CC BY
24
УДК 531/534: [57+61]
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕЖПОЗВОНКОВОГО ДИСКА С УЧЕТОМ СТРУКТУРЫ КОЛЛАГЕНОВЫХ ВОЛОКОН
Е.А. Мерой*, А.Н. Натали**, П.Г. Паван**, К. Скарпа**
*Dipartimento di Costruzioni dell' Architettura, Universita luav di Venezia, Dorsoduro 2206, I-30123, Venezia, Italy, e-mail: [email protected]
Кафедра архитектурных конструкций, Университет Венеция, Италия
**Centre of mechanics of biological materials, University of Padova, Via Marzolo 9, i-35131, Padova, Italy, e-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected] Центр механики биологических материалов, Университет Падуя, Италия
Аннотация. Мягкие соединительные ткани являются оптимизированными композиционными материалами с механическими свойствами, зависящими от ориентации, так как они содержат также волокна, рационально распределенные в аморфной основной матрице. Неоднородные соотношения гиперупругости с укрепляющими волокнами применены для фиброзного кольца в диске. Формулировка, использумая в данной работе, позволяет дать соответствующее описание тканей диска и принять во внимание различный вклад основного материала и волокон. Несколько исследований было проделано, чтобы учесть переменные значения объемного содержания, распределения и наклоны волокон в области экспериментальных данных, имеющихся в литературе. Проведенное исследование доказывает специфический вклад коллагеновых волокон в механическое поведение межпозвоночного сегмента человека и подтверждает применимость настоящего приближения как точного инструмента для мягких тканей, усиленных волокнами.
Ключевые слова: межпозвонковый диск, вычислительная биомеханика,
нелинейная упругость, композиционный материал.
1. Введение
Основной механической единицей позвоночника является подвижный сегмент, состоящий из двух соседних позвонков и мягких тканей между ними, включая межпозвонковый диск. В частности, соответствующую биомеханическую роль играют внешняя часть межпозвонкового диска, фиброзное кольцо, которое представляет собой естественный композиционный материал, усиленный волокнами, вставленными в основной материал, что приводит к неоднородному распределению относительно объемного содержания и ориентации.
Численные модели были усовершенствование несколькими авторами для различных сегментов позвоночника при различных условиях нагружения [1 - 5]. Точность определяющих соотношений [6 - 8] для межпозвонкового диска должна быть связана с рассматриваемой механической проблемой; существенные черты
© Е.А. Мерои, А.Н. Натали, П.Г. Паван, К. Скарпа, 2005
09806267
обусловлены нелинейной упругостью, анизотропией, объемной почти несжимаемостью для основного материала диска и при долговременном поведении с вязкостью.
В частности, на основе имеющихся экспериментальных данных [9 - 27] в данной работе дана оценка влияния различных параметров, относящихся к коллагеновым волокнам, на общие результаты в условиях сжимающего и крутильного нагружения для поясничного сегмента человека.
1.1. Функциональное описание межпозвонкового диска. Подвижность позвонкового сегмента и его функция воспринимать нагрузку включают межпозвонковые диски, апофизарные сочленения и связки. При осевом сжатии, которое является основной компонентой состояния нагружения в большинстве случаев дневной активности, основная часть нагрузки воспринимается межпозвонковым диском (до 80 % при здоровых суставах [9]). Даже при кручении соответствующая величина приложенного момента воспринимается межпозвонковым диском.
Это стало очевидным при экспериментальном тестировании in vitro, где апофизарные сочленения и связки были предварительно удалены [10, 11]. Определяющие соотношения были сначала определены для поясничного сегмента человека; на численной модели изучено нагружение при сжатии и кручении и соответствующие результаты сравнены с экспериментальными данными [12 - 14].
Диск может быть описан как композиционный и неоднородный материал с основной матрицей, имеющей высокое содержание жидкости, усиленный коллагеновыми волокнами, и может быть анатомически разделен на две основные части: студенистое ядро и фиброзное кольцо [15]. Студенистое ядро есть внутренняя часть диска и имеет очень мало волокон: при сжимаемом нагружении почти гидростатическое давление действует на кольцо, ограниченное фиброзным кольцом, где имеет место напряженное состояние окружного растяжения. Его ограничивающая способность зависит от свойств растяжения коллагеновых волокон и их распределения в различных окружных слоях в самом кольце. При кратковременном нагружении можно предполагать, что содержание жидкости в ядре постоянно. Если нагружение занимает некоторое время, жидкость вытекает из ядра и вязкоупругое поведение или многофазные формулировки должны быть использованы для соответствующего вычислительного описания [6, 28].
