CC BY
24
УДК 621.923 Смирнов Виталий Алексеевич,
к.т.н., доцент, Воткинский филиал ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»,
тел./факс: (34145) 5-15-00, e-mail: [email protected]
ЧИСЛЕННЫИ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕИНОИ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРИ ШЛИФОВАНИИ
V.A. Smirnov
NUMERICAL METHOD OF DECISION OF THE NONLINEAR TWO-DIMENSIONAL HEAT CONDUCTIVITY PROBLEM BY GRINDING
Аннотация. Рассмотрены основные особенности нелинейной двумерной задачи теплопроводности при шлифовании и существующие методы ее решения. Разработан численный метод решения поставленной задачи. Проведен анализ устойчивости и порядка аппроксимации предложенного метода. Показано, что разработанный численный метод обеспечивает высокую точность численного решения поставленной задачи.
Ключевые слова: шлифование, температура, численный метод.
Abstract. The basic features of a nonlinear two-dimensional problem of heat conductivity and existing methods of its decision are considered at grinding. The numerical method of the decision of a task in view is developed. The analysis of stability and an order of approximation of the offered method is carried out. It is shown that the developed numerical method provides high accuracy of the numerical decision of a task in view.
Keywords: grinding, temperature, numerical method.
Основной проблемой при шлифовании труднообрабатываемых материалов, например, титановых сплавов, является высокая температура в зоне контакта заготовки и шлифовального круга. Высокая температура приводит к увеличению вероятности возникновения тепловых дефектов (прижогов и микротрещин), а также к повышению физико-химической активности материала заготовки к газам воздуха. Так, например, титан начинает интенсивно поглощать водород при 250 °С, а кислород - при 400 °С, с дальнейшим повышени-
ем температуры активность титана резко возрастает. Указанные физико-химические процессы приводят к охрупчиванию поверхностного слоя заготовки и увеличению вероятности возникновения микротрещин при эксплуатации готовой детали. Как правило, шлифование является завершающим этапом технологического процесса и появление дефектов здесь недопустимо.
Прогнозирование температурного поля заготовки при шлифовании позволяет технологу назначать оптимальные режимы резания, обеспечивающие отсутствие тепловых дефектов шлифованной поверхности.
Рассмотрим плоское шлифование периферией круга. Наиболее важное для практики значение имеет контактная температура при шлифовании, так как именно она определяет качество обработанной поверхности. Поэтому действие тепловых источников от отдельных абразивных зерен представим в виде движущегося полосового источника теплоты. Распределение плотности теплового потока по длине контакта примем равномерным. Примем допущение, что температурное поле заготовки является двумерным. Рассмотрение трехмерного поля в данном случае нецелесообразно, так как значительно возрастают затраты машинного времени на вычисления [7].
Методы расчета температурного поля делятся на аналитические и численные. Существующие методы расчета температурного поля заготовки при шлифовании имеют ряд недостатков. При использовании известных аналитических методов [1, 3, 9 и др.] теплофизические свойства материала заготовки (коэффициент теплопроводности,
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
удельная теплоемкость) принимаются не зависящими от температуры (линейная задача). На практике коэффициенты теплопроводности при 20°С и 600°С для одного и того же материала могут различаться до двух раз, удельная теплоемкость для тех же температур может различаться до 1,6 раза. Таким образом, для получения достаточно точного решения необходимо рассматривать нелинейное уравнение теплопроводности. Решение нелинейных задач аналитическими методами затруднительно, поэтому используются численные методы. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности большое распространение получил метод конечных разностей (МКР) [5, 6].
Основной особенностью температурного поля при шлифовании являются большие скорости изменения температуры во времени (до 50000 °С/с) и большие скорости изменения температуры в глубину заготовки вблизи поверхности (до 1500 °С/мм), что заставляет использовать высокую детализацию расчета в глубину заготовки и обращать особое внимание на выбор метода аппроксимации уравнения теплопроводности и на точность аппроксимации граничных условий.
Расчетная схема решаемой задачи представлена на рис. 1.
