CC BY
38
УДК 519.642
DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-2
Ю. Г. Смирнов, В. Э. Олейников, С. Н. Куприянова, В. А. Галимская, Е. А. Гундарев, А. В. Голубева
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАБОТЫ СЕГМЕНТОВ ЛЕВОГО ЖЕЛУДОЧКА1
Аннотация.
Актуальность и цели. Оценка работы каждого сегмента левого желудочка характеризует эффективность сокращения миокарда и фактический сердечный выброс левого желудочка. Целью настоящего исследования является разработка и обоснование новых показателей работы левого желудочка по данным продольной, радиальной и циркулярной деформаций, полученных с помощью 3D-cпекл-эхокардиографии.
Материалы и методы. Сегментарные данные были получены с помощью ультразвукового исследования аппаратом «Vivid™ E95» в 2D- и в 3D-режимах. Для расчета работы отдельных сегментов левого желудочка реализован численный метод.
Результаты. В данной работе изучена взаимосвязь между деформационными характеристиками левого желудочка и его объемными показателями. Полученные показатели работы более точно отражают систолическую функцию левого желудочка.
Выводы. Предложенные показатели эффективности работы левого желудочка дают более точную оценку состояния миокарда. Математический аппарат открывает уникальные возможности для дальнейшего изучения сократительной функции миокарда.
Ключевые слова: сегментарная продольная деформация, сегментарная циркулярная деформация, сегментарная радиальная деформация, функция миокарда, 3Б-спекл-эхокардиография.
Yu. G. Smirnov, V. E. Oleynikov, S. N. Kupriyanova, V. A. Galimskaya, E. A. Gundarev, A. V. Golubeva
NUMERICAL METHOD FOR CALCULATING THE SEGMENTS' WORK OF THE LEFT VENTRICLE
Abstract.
Background. Estimation of the work of each segment of the left ventricle (LV) characterizes the effectiveness of myocardial contraction and the actual cardiac output of the LV. The aim of this study is to develop and justify new indicators based on longitudinal, radial and circular deformations obtained using 3D speckles echo-cardiography.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта «Биомеханика сердца у здоровых и больных острым инфарктом миокарда, исследуемая методом 3D-шекл-эхокардиографии» (№19-315-90031\19).
© Смирнов Ю. Г., Олейников В. Э., Куприянова С. Н., Галимская В. А., Гундарев Е. А., Голубева А. В., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Materials and methods. Segmented data was obtained using an ultrasound machine «Vivid™ E95» in 2D- and 3D-modes. To calculate the operation of individual LV segments, a numerical method is implemented.
Results. In this paper, studied the relationship between the deformation characteristics of the left ventricle and its volumetric indices. The obtained performance indicators can more accurately reflect LV systolic function.
Conclusion. The proposed indicators of the effectiveness of the LV provide a more accurate assessment of the state of the myocardium. The mathematical apparatus opens up unique opportunities for further study of the contractile function of the myocardium.
Keywords: segmental longitudinal strain, segmental circumferential strain, segmental radial strain, myocardial function, 3D speckle echocardiography.
На сегодня наиболее доступным методом диагностики контрактильной функции миокарда левого желудочка (ЛЖ) является трансторакальная эхокар-диография (эхоКГ). Стандартный протокол эхоКГ исследования не дает представления о сократительной функции сердца. Косвенным показателем кон-трактильности ЛЖ является фракция выброса (ФВ). Этот показатель является глобальным индексом без учета сегментарных взаимодействий, которые вносят немаловажный вклад в насосную функцию сердца. ФВ ЛЖ может зависеть от многих факторов: объема желудочка, клапанной регургитации, пред- и постнагрузки и др. Кроме того, методика определения ФВ учитывает преимущественно радиальное смещение миокарда, практически оставляя без внимания продольную и циркулярную деформацию. Определение ФВ методом Simpson является полуколичественным, зависит от оператора и требует оптимальной визуализации верхушки сердца и границы эндокарда.
Сократительная способность миокарда является одним из важнейших компонентов, обеспечивающих насосную функцию сердца.
Напряжение является мерой деформации сегмента миокарда по отношению к его первоначальному размеру. Величина деформации (англ. strain) -показатель, который характеризует степень изменения линейного размера сегмента миокарда в систолу по отношению к его конечно-диастолическому размеру [1]. Он выражается в процентах и определяется по формуле
где КСРс - конечно-систолический размер сегмента миокарда; КДРс - ко-нечно-диастолический размер сегмента миокарда.
