Численный анализ фазовых превращений на примере одномерной задачи Стефана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

ПОДГОРНЫЙ А.Р., СИДОРОВ М.В., ЯЛОВЕГА И.Г._

Рассматривается задача расчета температурного поля в стержне при наличии фазовых превращений (одномерная задача Стефана). На основании метода Галер-кина для нестационарных задач строится численный метод решения задачи Стефана. Эффективность численного метода иллюстрируется серией вычислительных экспериментов.

Ключевые слова: одномерная задача Стефана, точка фазового перехода, метод Галеркина.

Key words: one-dimensional Stefan problem, of phase transitions point, the Galerkin method.

Введение

Актуальность исследования. Моделирование процессов тепломассопереноса, которые сопровождаются изменением агрегатного состояния среды (например, её плавлением или затвердеванием), вызывает необходимость решения задачи Стефана. Кроме того, интерес к задаче Стефана возникает при моделировании переходов «жидкая фаза - пар» во влажном материале. В частности, решение задачи Стефана имеет большое значение для строительства, поскольку ею описывается значительное количество процессов, реально происходящих в конструкциях здания во время его эксплуатации [1].

Особенностью данной задачи является переменный размер области, в которой исследуется температурное поле. Это следствие того, что имеется подвижная граница раздела фаз. Изучение поведения границы раздела с течением времени и составляет основную цель решения задачи. Отметим также, что физические свойства среды при переходе через границу фазовых превращений (в нашем случае это теплопроводность) изменяются скачкообразно. Таким образом, задача Стефана характеризуется существенной геометрической и физической нелинейностями, что крайне затрудняет её решение. Общие аналитические решения этой задачи при произвольной форме области и различных температурных режимах на границе не известны. Известны лишь некоторые частные решения в одномерной задаче [1, 2, 5, 6].

В связи с этим разработка новых методов математического моделирования и численного анализа задачи Стефана является актуальной научной проблемой.

В данной работе рассмотрена проблема математического моделирования и численного анализа фазовых превращений на примере одномерной задачи Стефана. Для решения задачи предлагается приближенный

аналитический метод на основе метода Галёркина, с помощью которого были получены численные значения температурного поля и приближенное уравнение границы фазового перехода.

Цель и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка математических методов решения задачи математического моделирования и численного анализа фазовых превращений на примере одномерной задачи Стефана.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- сформулировать задачу компьютерного моделирования и численного анализа процесса фазовых превращений;

- р азработать метод решения задачи р асчета температурного поля при фазовых превращениях;

- разработать программный продукт, автоматизирующий решение расчета температурного поля при фазовых превращениях;

- провести вычислительные эксперименты для различных параметров модели;

- провести анализ адекватности полученного решения.

1. Постановка задачи

Фазовыми превращениями называют переход вещества из одной фазы в другую при изменении состояния системы. При этом фаза - совокупность телесных объектов, имеющих определенный химический состав и термодинамические свойства, отделена от других фаз поверхностью раздела [1, 5]. Основной характеристикой фазовых превр ащений является температура, при которой фазы находятся в состоянии термодинамического равновесия (точка фазового перехода).

Имеется классификация фазовых переходов, согласно которой для фазовых переходов первого рода характерно, что в точке фазового перехода наблюдается выделение или поглощение тепла и изменение объема.

С точки зрения изменения термодинамических параметров, к фазовым переходам первого рода относятся те, которые характеризуются равенством удельных энергий Гиббса (термодинамических потенциалов) обеих фаз в точке фазового перехода, при том, что первые производные энергии Гиббса по температуре и давлению претерпевают скачкообразное изменение. Стоит отметить, что в точке фазового перехода на температурной зависимости энтропии удельного объема, а также энтальпии имеется разрыв. К таким процессам относятся, например, превращение твердого тела в жидкое (плавление) и обратный процесс (кристаллизация), жидкого - в пар (испарение, кипение), одной кристаллической модификации - в другую (полиморфные превращения) и т.д. [5].

К фазовым переходам второго рода относятся переходы, сопровождающиеся скачком вторых производных энергии Гиббса по функциям состояния в точке превращения. К этому классу фазовых переходов можем отнести процессы перехода нормального проводника в сверхпроводящее состояние, ферромагнетика - в парамагнетик т.д. [5].

Рассмотрим одномерную однофазную задачу Стефана [1, 2, 5, 6].

Возьмем отрезок О = (0, L), который точкой х = Ю)

(граница фазового перехода), |(0) > 0 разбивается на две подобласти:

О+ (Г) = {х|0 <х <1(0}, О-(0 = {х| < х < L} .