Некоторые авторы пытались развить реалистические модели для кольца, коррелирующие анизотропные упругие характеристики с объемным содержанием, геометрическим распределением и механическими свойствами волокон [2, 9, 15 - 22]. Обычное предположение рассматривает общее содержание коллагеновых волокон порядка 16 % от объема диска согласно измерениям Galante [16] со средним содержанием волокон в кольце, равным 19 %. В литературе нет единого мнения о распределении свойств волокон по толщине. Shiraz-Adl et al. [17] предполагают, что содержание волокон составляет 12,5 % во внутреннем слое и 26,5 % во внешнем слое с аналогичным соотношением для жесткости волокон. Eberlein et al. [8] считают, что содержание волокон изменяется от 5 % во внутреннем слое до 23 % во внешнем слое. Еще большие различия получены экспериментально в отношении ориентации волокон относительно горизонтальной плоскости. Например, Shirazi-Adl et al. [17] рассматривают исследования, которые провели Farfan [18], Galante [16], Horton [19] и
Рис. 1. Конечно-элементная модель межпозвонкового сегмента
Таблица 1
___________Содержание волокон и их наклонение__________________________________
Авторы Содержание волокон % в объеме Наклон волокон относительно поперечной плоскости
Horton (1958) — от 24° до 37°
Galante (1967) 16% в диске 19% в кольце около 30°
Farfan (1973) Vernon (1980) — от 24° до 45° в среднем 29°
Shirazi-Adl (1994) 19% в кольце 12,5% во внутреннем слое 26,6% во внешнем слое от 24° до 45° в среднем 29°
Cassidy (1989) — 30° около ядра 45° на периферии
Klisch (1999) Fijita (2000) 19% в кольце 30° около ядра 45° на периферии
Eberlein (2001) 19% в кольце 5% во внутреннем слое 23% во внешнем слое , 23° - вентральное направление 57,3° - дорсальное направление В среднем 33,8°
Vernon [20], и предполагают изменение от 24 градусов на периферии до 45 градусов во внутреннем слое со средним значением 29 градусов. В то же время Klisch и Lotz [21], а также Fujita et al. принимают ориентацию волокон от 30 до 45 градусов в соответствии с данными Cassidy et al. [15]. На основе экспериментальных данных Eberlein et al. [8] предполагают, что наклон волокон имеет очень малую зависимость от расположения волокон по толщине кольца, но имеется сильная зависимость от окружного расположения (в диапазоне от 23 градусов в вентральном направлении до 57,3 градусов в дорсальном направлении, при среднем значении 33,8 градуса). Эти данные представлены в таблице 1.
Очевидно, что неизбежные трудности экспериментального тестирования не позволяют сделать полную оценку всех параметров, необходимых для исчерпывающего определения биомеханических параметров. Вдобавок к этому,
экспериментальные данные относительно структуры коллагеновых волокон, взятые для сравнения у различных авторов, показывают существенные различия в значениях параметров. Поэтому важно оценить влияние этих параметров на локальное и общее биомеханическое поведение межпозвонкового диска.
Для этой цели применение конечно-элементного анализа представляет собой полезный метод исследования этой проблемы.
Механическое влияние изменения содержания волокон и их расположения на общее поведение межпозвонкового диска было исследовано конечно-элементной моделью, развитой на основе определяющих соотношений, которые способны описать напряженно-деформированное состояние ткани диска. Тесты на сжатие моделировали предполагаемые различные конфигурации коллагеновых волокон в соответствии с ранее цитированными данными.
2. Материалы и методы
2.1. Геометрическая модель. В природе имеется широкий диапазон анатомических форм и размеров межпозвонковых сегментов, и анализ может быть проведен для конкретных субъектов и анатомических форм или для средних форм и размеров.
Межпозвонковый сегмент Ь4-Ь5 моделируется по отношению к взрослому мужчине европейского происхождения. Для этого случая построена конечноэлементная модель тела позвонка и диска (рис. 1). Область межпозвонкового диска и кольцевых пластинок моделируются с помощью восьмиузловых элементов типа брусков, в то время как два тела позвонков дискретизированы с помощью четырехузловых тетраэдральных элементов. Для геометрии тела позвонка применялись стандартные процедуры, основанные на сканировании с помощью компьютерной томографии, параметрическое определение геометрии предлагается для межпозвонкового диска. Г оризонтальное сечение представляет профили для ядра и для различных слоев кольца, полученные путем связи различных окружных дуг, объединенных вместе для непрерывности. Это приближение позволяет эффективный учет анизотропных свойств определяющих соотношений в методе конечных элементов. Кольцо было разделено на 15 зон в зависимости от конкретных свойств волокон: 5 слоев по толщине и 3 различных сектора: передний, боковой и задний (рис. 2).
