CC BY
10Численное решение дифференциальных уравнений 25
Секция 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНцИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методы вычисления спектра дифференциальных операторов
Э. А. Бибердорф1,2, А. М. Блохин1,2, А. А. Косачев1, Н. И. Попова3 1Новосибирский государственный университет 2Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН 3Институт ядерной физики им. Г. И. Будкера СО РАН Email:[email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10047
В данной работе развивается идея использования метода дихотомии матричного спектра для исследования устойчивости течений [1-2]. Этот метод обладает целым рядом очевидных преимуществ. Например, его применение позволяет исследовать интересные с практической точки зрения собственные значения отдельно от остального спектра, а также определять их зависимость от параметров исходной задачи.
Также для целей исследования спектра дифференциальных операторов предлагаются методы, основанные на вычислении либо фундаментальной матрицы решений, либо функции Грина соответствующих краевых задач. Сравнение этих проведено на модельных примерах.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00791).
Список литературы
1. Бибердорф Э.А., Блинова М.А., Попова Н.И. Модификации метода дихотомии матричного спектра и их применение к задачам устойчивости // СибЖВМ, 2018, Т. 21, № 2. С. 139-153
2. Блинова М.А., Попова Н.И., Бибердорф Э.А. Приложение дихотомии матричного спектра к исследованию устойчивости течений // Труды конференции "Марчуковские научные чтения - 2017". С. 106-112
Численный анализ стационарных неизотермических течений полимерной жидкости в каналах с тонкими включениями
А. М. Блохин1,2, Е. А. Круглова2,3, Б. В. Семисалов2,3
1Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
2Институт вычислительных технологий СО РАН
3Новосибирский государственный университет Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10048
Для описания течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости использована реологическая мезоскопическая модель Покровского - Виноградова [1]. Дано обобщение модели для учета температурных и электромагнитных воздействий. Для расчета стационарных двумерных течений, схожих по своим качественным свойствам с течениями Пуазейля, получена система разрешающих квазилинейных уравнений для скорости течения, температуры и магнитного поля. На основе нелокального алгоритма [2], использующего приближения без насыщения, проведен численный анализ течений в каналах с сечениями прямоугольной, круговой и эллиптической форм с тонкими включениями - нагревательными элементами. Даны оценки погрешности численных решений, см. [3].
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-71-10135). Список литературы
1. Pokrovskii V. N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics. Springer, Berlin, 2nd ed., 2010.
2. Семисалов Б. В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана-Дирихле с контролем погрешности // Выч. мет. программирование. 2016. Т. 17, №4. С. 500-522.
26
Секция 2
3. Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Оценка двух компонент погрешности численного решения задачи о неизотермическом течении полимерных растворов между двумя соосными цилиндрами // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2018. Т. 58, № 7. C. 1099-1115.
Об использовании сопряженных операторов для численного решения трехмерных уравнений неразрывности и переноса
А. В. Вяткин\ Е. В. Кучунова2
1Институт вычислительного моделирования СО РАН
2Сибирский федеральный университет Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10049
В работе представлен явный численный метод из семейства полулагранжевых методов для решения трехмерного уравнения неразрывности. Алгоритм основан на расщеплении трехмерной задачи на три одномерных задачи и имеет первый порядок сходимости численного решения задачи к точному решению. На основе представленного численного метода сформирована матрица для поиска численного решения. С использованием сопряженных операторов теоретически подтверждено, что использование сопряженной матрицы позволяет построить численное решение переноса. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают сходимость построенного таких образом численного решения уравнения переноса к точному решению.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда науки в рамках научного проекта: "Численное моделирование формирования квазиустойчивых фигур, образованных многокомпонентой газовой смесью, вытекающей из промышленной дымовой трубы", проекта № 18-41-243006.
Применение коллокации в методе конечных элементов для трехмерного уравнения реакции - диффузии
Л. В. Гилева, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10050
Построены новые кубические прямоугольные эрмитовы элементы (двумерные и трехмерные), степени свободы которых содержат значения функции и ее вторых производных в узлах. Это позволяет применить коллокацию при решении некоторых задач, например, уравнения реакции-диффузии [1]. В результате удается исключить часть неизвестных из системы уравнений и тем самым уменьшить ее размерность. Доказано, что при этом сохраняется порядок сходимости приближенного решения, а именно, четвертый порядок в среднеквадратичной норме. Показано, что матрица редуцированной системы уравнений также является матрицей системы уравнений метода конечных элементов, но для элементов с меньшим числом степеней свободы. Это существенно упрощает построение редуцированной матрицы, поскольку ее элементы могут быть вычислены непосредственно, без использования элементарных преобразований строк исходной матрицы. Проведены численные эксперименты для двумерного уравнения реакции-диффузии с переменным коэффициентом и для трехмерного уравнения Пуассона. Их результаты подтверждают теоретические оценки.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00270-а).
Список литературы
1. L. Gileva, E. Karepova, V. Shaidurov. The Application of a Special Hermite Finite Element Coupled with Collocation to the Diffusion Equation // Lecture Notes in Computer Science, 2019. V 11386, P. 44-55.
