V / Ш2 (Х2) + X й

шз = ' 1

(X2)+ X2 , d

(-p-+ dX2W2 (X2V X3' (31)

(V - 1) V Р

где ш2 (Х2) определяется выражением (28).

В линейном случае угол поворота, задаваемый функцией (5), считаем малым. Тогда в поле перемещений (16) тригонометрические функции можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись одним слагаемым. В линейном случае вектор (16) примет вид

и = (Л - 1) Х1в1 + Ш2ё2 + шзёз. (32)

Помимо этого, положим, что тензор напряжения имеет всего одну ненулевую компоненту ст11. Тогда закон Гука (17) преобразуется следующим образом:

^11

^22

^33

^11

E '

van

E

VOn

E

(33)

В выражениях (19), связывающих деформации и перемещения, пренебрежем нелинейной частью:

1 / du,,

£ij = 2

+

duj

dXj dX,

m = 1 ,2 ,3.

(34)

Подставляя (34) в (33) и учитывая, что смешанные компоненты е^ = 0 (г = получаем следующую систему уравнений:

(Х2)

dX1

dU2

dX2

диз

dX3

du,, + du,-

E

(X2) E

van (X2)

(35)

dXj dX,

E

= 0, i ,j = 1 ,2 ,3 , i = j.

Решением системы (35) с граничным условием u |xi=x2=x3=0 являются функции

' 4X2X1

U1 = ^

U2 = - ¿[X?+v (x| - Xi)],

(36)

и3

vqX2X3 E

где q = ddX^ = const. Функции (36), полученные путем линеаризации задачи

совпадают с результатами, полученными Л.И.Седовым [4]. Кроме того, приравнивая первую функцию (36) к соответствующей компоненте вектора перемещений (32) можно получить зависимость распределения удлинений продольных волокон по координате Х2:

0

л = 1 + «*

Так как д и Е — неотрицательные константы, получаем, как и ожидалось, что продольные волокна в срединной плоскости X = 0 не изменяют своей длины; продольные волокна, лежащие над срединной плоскостью, удлиняются, а продольные волокна, лежащие ниже срединной плоскости, сжимаются.

Список литературы

1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

2. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учебное пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.

5. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

Харламов Алексей Сергеевич ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Geometry of cross-sections of the beam at its finite pure bending

A. S. Kharlamov

Abstract. A research of the cross-sections deformations of a free beam in the course of its finite pure bending. Within the theory of elasticity the vector of movements both for final rotations of the beam's median line, and for a linear case was received.

Keywords: beam, pure bending, cross section, finite rotations, theory of elasticity.

Kharlamov Alexey ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 20.05.2014