CC BY
23Численный алгоритм взаимного мультифрактального анализа
Светова Н.Ю. [email protected])
Петрозаводский государственный университет.
Введение
Концепция мультифрактального формализма [1-3] дает эффективный инструмент для изучения и количественного описания широкого многообразия неоднородных иррегулярных, сложных систем. Однако появление большинства ошибок в практических приложениях мультифрактального анализа связано с тем, что в отличие от идеальных фрактальных структур реальные природные системы являются самоподобными только лишь над конечным числом уровней масштабов. Поэтому разные меры могут дать почти одинаковые мультифрактальные спектры, и для сравнения распределений мер с мультифрактальной точки зрения этот метод не является достаточно корректным. Вследствие этого актуальной является тема разработки методов анализа не только распределения единственной меры, но и определении количественных характеристик влияния двух разных распределений на геометрию друг друга. В работах [4-6] на основе классического мультифрактального формализма Л. Олсена [8] была предложена идея выполнения взаимного мультифрактального анализа относительного произвольно заданной меры. Взаимный мультифрактальный анализ позволяет получить информацию о сложном взаимном влиянии двух распределений в контексте геометрической интерпретации, а при некоторых специально заданных значениях параметров q и t, в качестве следствий, позволяет получить спектры, которые уже ранее встречались в литературе. В данной статье предлагается численный алгоритм взаимного мультифрактального анализа, рассматриваются случаи совпадающих и различных носителей мер на примере модельных фрактальных множеств.
Численный алгоритм взаимного мультифрактального анализа
Рассмотрим подмножество Uобъемлющего евклидова пространства размерности d, d=1,2,3,..., содержащее носители двух заранее заданных определенным образом мер / и v.
1) Покроем множество U произвольной сеткой, состоящей из кубических (в случае d=3, квадратных, если d=2 и т.д.) ячеек одинакового размера 5. Определим каждую из двух мер ячейки с помощью суммирования (в случае дискретно распределенной меры) или интегрирования (для непрерывно распределенной) меры в каждой точке по всем точкам ячейки
MQ) = Yj/(zr ^ v(C5) = Zv(z-)-
ZieC5 zt^C5
Количество ячеек, для которых меры / и v являются строго положительными, обозначим через N (5).
2) Реализуя несколько разбиений множества U на ячейки размером равным 5, найдем минимальное значение по всем возможным разбиениям обобщенной статистической суммы
N (5)
M5(q,t) = min £(C)q(vC5)t, (1)
i=1
где параметры q, t принимают любые действительные значения, а суммирование проводится по всем ячейкам разбиения, имеющим непустое пересечение с пересечением носителей мер. Использование нескольких (а лучше многих) последовательных произвольных разбиений пространства в дальнейшем обеспечит отсутствие эффекта влияния способа покрытия сеткой на полученные характеристики.
3) Оценку емкостных размерностей получим по формуле
*) = 8™
. 1п М в(д, *)
8^0
1п5
(2)
Зависимость т (я, *) показывает насколько произведение моментов мер / и V зависит от размера ячейки 8.
4) В случае дифференцируемой и выпуклой функции т/у приближенные значения взаимных локальных размерностей получим из формул
а(я, *)!
дтmv(Я, *)
в(Я, *);
дтл,v(q, *)
дя д*
В качестве оценки спектра Лежандра для разбиений положим
/л,Ля> *) =
(я, *)я + в^ (я, *)* - (я, *), а^ *)я + *)*- ^ (Я, *) > 0;
(Я, * )Я + Рц* (Я, 0*- (Я, *) < 0
0,
(3)
(4)
В силу теорем 10, 11 [4] и теоремы 5 [6] полученная оценка спектра Лежандра позволяет мажорировать сверху емкостные и точные взаимные мультифрактальные спектры, которые несут информацию как статистического, так и геометрического характера о влиянии исследуемых мер друг на друга.
