CC BY
54
Абросимов Н.А., Елесин А.В. Численный анализ динамической прочности композитных цилиндрических оболочек при многократных импульсных воздействиях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 7-19. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.01
Abrosimov N.A., Elesin A.V. Numerical analysis of dynamic strength of composite cylindrical shells under multiple-pulse exposures. PNRPUMechanics Bulletin. 2016. No. 4. Рр. 7-19. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.01
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 4,2016 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http ://vestnik.pstu. ru/mechanics/about/inf/
001 10.15593/регш.шесЬ/2016.4.01 УДК 539.3
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Н.А. Абросимов, А.В. Елесин
Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия
О СТАТЬЕ
АННОТАЦИЯ
Получена: 03 июня 2016 г. Принята: 15 октября 2016 г. Опубликована: 30 декабря 2016 г.
Ключевые слова: материалы композитные, оболочки цилиндрические, деформирование нелинейное, разрушение, методы численные, нагружение импульсное.
Объектом исследований являлись открытые с торцов стеклопластиковые цилиндрические оболочки, изготовленные перекрестной намоткой лент однонаправленного композитного материала.
Цель работы - разработка методики численного моделирования процесса прогрессирующего разрушения слоистых композитных цилиндрических оболочек при многократном нагружении импульсом внутреннего давления различной интенсивности.
Кинематическая модель деформирования слоистого пакета основывается на прикладной геометрически нелинейной теории оболочек. Формулировка геометрических зависимостей базируется на соотношениях простейшего квадратичного варианта нелинейной теории упругости. Физические соотношения элементарного слоя формулируются на основе обобщенного закона Гука для ортотропного материала с учетом гипотез прикладной теории оболочек. Процесс прогрессирующего разрушения оболочки описывается в рамках модели деградации жесткостных характеристик элементарных слоев многослойного пакета, которая базируется на критерии Хоффмана для композитного материала и на критерии максимальных напряжений для волокон. Процесс накопления поврежденности в материале оболочки, обусловленный многократным приложением импульсной нагрузки, учитывается посредством вычислительной схемы, в которой расчет текущего напряжено-деформированного состояния осуществляется с жесткостными характеристиками, полученными в рамках модели их деградации при предыдущем нагружении.
Энергетически согласованная система уравнений движения прикладной теории оболочек выводится из условия стационарности функционала полной энергии оболочки.Численный метод решения сформулированной начально-краевой задачи основывается на явной вариационно-разностной схеме.
Достоверность рассматриваемой методики обоснована сравнением полученных результатов с известными экспериментальными данными. Приведены результаты влияния числа нагружений на величину предельных окружных деформаций. Установлено, что уровень максимальных кольцевых деформаций ниже их предельных значений по сравнению с однократным нагружением примерно в десять раз.
© ПНИПУ
© Абросимов Николай Анатольевич - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Елесин Александр Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected]
Nikolay A. Abrosimov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, e-mail:[email protected] Alexander V. Elesin - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: [email protected]
NUMERICAL ANALYSIS OF DYNAMIC STRENGTH OF COMPOSITE CYLINDRICAL SHELLS UNDER MULTIPLE-PULSE EXPOSURES
N.A. Abrosimov, A.V. Elesin
Research Institute of Mechanics of National Research Nizhny Novgorod State University n.a. N.I. Lobachevsky,Nizhny Novgorod, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
The target of this research is studying the fiberglass cylindrical shellswith exposed ends resulted from the cross-winding of tapes made of an unidirectional composite material.
The aim of the study was to develop a numerical technique to model a progressive fracture of laminated composite cylindrical shells under multiple-pulse loading with an internal pressure of a various intensity.
Kinematic model of deforming the laminate package is based on the applied geometrically nonlinear theory of shells. The formulation of geometric dependencies is based on the relations of the simplest quadratic variant of the nonlinear elasticity theory. The physical relations of the elementary layer are formulated based on the generalized Hooke's law for the orthotropic material based on the hypotheses of the applied shells theory. The process of a progressive shell failure is described within the degradation model of stiffness characteristics in elementary layers of a multilayer package which is based on Hoffman's criteria for composite materials and on the criterion of maximum stresses for the fibers. The process of damage accumulation in the shell material due to a multiple application of impulse load is takeninto account by means of the computational scheme in which the calculation of the current stress strain state is carried out with stiffness characteristics obtained in the model of their degradation under previous loading.
