Численный анализ пространственного пограничного слоя на трехосном эллипсоиде произвольной ориентации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIX 19 8 8

№ 2

УДК 532.526

532.526 — 3

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ТРЕХОСНОМ ЭЛЛИПСОИДЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИИ

И. В. Петухов, С. Н. Селиверстов

На основе численного расчета исследована роль кривой Гр нулевой геодезической кривизны линий тока внешнего течения в структуре пространственного пограничного слоя на умеренно вытянутом трехосном эллипсоиде произвольной ориентации относительно набегающего потока несжимаемой жидкости. Показано, что на кривой ГР, самопересекаю-щейся в критической точке Р, профили скорости близки к плоским; плоскости профилей ортогональны изобарам; векторы скорости и напряжения трения отклоняются в противоположные стороны от этих плоскостей по разные стороны от Гна точках пересечения кривой Гр с линией отрыва отрывные профили скорости являются строго плоскими и их плоскости ортогональны линии отрыва; в решении для пограничного слоя линия отрыва является особой линией нулевого напряжения трения и близка к изобаре, соответствующей отрывной изобаре сферы. Сделан вывод, что использование кривых Г? допускает расчет пространственного пограничного слоя на заданной равномерной сетке по продольным координатам при движении по узлам от одной ветви кривой Гр к другой в сторону наклона векторов скорости.

1. Исходная меридиональная система координат. Выделим на поверхности эллипсоида

у2 і»2

— + — + —=1; 0 <а<Ь<с

а* ь* с*

эллипсоидальную систему координат а2, р2

+ + = Р; 0 <а'<*<Ъ<$<с.

Эллипсоидальная система образует на Б сетку линий кривизны, направления которых совпадают с главными направлениями на Р. Введем прямоугольную систему координат г], £ такую, что оси £ и т} параллельны главным направлениям на Р в критической точке Р. Эту систему можно определить следующим образом:

? = ^совб 4- о-р соэ 'Р • вігі 6, ті = г\р соэ 9 -Ь $р вій у-віп 0; С = Срсозб

Здесь и ниже индексом р обозначены величины в точке Р; |р, г)Р, положительны. Преобразование к каноническим координатам имеет вид

= COS 6 + (—Р ^Р 9" COS tp Ч--^ У1р— sin <р ) sin 6;

Ча2-ар а2-% )

= cos 0 + (—~~~2~ cos ? + ■ - sin ^ sin 0;

Ур \Ь2-аР ь'-?р !

= cos 0 + ( —cos ср -]--------—V sin И sin 0;

** Vе3-“р с2-^ 1

4 = (Д*-ф(а8-^) = (Ь*-а2р)(Ьг-ф

а2 (а3 - 62) (а2 — с3) ’ № (63 — с2) (62 — я3) ’

4 =

с2 (с3 — а2) (с2 — 62)

Приведенные выражения определяют исходную меридиональную систему координат 0, <р с полюсом в точке Р (0р = О). В этой системе параллели 0 = const и меридианы <р = const образуются сечениями эллипсоида плоскостями, параллельными касательной плоскости в точке Р, и диаметральными полуплоскостями с общим диаметром, проходящим через точку Р.

Вектор скорости vе внешнего течения на F (см. [1]), отнесенный к максимальному модулю скорости, можно записать в виде: ve =—grady?. Следовательно, параллели £ = const, (0 = const) являются линиями уровня, ортогональными линиям тока. В системе ^ = 0, х2=ф ковариантные vei и контравариантные v‘e составляющие имеют вид

г>й1 = CpsinO, ve2 = 0;

Gv\ = g22veU Gv2e = -g12veU G*=gugt2-gi2gi2, где gij—метрические коэффициенты

gu = % + + Ч» #12 = to 2? + V #22 = Щ + 4*.