5) Полагая значения параметров я и * быть равными нулю и *=я-1, в качестве частных случаев получим условные и относительные обобщенные размерности Реньи, предложенные Р.Риеди [9] и, соответственно, Р.Дансеро и В.Кинснер [7]:
Б/ (я) = ^
Бусл (*) =1М,
Б/V (Я) = ^
Тиу (Я,0)
Я -1
Т V (0, *)
г -1 , ТиУ (яД - я)
Я -1 '
условные локальные размерности
а/ (Я) = аV (Я,0), и оценку условных спектров Лежандра
//сл (Я) = Л (я,0),
Я * 1, * * 1, Я * 1,
Б/сл (1) = аА у (1,0),
БУсл (1) = в/, V (0,1)
Б/т: (1) = 0,
РГ (*) = вл V (0, *)
/г (*)=/ (0, *)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
Некоторые свойства взаимных мультифрактальных характеристик
Условные и относительные размерности, также как и классические обобщенные размерности Реньи, монотонно убывают с ростом я, соответственно, т.е. Б/(я') > Б/(я"), я"> Я',
Бусл (*') > Бусл (*''), *" > *', Бот (я') > Бот (я''), я" > я' - Максимальных значений функции Б/сл (я), Вусл (*) и Б/т* (я) достигают при я ^ , а минимальных при я ^ • Условные обобщенные размерности Реньи могут принимать только положительные значения, в то время как относительная размерность Б/т" (я) положительна при я < 0 и отрицательна, при я > 0 .
При я = 0 и * = 0 условные обобщенные размерности Реньи Б/ (0) и Бусл (0) совпадают и дают оценку фрактальной размерности Б(0) пересечения носителей заданных мер, которая является достаточно грубой характеристикой и не несет никакой информации о статистических свойствах. Относительная размерность Б/т1" (я) при я = 0 тождественно равна нулю.
При я = 1 и * = 1 получим условные информационные размерности
N(5) N(5)
min 2 juCs ln juCs min 2 vC's ln vC's D/1 (1) = lim-^-, Dyvcn (1) = lim
ln 5 ^o in 5
пересечения носителей мер, которые характеризуют зависимость информации, необходимой для определения местоположения точки, имеющей положительно заданные меры /u,v, от размера ячейки в пределе 5 ^ 0.
В случае q = 2 и t = 2 будем иметь соответствующие условные корреляционные размерности
Значения D/ (2) и Dyvccl(2) показывают зависимости вероятностей того, что наугад выбранные точки множества supp/ n supp v находятся внутри одной ячейки с размером 5 от 5 при 5 ^ 0. Относительная обобщенная мультифрактальная размерность D/V (q) = 0 в случае одинаковых
мер и совпадения носителей мер. Очевидно, что в случае непересекающихся носителей мер все емкостные размерности (а, следовательно, и условные и относительные размерности Реньи) тождественно равны нулю.
Если условные размерности Реньи одной меры, например, л, эквивалентны классическим обобщенным размерностям Реньи, то, очевидно, носитель меры л содержится в носителе меры v
[9].
Для реализации численных методов взаимного мультифрактального анализа автором разработана программа MMA2D в среде Compaq Visual Fortran 6.0, предназначенная для работы под управлением операционных систем Windows 98/XP. Кроме взаимного мультифрактального анализа данная программа позволяет провести также и классическую мультифрактальную обработку изображений.
В качестве примеров, иллюстрирующих работу программы приведем исследования, объектами которых являются треугольный ковер Серпинского и его копии, сгенерированные программой Fractal Explorer 1.24 (авторы: Сиротинский А., Федоренко О., http://www.eclectasy.com/ Fractal-Explorer/index.html) с использованием аффинных преобразований T(x) = Ax + a с
весами pj, j = 1,К , n, задающих систему итерированных функций (СИФ), где
( AB ^ ( E ^ "
= C D , a = f , pj = det( j)/2det( г).
VC D J VF J i=1
Треугольный ковер Серпинского известен как пример простого самоподобного множества с коэффициентом подобия 1/2 и значением фрактальной размерности D(0) = ln3/ln2 «1,5850.
Рис.1. А. Уменьшенная в 3 раза копия ковра Серпинского Бегр1. В. Уменьшенная в 3 раза копия ковра Серпинского Бегр2.
Случай совпадения носителей мер
В качестве примера, демонстрирующего случай совпадения носителей мер было выбрано изображение рандомизированного треугольного ковра Серпинского (рис.1) со следующими коэффициентами СИФ ______
A B C D E F p
0,5 0 0 0,5 0 0 0,4
0,5 0 0 0,5 0,5 0 0,4
0,5 0 0 0,5 0,25 0,433 0,2
При построении фрактального множества Serp1 было задано 4800000 итераций. Размер полученного изображения составляет 512 х 512 пиксел, физический размер — 18,06 х 18,06 см, разрешение — 28,346 пиксел/см, количество точек, принадлежащих носителю меры, равно 19441. На рисунке 2 показан типичный вид 3D графика зависимости т^у(д, I). Коэффициенты
корреляции регрессии по методу наименьших квадратов составляют 0,93 — 1,00.