Energetically consistent system of motion equations of the applied shell theory is deduced from the stationarity condition related to the functional of the shell total energy. A numerical method for solving the formulated initial-boundary value problem is based on an explicit variational difference scheme.
The accuracy of the considered techniqueis proved by comparing the obtained results with the known experimental data. The results of how the number of loadings affects the value of marginal circumferential deformationsare presented. It is established that the level of maximalring deformations is approximately ten times less than their limit values compared to a single loading.
©PNRPU
Введение
Композитные материалы благодаря высокой удельной прочности находят все более широкое применение при создании различных конструкций, испытывающих интенсивные динамические нагрузки. В частности, к таким конструкциям относятся взрывозащит-ные камеры, для которых требуется с высокой степенью надёжности исключить их разрушение в условиях многократного воздействия импульсной нагрузки. Экспериментально установлено [1], что динамическая прочность и деформируемость стеклопластиковых цилиндрических оболочек существенно зависят от уровня импульсной нагрузки и числа нагружений. Кроме того, при повторном нагружении наблюдалось снижение величины предельной деформации оболочки [2]. Данные эффекты, связанные с неоднократным на-гружением, изучались экспериментально при нагрузках, близких к предельным, что приводило к значительным повреждениям после первого нагружения и полному разрушению всего слоистого пакета при последующих нагружениях. Для обоснованного применения стеклопластиков при проектировании взрывозащитных контейнеров необходимо провести исследование их усталостной прочности при многократных импульсных воздействиях, которые существенно меньше их предельных значений. Некоторые аспекты экспериментального изучения малоцикловой усталостной прочности стеклопластиков рассматрива-
Received: 03 June 2016 Accepted: 15 October 2016 Published: 30 December 2016
Keywords: composite materials, cylindrical shells, nonlinear deformation, fracture, numerical methods, pulse loading.
лись в [3]. Обзор критериев прогрессирующего разрушения многослойных композитов содержится в работе [4]. Различные варианты моделей прогрессирующего разрушения слоистых композитов рассматривались в работах [5-15].
Предлагаемая работа посвящена численному моделированию прогрессирующего разрушения стеклопластиковых цилиндрических оболочек при многократном взрывном нагружении.
1. Постановка и метод решения задачи
Рассматривается стеклопластиковая цилиндрическая оболочка, изготовленная перекрестной намоткой лент однонаправленного композитного материала. Отнесем оболочку
к ортогональной криволинейной системе координат аг.(/ = 1,3), совпадающей с линиями главных кривизн и внешней нормалью к внутренней поверхности оболочки.
Коэффициенты Ламе и главные кривизны: Н1 = г1 = 1, Н2 = = 1 + к2а3, Н3 = 1,
к1 = 0, к2 = —, где Я - радиус внутренней поверхности оболочки. Я
Кинематическая модель деформирования многослойного пакета базируется на прикладной геометрически нелинейной теории оболочек [16], в рамках которой распределение перемещений по толщине оболочки запишется в виде
и (ах, а 2, аз, t) = и. (ах, а2, t) + азф . (ах, а2, t), (. = 1, 2),
из(ах, а 2, а3, t) = и3(ах, а2, t),
(1)
где Ц (а1, а^ t) - перемещения точек внутренней поверхности в направлениях осей а1 (/ = 1,3); фJ. (. = 1,2) - углы поворота нормали к внутренней поверхности.
Компоненты нелинейного тензора деформаций прикладной теории цилиндрических оболочек можно представить в виде [17]
е11 = — (811 +£!2з/2 + а3X11), 2)
е12 [12 + S13S 23/2^а 3X12 ] + [
21 1 S13S 23 /2 + aзХ 21 ]
(1^ 2),
(2)
e13 = — (Ф1 + S13) (1 ^ 2),
где
du1 5a,
Xu
k1u3
5Ф1
5a!
X12
5u2 5a 1
5ф2 5a.
(1 ^ 2), (1 ^ 2), (1 ^ 2), (1 ^ 2),
(3)
сЦ Эа,
- к1ы1
(1 ^ 2).
Символ (1 о- 2) здесь и далее обозначает, что из записанного соотношения можно получить еще одно одновременной заменой 1 на 2, 2 на 1.