- т ^ •§=1Ь т >•§ 1+
(1)
+-к (т
су { ду
дТ
Рис. 1. Расчетная схема задачи
Математическая модель, описывающая температурное поле заготовки, разработана нами в [4]. Разработанные математические модели учитывают режимы резания, характеристики и параметры шлифовального круга, механические и теп-лофизические свойства обрабатываемого материала, упругие деформации элементов технологической системы. В данной статье приведем лишь основные соотношения модели, представляющие наибольший интерес: нелинейное уравнение теплопроводности и граничное условие на верхней границе:
'ли а = 0, то — Л (Т)--= а •(Т — Т )
ч ' <5у ж (2)
дТ
ли а > 0, то — Лз(Т)--= а (г),
ду
где Т - температура; Хз(Т) - коэффициент теплопроводности материала заготовки, зависящий от температуры; сз(Т) - удельная теплоемкость материала заготовки, зависящая от температуры; рз -плотность материала заготовки; у, г - координатные оси (рис.1); т - время; q(т) - плотность теплового потока, поступающего в заготовку; аж - коэффициент теплоотдачи охлаждающей жидкости; Тж - температура охлаждающей жидкости. Зависимости ^з(Т) и сз(Т) аппроксимируются квадратичными функциями температуры.
Для расчета температурного поля по мате-магической модели (1) - (2) используем МКР. Обратимся к конечно-разностной аппроксимации граничного условия (2). Обычно при использовании МКР первую производную в условии (2) аппроксимируют конечной разностью первого порядка точности:
%=Ду '(ТГ — ТГ)+о (ду), О)
где Тк - температура в узле (7, к); 7, ], к - индексы, характеризующие пространственно-временное положение расчетного элемента, соответственно, вдоль осей г, у, т; Ду - шаг расчета по координате у.
Ранее отмечено, что в поверхностных слоях шлифуемой заготовки наблюдаются высокие скорости изменения температуры в глубину заготовки, поэтому конечная разность первого порядка точности будет приводить к возникновению значительной погрешности аппроксимации даже при достаточно малом шаге Ду. В связи с этим принято решение использовать для аппроксимации первой производной в граничном условии (2) конечную разность третьего порядка точности:
дТ = • (—1 То+1 +1Т+1 — + Т+1 ) +
ду 6Ду 4 7 (4)
+О (Ду3).
Использование конечно-разностной аппроксимации порядка точности выше третьего практически не дает выигрыша в точности решения. Формула (4) получена методом неопределенных
Современные технологии. Механика и машиностроение
коэффициентов [5]. Порядок точности формулы (4) установлен по методике, представленной в [6], с помощью разложения точного решения в узло-
гт ~ rт^k+1
вых точках в ряд Тейлора в окрестности узла 1; 0 .
Результаты расчета с использованием формул (3) и (4) приведены ниже.
Перейдем к конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности (1). Нами проанализированы несколько конечно-разностных схем, приведенных в [5, 6, 8]. В соответствии с общепринятой классификацией все схемы были разделены на явные и неявные. В результате анализа сделаны следующие выводы:
1. Использование неявных схем (неявная шеститочечная схема, схема Кранка-Николсона, схема расщепления и др.) для решения рассматриваемой задачи нецелесообразно. Для получения решения на каждом шаге по времени необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размерности 104 - 105. Неявная шеститочечная схема и схема Кранка-Николсона приводят к СЛАУ, отличающейся от трехдиагональ-ной, что не позволяет использовать метод прогонки. Для схем расщепления метод прогонки в нашем случае также не подходит, так как при использовании формулы (4) матрица коэффициентов СЛАУ отличается от трехдиагональной. Применение других методов решения СЛАУ приведет к неприемлемо большому времени расчета ввиду большой размерности задачи.