Рис.2. Зависимость тцу(д, I) для Serp1-Serp1
Отметим, что значения функции тМ у (д, I) при I = к - д, к е N как и следовало ожидать совпадают (рис. 3A), причем при к = 1 - д значения емкостной размерности, а следовательно и
относительные обобщенные размерности Реньи тождественно равны нулю.
.......
I тО
Рис.3. Некоторые зависимости т (д, к - ¿) (А) и Б°™ (д, к - д) (В), к е [- 3,3] для Serp1-Serp1.
При численной реализации предложенной методики было обнаружено, что значения функции (д,к - д) = тМУ(д, к - д)/(д -1) при д асимптотически стремятся к значениям
относительной размерности Реньи Б0™ (д), в случае идентичных носителей мер стремятся к 0
(рис.ЗВ).
Рис.4. Зависимости тАДд,0),тдД0,1) (А) и Буисл (д), Буисл (Г) (В) для Serp1-Serp1.
Рис.5. Графики зависимостей а м м(д, t) = РМ м(д, 1) (А) и /м м(д, t) (B) для Serp1-Serp1.
Значения емкостных размерностей при одном из параметров д,1 равным 0, а также условные
классическими обобщенными
размерности Реньи Пусл (д) = Пусл (1) являются в этом случае ничто иным, как классическими
размерностями
и,
соответственно,
м м
мультифрактальными емкостными размерностями Реньи (рис.4).
Взаимные локальные размерности а м M(q,t) и PMM(q,t) в данном случае совпадают для всех
заданных значений q и t. График функции ocMM(q,t) (рис. 5A) представляет собой симметричную
относительно плоскости t=q почти гладкую поверхность, в сечении которой плоскостями t = const и q = const получаются монотонно убывающие кривые. При сечении поверхности плоскостями t = к - q функция принимает постоянные значения, причем при к = 1 это значение совпадает с информационной размерностью D(1). Наибольшие значения локальных размерностей порядка 2,35 достигаются в полуплоскости при t <-5 - q, а наименьшие («1,44) при t > 29 - q . График взаимного мультифрактального спектра fMM(q,t) (рис. 5B) также симметричен относительно плоскости t = q и достигает наибольшего значения «1,57 при сечении этой плоскостью. Коэффициенты корреляции линейной регрессии для ocMM(q, t) составляют 0,93 — 1,00.
Рис.6. Зависимости а? (яХРУТ (t) (A) и f Т «л (q)), f Т (РУТ (q)) (B) для Serp1-Serp1.
тусл М
Совпадающие условные локальные размерности и соответствующий им условный мультифрактальный спектр в случае совпадения носителей мер (рис. 6) являются классическими мультифрактальными локальными размерностями a(q) и спектром f (a(q)).
Случай различных носителей мер
Рассмотрим теперь случай, когда носители мер имеют общие точки. Для этого, используя метод случайных итерации, с помощью программы Fractal explorer был смоделирован треугольный кове
р Серпинского Serp2 (рис. 1B) с
коэффициентами СИФ
A B C D E F p
0,5 0 0 0,5 0 0 0,4
0,5 0 0 0,5 0,51 0 0,3
0,5 0 0 0,5 0,25 0,433 0,4
Количество итераций и размер изображения задавались как и при построении ковра Serp1.
Количество точек соответствует 23726.
Рис.7. А. Зависимость тМУ(д, I) для Serp1-Serp2. В. Зависимость /МУ(д, I) для Serp1-Serp2.
Взаимный мультифрактальный анализ изображений Serp1 и Serp2 проводился по той же схеме с такими же внешними параметрами и набором шкал как и в предыдущем случае.
Рис.8. А. Зависимость тцу(д, к - ^) . В. Зависимость Бот (д, к - д), к е [- 3,3] для Serp1-Serp2. Задавая различные натуральные значения к, сечения поверхности тМ у (д, I) плоскостями 1=к-д образуют вложенные параболы (рис. 8А) при к=1 значения т „(1,0)и тМУ(0,1) совпадают и
тождественно равны нулю.
А
сз
Рис.9. Зависимости Б°™" (д) : А — в случае совпадения носителей мер (Serp1-Serp1), В случае непустого пересечения различных носителей мер (Serp1-Serp2).
в
Значения функции Б(д, к - д) = тМУ(д, к - д) /(д -1) , д Ф1 при д ^ , также как и в первом
примере, асимптотически стремятся к значениям относительной размерности Реньи (рис. 8В), которые при больших значениях д уже отличны от нуля.