Физические соотношения элементарного слоя с учетом гипотез прикладной теории оболочек запишутся в виде
г
=
Л2 ^
А - -13-Лп А
V Л33
с
е11 +
А А
^1^23
Л12
Л
V
А
22
(1 ^ 2),
Л6бе12
33 у
(1 ^ 2),
(4)
°13 = Л44е13, ^23 = Л55е23 ,
где Лтп - ступенчато изменяющиеся функции переменной а3, которые вычисляются через модули упругости Еу и коэффициенты Пуассона V у элементарного слоя композитного материала.
В процессе нестационарного деформирования допускается локальное разрушение элементарных слоев в пакете многослойного композита. В результате разрушения отдельных элементарных слоев композита происходит перераспределение напряжений между слоями, а многослойный пакет продолжает оказывать сопротивление дальнейшему деформированию. Процесс прогрессирующего разрушения оболочки описывается в рамках модели деградации жесткостных характеристик элементарных слоев многослойного пакета, которая базируется на критерии Хоффмана [18] для композитного материала:
/ = С1 ( -°33 )2 + С2 ( )2 + С3 ( -°22 ) +
+С4 + С5 а22 + С6 ст„ + С7 + С8 0!2э + С9 ст^ = 1,
С =■
V 331 33
22 22
1 11-1 11 у
С2 =■
V 331 33
11 11
1 22 22 У
С, = 1
32
РРРС V 11 11
РРРС 22 22
РРРС 1 331 33 у
С =■
РР р
33
33
С = -!_
С Рр
1 22
Р
22
С =-!.
Сб Р1Р
РС
11
С =
4 Р
23
С
С
С9 ^
^ Г^РВ I I Г^СВ
и на критерии максимальных напряжений для волокон > Р11 , ап > гп , вычислен-
ных в осях ортотропии элементарного слоя. Здесь рР, РС, Р у , Р1рВ, Р^В - пределы
7СВ
прочности однонаправленного композитного материала и волокон при растяжении и сжатии. В процессе деформирования и трещинообразования связующего предполагается жесткое сцепление между соседними слоями.
В зависимости от знака объемной деформации и моды разрушения композитного материала и волокон модули упругости монослоя с трещинами принимают одно из возможных значений, приведенных в таблице.
Схема редуцирования модулей упругости слоя Reduction scheme of layer elasticity moduli
Характер разрушения Условия на значение объемной деформации En E 22 ^33 Gu G,3 G23
> FP 0 0 0 0 0 0
Ы > F? en + e22 + e33 > 0 0 0 0 0 0 0
еП + e22 + e33 < 0 E0 E 0 22 E 0 0 0 0
f (, F', Fc, F ), eH + e22 + e33 > 0 E 0 E 22 E' G!2 G,3 G23
eH + e22 + e33 < 0 E 0 E 0 22 E 0 G,2 G!3 G23
Здесь Е22, £3'3, О' - значения модулей упругости и сдвига в результате деградации
материала оболочки, вычисляемые по формулам [19] E22 =
emax v2
с22 + 12 FP E 0
22 11
E -
emax v2
c33 + v13
FP E0
33 11
G -
• E E0 E -
состоянии; у12 , у13 - коэффициенты Пуассона; е^ - текущие значения деформаций
(/, ] = 1,3); е^, е33"ах- максимальные значения деформаций при растяжении за предысторию деформирования.
Процесс накопления поврежденности в материале оболочки, обусловленный многократным приложением импульсной нагрузки, учитывается посредством вычислительной схемы, в которой расчет текущего напряженно-деформированного состояния осуществляется с жесткостными характеристиками, полученными в рамках модели их деградации при предыдущем нагружении.
Будем считать, что исчерпание несущей способности оболочки происходит в момент обнуления в каком-либо поперечном сечении всех жесткостных характеристик.
Энергетически согласованная система уравнений движения прикладной теории оболочек выводится из условия стационарности функционала полной энергии оболочки. Вариационное уравнение движения цилиндрической оболочки со свободными торцами, нагруженной импульсом внутреннего давления, запишется в виде
Л
■ 5(4) + N2, + N22 + N,2 _ № +
5а,
5а 2
5а 2
5а,
+N * ^ + n * ^ + М, + M,, ^+M^+е138ф, +
5а, 23 5а 2
5а,
5а 2
+м^ + M^ + 023бф2
22 ^ ,2 5а 2 5а,
d а,ёа2 + JJJj^B,,/, + В,2ф, )би,
(5)
+ +
(Bnii2 + В,2ф 2 )би2 + BnU'35u3 + (В22ф, + Б21И, )бф, + (В22ф2 + B2,ii2) 5ф2 dа1dа2 - JJP35u3dа1dа2 - 0,
где
N3 - Q + Nne,3 + NV2^23 , ^ 2).