2. Процедура расчета. Расчет проводился для эллипсоида при а2, Ь2, с2=1, 2, 3. В критической точке Р были взяты значения

4 = 4/3, Рр = 8/3,

которым отвечают показатель особенности X — 2 [2], канонические координаты критической точки хр = 0,5270, ур = 0,9428, гр = 0,9129 и углы

между направлением набегающего потока и осями —х, —у, —z (углы ориентации эллипсоида) ах=54°,4б', <^==48°,39' аг = 61°,89'.

Предварительно был проведен расчет пограничного слоя в окрестности точки Р для определения начальных данных «а первом слое [3]—параллели 0=01=10°. В качестве прямоугольных координат в касательной послокости были использованы координаты х1 — £—х2 = г\—х\г, с началом в точке Р. Направление их осей совпадает с главными направлениями течения в точке Р.

В основном расчете использовались преобразованные уравнения [4], разностная схема [5] второго порядка аппроксимации по продольным координатам 0, ф и разностная схема четвертого порядка аппроксимации по поперечной координате £ (отношение толщины слоя к масштабному множителю zs). Линии гр определялись следующим образом. Пусть х — угол между линией тока и меридианом в плоскости — развертке 0, <p: tg Q = d<p/dQ.

В веере характеристических направлений (направлений линий тока) по толщине слоя xmin<x<%max для фиксированной точки поверхности значения %min и Хтах определяют два ограничивающих, крайних характеристических направления. Векторные линии полей крайних характеристических направлений хшш и %тах являются крайними характеристиками первого и второго семейства. За линии 1|з были взяты характеристики первого семейства dcp/dQ = tg %щш, которые определялись в процессе счета. Указанный выбор расчетной координатной системы автоматически обеспечивает условия устойчивости при расчете очередного слоя 0 = const в сторону увеличения <р по разностной схеме [5]. В меридиональной системе имеем

? = ?(в, ф); Ф = (Р при 0 = ei; dyjdo = tg Xmm.

По координате ф было взято 30 узлов фт (/га = 1:30) при следующем распределении шага Дф = фт — фт_1:

Дф = 15° при 0<фт<60°, 120°<фт<240°, 300° < фт < 360°,

Дф=10° при 60°<фт<90° 270°<фт<300'\

Дф = 7,5° при 90° < фт < 120°, 240° ■< фт-<270°,

а по координате С —20 узлов С„(«= 1:20) при следующем распределении шага ДС = С„ — Сп-ь

ДС = 0,2 при 0 < С < 0,6, ДС = 0,3 при 0,6 < С„ < 3,6,

ДС = 0,4 при 3,6<С„<6,0.

Начиная с первого слоя 01=10°, расчет проводился с постоянным шагом Д0 = 5°. На двух последних слоях последующий шаг Д0 получался делением пополам предыдущего. Критериями несуществования решения в зоне отрыва служили расходимость итерационного процесса ИЛИ нарушение ОДНОГО ИЗ двух условий: %min>—90°, %max<90°.

При расчете вычислялись контравариантные составляющие и1, иг и т1, т2 скорости и и напряжения трения т = du/dt, в меридиональной системе координат xl = Q, х2 = ср. Выбранному масштабу скорости соответствует (см. п. 1)

“п + Рл

ие=~Й Р *е = 0.8660 ve.

4 К

В рассмотренной процедуре возникают затруднения в выборе узлов для обеспечения более или менее равномерного азимутального Шага Аф вдали от первого слоя. При выбранном распределении $>т точность расчета оказалась недостаточно высокой в окрестности линии г|з = Зя/2 (из-за крупных величин Аф в этой окрестности).