Скорость деформации - скорость, при которой происходит деформация миокарда. Это эквивалентно изменению деформации на единицу времени.
Деформация сердца, как и любого трехмерного объекта, происходит в трех плоскостях (рис. 1). В эхокардиографии показатели деформации тради-
Введение
Деформация миокарда
£ = (КСРс -КДРс) / КДРс 100 %,
(1)
(2)
dt
ционно определяют в продольной (от верхушки до основания), радиальной (по радиусу к центру) и циркулярной (вдоль по периметру окружности) плоскостях .
Рис. 1. Плоскости деформации левого желудочка: £ - продольная деформация (Longitudinal strain); £r - радиальная деформация (Radial strain); £с - циркулярная деформация (Circumferential strain)
Продольная деформация £l представляет собой деформацию миокарда, направленную от основания до верхушки сердца. Во время систолы волокна миокарда желудочков укорачиваются с поступательным движением от основания к верхушке.
Радиальная деформация представляет собой деформацию миокарда в радиальном направлении, т.е. по направлению к центру полости левого желудочка, и, таким образом, отражает утолщение и истончение стенок левого желудочка при движении во время сердечного цикла.
Циркулярная деформация представляет собой укорочение волокон миокарда левого желудочка по циркулярному периметру в плоскости короткой оси сердца.
Одновременная деформация в разных плоскостях - это сложный процесс, изучение которого необходимо для объяснения различных закономерностей деформации миокарда. Во время систолы левый желудочек укорачивается (продольное и циркулярное измерение, которое осуществляется за счет работы внутренних и наружных продольных волокон) и скручивается вдоль своей длинной оси. При этом стенка левого желудочка утолщается (радиальное измерение, которое осуществляется за счет работы поперечных волокон). Изучение такой упрощенной модели является важнейшим этапом математического моделирования работы ЛЖ.
Работа ЛЖ в целом представляет собой синхронную деформацию во всех плоскостях. Что говорит о необходимости исследования функции сократимости миокарда в разных направлениях. Математическая трехмерная модель должна принимать во внимание сложную пространственную ориентацию волокон [2, 3]. Для точной оценки деформации сегментов ЛЖ в трех
Диастола
Систола
направлениях был внедрен трехмерный спекл-трекинг (3DSTE), который является более физиологически обоснованным инструментом для анализа сложной механики ЛЖ, поскольку преодолевает присущие 2DSTE ограничения.
Расчет работы отдельного сегмента ЛЖ
Остается малоизученным вопрос зависимости деформационных характеристик ЛЖ от его объемных показателей. Именно показатель работы ЛЖ может отражать зависимость «объем - деформация», основанный на анализе взаимосвязи «петля давления - объем» и «давление - деформация». Показатели работы могут более тонко отражать систолическую функцию ЛЖ при недостаточной информативности ФВ и GLS.
В программном обеспечении для вычисления работы ЛЖ используются подходы Russell K. и et al. [4]. Полезная работа Wcons (constructive work) включает определение положительной работы отдельных сегментов при укорочении волокон миокарда во время систолы и отрицательной работы при удлинении волокон миокарда во время изоволюметрического расслабления. Аналогично, удлинение волокон во время систолы и их укорочение во время изоволюметрического расслабления считается бесполезной и обозначается Wwast (wasted work). С помощью программного обеспечения генерируются числовые и графические значения показателей работы ЛЖ:
(Wtotal, Wpositive, Wnegative, Wcons, Wwast) .
Представим работу сегмента A(t) как функцию, зависящую от времени. Пусть Plv (t) - это функция, характеризующая давление в ЛЖ в момент времени t, пусть e(t) - деформация сегмента.
Скорость деформации i-го сегмента в момент времени t:
v'M=4(t). (3)
Сегментарная мощность в момент времени t определяется как произведение давления левого желудочка и скорости сокращения сегмента. В здоровом сердце все сегменты сокращаются почти одновременно. Все сегменты ЛЖ сокращаются в систолу. Однако в ЛЖ с региональными нарушениями в систолу происходят сегментарные растяжения. Для сравнения работы между сегментами необходима информация как о степени укорочения, так и о давлении Plv (t) во время укорочения. Функция, характеризующая давление в левом желудочке, получена неинвазивным методом Короткова. Кривая давления ЛЖ определялась с помощью эмпирической эталонной кривой, которая была скорректирована в соответствии с продолжительностью изоволюметрической фазы и фазы выброса, определенной с помощью эхокардиографии [5].