,
e
ЛЬгойшск Ы.Л., Е^тЛ.У. /РЫЯРиМескспжБиНвПп 4 (2016) 7-19
Б11 = р(к + к2к 2/2); Б22 =р( к 3/3 + к2к 4/4); Б12 = В21 =р( к2/2+к2 к 3/3),
Н11 = Б11811 + В12822 + СпХп + СцХ22 (1 о 2Х
^12 = Б33 812 + Б33 821 + С33Х12 + С33Х21 (1 о 2),
М1 1 С11811 + С12 822 + ГПХ„ + А2Х22 (1 о 2),
М12 = С33 812 + С33 821 + Г33Х12 + Г33Х21 (1 о 2), 013 = ^1(813 +Ф1) (1 о 2),
811 = 811 +813/2; 812 = 812 + 813823/2 (1 о 2)
Б. = I(0),
Б* = I(0)
я . . = I(2)
л л
Б = Б = Т(0) 12 21 12 '
Б12 = б21 = Т (0)
33 33 33
я = я = Т(2) 12 21 ^ 12
С = I(1) 1 а '
С. = Т (1)
33 33,
Г3 = !з(з2) ■■, 33 33,.'
С = С = Т®
12 21 12 5
С12 = С 21 = Т (1)
33 33 33
Г)и = ГП = Т (2)
33 33 33
К = к2
кК
< /)(кк) к=1 ^ ,.+3
Т а) =
"41
7+3.+3 К
^к -^
я<к) =
кк = (*к + ^к-1)/2,
(1 + кк к,)
(1 о 2) (. = 1,2),
(1 + кк к2)
т+^ЛГН0 (+1 - *£), ( = 0,1,2) (1 о 2),
I + 1 к=1
т+1¿ЛГНк) ( - гк+-11) (1 о 2),
1 + 1 к=1
Т2) = ) ( - гк+1),
I + 1 к=1
) ( -гк+-1) ( = 0,1,2),
I +1 к=1
Т (0 = ^ 33,11
Т (I) =
33
где Р3 - нагрузка по направлению координатной оси а 3; £ - область интегрирования на внутренней поверхности оболочки; Л(К) - эффективные жесткостные характеристики слоя, которые вычисляются через модули упругости и коэффициенты Пуассона [16]; гк -координаты слоев, отсчитываемые от внутренней поверхности оболочки.
Минимизация функционала полной энергии оболочки (5) позволяет получить систему уравнений движения
4 (N) = Б^и + Бцф 1, ¿2 (N) + N^2 = Бпи2 + БцФф2,
А (М) - 013 = ^ 1 + B23U3> ¿2 (М) - 023 = ^«Р2 + Дп^>
¿1 С ) = ^ + ^
Эа1 Эа2
(1 о 2),
N эн
23
Эа1 Эа2
- к2 Н22 + Р3 = B33¿^3
и естественные граничные условия
Мп = 0, ми=0, N3 = 0, М = 0, М12 = 0 (1 о 2). (7)
Дополняя соотношения (6), (7) необходимым числом начальных условий
иг (а.1, а 2,0) = иг0 (а 1, а 2), Фг (а^ а 2,0) = ф0(а,1, а 2),
и(а1, а2,0) = ^(а^а2), фг (а1,а2,0) = ф0^,а2), (/ = 1, 3; у = 1, 2),
(8)
получим полную систему уравнений для анализа нелинейных волновых процессов деформации и послойного разрушения цилиндрических оболочек, полученных перекрестной намоткой однонаправленного композитного материала.
Численный метод решения сформулированной задачи основывается на явной вариационно-разностной схеме [20].
2. Результаты исследования
Рассматривалась оболочка радиусом внутренней поверхности Я = 0,15 м, толщиной И = 0,00819 м и длиной Ь = 4Я, выполненная из стеклопластика со следующими жестко-стными и прочностными характеристиками элементарного слоя и волокон[21]: Е11 = 55,0
ГПа, Е22 = Е33= 9,04 ГПа, у12 = у13 = 0,276, у23 = 0,3, О12 = О13 = 5,08 ГПа, О23 = 5,2 ГПа, р = 2010 кг/м3, ^¡р = 1,5 ГПа, = 0,397 ГПа, = Е3р = 0,0267 ГПа, = F£ = 0,0719
ГПа, ^2 = = 0,0357 ГПа, Е23 = 0,04 ГПа, = 2,8 ГПа, ^ = 0,7425 ГПа.