3. Экстремальные кривые внешнего течения и изобары. Изобарьь уе = сопз1 можно описать уравнениями

Ро tg 0„ sin О-

= —----q—------------. у , & = const;

А2 COS & + Рр COS (ф — <fe) Sin 9

уТ+^Г- h*=Valsin2?cos2<p;

*в,= -_ЦЦ=-: tg<p = -j-j-; o«?,« 1/ “I’ll + ’p"

где 0 = 6 приХ<р = <pn = ye-\- тг/2 и

v _ ^sina k Vfal+fal _

|/>^cos2» + c*sin»» ’ e Pp

В случае сферы меридиональные координаты 0, ф совпадают со сферическими координатами 0*, ф*. Сопоставим каждой изобаре изобару сферы с тем же значением скорости £>e=sin0*. Имеем tg# = = (he/t,p) tg0*. Для отрывной изобары сферы 0* = 104,81° получим ве = 0,9668,. 0 = 103°,0.

Экстремальные кривые определяются как кривые нулевой геодезической кривизны линий тока и линий уровня на поверхности тела [6]. Кривые нулевой геодезической кривизны линий тока kg i = 0 на эллипсоиде F подразделяются на кривую Гр, самопересекающуюся в критической точке Р, и кривую 0,р, которая совпадает с контуром видимости эллипсоида в направлении нормали к F в точке Р. Кривая Qp является кривой утоньшения слоев уровня и совпадает с изобарой максимальной скорости ve=l, •& = п/2-, вектор скорости ve на Qp постоянен и совпадает с вектором единичной нормали к F в Р. Одновременно кривая Qp является кривой нулевой геодезической кривизны линий уровня (параллелей 0=const) kg2 = 0, именно, кривой утолщения слоев тока, и разделяет область внешнего течения на область растекания (передняя область) и область стекания.

Кривая Гр описывается уравнением gi2 = 0

(ip a,, sin <p — f\p §p cos <p) sin 6 + (Pp — ap) sin 9 cos ® cos 6 = 0

и состоит из кривых утолщения и кривых утоньшения |6лоеВ уровня. Кривая Гр является также геометрическим местом точек, в которых а) линии уровня внешнего течения (параллели) ортогональны меридианам; б) изобары касаются линий уровня и ортогональны линиям тока.

Кривые Гр, Qp и семейство изобар, ограниченное кривой Пр, которой отвечает отрывная изобара сферы, изображены на рис. 1. Здесь

Рис. 1

и на других рисунках кривые утолщения и утоныиения слоев уровня изображены сплошными и пунктирными линиями. Точки И, Е и б являются точками перехода кривых утолщения в кривые утоньшения слоев уровня.

Кривые Гр и Qp разделяют область течения на подобласти, в которых геодезическая кривизна линий тока сохраняет постоянный знак. Этот знак определяется из условия, что в окрестности кривой Йг1 = 0' вектор геодезической кривизны линий тока направлен от кривой утолщения и к кривой утоньшения слоев уровня. Кривая Гр является также кривой нулей азимутальной составляющей 1)ге-, в указанных подобластях знаки V2 и &ё2 совпадают в области растекания и противоположны в области стекания. На рис. 1 и ниже знаками « + », «—» отмечены области соответствующего знака составляющей ^ .

На рис. 2 изображены кривые ГР н в ортогональной проекции на плоскость, параллельную касательной плоскости в критической точ-

4а

Рис. 2

ке Р. Кривая совпадает с контуром проекции эллипсоида. На невидимой стороне проекции изображены только точки Я и 5 пересечения Гр и Пр.

Как будет показано ниже, расположение кривых Гр, £2р и Пр во многом определяет качественную картину течения в пограничном слое.

4. Результаты расчета. Пусть г^, — кривые нулевой геодези-

ческой кривизны предельных линий тока, в которые переходят кривые Гр, при движении по толщине пограничного слоя к поверхности эллипсоида, причем точки Д Е, б переходят в точки О', Е', б'. Эти кривые изображены на рис. 1—3. В отличие от рис. 1 кривые Гр, на рис. 3 (так же как и кривые г^, 2Р) построены на основе численного расчета пограничного слоя, чем объясняется неточность их изображения в области расчетной сетки с крупным азимутальным шагом Дф в окрестности линии г|) = Зя/2. Линии •ф = 'фт = сопз1 (т=1-ь30) расчетной сетки изображены на рис. 1. Эти линии оканчиваются в последних расчетных точках. Видно, что линия отрыва близка к изобаре Пр, соответствующей отрывной изобаре сферы. Черными точками на рис. 1 отмечены точки нулевой азимутальной составляющей напряжения трения и а поверхности. Поскольку эти точки лежат вблизи кривых Гр, области « + » или «—» положительной или отрицательной азимутальной составляющей напряжения трения фактически совпадают с областями того же знака азимутальной составляющей скорости внешнего течения.