2. При использовании явных схем (явная шеститочечная схема, схема Алена-Чена, схема Франкела-Дюффорта) необходимо уделять особое внимание устойчивости и сходимости решения. Вследствие условной устойчивости или условной сходимости перечисленных методов, решение чувствительно к выбору величин шагов расчета [2, 6], при малых шагах расчета по координатам и большом шаге по времени точность полученного решения невысока. Ранее отмечено, что для решения поставленной задачи требуется высокая детализация решения вглубь заготовки, что вынуждает брать малый шаг расчета по времени. Например, для явной шеститочечной схемы при Ау=0,02 мм, Д=0,2 мм, допустимой погрешности 0,5%, необходимо брать Дт не более 0,5-10-6с, что приведет к значительным затратам машинного времени.
Таким образом, существующие конечно-разностные схемы не подходят для решения поставленной задачи. Поэтому нами разработана конечно-разностная схема для аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности следующего вида:
г-^к+1 г^к
с . р ■-
Ат
■ = Я
к
- 2 К+1 +(1 -*) Ъ ) + Т
к ,]-1
(5)
А/
т^ -2 К+1+(1 -К Ти)+т -
Аг 2
где о - параметр (0 < о < 1), при о=0 получим явную шеститочечную схему, при о=1 - схему Але-на-Чена.
Проведем анализ схемы (5). Схема является явной, так как величина Т^1 непосредственно выражается из уравнения (5). Используя метод гармонического анализа [6], можно показать, что достаточное условие устойчивости схемы имеет вид:
1 (6)
Ат<-
2а ■(!-ст)'
Ау
1
•2 + Аг2
Формула (6) показывает, что при увеличении параметра о условие устойчивости становится менее жестким. Это значит, что с увеличением о следует ожидать уменьшение погрешности неустойчивости.
Используя методику определения порядка точности конечно-разностной схемы, представленную в [6], можно показать, что схема (5) имеет порядок точности
О (Ат) + О (Ау2) + О (Аг2) + 2к
«АГМГ (7)
Формула (7) показывает следующее:
1) схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй порядок аппроксимации по координатам;
2) схема является условно сходящейся (смотри последнее слагаемое формулы (7)), то есть приближенное решение стремится к точному при одновременном уменьшении шагов по координатам и времени;
3) чем больше параметр о, тем сильнее влияние последнего слагаемого формулы (7), следовательно, увеличение о приводит к увеличению погрешности аппроксимации.
Таким образом, увеличение о с одной стороны уменьшает погрешность неустойчивости, а с другой стороны увеличивает погрешность аппроксимации. В итоге мы получаем возможность за счет выбора параметра о управлять сходимостью решения.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Сравним результаты расчета, полученные при различных значениях параметра о. Расчет температурного поля заготовки производится с помощью разработанного нами программного обеспечения «Warm». Для примера рассмотрим шлифование быстрорежущей стали Р6М5К5 шлифовальным кругом из кубического нитрида бора (КНБ) для следующих условий шлифования: удельная мощность шлифования на 1 мм высоты шлифовального круга ^уд = 72,9 Вт/мм, скорость подачи заготовки Уз = 0,05 м/с, размеры заготовки Lz x Ly = 20 x 2 мм, Az = 0,2 мм. В расчете используется разработанная конечно-разностная схема (5) и аппроксимация граничного условия разностью третьего порядка точности (4). Проведем расчет для различных шагов Ay. На рис. 2 представлена зависимость максимальной расчетной температуры заготовки от шага Ay при At = 10-5 c для пяти разных значений о = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1. На рис. 3 та же зависимость для Дт = 5-10"6 с.
Рис. 2. Зависимость Tmax{Sy) для различных значений а при Дт = 10-5 c
Рис. 3. Зависимость Ттах(Ду) для различных значений а при Дт = 510-6 с
На рис. 2 и рис. 3 хорошо видно влияние неустойчивости (о=0) и влияние условной сходимости (о=1). Неустойчивость «завышает» решение,
условная сходимость «занижает» решение. Особенно велика разница между схемами с различными о на малых шагах по координатам. Решения, полученные при различных значениях о, имеют различную чувствительность к выбору шагов расчета. Среди представленных на рис. 2 и рис. 3 решений при о=0,5 наблюдается наименьшая чувствительность решения к изменению Ду и к изменению Дт. По всей видимости, это связано с тем, что при о=0,5 погрешности неустойчивости и условной сходимости практически полностью уничтожают друг друга.