В расчетах импульс внутреннего давления задавался с помощью эмпирической зависимости
, ч \0,35шц//3 при г < 0,35// !а,
Р3 (/, гН ' 41 Р ' у
[0 при г > 0,35/Цц,
где ш - масса заряда; а = 4,77-106 Дж/кг - теплотворная способность взрывчатого вещества (ВВ); / - расстояние от центра заряда до точки внутренней поверхности оболочки. Достоверность рассматриваемого подхода подтверждалась сравнением численных
расчетов с экспериментальными данными [2] по значениям максимальных кольцевых де-
*
формаций е22 в центральном сечении неразрушившейся оболочки и периоду радиальных колебаний Т, полученным для оболочки со структурой пакета
[90° ]16
при нагружении
однократным зарядом ВВ массой ш = 0,0206 кг. В эксперименте е22 = 0,4%, Т-106 = 180 с,
в расчете е22 = 0,3%, Т-106 = 190 с.Наблюдается достаточно хорошее совпадение результатов как по амплитуде, так и периоду колебаний.
Далее рассматривалась задача динамической прочности стеклопластиковой цилиндрической оболочки толщиной И = 0,0102 м со структурой армирования I +450, 9002 I
при многократных импульсных воздействиях, которые существенно меньше их предельных значений.
Типичные зависимости радиальных колебаний в центральном сечении оболочки показаны на рис. 1 для пяти последовательных нагружений зарядом ВВ массой ш = 0,105 кг.
Видно, что с ростом числа нагружений наблюдается увеличение амплитуды и периода колебаний, обусловленное снижением жесткостных характеристик многослойного пакета вследствие разрушения некоторых элементарных слоев.
Рис. 1. Осциллограммы окружных деформаций в центральном сечении при многократном нагружении Fig. 1. Waveform circumferential deformations in the central section with repeated loading
Иллюстрация процесса разрушения оболочки при многократном нагружении зарядом ВВ массой m = 0,105 кг представлена на рис. 2-4. На рис. 2 для двух моментов времени показаны деформированные конфигурации оболочки с нанесенными зонами разрушения внешнего слоя.
t = 1,0-10-4 с t = 7,0-10-4 с t = 1,0-10^ с t = 7,0-10-4 с t = 1,0-10^ с t = 7,0-Ш-4 с а б в
Рис. 2. Деформированные конфигурации оболочки (прогибы увеличены в пять раз): а - первое нагружение; б - четвертое нагружение; в - пятое нагружение Fig. 2. The deformed configuration of the shell (deflections magnified five times): a - first loading; b - loading the fourth; с - fifth loading
На рис. 3 показана соответствующая кинетика развития зон разрушения по толщине пакета слоев в центральном сечении оболочки для пяти последовательных нагружений.
Здесь светлый фон соответствует зонам, в которых разрушения отсутствуют; серый фон - зоны разрушения матрицы; в зонах черного фона происходит разрушение волокон. Процесс разрушения стеклопластиковых оболочек при многократных импульсных воздействиях аналогичен ранее полученным результатам при однократном нагружении [22], что свидетельствует о слабом влиянии скорости деформации на характер возникающих в композите повреждений.
0.5L
L О
0.5L а
0,5L б
L О
0.5L
0,5h
0,5L
0,5L
0.5L
0,5h
Я = В
0,5L
L О
0,5L
L 0
0.5L
t = L0-10-4 с
t = 4.0-10-4 с
t = 7,0-10-4 с
Рис. 3. Кинетика зон разрушения по толщине оболочки: а - первое нагружение; б - второе нагружение; в - третье нагружение; г - четвертое нагружение; д - пятое нагружение Fig. 3. Kinetics of fracture zones across the shell thickness: a - first loading; b - second loading; с - loading the third; d - fourth loading; е - the fifth loading
На рис. 4 показаны экспериментальные [3] и расчетные зависимости предельных зна-
*
чений окружных деформаций e22 от логарифма числа нагружений N.