2.2. Формулировка определяющих соотношений. Ядро и кольцо, как и другие мягкие соединительные ткани, проявляют типичное механическое поведение, которое при кратковременном отклике включает нелинейно-упругий ответ и почти несжимаемость, зависящие от высокого содержания воды во внеклеточной матрице. Изотропная гиперупругая формулировка используется для студенистого ядра, а гиперупругая конститутивная формулировка с учетом усиляющих волокон применяется для фиброзного кольца, что позволяет эффективно описать их механическое поведение.
\ латеральный
задний \
/ передний
Рис. 2. Геометрический профиль слоев кольца
Если предположить однородность материала, то в теории гиперупругости постулируется существование функции накопленной энергии, зависящей только от деформированного состояния [29]. При численных вычислениях в случае несжимаемого или почти несжимаемого материала эта функция обычно расщепляется на два слагаемых, соответствующих девиаторным и объемным слагаемым деформации:
ш (/, /2, 1) = Ш (/,12)+Шу (1), (1)
где первое слагаемое есть функция изохорической части деформации, а второй член зависит от изменения объема. Эта форма расщепления используется, чтобы преодолеть вычислительные проблемы, связанные с большими значениями объемного модуля, что может привести к явлениям численного запирания [30].
Якобиан J в уравнении (1) дает меру изменения объема и есть детерминант градиента деформации Г = дх/ дХ, где X - точка недеформированной конфигурации и х - точка в деформированной конфигурации тела. Первый изохорический инвариант / 1 и второй главный инвариант / 2 определяются следующим образом:
/ = * С = 1/,, /2 = 1 (/,2 - * С2). (2)
Тензор второго порядка С есть изохорическая часть правого тензора Коши-Г рина С, который выводится ниже по следующему соотношению
„ -2 т
С = 1 3 С, С = ГтГ . (3)
Тензор напряжений Коши получается путем вывода функции накопленной энергии относительно правого тензора Коши - Грина и производя переход к деформированной конфигурации.
Полное напряжение есть тогда сумма изохорической ап и объемной ау частей:
2 дШПгТ дШу а = ап + ау = — Г—п Гт +—^ I. (4)
п У 1 дС д1
Если рассматривается материал, усиленный одним семейством волокон, определяется еще один инвариант, зависящий от направления волокон а0 в недеформированной конфигурации:
14 = С:(а0 ® а0 ) . (5)
Инвариант /4 делает возможным учесть вклад коллагеновых волокон в механическое поведение ткани как функцию их пространственного распределения и ориентации. Действительно, этот инвариант равен квадрату растяжения вдоль
направления волокна.
Функция накопленной энергии тогда может быть выражена как сумма трех членов: два связаны с изотропной основной матрицей (изохорическое и объемное слагаемые) и одно слагаемое связано с волокнами:
ш (/ 1, /2,1, /4) = Шп (/, / 2) + Шу (1) + шг (/4 ) . (6)
Вклад волокон в тензор напряжений Коши получается в соответствии с (4), что приводит к соотношению:
2 дШп т дШ 2 дШ т
а = ап + ау + аг = — Г—п¥т +—^1 + —Г—Г-Гт . (7)
п у г 1 дС д1 1 дС
Как полагает Спенсер [31], функция накопленной энергии гиперупругого,
усиленного волокнами материала зависит, в общем, также от пятого инварианта,
связанного с деформированным состоянием волокон. Тем не менее, показано, что упрощенная формулировка, не учитывающая этот вклад, может описать механическое поведение материалов, усиленных волокнами, со слабым взаимодействием между волокнами и матрицей, что имеет место для мягких биологических тканей.
Основная матрица фиброзного кольца локально усилена двумя группами коллагеновых волокон, имеющих различное пространственное расположение с противоположным наклоном относительно горизонтальной оси. Следовательно, механическое поведение ткани описывается, применяя функцию накопленной энергии, аналогичную (6), но в которой используются два инварианта /4 (один для каждой группы волокон). Формулировка Муни-Ривлина для почти несжимаемых материалов может быть использована для описания основного материала диска (и для ядра, и для кольца), в то время как экспоненциальная форма, зависящая от четвертого главного инварианта, применяется для вклада волокон. Члены, включенные в формулировку (1) для ядра и для кольца (6), имеют вид:
Шп = С1 (/ - 3) + С2 (/2 - 3) , (8а)
Шу = ку (1 -1)2, (8Ь)
Ш = Е {'6ХР к2' (/4г - 1)2 - 1} . (8С)
/=1,2 к2/ ' '
Коэффициенты С1, С2 , ку и к1/ имеют размерность упругого модуля, в то время
как слагаемые к2/ являются скалярами. Коэффициенты С1 и С2 связаны с начальным модулем сдвига основной матрицы, т.е. относятся к малым деформациям. Коэффициент ку связан с начальным объемным модулем основной матрицы, а коэффициенты к1/ связаны с жесткостью коллагеновых волокон. Наконец, скаляры к2/ влияют на нелинейность кривых напряжение-деформация волокон. Использование
экспоненциальной формы для слагаемого накопленной энергии, связанного с
коллагеновыми волокнами, используется для описания типичного поведения растягивающее напряжение - деформация. Это может быть охарактеризовано начальным диапазоном малой жесткости, что связано с начальным расположением спутанных волокон, и с поведением упрочнения, которое имеет место в ткани при увеличении деформации.