Экспериментальное сравнение поведения относительных размерностей в случае совпадения и непустого пересечения различных носителей мер (рис. 9) позволяет ввести количественные характеристики изменения изучаемой структуры. Чем больше кривая относительных размерностей Реньи отклоняется от оси Од, тем большие изменения произошли в структуре, при условии, что носители мер имеют общие точки. При этом отклонение относительной размерности Реньи от оси Од при д ^ позволяет оценить корреляцию более плотных зон носителя меры м и разреженных зон носителя меры V и, наоборот, более разреженных областей suppм и плотных участков supp V при д ^ -го .
Рис.10. А. Зависимость аМУ(д,¿) для Serp1-Serp2. В. Зависимость РМУ(д,0 для Serp1-Serp2,
д, I е [- 20;20]
На графиках зависимостей взаимных локальных размерностей по сравнению с предыдущим случаем наблюдаются симметрично расположенные области спада до 1,13 ± 0,3 — 1,23 ± 0,2 при
д > 0,1 < 0 для ссМУ(д,I) и до 0,96± 0,65 — 1,2±0,2 при д < 0,1 > 0 для РМУ(д,I) и подъема до
значения 2,32± 0,1 при д < 0,t > 0 для а^Дд,0 и до 2,48± 0,2 д > 0^ <0 для Р^(д,I) (рис. 10}.
По полученным результатам можно сказать, что в данном случае наибольшему влиянию на локальном уровне подвергаются участки на пересечении носителей мер, содержащие более плотные области носителя одной меры и менее плотные носителя другой меры.
Значения функции взаимного мультифрактального спектра /МУ(д,t) (рис. 7В) представляют
собой оценки размерностей фрактальных подмножеств множества suppм^ suppv, которые вносят доминирующий вклад в моменты распределений при заданных параметрах д и t. График зависимости /МУ(д,0 демонстрирует пик 1,54± 0,01 в окрестности точки (0;0) (рис. 7В), в то время как при совпадении носителей пик наблюдался вдоль прямой t=-д. Значение функции / (д, t) в точке (0;0) оценивает фрактальную размерность множества пересечения носителей мер.
На графике также отмечаются подъемы значений функции до 0,8-0,9 ± 0,1 вдоль полупрямых д = 0^ <0 и ! = 0,д <0. Более информативной, чем /Мv(д,t), является зависимость функции /Мv от взаимных локальных размерностей аМУ и , связывающая локальную и глобальную
информации о влиянии распределения мер друг на друга. К сожалению в ходе выполнения настоящей работы автору не удалось найти программное обеспечение, позволяющее построить 3D график сложной функции двух аргументов, но судя по частным случаям — зависимостям функции / (д,t) от аМУ(д,t) и РМУ(д,t) для определенно заданных значений параметров д и t, можно
сказать, что поверхность /М v (а, в) (как и 2D график классического мультифрактального спектра
Лежандра) имеет куполообразную форму.
Условные размерности Реньи (рис. 11), условные локальные размерности и оценки условных спектров Лежандра (рис. 13), сравнение их с классическими мультифрактальными спектрами, полученными для каждого множества, позволяют уточнить влияние распределения мультифрактальной меры от простого присутствия точек носителя другой меры.
Рис.11. Зависимости г (д,0) (А) и Бусл (д),Бусл (1) (В) для Serp1-Serp2.
В частности, поскольку при определении обобщенной статистической суммы при д ^ , 1 = 0 основной вклад вносят ячейки, имеющие большую меру л и положительную меру V, а при д ^ -да, 1 = 0 ячейки с небольшой мерой л и положительной мерой V, то функция Б,0" показывает степень неоднородности носителя меры л на пересечении носителей мер. Аналогично Бу,(:л показывает насколько неоднороден носитель второй меры V на suppл ^ supp V . Поэтому на пересечении носителей мер носитель меры V (в данном случае множество точек, принадлежащих Serp2) имеет большую неоднородность, чем носитель л (множество точек, принадлежащих Serp1) в разреженных частях, в плотных участках степени неоднородностей практически совпадают (рис. 11В).
Рис.12. А. Зависимости Б,0" (д) для Serp1-Serp2 и Б(д) для Serp1. В. Зависимости Б^0" (1) для
Serp1-Serp2 и ) для Serp2.