Мгновенная мощность i-го сегмента определяется формулой
Pг (t ) = vi (t)-PLv (t)=-^(t)-PLv (t). (4)
Работа сегмента рассчитывается интегрированием функции мощности на интервале [0, t]. Работа i-го сегмента рассчитывается по формуле
^ ) = (ОЛ' = -}^(О • Р[у (t')dt', (5)
0 0
где ^ - переменная интегрирования.
При вычислении работы на ЭВМ для аппроксимирования площади под кривой мгновенной мощности воспользуемся правилом трапеций. Пусть Р = Ро, Р\, Р2,---, Рп - это заданные ординаты, а t = t2,.., tn - соответствующие значения абсциссы функции Р1 (). Тогда элементарная формула площади трапеций дает следующее выражение [6]:
А = 2(Ро + Р1)( - Чо ) + ••• + "2(Рп-1 + Рп )(п - tn-l ) . (6)
Площадь у-й трапеции находится следующим образом:
А =1 (( + Р) - tH). (7)
Накопленная работа 1-го сегмента определяется формулой
А1 (^ ) = £ А . (8)
'=0
Погрешность метода:
Лt з
Л (Р )= Н Р ^ (9)
\_а,Ь\ 12
где Лt = тах ( - ti-1).
1
Таким образом, мы получили функцию накопленной работы отдельного сегмента за один сердечный цикл. Деформационные кривые отдельных сегментов, которые используются при расчете работы левого желудочка, рассматриваются в разные фазы сердечного цикла, в частности асинхронного и изоволюметрического сокращения, фазы выброса и изоволюметрического расслабления.
Расчет работы на основе сегментарных данных, полученных с помощью 3Б8ТЕ
Трехмерный спекл-трекинг (3Б8ТБ) позволяет одномоментно вычислять все параметры трехмерной деформации ЛЖ и тем самым избегать ошибок, вызванных изменчивостью сердечного ритма и возникающих при необходимости многократного получения данных, как в случае 2Б8ТБ [7]. Используя 3Б8ТБ-анализ, можно определить количественное значение продольной, циркулярной, радиальной деформации, а также новый параметр - площадь деформации, который объединяет как продольные, так и циркулярные сокращения и отражает относительное изменение площади ЛЖ. Данные параметры позволяют моделировать работу ЛЖ в трех направлениях одновременно.
По техническим причинам получение значений давления в ЛЖ в 3Б8ТБ невозможно. Данное ограничение обходится путем синхронизации функции давления ЛЖ, полученной с помощью 2Б8ТБ, и функции деформации каждого сегмента, полученной с помощью 3Б8ТБ. Объединение данных эхоКГ, полученных в 2Б8ТБ и в 3Б8ТБ, возможно, если и в 2Б- и в 3Б-режимах нам известна хотя бы одна общая точка момента времени открытия (закрытия) одного из клапанов ЛЖ.
По функции объема ЛЖ в 3Б можно определить момент времени, при котором происходит закрытие аортального клапана (ЛУС). В момент ЛУС значение объема ЛЖ будет минимальным. Таким образом, становится известным момент ЛУС в 3Б.
Пусть время в 3Б-режиме задано на промежутке tзd е [а,Ь], а в 2Б - на
t2d е [с, d]. Найдем коэффициент сжатия временной шкалы в данных 2Б следующим образом:
^ =. (,„)
а - с
Найдем аналогично коэффициент сжатия временной шкалы в данных 3Б:
К3а = ^^. (И)
Ь - а
Соотношение временных шкал в 2Б- и в 3Б-режимах:
К, = ^. (12)
а - Ь
С помощью полученных значений К2а, К3а, Kt мы можем установить взаимно однозначное соответствие между значениями времени в данных, полученных с помощью 2Б8ТБ и 3Б8ТБ формулой
tзd +с. (13)
К3а
По формуле (13) мы можем синхронизировать функцию давления ЛЖ Р^у ^) из 2Б8ТБ с сегментарными данными из 3Б8ТБ.