Будем считать температуру фазового перехода равной нулю (и* = о), поэтому в твердой фазе, которая занимает область о- , положим и(хД) < 0, а в жидкой

(область о+ ) - и(хД) > 0. Для определения температуры в жидкой фазе рассмотрим уравнение теплопроводности (однородная среда)

д^ д и

= 0

х еО+ а), 0 <х <ад, (1)

и1|

X=0 = ис, и21 х=ь = и0.

(4)

На границе фазового перехода выполнены следующие условия:

и11х=^-0 = и21х=.

X= ^+0:

■ ди2

I—-

дх

х=|+0

ди1

дх

= У

х=|-0

dt

(5)

(6)

функции Ю) следует из принципа максимума для пар аболических ур авнений [5].

2. Применение метода Галёркина

Для решения задачи (1) - (6) применим метод Галёркина [7].

Сделаем в задаче (1) - (6) замену

и(хД) = ф(х) + v(x,t), (7)

где v(x,t) - новая неизвестная функция, а ф(х) -функция, удовлетворяющая условиям

ф| х=0 = ис , ф1 х=Ь = и0.

Можно, например, взять

ф(х) = ис +

ис - и0

L

При таком выборе функции ф(х) получим, что v(x,t) является решением задачи

дУ1 д VI

у, t > 0 , 0 <х <ад:

а для определения температуры в твердой фазе рассматривается уравнение теплопроводности вида (однородная среда)

р— = 0, х еО- (t), < t < L. (2) д дх2

Дополним уравнение (1) начальным условием:

Ч=0 = и0 < 0, (3)

Пусть левый и правый концы поддерживаются при заданной температуре:

д дх

п дv2 д v2

= Т~2, t > 0 < х < L, дt дх2

V] = 0 , v2 , = 0 .

11х=0 ' 21 х=1 :

Ч=0 = и0 -ф,

Ч=1-0 = V2 1х=%+0 ,

(8)

(9) (10) (11) (12)

■ дv2

I—-

дх

х=%+0

дvl

дх

х=|-0

V ^ СЯ П ис - и0 = у —-( 8-1) ;- (13)

dt

L

Согласно методу Галеркина решение задачи (8) - (13) будем искать в виде

v(n)(x,t) = £ ск (t)фk(х) к=1

(14)

Постоянная у связана с энтальпией фазового перехода [5].

В сформулированных предположениях о граничных и начальных условиях в однофазной задаче Стефана (1) - (6) скорость движения границы фазового перехода

(^ = положительна, т.е. область жидкой фазы постепенно расширяется. Монотонное возрастание 46

где Ск 00, к = 1, . . ., п , - неизвестные функции; фк (х), к = 1, ..., п , - координатные функции.

В качестве координатных функций можно взять, например,

фк (х) = х(1- х)Рк-1 ^ у - ^ , к = 1,..., п ,

где Рт (z) - полиномы Лежандра.

Подставив (14) в уравнения (8), (9), получим невязку

R(n)(x,t;cl,...,cn) =

о п 5т,

Е С к (t)Фk - Е ск (1)-^-, 0 <х <|(1);

к=1 к=1 дх

п п дФ (15)

РЕ Ск(t)Фk -Е Ск(О^у, ад <х <ь. ' '

к=1 к=1 дх

Функции С1 (t), ..., сп (t) найдем из условия ортогональности невязки (15) функциям ф1 (х), ..., фп (х):

(R(n)(x, t; С1, ..., Сп), ФJ(х)) = 0, (16)

j = 1, ..., п.

После преобразований (16) примет вид

Е С к (1^ а) +Е Ск «Ьк = о, к=1 к=1

(17)

j = 1, ..., п, где обозначено

ь

ак(1) = | ФкФjdx + Р | ФкФJdx о 1(1)

I д2Фк , ьк = -1^ХФJdx , к, j = 1, ..., п.

о дх

Подставив (14) в начальное условие, получим невязку

г(п) (х;С0, ..., С°)=Е с0фк -(ио-Ф). (18)

у ' к=1

Числа со, ..., сп найдем из условия ортогональности невязки (18) функциям Ф1 (х), ..., фп(х):

((х; С?.....Со), , =», (19)

j = 1, ..., п.

Итак, начальные условия Ск (о) = Ск, к = 1, . . ., п , для (17) получим, решив систему линейных алгебраических уравнений, которая получается из условий (19):

Е ЗД = Ь , j = 1, ..., п, (2о)

к=1

где обозначено

ёк) =/ФкФjdx ,

Известно, что для задачи Стефана на полупрямой фронт фазового перехода распространяется по закону

= [6]. В нашей задаче зависимость будем искать именно в таком виде. Для нахождения параметра а была использована аппроксимация методом наименьших квадратов на основании условий (12), (13) и полученного приближенного по методу Галёркина решения.

3. Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент был проведен на промежутке о < х < 1 (Ь = 1), который, в свою очередь, был разделен на две подобласти о <х <§0) и < х < 1 границей фазового перехода.

Были выбраны следующие значения параметров в задаче (1) - (6):

в = о,125 , у = 75,9о9 , 5 = 4, ио =-1, ис = 1,

что соответствует переходу воды из твердого состояния в жидкое.

На рисунке приведен график зависимости х = . Было получено значение а = о,о263 . Отметим, что точному решению задачи Стефана на полупрямой при числовых данных эксперимента соответствует значение а = о,о258.

Полученные результаты были доложены на XVIII и XIX Международных молодежных форумах «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, ХНУ-РЭ, 14 - 16 апреля 2о14 и 2о - 22 апреля 2о15), Международной научной конференции «XI Гагар ин-ские чтения» (Москва, «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 7- 11 апреля 2о14), а также на 18-й Всеукрашськш (Тринадцятш Мiжнароднiй) сту-дентськш науковш конференцц з прикладно! математики та шформатики „СНКПМ!-2о15" (Львiв, ЛНУ iм. 1.Франка, 22 - 23 апреля 2о15) [3, 4, 8, 9].

?1 л 1.о |-

о.8 о.6 о.4 о.2

Ь = /(ио -Ф)Ф] dx , к, j = 1, ..., п.

о

2оо 4оо 6оо 8оо 1ооо 12оо 14оо

График зависимости х = ^(1)

г

РИ, 2о15, № 2

47

Выводы

Впервые предложен метод расчета температурного поля при фазовых превращениях, основанный на применении численно-аналитического метода Галёрки-на, что позволило получить приближенное решение задачи в аналитическом виде. В ходе выполнения исследований также был разработан программный продукт в пакете Mathematica 10, с помощью которого проведен ряд вычислительных экспериментов.

Результаты работы могут найти применение в научных исследованиях по физике, химии, биологии, а также в медицине (задача криохирургии). Это и определяет научную новизну и практическую значимость полученных результате в.

Литература: 1. Прусаков Г.М. Математические модели и методы в расчетах на ЭВМ. М.: Наука, 1993. 144 с. 2. Левин В.И. Араманович И.Г. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с. 3. Подгорный А.Р. Численный анализ одной задачи фазовых превращений // Научные труды Международной молодёжной научной конференция «XL Гагаринские чтения» в 9 томах (Москва, «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 7 - 11 апреля 2014). Т. 5. С. 158 - 160. 4. Подгорный А.Р. Об одной проблеме математического моделирования фазовых превращений // Материалы XVIII Международного молодежного форума «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, ХНУРЭ, 14 - 16 апреля 2014). Т. 7. С. 130 - 131. 5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с. 6. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 7. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432 с. 8. Подгорный А.Р. Математическое моделирования фазовых превращений на примере одномерной задачи Стефана // Материалы XIX Международного молодежного форума «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, ХНУРЭ, 20 - 22 апреля 2015). Т. 7. С. 84 - 85. 9. Подгорний О.Р. Математичне моделювання фазових перетворень на прикладi одновишрно! задачi Стефана // Тези доповщей

В^мнадцято! Всеукра!нсько! (Тринадцято! Мiжнарод-но!) студентсько! науково! конференцп з прикладно! математики та шформатики „СНКПМ1-2015" (HbBiB, ЛНУ iM. 1.Франка, 22 - 23 квгтня 2015). С. 133 - 135.

Поступила в редколлегию 15.05.2015

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Подгорний Алексей Русланович, магистрант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и вычислительная математика, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Яловега Ирина Георгиевна, канд. техн. наук, доц. каф. математики ХНПУ им. Г.С. Сковороды. Научные интересы: математическое моделирование, методика преподавания математики. Адрес: Украина, 61168, Харьков, ул. Блюхера, 2.

Podgornyj Alexej Ruslanovich, undergraduate of Department of Applied Mathematics KhNURE. Research interests: mathematical modeling and computational mathematics, programming. Address: Ukraine, 61166, Kharkov, Lenin Ave, 14, phone +38 (057) 7021436.

Sidorov Maxim Victorovich, Ph.D. in Physics and Maths, associate professor, associate professor of Department of Applied Mathematics KhNURE. Research interests: mathematical modeling, numerical methods, mathematical physics, R-functions theory and its applications, stochastic analysis and its applications. Address: Ukraine, 61166, Kharkov, Lemn Ave, 14, phone +38 (057) 7021436.

Yalovega Irina Georgievna, Ph.D. in Engineering, associate professor of Department of Mathematics H.S. Skovoroda KhNPU. Research interests: mathematical modeling, methods of teaching mathematics. Address: Ukraine, 61168, Kharkov, Bluher St., 2.