На рис. 3 стрелки (орты), приложенные к расчетным (белым) точкам, указывают направления линий тока внешнего течения, а черные точки рядом с концами стрелок — направления предельных линий тока (черные точки следует рассматривать как концы ортов, приложенных к расчетным точкам; все орты построены в масштабе 1 : 1 по 0, <р). Как показал анализ расчетных данных, пары таких ортов ограничивают местные характеристические зоны, т. е. являются крайними характеристическими направлениями. На экстремальных кривых Гр внешнего течения черные точки лежат на концах стрелок, т. е. профи-

Рис. 3

ли скорости близки к плоским (но не являются строго плоскими, поскольку геодезическая кривизна линий тока по толщине слоя не всюду равна нулю). Плоскости этих профилей ортогональны линиям уровня и изобарам, являясь касательными к меридианам ф = const. Линии тока имеют противоположные наклоны в азимутальном направлении по разные стороны от кривой Гр. В области растекания внешнего течения (ограничена изобарой £2Р) предельные линии тока являются более пологими по отношению к линиям уровня.

Таким образом, кривые Гр разбивают область течения на подобласти, в которых известна сторона наклона векторов скорости. Это дает возможность более эффективно организовать расчет пограничного слоя при заданной равномерной сетке по ф, проводя его от одной

Рис. 6

ветви кривой Гр к другой в сторону наклона векторов скорости; необходимость специального расчета пограничного слоя в окрестности критической точки отпадает. В качестве азимутальных линий удобнее брать изобары (т. е. использовать систему г, ср, см. п. 3), поскольку область растекания внешнего течения ограничена изобарой £2Р, а линия отрыва близка к изобаре.

В пределах расчетной точности экстремальные кривые внешнего и предельного течений пересекают линию отрыва в одних и тех же точках Я и 5, являясь в этих точках экстремальными кривыми одинакового вида, т. е. кривыми утолщения в точке Я и кривыми утоньше-ния слоев уровня в точке 5. Следовательно, эти точки являются точками плоских отрывных профилей (строго плоских, так как геодезическая кривизна линий тока по толщине слоя всюду равна нулю) с нулевым напряжением трения на поверхности.

На рис. 4 и 5 изображены распределения меридиональной т1 и азимутальной т2 составляющих трения вдоль линий при соответ-

ствующих т (см. рис. 1). Черными точками на рис. 5 отмечены значения т2 на кривой Гр. Эти значения мало отличаются от нуля (см. также черные точки — нули на рис. 1). При приближении к линии отрыва обе составляющие трения стремятся к нулю; линия отрыва является особой линией нулевого напряжения трения, а не огибающей предельных линий тока.

На рис. 6 приведены составляющие и1, и2 предотрывных профилей скорости в последних расчетных точках соответствующих линий г|>=1|)т.

1. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М., Мир, 1964.

2. П е т у х о в И. В. Структура течения невязкого газа в окрестности изолированной критической точки. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 2.

3. П е т у х о в И. В. Расчет пространственного пограничного слоя в окрестности изолированной критической точки. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 4.

4. П е т у х о в И. В. Преобразование уравнений пространственного пограничного слоя для численного расчета.—Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 5.

5. П е т у х о в И. В. Разностная схема второго порядка аппроксимации для пространственного пограничного слоя.— Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1692.

6. П е т у х о в И. В. Экстремальные кривые течения на поверхности тела произвольной формы. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 3.

Рукопись поступила 1/1Х 1986