На рис. 2 представлен расчет работы по сегментарным данным 3Б8ТБ на примере сегмента циркулярной деформации. Работа представлена как функция, зависящая от времени на протяжении всего сердечного цикла. По формуле (3) получим скорость сегментарного укорочения (скорость деформации). Далее по формуле (4) определим мгновенную мощность и по формуле (5) найдем работу сегмента.
Найдем неизвестные моменты времени закрытия (открытия) клапанов ЛЖ в 3Б с помощью данных в 2Б.
Момент открытия аортального клапана (ЛУО):
К3а- (ЛУО2а - с) ЛУО3а -М-1 + а. (14)
К 2а •К
Момент закрытия митрального клапана (MVC):
K3d ■ (MVC2d - с)
MVC3d =
K2d • Kt
+ a.
(15)
Рис. 2. Этапы вычисления работы сегмента по сегментарным данным 3DSTE. LVP (Left Ventricle Pressure) - давление в ЛЖ
Момент открытия митрального клапана (MVO):
K3d-(MVO2d - с)
MVO3d =
K2d • Kt
+ a.
(16)
Показатели эффективности работы ЛЖ
Пусть №ро5 - общая положительная работа, сумма всех работ, выполненных в ходе укорочения сегмента, - общая отрицательная работа,
сумма всех работ, выполненных при удлинении сегмента. На рис. 3 показаны позитивная работа и негативная работа.
Рис. 3. Позитивная и негативная работа
Глобальный WWR (wasted work ratio) рассчитывается из суммы работ по всем сегментам следующим образом :
Yw
wwrg = tt neg .
YW
(17)
pos
Работа, способствующая систолическому выбросу для каждого сегмента:
Anet Wpos
Wn
neg ■
WWR для каждого сегмента:
WWRг =-
wn
neg
W1
pos
(18)
(19)
Полученные сегментарные кривые работы будем рассматривать в течение интервала времени, охватывающего моменты от закрытия митрального клапана до открытия митрального клапана. Причина этого заключается в том, что потери работы могут возникать при растяжении сегментов в изоволюмет-рических фазах, особенно в сердцах с дисинхронной схемой сокращения.
Работа /-го сегмента в фазу выброса (рис. 4) W/ (Ejection work) определяется следующей формулой:
Wj = Ai (AVC)- Ai (AVO).
(20)
Time (s)
Рис. 4. Работа ЛЖ на интервале времени от AVO до AVC (в фазу выброса)
Полная работа сегмента Щ7оа1 + Wneg - сумма положительной и
отрицательной работы сегмента, взятых по величине на временном промежутке сердечного цикла от МУС до МУО.
Тогда индекс работы 7-го сегмента в фазу выброса 1определяется соотношением
eJ
Г. -.
eJ 1 Wtotal
(21)
Для расчета индекса работы левого желудочка в фазу выброса Iej (Index of LV ejection work) предложена формула
IeJ —
ee W
(22)
total
где Wej - работа левого желудочка в фазу выброса (total ejection work of LV), определяемая следующей формулой:
18
Wej = Ywj ; (23)
i=1
Wtotal - работа ЛЖ на временном промежутке от MVC до MVO (total work of LV), определяемая формулой
18
(24)
Wtotal = ^Wtotal. 1=1
В работах [7-9] определение полезной работы Wcons (constructive work) включает положительную работу отдельных сегментов при укорочении воло-
кон миокарда во время систолы и отрицательную работу при удлинении волокон миокарда во время изоволюметрического расслабления. Аналогично, положительная работа во время систолы и отрицательная во время изоволюмическо-го расслабления считается бесполезной и обозначается Wwast (wasted work).
На рис. 5 представлены графические результаты сравнения показателей WtOtai, Wlej с традиционным показателем Wlcons в отдельных сегментах левого желудочка у здорового лица А.
Рис. 5. Сравнительная характеристика показателей , W1ej
с традиционным показателем работы Wlcons в отдельных сегментах левого желудочка у здорового лица А
На рис. 6 представлены графические результаты сравнения показателей W¡otal, Wlej с традиционным показателем Wlcons в отдельных сегментах ЛЖ у пациента через 3 месяца после 8ТЕМ1.
Рис. 6. Сравнительная характеристика показателей W¡otal, W1ej
с традиционным показателем работы WCons в отдельных сегментах ЛЖ у пациента В через 3 месяца после 8ТЕМТ
Из рис. 5 и 6 видно, что для здорового человека показатели Wlej и Wlcons
близки по значениям, а для больного STEMI сильно различаются, особенно в пораженных сегментах (см. сегменты BL, BAS, рис. 6).