Соотношение (8с) верно, если два семейства волокон механически эквивалентны и если они имеют взаимно ортогональное расположение. Если две группы волокон не являются взаимно ортогональными, то еще один инвариант, зависящий от угла между двумя группами, должен быть рассмотрен. Этот инвариант здесь не применяется, поскольку в работе речь идет об основном механическом поведении, которое хорошо описывается с использованием только четвертого инварианта, связанного с волокнами. Дальнейшие замечания о применяемой формулировке даны в приложении.
Определяющие соотношения должны быть использованы в общей конечноэлементной вычислительной программе ABAQUS (ABAQUS , Inc., Pawtucket, RI) с помощью специальной подпрограммы.
2.3. Конечно-элементная модель и анализ. Материальные параметры, необходимые для развитой формулировки, были первоначально выбраны, чтобы удовлетворить общим экспериментальным результатам для вертикальных и горизонтальных перемещений при вертикальной сжимающей нагрузке. Диск скрепляется коллагеновыми волокнами: кольцо выпучивается, чтобы удержать ядро, и горизонтальное расширение диска называется далее «горизонтальным выпучиванием». Вычислительная модель для кольца была развита, чтобы воспроизвести эти две макроскопические меры процесса деформации по отношению к экспериментальным данным, полученным Брауном с соавторами [12]; в их работе горизонтальное и вертикальное перемещения даны относительно межпозвонкового сочленения при аксиальном сжатии. В частности, данный случай был моделирован путем наложения поля вертикальных перемещений [12]. Та же модель была затем нагружена при кручении и сделано сравнение с экспериментальными результатами [13, 14]. При крутильном нагружении диск, как ожидается, будет более зависим в своем механическом поведении от свойств волокон, и реальная важность различных параметров волокон на общие результаты оценивается вычислительно.
Затем модель используется для изучения влияния ориентации и распределения волокон в кольце: 10 различных случаев содержания их объема и наклонения волокон в кольце были рассмотрены, как описано в таблице 2.
3. Результаты
Развитая модель мягких тканей была использована при следующих основных предположения о волокнах в кольце, соответствующих средним значениям, известным в литературе: 19 % составляют объемное содержание волокон, которые распределены в двух семействах, ориентированных под углами ±30 градусов относительно горизонтальной плоскости (случай 1 анализа). В соответствии с обсуждением в работах [7, 8] предполагается нулевое значение коэффициента С2, хотя объемный модуль kv основной матрицы, как считается, имеет поведение, соответствующее почти несжимаемости. Также предположены следующие параметры:
Рис. 3. Аксиальная сжимающая сила в зависимости от вертикального перемещения: кривая а - случай 1, кривая Ь - экспериментальные данные Брауна, кривая с - случай 6, кривая d -
случай 8
Таблица 2
Содержание волокон и угол наклона модели
Случай Содержание волокон, % в объеме Наклон волокон относительно поперечной плоскости
1 19% 3 о о
2 9% 3 о о
3 29% 3 о о
4 12,5%, 15,5%, 19%, 22,5%, 26,6% в пяти различных слоях, начиная от внутреннего слоя 3 о о
5 5% во внутреннем слое, 23% во внешнем слое, 22% в промежуточном слое 3 о о
6 19% 2 о о
7 19% 4 о о
8 19% 5 о о
9 19% 20°, 22°, 25°, 28°, 30° в пяти различных слоях, начиная с внутреннего слоя
10 19% 24° в вертикальном положении, 44° в латеральном положении, 57° в дореальном положении
С1=0,95 МПа и ^=10 ГПа для матрицы и ^=6,56 МПа и £2=60 МПа для каждого семейства волокон. Волокна могут быть подвергнуты только одноосному растягивающему напряжению.
