Численный метод решения вариационных задач о минимуме волнового сопротивления для тонких тел вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI

1 9 80

№ з

УДК 533.6.011

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ О МИНИМУМЕ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

В. Д. Перминов

Предлагается численный метод решения вариационных задач о минимуме волнового сопротивления для достаточно гладких тонких тел вращения, обтекаемых под нулевым углом атаки сверхзвуковым потоком. Метод основан на аппроксимации формы искомого тела кубическими сплайнами.

Методы решения вариационных задач для тонких тел вращения, обладающих минимальным волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке, можно разбить на две группы: методы, основанные на идее контрольного контура А. А. Никольского (см., например, [1]), и методы, использующие существующие конечные выражения для сопротивления (формула Кармана для замкнутых тел, формула Паркера для головных частей и т. д., см. [2]). Методами первой группы могут быть решены лишь те вариационные задачи, функционал и ограничения которых могут быть выражены через потенциал потока на замыкающей характеристике второго семейства.

В настоящей заметке предлагается метод численного решения вариационных задач второй группы, основанный на аппроксимации формы тела кубическими сплайнами. Идея такой аппроксимации основана на свойстве сплайнов равномерно приближать и саму достаточно гладкую функцию и ее производные одновременно [3, 4]. Эффективность использования такой аппроксимации при вычислении сопротивления тонких замкнутых тел вращения была продемонстрирована в работе [5].

Покажем, как теория сплайнов может быть использована для решения вариационных задач о минимуме волнового сопротивления на примере замкнутых тонких тел вращения, обтекаемых сверхзвуковым потоком под нулевым углом атаки. Согласно Карману [2] коэффициент сопротивления такого тела можно представить в виде

здесь X — сила сопротивления, #—скоростной напор, / — заданная длина тела, 5 (л:) = тгу2 (х) — площадь сечения тела в точке с осевой координатой х [образующая тела задана уравнением у = у (х)\ х и у отнесены к /].

Построим кубический сплайн на сетке хЭр где х,- = у/г, /г = 1/М. / = 0, 1, .. . , /V, с граничными условиями 5' (0) = 5' (1) = 0 [так как у (0) =_у (1) = 0

(1)

00

для замкнутых тел] и представим его в виде суперпозиции фундаментальных сплайнов:

N-1

(2)

1=1

здесь А-ь (х) — кубический сплайн с граничными условиями А\ (0) = А\ (1) = 0,

построенный на сетке ху, б/у, у = 0, ], . . ., Заметим, что при этом искомое

тело предполагается достаточно гладким, в данном случае с непрерывными вторыми производными, т. е. оптимальные тела с изломом образующей и неограниченной второй производной из рассмотрения исключаются.

N—1

Подставляя 61" (х) = ^ А] (х) в функционал (1), получаем

¿=1

;У-1 N-1

^ ^ аи $1 *£у; (3)

/=1 /=1

ц

а1] = — | ] А\ (5) А) С1)) 1п(1 - г,) <1Ыц. (4)

о о

Так как А] (х) — кусочно-линейная функция, то коэффициенты аи можно представить в виде

Л'-1 £¿+1

- да- Е / 1"«. *'<^+1 -+ "л *+1 - 5*)]Х

/2=0 £

к

X

/г—1 Т1 / -4-1

] №/. г (^1г+1 —'П) + М1,1+Л’П — ^1)] 1П (; —^) *)+

1/=о ч

(5)

] И/, к 0?Л+1 - Ч) + /г+1 (“Ч — Чк)] 1п (? - т]) ^т) Й.

Ч

Здесь Мц = Л у (лсу) — моменты сплайна, получаемые из решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей [3]. В данном случае все интегралы, входящие в эту двойную сумму, вычисляются до конца аналитически, однако ввиду громоздкости это окончательное выражение для а/у здесь не приводится.

Таким образом, как только задана сетка Ху, 8], сопротивление замкнутого тела вращения может быть рассчитано по формулам (3) и (4). Пусть теперь необходимо решить некоторую вариационную задачу о нахождении формы замкнутого тела вращения минимального сопротивления. Рассмотрим примеры задач с различными типами дополнительных локальных или изопериметрических условий.

1. Задачи, в которых задано значение площади (или, что то же самое, радиуса) в нескольких узлах X] [1]. В этом случае вариационная задача сводится к минимизации квадратичной формы, получаемой из (3), при учете данных значений площади. Методы решения таких задач известны (см., например, [6]).

2. Задачи с изопериметрическими условиями вида J срг (х, у, у) йх = Ьь (1= \г

о

2, ..., т<^М). Если в этих условиях заменить производные соответствующими конечно-разностными выражениями (например, полученными из сплайн-аппрок-симации формы тела), интеграл — некоторой квадратурной формулой, а уу—на

Штг)1/2, то задача сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией в виде квадратичной формы [6].

Заметим, что для заданной системы узлов X] коэффициенты ау, на расчет значений которых тратится основная часть машинного времени, вычисляются один раз и могут быть использованы при решении различных вариационных задач.

Для проверки эффективности предлагаемого метода решалась задача о форме тонкого замкнутого тела вращения заданного объема с минимальным волновым сопротивлением, имеющая точное решение [2]. Сравнение полученных результатов с точным решением для нескольких значений заданного объема позволяет сделать следующий вывод: уже для сетки с N = 33 ошибка в определении формы оптимального тела не превышает 1—2%.

В заключение заметим, что аналогично могут быть решены вариационные задачи о минимуме волнового сопротивления для головных частей тонких тел вращения и тонких тел вращения с протоком.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бураков И. И., Жилин Ю. Л. Тонкие тела вращения минимального волнового сопротивления. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.

2. Теория оптимальных аэродинамических форм. М., „Мир“, 1969.

3. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., „Мир“, 1972.

4. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., „Наука“, 1976.

5. J а ш е s R. М., Р a n i с о1 V. D. Evaluation of drag intégral using cubic splines J. „Aircraft“, vol. 11, № 8, 1974.

6. Пшеничный Б. H., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М., „Наука“, 1975.

Рукопись поступила 291X11 1978 г.