Отрицательные значения Wl и I'ej сегментов BAS и BL у пациента B
свидетельствуют об удлинении волокон в этих сегментах в период, когда неповрежденные сегменты укорачиваются. Работа, выполняемая пораженными сегментами у пациента B, является потерянной, что говорит о непродуктивной работе сегмента.
Заключение
Рассматриваемые показатели характеризуют эффективную работу сегментов, выполняемую в фазу выброса крови из ЛЖ, что позволяет более детально изучить сократимость сегментов ЛЖ. Реализован численный метод нахождения работы сегментов ЛЖ. Скорость деформации находится путем численного дифференцирования сегментарных кривых двухсторонней разностью. Интегрирование мощности для нахождения работы проводится методом трапеций.
Библиографический список
1. Marwick, T. H. Measurement of strain and strain rate by echocardiography: ready for prime time? / T. H. Marwick // J. Am. Coll. Cardiol. - 2006. - Vol. 47 (7). -P. 1313-1327.
2. Three-dimensional speckle-tracking echocardiography: benefits and limitations of integrating myocardial mechanics with three-dimensional imaging / D. Muraru, A. Niero, H. Rodriguez-Zanella, D. Cherata, L. Badano // Cardiovasc. Diagn. Ther. - 2018. - № 8 (1). - P. 101-117.
3. Cardiac mechanics revisited: the relationship of cardiac architecture to ventricular function / G. Buckberg, J. I. Hoffman, A. Mahajan et al. // Circulation. - 2008. - № 118. -P. 2571-2587.
4. Assessment of wasted myocardial work: a novel method to quantify energy loss due to uncoordinated left ventricular contractions / K. Russell, M. Eriksen, L. Aaberge, N. Wilhelmsen, H. Skulstad, O. Gjesdal et al. // Am J Physiol Heart Circ Physiol. -2013. - Vol. 305 (7). - P. 996-1003.
5. A novel clinical method for quantification of regional left ventricular pressure-strain loop area: a non-invasive index of myocardial work / K. Russell, M. Eriksen, L. Aaberge, N. Wilhelmsen, H. Skulstad, E. W. Remme, K. H. Haugaa, A. Opdahl, J. Gunnar Fjeld, O. Gjesdal, T. Edvardsen, O. A. Smiseth // European Heart Journal. -2012. - Vol. 33, iss. 6. - P. 724-733.
6. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - Москва : Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 640 с.
7. Effects of frame rate on three-dimensional speckle-tracking-based measurements of myocardial deformation / C. Yodwut, L. Weinert, B. Klas, et al. // J. Am. Soc. Echocar-diogr. - 2012. - Vol. 25. - P. 978-85.
8. Boe, E. Myocardial work by echocardiography: a novel method ready for clinical testing / E. Boe, H. Skulstad, O. A. Smiseth // Eur Heart J Cardiovasc Imaging. - 2019. -Vol. 20 (1). - P. 18-20.
9. Left ventricular end-systolic volume is a more sensitive marker of acute response to cardiac resynchronization therapy than contractility indices: insights from an experimental study / E. Boe, O. A. Smiseth, P. Storsten, O. S. Andersen, J. Aalen, M. Eriksen et al. // Europace. - 2019. - Vol. 21 (2). - P. 347-355.
10. Галимская, В. А. Глобальная деформация миокарда левого желудочка у больных с сохраненной и со сниженной фракцией выброса. / В. А. Галимская, А. В. Голубева, С. Н. Куприянова // РКО для профессионалов и пациентов - от первичной помощи к новейшим технологиям : материалы Рос. нац. конгр. кард. 2019 (с междунар. уч.). - Екатеринбург, 2019. - С. 258.
11. Oleynikov, V. E. Use of the Speckle tracking method for determining global parameters of heart contractility in healthy individuals / V. E. Oleynikov, V A. Galimskaya, S. N. Kupriyanova, N. V. Burko // MethodsX. - 2018. - Vol. 5. -P. 125-135.
12. Galimskaya, V. Myocardial deformation in STEMI patients with different types of left ventricle remodeling / V. Galimskaya, A. Golubeva, S. Kupriyanova, V. Oleinikov // European Journal of Heart Failure. - 2018. - Vol. 20 (suppl. S1). - P. 42.