Наклон волокон остается постоянным и равным ±30 градусов, при этом 4 дополнительных случая были рассмотрены при различном объемном содержании
волокон. Два случая были исследованы с однородным распределением волокон в кольце, соответственно с объемным содержанием 9 % (случай 2 в дальнейшем) и 29 % (случай 3). Два неоднородных распределения волокон были предположены в кольце: в соответствии с работой [2] область значений от 12,5 % во внутреннем слое до 26,6 % во внешнем слое была принята в промежуточных слоях как 15,5 %, 19 %, 22,5 % (случай 4), еще один случай соответствует работе [8], в которой объемное содержание составляет 5 % во внутреннем слое и 23 % во внешнем слое, а также 22 % в промежуточных слоях (случай 5). Пять дополнительных случаев были изучены в зависимости от различной ориентации волокон при однородном объемном содержании волокон, равном 19 %. Три различных случая были рассмотрены при наклоне волокон ±20° (случай 6), ±40° (случай 7) и ±50° (случай 8), который постоянен в кольце. Зависимость наклона волокон от расположения кольца рассмотрена еще в двух случаях: в соответствии с работой [16] наклоны равны ±20, ±22, ±25, ±28 и ±30 градусов в пяти различных слоях, начиная с внутреннего слоя (случай 9). Наконец, в соответствии с работой [8] наклон волокон предполагается равным ±24 градуса в вентральном, ±44 градуса в латеральном и ±57 градусов в дорсальном расположении (случай 10).
Линейно упругая и трансверсально изотропная модель была использована для кортикальной кости тела позвонка с параметрами ЕХ=ЕУ=8000 МПа, Е2=12000 МПа, ¥^=0,4, Уу2=0,3. Альвеолярная кость и хрящевые концевые пластинки предполагались изотропными с модулями Е=150 МПа, у=0,3 и Е=30 МПа, у=0,3, соответственно.
Хорошее соответствие между экспериментальными и расчетными результатами можно увидеть на рис. 3, где указаны вертикальные перемещения, полученные с помощью предположений об отсчетных средних величинах для волокон (кривая а), и экспериментальные данные (кривая из [12]). В пределах предположенного диапазона параметров волокон наиболее жесткое решение получено при содержании волокон 19 % и ±20° наклона (кривая с), а наименее жесткий отклик при содержании волокон 19 % и угле наклона ±50° (кривая d).
Результаты по боковому выпучиванию представлены на рис. 4. Численные результаты с предположениями о средних значениях для волокон (кривая а) сравнены с экспериментальными данными (кривая из [12]). Диапазон результатов охватывает поведение от содержания волокон 19 % при ±20° (кривая с) до содержания волокон 19 % при ±50° (кривая d). Результаты отражены в таблице 2.
Относительная важность различных параметров исследованных волокон представлена на рис. 5 и 6. Конкретно влияние содержания волокон показано на рис. 5 в виде зависимости вертикальных перемещений от процентного изменения силы для случая 1 (содержание волокон 19 % при угле наклона ±30°). Изменение сжимающей силы в зависимости от деформации увеличивается в случаях 2 и 3. Максимальное приращение нагрузки есть 8,7 % при 50 % содержании волокон (случай 3, кривая а) и максимальное уменьшение нагрузки составляет 11,7 % при 50 % содержания волокон (случай 2, кривая d). В случаях 4 (кривая Ь) и 5 (кривая с) при неоднородном распределении волокон результаты показывают хорошее соответствие с отсчетным случаем, почти не зависящим от уровня деформации.
Изменение бокового выпучивания практически не зависит от уровня деформации и меньше, чем 4,1 % (случай 2), во всех случаях.
Зависимость от наклона волокон представлена на рис. 6. Максимальное уменьшение изменения нагрузки имеет место в случаях ±50° (случай 8, кривая е) и ±40° (случай 7, кривая d). При максимальном значении 7,6 % максимальное увеличение
Рис. 4. Аксиальная сжимающая сила в зависимости от бокового выпучивания диска: кривая а - случай 1, кривая Ь - экспериментальные данные Брауна, кривая с - случай 6, кривая d -
случай 8
Рис.5. Процентное изменение силы для случая 1 в зависимости от вертикального перемещения, влияние содержания волокна. Кривая а - случай 3, кривая Ь - случай 4,
кривая с - случай 5, кривая ё - случай 2
Рис. 6. Процентное изменение силы для случая 1 в зависимости от вертикального перемещения, влияние наклона волокон. Кривая а - случай 6, кривая Ь - случай 9, кривая с - случай 10, кривая ё - случай 7, кривая е - случай 8
Рис. 7. Момент в зависимости от угла закручивания, численные и экспериментальные результаты. Кривая а - случай 1, кривая Ь - случай 8, кривая с - случай 6, кривые ё и е -экспериментальные данные Шультца, кривые { и g - экспериментальные данные Кэриера
Рис. 8. Процентное изменение момента для случая 1 в зависимости от угла кручения при различном содержании волокон. Кривая а - случай 3, кривая Ь - случай 4, кривая с -
случай 5, кривая ё - случай 2
составляет 15,3 % в случае углов ±20° (случай 6, кривая а) при конечном значении 6,4 %. Случай 10 (кривая с) не обнаруживает существенное изменение от отсчетного случая.