Анализ полученных результатов показал, что для данного типа стеклопластико-
вых оболочек кольцевая деформация линейно зависит от логарифма числа нагружений
*
до разрушения. Разброс расчетных данных для e22 при lgN = 0 объясняется тем, что
результаты получены для различных масс ВВ, при которых разрушение происходило при однократном нагружении. Кроме того, существует граничный уровень предельной нагрузки, при котором разрушение не наблюдается, а число нагружений может быть достаточно большим. Отмеченный эффект может быть связан с тем, что рассматриваемая модель не учитывает накопление повреждений в материале при нагрузках меньше критических. При этом уровень максимальных кольцевых деформаций ниже
в
г
д
Рис. 4. Максимальные окружные деформации в зависимости от числа нагружений: □А - разрушение; □ Д - нет разрушения; 1 - эксперимент; 2 - расчет Fig. 4. The maximum circumferential strain depending on the number of loadings: □A - destruction; □ Д - no destruction; 1 - experiment; 2 - calculation
их предельных значении по сравнению с однократным нагружением примерно в де-сятьраз. Полученные результаты удовлетворительно коррелируют с экспериментальными данными [3].
Заключение
Предложенная расчетная модель позволяет с удовлетворительнои точностью описывать процесс послойного прогрессирующего разрушения стеклопластиковых цилиндрических оболочек при многократных импульсных воздействиях. Значения предельных окружных деформаций при многократном импульсном нагружении примерно на порядок меньше по сравнению с соответствующими предельными значениями при однократном нагружении, что удовлетворительно согласуется с результатами экспериментальных испытаний.
Работа выполнена при частичном финансировании в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки (проект № 2014/134 2226) и грантов РФФИ(проекты № 15-08-04268, № 16-08-01124), разработка расчетной модели выполнена за счет средств РНФ (проект №16-19-10237).
Библиографический список
1. Деформация и разрушение цилиндрических оболочек из стеклопластика при внутреннем импульсном нагружении / В.И. Цыпкин [и др.] // Механика композитных материалов. - 1981. -№2. - С. 249-255.
2. Федоренко А.Г., Сырунин М.А., Иванов А.Г. Влияние структуры армирования ориентированных стеклопластиков на прочность круговых цилиндрических оболочек при взрывном нагру-жении изнутри // Механика композитных материалов. - 1991. - № 4. - С. 631-640.
3. Сырунин М.А., Федоренко А.Г., Иванов А.Г. Динамическая прочность цилиндрических оболочек из стеклопластика при многократном взрывном нагружении // Физика горения и взрыва. -1997. - Т. 33. № 6. - С. 102-107.
4. Mark R. Garnich and Venkata M.K. Akula Review of degradation models for progressive failure analysis of fiber-reinforced polymer composites // Appl. Mech. Rev. - 2009. - Vol. 62. - No. 1. -P. 1-33. DOI: 10.1115/1.3013822
5. Veera Skytta, Olli Saarela, Markus Wallin Progressive failure of composite laminates; analysis vs experiments // Fracture of Nano and Engineering Materials and Structures. Proceedings of the 16th European Conference of Fracture, Alexandroupolis, Greece, July 3-7, 2006. - Part B. - P. 341-342. DOI: 10.1007/1-4020-4972-2_168
6. Elisa Pietropaoli Progressive failure analysis of composite structures using a constitutive material model (USERMAT) developed and implemented in ANSYS © // Applied Composite Materials. - 2012. -Vol. 19. - No. 3. - P. 657-668. DOI: 10.1007/s10443-011-9220-0
7. Computational modeling of complex failure mechanisms in laminates / Meer F.P. van der, Sluys L.J., Hallett S.R., Wisnom M R. // J. Composite Materials. - 2012. - Vol. 46. - No. 5. - P. 603623. DOI: 10.1177/0021998311410473
8. Gunel M., Kayran A. Non-linear progressive failure analysis of open-hole composite laminates under combined loading // Journal of Sandwich Structures & Materials. - 2013. - Vol. 15. - No. 3. -P. 309-339. DOI: 10.1177/1099636213483651