13. Новые характеристики продольной сократимости, определенные методом Speckle Tracking / В. Э. Олейников, Ю. Г. Смирнов, В. А. Галимская, С. Н. Куприянова, Л. И. Салямова, А. В. Голубева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Медицинские науки. - 2019. - № 1 (49). - С. 27-39. - DOI 10.21685/2072-3032-2019-1-3.
References
1. Marwick T. H. J. Am. Coll. Cardiol. 2006, vol. 47 (7), pp. 1313-1327.
2. Muraru D., Niero A., Rodriguez-Zanella H., Cherata D., Badano L. Cardiovasc. Diagn. Ther. 2018, no. 8 (1), pp. 101-117.
3. Buckberg G., Hoffman J. I., Mahajan A. et al. Circulation. 2008, no. 118, pp. 25712587.
4. Russell K., Eriksen M., Aaberge L., Wilhelmsen N., Skulstad H., Gjesdal O. et al. Am J Physiol Heart Circ Physiol. 2013, vol. 305 (7), pp. 996-1003.
5. Russell K., Eriksen M., Aaberge L., Wilhelmsen N., Skulstad H., Remme E. W., Haugaa K. H., Opdahl A., Gunnar Fjeld J., Gjesdal O., Edvardsen T., Smiseth O. A. European Heart Journal. 2012, vol. 33, iss. 6, pp. 724-733.
6. Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel'kov G. M. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Binom. Laboratoriya znaniy, 2003, 640 p. [In Russian]
7. Yodwut C., Weinert L., Klas B. et al. J. Am. Soc. Echocardiogr. 2012, vol. 25, pp. 978-85.
8. Boe E., Skulstad H., Smiseth O. A. Eur Heart J Cardiovasc Imaging. 2019, vol. 20 (1), pp. 18-20.
9. Boe E., Smiseth O. A., Storsten P., Andersen O. S., Aalen J., Eriksen M. et al. Europa-ce. 2019, vol. 21 (2), pp. 347-355.
10. Galimskaya V. A., Golubeva A. V., Kupriyanova S. N. RKO dlya professionalov i patsientov - ot pervichnoy pomoshchi k noveyshim tekhnologiyam: materialy Ros. nats. kongr. kard. 2019 (s mezhdunar. uch.) [Russian Society of Cardiology for professionals and patients - from primary care to the latest technology: proceedings of the Russian national congress of cardiology 2019 (with international participation)]. Ekaterinburg, 2019, p. 258. [In Russian]
11. Oleynikov V. E., Galimskaya V. A., Kupriyanova S. N., Burko N. V. MethodsX. 2018, vol. 5, pp. 125-135.
12. Galimskaya V., Golubeva A., Kupriyanova S., Oleinikov V. European Journal of Heart Failure. 2018, vol. 20 (suppl. S1), p. 42.
13. Oleynikov V. E., Smirnov Yu. G., Galimskaya V. A., Kupriyanova S. N., Salyamova L. I., Golubeva A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Meditsinskie nauki [University proceedings. Volga region. Medical sciences]. 2019, no. 1 (49), pp. 27-39. DOI 10.21685/2072-3032-2019-1-3. [In Russian]
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Smirnov Yuriy Gennad'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head
of the sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
(40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Олейников Валентин Эливич доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой терапии, Медицинский институт, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Oleynikov Valentin Elivich Doctor of medical sciences, professor, head of the sub-department of therapeutics, Medical Institute, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Куприянова Светлана Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Kupriyanova Svetlana Nikolaevna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Галимская Вера Александровна
кандидат медицинских наук, доцент, кафедра терапии, Медицинский институт, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Galimskaya Vera Aleksandrovna Candidate of medical sciences, associate professor, sub-department of therapeutics, Medical Institute, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Гундарев Евгений Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Gundarev Evgeniy Andreevich Postgraduate student, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Голубева Алена Владимировна
ассистент, кафедра терапии, Медицинский институт, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Golubeva Alena Vladimirovna Assistant, sub-department of therapeutics, Medical Institute, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Численный метод расчета работы сегментов левого желудочка / Ю. Г. Смирнов, В. Э. Олейников, С. Н. Куприянова, В. А. Галимская, Е. А. Гундарев, А. В. Голубева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 1 (53). -С. 22-35. - БОТ 10.21685/2072-3040-2020-1-2.