При анализе изменения бокового выпучивания максимального увеличение
10,6 % имеет место для случая 8 (±50°), а наибольшее уменьшение - для случая 6 (±20°), от начального значения 19,4 % до конечного 12,8 %. При нагружении осевым сжатием вклад кольцевых волокон увеличивается при уменьшении их наклона. Волокна удлиняются при горизонтальном выпучивании и укорачиваются при вертикальном перемещении. Результирующее растяжение волокон оценивается через
Рис. 9. Процентное изменение момента для случая 1 в зависимости от угла закручивания при различном угле наклона волокон. Кривая а - случай 8, кривая Ь - случай 7, кривая с -случай 10, кривая d - случай 9, кривая е - случай 6
четвертый инвариант 14. В модели волокна считаются неактивными, если они
подвергаются сжимающим напряжениям. Распределение этих неактивных волокон зависит от начальной геометрии и деформированного состояния диска.
По сравнению с отсчетным случаем почти 50 %-е увеличение или уменьшение в содержании волокон ведет к среднему изменению от +7,5 % до -5,9 % по отношению к общей сжимающей силе. Большее наклонение, чем в отсчетном случае 1 (±30°), слабо влияет на общие результаты, среднее уменьшение в аксиальной нагрузке составляет
5,6 % и среднее увеличение в латеральном выпучивании составляет 10,6 %. Если угол ориентации уменьшается до ±20°, структурное значение волокон возрастает в условиях аксиального нагружения при среднем возрастании нагрузки на 12 % и среднем уменьшении выпучивания на 15,6 %. Что касается четырех случаев, которые представляют неоднородное распределение содержания волокон и ориентации, результаты кажутся в хорошем соответствии с результатами отсчетного случая 1. Применение этих случаев может потребоваться, если требуется локально исследовать механическое поведение.
Затем рассматривается второй случай нагружения: модель нагружена
кручением, и результаты сравнены с экспериментальными данными [13, 14]. На рис. 7 указана зависимость момента от угла закручивания, экспериментальные точки разбросаны весьма широко (кривые d и е - экспериментальные данные согласно [13], кривые Г и g - экспериментальные данные согласно [14]); результаты для отсчетного случая 1 (кривая а) даны для сравнения. При кручении наиболее жесткое поведение найдено для случая 8 (кривая Ь), наименее жесткое поведение - для случая 6 (кривая с).
Влияние содержания волокон представлено на рис. 8, где изображена зависимость угла закручивания от процентного изменения момента кручения изученного случая при сравнении со случаем 1 (19 % содержание волокон при углах ±30°). Результаты показывают важность структуры волокон при кручении: различное содержание волокон определяет важные изменения, почти не зависящие от деформации: 50 %-е увеличение или уменьшение содержания волокон ведет к почти
30 %-му изменению момента (кривые а и d). Два случая с неоднородным распределением обнаруживают хорошее соответствие с отсчетным случаем.
Рис. 9 показывает важность ориентации волокон: как ожидалось для этого случая нагружения, лучшие ориентации находятся между углами ±40° и ±50° с максимальным увеличением момента приблизительно на 50 % (случай 8, кривая а). Случай ±20° (случай 6, кривая е) показывает максимальное уменьшение (полное изменение - 43 %). Случай 10 (кривая с) незначительно отличается от отсчетного случая, в то время как случай 9 представляет среднее изменение на -15 % (кривая d).
Эти результаты показывают, что крутящий момент более сильно зависит от распределения и ориентации волокон.
4. Заключительные замечания
Настоящая модель позволяет дать удовлетворительную оценку влияния различных факторов, характеризующих волокна в фиброзном кольце. Хотя эта формулировка является точной, ее применение может легко управляться, и возможности, предлагаемые этим приближением, вероятно, даже больше в сравнении с информацией, даваемой экспериментальными данными. Проведенный анализ показывает, что при структуре волокон влияние наклона волокон сравнимо или даже больше, чем влияние их содержания, и значительно зависит от уровня деформации. Этот факт может учитываться не только при численном моделировании естественной мягкой ткани, но также в случае конструирования искусственной мягкой ткани, особенно при проектировании их анизотропии.
Данная формулировка дает мощное орудие для вычислительного исследования этих аспектов очень эффективным способом, учитываются все аспекты, связанные с конечными деформациями. Кажется резонным применять при усредненном моделировании межпозвонкового диска значения параметров волокон с однородным распределением 19 % объемного содержания кольца и ±30° углами наклона. Различные варианты для структуры волокон должны быть точно проверены с помощью экспериментального тестирования и тщательно рассмотрены, в частности, при применении в моделях, когда кручение является существенной компонентой нагружения.