9. Ellul B., Camilleri D., Betts J.C. A progressive failure analysis applied to fiber-reinforced composite plates subject to out-of-plane bending // Mechanics of Composite Materials. - 2013. -Vol. 49. - No. 6. - P. 605-620. DOI 10.1007/s11029-013-9377-8
10. Chen X., Li Z., Wang H. Progressive failure analysis of an open-hole composite laminate by using the s-version finite-element method // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50. -No. 3. - P. 279-294. DOI: 10.1007/s11029-014-9414-2
11. Shokrieh M.M., Karamnejad A. A investigation of strain rate effects on the dynamic response of a glass/epoxy composite plate under blast loading by using the finite-difference method // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50. - No. 3. - P. 295-310. DOI: 10.1007/s11029-014-9415-1
12. Liu P.F., Xing L.J., Zheng J.Y. Failure analysis of carbon fiber/epoxy composite cylindrical laminates using explicit finite element method // Composites Part B-Engineering. - 2014. - Vol. 56. -P. 54-61. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.08.017
13. Jayashree Sengupta, Arghya Ghosh, Dipankar Chakravorty Progressive failure analysis of laminated composite cylindrical shell roofs // Journal of Failure Analysis and Prevention. - 2015. -Vol. 15. - No. 3. - P. 390-400. DOI: 10.1007/s11668-015-9951-6
14. Finite element analysis of progressive failure and strain localization of carbon fiber/epoxy composite laminates by ABAQUS / P.F. Liu, Y.H. Yang, Z.P. Gu, J.Y. Zheng // Applied Composite Materials. - 2015. - Vol. 22. - No. 6. - P. 711-731. DOI: 10.1007/s10443-014-9432-1
15. Shroff S., Kassapoglou C. Progressive failure modelling of impacted composite panels under compression // Journal of Reinforced Plastics and Composites - 2015. - Vol. 34. - No. 19. - P. 16031614. DOI: 10.1177/0731684415592485
16. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
17. Шаповалов Л.А. Об учете поперечного обжатия в уравнениях нелинейной динамики оболочек // Изв. РАН МТТ. - 1997. - № 3. - С. 156-168.
18. Браутман Л., Крок Р. Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. - М.: Мир, 1978. - 568 с.
19. Композиционные материалы: справочник / В.В. Васильев [и др.]; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
20. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. -Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. - 400 с.
21. Предельная деформируемость и прочность базальтопластиковых оболочек при внутреннем взрывном нагружении / В Н. Русак [и др.] // ПМТФ. - 2002. - Т. 43, № 1. - С. 186-195.
22. Абросимов Н.А., Елесин А.В., Пирогов С.А. Численный анализ неосесимметричного деформирования и прогрессирующего разрушения слоистых композитных цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. - 2015. - Т. 77, № 1. - С. 23-32.
References
1. Deformatsiia i razrushenie tsilindricheskikh obolochek iz stekloplastika pri vnutrennem impul'snom nagruzhenii / V.I. Tsypkin [et al.] [Deformation and fracture of cylindrical shells made of fiberglass with an internal impulse loading]. Mechanics of Composite Materials, 1981, no. 2, pp. 249-255.
2. Fedorenko A.G., Syrunin M.A., Ivanov A.G. Vliianie struktury armirovaniia orientiro-vannykh stekloplastikov na prochnost' krugovykh tsilindricheskikh obolochek pri vzryvnom nagru-zhenii iznutri. Mekhanika kompozitnykh materialov [Impact oriented fiberglass reinforcement structure strength of circular cylindrical shells under explosive loading inside]. Mechanics of Composite Materials, 1991, no. 4, pp. 631-640.
3. Syrunin M.A., Fedorenko A.G., Ivanov A.G. Dinamicheskaia prochnost' tsilindricheskikh obolochek iz stekloplastika pri mnogokratnom vzryvnom nagruzhenii [Dynamic strength of cylindrical shells made of fiberglass with multiple explosive loading]. Physics of combustion and explosion, 1997, vol. 33, no. 6, pp. 102-107.