Для иллюстрации точности разработанного метода сравним разброс между максимальным и минимальным значениями Ттах для о=0, 0,25, 0,5, 0,75, 1 при следующих шагах расчета: Ду = 0,0125 мм и 0,025 мм; Дт=5-10"6 с и 10-5 с (табл. 1).
Таблица 1 Точность разработанного численного метода
т, с Разброс значений Tmax, 0С при о=
0 0,25 0,5 0,75 1
510-6 39,95 17,78 0,69 16,3 29,62
10-5 98,92 38,68 1,65 30,33 51,82
Таблица 1 показывает, что разброс значений Ттах при о=0,5 на два порядка меньше, чем при о=0 и о=1. Следовательно, разработанный численный метод обеспечивает высокую точность численного расчета температурного поля заготовки.
Оценим степень влияния конечно-разностной аппроксимации граничного условия на верхней границе на точность получаемых результатов. Для этого сравним результаты расчета при использовании формул (3) и (4). На рис. 4 показаны зависимости Ттах(Ду) для о=0,25; 0,5; 0,75. Пунктирными линиями показаны результаты, полученные с использованием формулы (3), сплошными линиями - с использованием формулы (4).
Рис. 4. Влияние порядка аппроксимации граничного условия
Современные технологии. Механика и машиностроение
Рис. 4 показывает, что при аппроксимации разностью первого порядка получается завышенный результат (пунктирные линии на рис. 4). Различие между результатами расчета с использованием формул (3) и (4) варьируется в пределах 1020 °С в зависимости от величины шага Ду. Следовательно, использование аппроксимации третьего порядка точности взамен первого позволяет повысить точность расчета на 1,5 - 3%.
Таким образом, в статье разработан численный метод, обеспечивающий высокую точность расчета в диапазоне шагов, используемых на практике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алмазно-абразивная обработка материалов. Справочник под ред. д-ра техн. наук проф. А.Н. Резникова. - М., Машиностроение, 1977.
2. Киселев В.С., Ковальногов В.Н. Теплофизический анализ концентрированных операций шлифования. - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - 140 с.
3. Сипайлов В.А. Тепловые процессы при шлифовании и управление качеством поверхности. - М.: Машиностроение, 1978. - 167 с., ил.
4. Смирнов В.А. Шлифование прерывистыми кругами с упругодемпфирующими элементами. - СПб.: Политехника, 2009. - 91 с.: ил. ISBN 978-5-73250931-1.
5. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с. - ISBN 5-92210153-6.
6. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 59221-0479-9.
7. Хусаинов А.Ш. Повышение производительности бездефектного шлифования заготовок клиновидных изделий: дис. ... д-ра техн. наук: 05.03.01 Ульяновск, 2006. - 425 с.
8. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Уравнение теплопроводности. Режим доступа: http://crecs.ru/ru/numlabs2/Heat_index.html
9. Якимов А.В. Прерывистое шлифование. Издательское объединение «Вища школа», 1986. - 176 с.
УДК 621.3 Пыхалов Анатолий Александрович,
д.т.н., профессор ИрГУПС, тел.: 8964И 45025 Пашков Виктор Павлович,
ассистент, соискатель ИрГТУ, тел.: 89647310675
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ТВЁРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИКСАЦИИ КОСТИ ПРИ ПЕРЕЛОМАХ
A.A. Pykhalov, V.P. Pashkov
USE OF THE METHOD OF FINAL ELEMENTS AND CONTACT PROBLEM OF HARD DEFORMING FRAME WHILE MODELING BONES FRACTIONS FIXATION
Аннотация. Рассмотрены актуальные вопросы создания математических моделей сборных конструкций «кость-имплантат» на примере фиксации переломов костей внутренними средствами фиксации.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, контактная задача, модуль упругости.
Abstract. Urgent questions of creating mathematical models of assembled constructions « bone-implant» by the example of bone fractures fixation by inner means of fixation are considered.
Keywords: mathematical modeling, finite element method, contact problem, modulus of elasticity.