Приложение
Явные формы тензора напряжений и конструктивных тензоров
Явные формы аддитивных слагаемых тензора напряжений Коши, указанные в (7), имеют вид:
Сг = 20, [Ь - 3/,1^Л + 2С2 Г/.Ь - Ь2 - 2^ .П, (а1)
а, = 2к, (. -1) I, (а2)
0 f - Е 4k1, і I4, - 1) J_1 • eXp Гk2, іI4, - 1)
,-1,2
• % 0 «и
(a3)
где тензор Ь есть левый тензор Коши-Грина, определяемый формулой Ь = ЕЕ . Исследование определенных соотношений в общей конечно-элементной программе ABAQUS требует определения конструктивного тензора в пространственной форме. Результат имеет вид:
с - сё + с, + с f ■
где три члена правой стороны формулы (а4) имеют вид
(a4)
с
4
C1 [ I1I ® I + I1IJ-і I ® b + b ® I)] J
+
+4C,
b 0 b - Ib - - I2IJ + - і 10 b2 + b2 01) +
З
42 + -12101 -- I1 і 10 b + b 01)
J
(a5)
с, - 4k,
J іJ -1)
ас
i-1
ас
- C-1 0 C-11 J2 - J
(a6)
с
- Е 8 k1, + 2k1,k2, і14, - 1)2 J 1 • exp k2, іI4, - 1)2 «с, 0 «с, 0 «с, 0 «с, . (a7)
,-1,2
Члены I и 11 представляют собой единичные тензоры второго и четвертого
ранга, соответственно. Так как программа метода конечных элементов использует модифицированную лагранжеву формулировку, конститутивный тензор в пространственной форме должен быть соответствующим образом модифицирован, чтобы получить приращение тензора напряжений Коши в коротационной форме, предложенной Яуманном.
2
5
З
З
7
З
2
Список литературы
1. The mechanical behaviour of bony endplate and anulus in prolapsed disc configuration / A.N. Natali, E.A. Meroi // Journal of Biomedical Engineering. - 1993. - V. 15. - P. 235-239.
2. Nonlinear stress analysis of the whole lumbar spine in torsion-mechanics of facet articulation / S.A. Shirazi-Adl // Journal of Biomechanics. - 1994. - V. 27. - P. 289-299.
3. A three-dimensional nonlinear finite element model of lumbar intervertebral joint in torsion / K. Ueno, Y.K. Liu // Journal of Biomechanical Engineering. - 1987. - V. 109. - P. 200-211.
4. Mechanical behaviour of the human anulus fibrosus / H.C. Wu, R.F. Yao // Journal of Biomechanics. -1976. - V. 9. - P. 1-7.
5. Effect of bone graft characteristics on the mechanical behavior of the lumbar spine / T. Zander, A. Rohlmann, C. Klockner, G. Bergmann // Journal of Biomechanics. - 2002. - V. 35. - P. 491-497.
6. A porous media approach to finite deformation behaviour in soft tissues / E.A. Meroi, A.N. Natali, B.A. Schrefler // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 1999. - V. 2. - P. 157-170.
7. An anisotropic model for the anulus tissue and enhanced finite element analyses of intact lumbar disc bodies / R. Eberlein, G.A. Holzapfel, C.A.J. Shulze-Bauer // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2001. - V. 4. - P. 209-229.
8. Multi-segment FEA of the human lumbar spine including the heterogeneity of the annulus fibrosus / R. Eberlein, G.A. Holzapfel, M. Frohlich // Computational Mechanics. - 2004. - V. 34. - P. 147-163.
9. Natural arch load-bearing in old and degenerated spines / P. Pollintine, A.S. Przybyla, P. Dolan, M.A. Adams // Journal of Biomechanics. - 2004. - V. 37. - P. 197-204.
10. Structural behaviour of human lumbar spinal motion segments / M.G. Gardner-Morse, I.A.F. Stokes // Journal of Biomechanics. - 2004. - V. 37. - P. 205-212.
11. Effect of internal fixator and bone graft on intersegmental spinal motion and intradiscal pressure in the adjacent regions / A. Rohlmann, S. Neller, G. Bergmann, F. Graichen, L. Claes, H.-J. Wilke // European Spine Journal. - 2001. - V. 10. - P. 301-308.
12. Some mechanical tests on the lumbrosacral spine with particular reference to intervertebral discs / I. Brown, R.J. Hanseren, A.J. Yorra // Journal of Bone and Joint Surgery. - 1957. - V. 39A. - P. 1135-1164.
13. Mechanical properties of human lumbar spine motion segments. Part I. - P. response in flexion, extension, lateral bending and torsion / A.B. Schultz, D.N. Warwick, M.H. Berkson, A.L. Nachemson // Journal of Biomechanical Engineering. - 1979. - V. 101. - P. 46-51.