4. Mark R. Garnich and Venkata M.K. Akula Review of degradation models for progressive failure analysis of fiber-reinforced polymer composites Appl. Mech. Rev., 2009, vol. 62, no. 1, pp. 1-33, DOI: 10.1115/1.3013822
5. Veera Skytta, Olli Saarela, Markus Wallin Progressive failure of composite laminates; analysis vs experiments, Fracture of Nano and Engineering Materials and Structures, Proceedings of the 16th European Conference of Fracture, Alexandroupolis, Greece, July 3-7, 2006, Part B, pp. 341-342. DOI: 10.1007/1-4020-4972-2_168
6. Elisa Pietropaoli Progressive failure analysis of composite structures using a constitutive material model (USERMAT) developed and implemented in ANSYS ©, Applied Composite Materials, 2012, vol. 19, no. 3, pp. 657-668. DOI: 10.1007/s10443-011-9220-0
7. Meer F.P. van der, Sluys L.J., Hallett S.R., Wisnom M.R. Computational modeling of complex failure mechanisms in laminates, Journal Composite Materials, 2012, vol. 46, no. 5, pp. 603-623. DOI: 10.1177/0021998311410473
8. Gunel M., Kayran A. Non-linear progressive failure analysis of open-hole composite laminates under combined loading, Journal of Sandwich Structures & Materials, 2013, vol. 15, no. 3, pp. 309-339. DOI: 10.1177/1099636213483651
9. Ellul B., Camilleri D., Betts J.C. A progressive failure analysis applied to fiber-reinforced composite plates subject to out-of-plane bending, Mechanics of Composite Materials, 2013, vol. 49, no. 6, pp. 605-620. DOI 10.1007/s11029-013-9377-8
10. Chen X., Li Z., Wang H. Progressive failure analysis of an open-hole composite laminate by using the s-version finite-element method, Mechanics of Composite Materials, 2014, vol. 50, no. 3, pp. 279-294. DOI: 10.1007/s11029-014-9414-2
11. Shokrieh M. M., Karamnejad A. A investigation of strain rate effects on the dynamic response of a glass/epoxy composite plate under blast loading by using the finite-difference method, Mechanics of Composite Materials, 2014, vol. 50, no. 3, pp. 295-310. DOI: 10.1007/s11029-014-9415-1
12. Liu P.F., Xing, L.J., Zheng, J.Y. Failure analysis of carbon fiber/epoxy composite cylindrical laminates using explicit finite element method, Composites Part B-Engineering, 2014, vol. 56, pp. 54-61. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.08.017
13. Jayashree Sengupta, Arghya Ghosh. Dipankar Chakravorty Progressive failure analysis of laminated composite cylindrical shell roofs. Journal of Failure Analysis and Prevention, 2015, vol. 15, no. 3, pp. 390-400. DOI: 10.1007/s11668-015-9951-6
14. Liu P.F., Yang Y.H., Gu Z.P., Zheng J.Y. Finite element analysis of progressive failure and strain localization of carbon fiber/epoxy composite laminates by ABAQUS, Applied Composite Materials, 2015, vol. 22, no. 6, pp. 711-731. DOI: 10.1007/s10443-014-9432-1
15. Shroff S., Kassapoglou C. Progressive failure modelling of impacted composite panels under compression, Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2015, vol. 34, no. 19, pp. 1603-1614. DOI: 10.1177/0731684415592485
16. Vasil'ev V.V. Mekhanika konstruktsii iz kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite structures]. Moscow: Engineering, 1988, 272 p.
17. Shapovalov L.A. Ob uchete poperechnogo obzhatiia v uravneniiakh nelineinoi dinamiki obolochek [On account of the transverse compression in the equations of the nonlinear dynamics of shells]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 1997, no. 3, pp. 156-168.
18. Brautman L., Krok R. Kompozitsionnye materialy. vol. 2: Mechanics of Composite Materials. Moscow: Mir, 1978. 568 p.
19. Vasil'ev V.V. [et al.] Kompozitsionnye materialy: Spravochnik / [Composite materials: The Handbook]. Pod obshch. red. Vasil'eva V.V., Tarnopol'skogo Iu.M. Moscow: Mashinostroenie, 1990. 512 p.
20. Abrosimov N.A., Bazhenov V.G. Nelineinye zadachi dinamiki kompozitnykh konstruktsii [Nonlinear problems of the dynamics of composite structures]. Nizhegorodskii universitet, 2002. 400 p.
21. Rusak V.N. [et.al.] Predel'naia deformiruemost' i prochnost' bazal'toplastikovykh obolochek pri vnutrennem vzryvnom nagruzhenii. [Limiting deformability and strength of basalt plastic shells under internal explosive loading ]. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002, vol. 43, no. 1, pp. 186-195.
22. Abrosimov N.A., Elesin A.V., Pirogov S.A. Chislennyi analiz neosesimmetrichnogo deformirovaniia i progressiruiushchego razrusheniia sloistykh kompozitnykh tsilindricheskikh obolochek pri impul'snom nagruzhenii [Numerical analysis of non-axisymmetric deformation and progressive failure of laminated composite cylindrical shells underimpact loading]. Journal of problems of strength and plasticity, 2015, vol. 77, no 1, pp. 23-32.