14. A finite element model of the L5-S1 functional spinal unit. - P. development and comparison with biomechanical tests in vitro / E. Charriere, F. Sirey, P.K. Zysset // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2003. - V. 6. - P. 249-261.
15. Hierarchical structure of the intervertebral disc / J.J. Cassidy, A. Hiltner, E. Baer // Connective Tissue Research. - 1989. - V. 23. - P. 75-88.
16. Tensile properties of the human lumbar anulus fibrosus / J.O. Galante // Acta Orthopaedica Scandinavica. -1967. - V. 100. - P. 1-91.
17. Stress analysis of the lumbar disc-body unit in compression - a three dimensional nonlinear finite element study / S.A. Shirazi-Adl, S.C. Shrivastava, A.M. Ahmed // Spine. - 1984. - V. 9. - P. 120-135.
18. Farfan, H.F. Mechanical disorder of the low back / H.F. Farfan. - Philadelphia: Lea & Febiger, 1973.
19. Further observations on the elastic mechanism of the intervertebral disc / W.G. Horton // Journal of Bone and oint Surgery. - 1958. - V. 40-B. - P. 552-557.
20. The pathology and interrelation of intervertebral disc lesion, osteoarthosis of the apophyseal joints, lumbar spondyolosis and low back pain / R.B. Vernon // The Lumbar Spine and Back Pain / Edited by M.I.V. Jasyon. - London: Pitman Medical Publishing Company, 1980. - P. 83-114.
21. Application of a fiber-reinforced continuum theory to multiple deformations of the anulus fibrosus /
S.M. Klisch, J.C. Lotz // Journal of Biomechanics. - 1999. - V. 32. - P. 1027-1036.
22. Anisotropic shear behavior of the anulus fibrosus: effect of harvest site and tissue prestrain / Y. Fujita, D.R. Wagner, A.A. Biviji, N.A. Duncan, J.C. Lotz // Medical Engineering & Physics. - 2000. - V. 22. -P. 349-357.
23. The structural component of intervertebral / K.L. Markolf, J.M. Morris // Journal of Bone and Joint Surgery.
- 1974. - V. 56-A. - P. 675-688.
24. Deformation of the thoracolumbar intervertebral joint in response to external loads / K.L. Markolf // Journal of Bone and Joint Surgery. - 1972. - V. 54A. - P. 511-533.
25. The distribution of surface strain in the cadaveric lumbar spine / J.S. Saha, W.G Hampson., M.I. Jayson // Journal of Bone and Joint Surgery. - 1978. - V. 60. - P. 246-251.
26. The relevance of torsion to the mechanical derangement of lumbar spine / M.A. Adams, W.C. Hutton // Spine. - 1981. - V. 6. - P. 236-248.
27. The effects of torsion on the lumbar intervertebral joints: the role of torsion in the production of disk degeneration / H.F. Farfan, J.W. Cossette, G.H. Robertson, R.V. Wells, H. Kraus // Journal of Bone and Joint Surgery. - 1970. - V. 52. - P. 468-497.
28. Poroelastic creep response analysis of a lumbar motion segment in compression / M. Argoubi, A. Shirazi-Adl // Journal of Biomechanics. - 1996. - V. 29. - P. 1331-1339.
29. Marsden, J.E. Mathematical Foundations of Elasticity / J.E. Marsden, T.J.R. Hughes. - NJ: Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, 1983.
30. Quasi-incompressible finite elasticity in principal stretches. Continuum basis and numerical algorithms / J.C. Simo, R.L. Taylor // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1991. - V. 85. -P. 273-310.
31. Spencer, A.J.M. Deformations of Fibre-Reinforced Materials / A.J.M. Spencer. - London: Oxford University Press, 1972.
NUMERICAL ANALYSIS OF THE MECHANICAL RESPONSE OF INTERVERTEBRAL DISC CONSIDERING COLLAGEN FIBRES CONFORMATION
E.A. Meroi (Venezia, Itali), A.N. Natali, P.G. Pavan, C. Scarpa (Padova, Itali)
Soft connective tissues are naturally optimised composite materials with directionally dependent mechanical properties since they are composed also by fibres rationally distributed in an amorphous ground matrix. A hyperelastic fibre-reinforced non-homogeneous constitutive model has then been adopted for anulus fibrosus in the disc. The formulation adopted allows for an appropriate description of disc tissues and distinguishes the different contribution of ground material and fibres. Several analyses have been made to take into account different values of volume content, distribution and inclination of fibres in the range of experimental data at disposal from literature. The performed investigation evidences the specific contribution of collagen fibres into the mechanical response of human intervertebral segment and confirms the present approach as an accurate tool for fibre-reinforced soft tissues
Key words: intervertebral disc, computational biomechanics, nonlinear elasticity, composite material.
Получено 14 декабря 2004