Отклонение условной размерности от классической мультифрактальной размерности Реньи позволяет получить информацию о том, насколько геометрическое распределение точек, принадлежащих носителю зависит от присутствия точек носителя другой меры в плотных (при д ^+да ) и более разреженных (д ^--да ) областях носителя меры л . В данном случае (рис. 12) для положительных д и 1 отличий не наблюдается, а для отрицательных значений параметров сравнение условных размерностей c классическими позволяет судить о том, что носитель меры л в большей степени зависит от присутствия точек suppv (отклонение 0,39), чем носитель меры V от suppл (отклонение 0,1).
и
г* ................*ч
.4
1--^--ь-№- Ч
1»
одо о ре
-ЭВ -ИЗ -10 О Щ 50 И ¡,0 и 1.0 ?,5 30
Рис.13. Зависимости а'0" (д), Щ0" (1) (А) и /у0" (д), fV;сл (1) (В) для Serp1-Serp2.
По сопоставлению значений условных локальных размерностей и условных спектров Лежандра (рис. 13) можно судить о локальном характере поведения каждой из мер в отдельности на пересечении носителей, об оценке хаусдорфовой размерности множеств пересечения, имеющих локальные размерности а и в и об оценке статистического распределения условных локальных размерностей. Из сравнения условных локальных размерностей и условных спектров Лежандра для Serp1 и Serp2 выяснилось, что на пересечении носителей мер участки более разреженных областей Serp2 имеют большую размерность (2,06 ± 0,16) и встречаются чаще, чем более
разреженные участки Serp1 (локальная размерность достигает 1,93 ± 0,25), в зонах плотного размещения точек локальные размерности практически совпадают. Это означает, что на пересечении носителей мер локальная структура Serp2 более рыхлая по сравнению со структурой Serp1 в областях с меньшей плотностью заселения точек, а в плотных зонах геометрии структур сопоставимы.
Рис.14. А. Зависимости взаимной локальной размерности аусл (д) для Serp1-Serp2 и классической мультифрактальной размерности а(д) для Serp1. B. Зависимости Русл^) для Serp1-
Serp2 и ) для Serp2.
Рис.15. А. Зависимости /усл (д) для Serp1-Serp2 и /(д) для Serp1. B. Зависимости /Vсл (^) для
Serp1-Serp2 и / ^) для Serp2.
При сравнительном анализе условных локальных размерностей и спектров Лежандра с классическими удалось обнаружить, что в пересечение носителей мер попали в основном точки Serp1 средней и немного выше средней плотности размещения и не попали точки наиболее разреженных областей множества Serp2. Поэтому можно сделать вывод о том, что на локальном уровне присутствие точек Serp2 существенно влияет на менее плотные участки Serp1, причем структура в разреженных регионах Serp1 становится плотнее. Менее плотные, разреженные области Serp2 подвержены незначительному влиянию присутствия точек носителя меры Serp1 и отсутствует какое-либо воздействие в областях с большей плотностью.
Заключение
Таким образом, предложен численный алгоритм взаимного мультифрактального анализа, с помощью которого можно получить более полную количественную информацию о сложном влиянии геометрических распределений двух мер друг на друга, а при специально заданных значениях параметров q и t — оценки условных и относительных размерностей Реньи. Использование классического примера треугольного ковра Серпинского с различными параметрами построения позволило выполнить апробацию методического и программного обеспечения для анализа и показать, что полученные взаимные мультифрактальные спектры в значительной степени следуют теоретическому поведению [4-6].
На взгляд автора возможными перспективными областями приложения взаимного мультифрактального анализа могут быть исследования, связанные с любыми объектами (природные или синтетические материалы, биологические ткани и т. д.) с изменяющимися структурными характеристиками под воздействием как внешних, так и внутренних факторов.
Данный подход также может быть полезным при изучении окружающей среды (например, разного рода загрязнений, эрозий, таяния льдов), развития популяций животных, качества изображений и многих других областей науки и техники.
Литература
1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 128 с.
2. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 116 с.
3. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды// Успехи физических наук. 1993. т. 163. №12. С. 1-50.
4. Светова Н.Ю. Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. «Математика». Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. Вып. 10. 2003. С. 41-58.
5. Светова Н.Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. «Математика». Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. Вып. 11. 2004. C.42-47.
6. Светова Н.Ю. Взаимные мультифрактальные спектры II. Взаимные спектры Лежандра, Хентшель-Прокачиа и спектры, определенные для разбиений// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. «Математика». Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. Вып. 11. 2004. C.48-57.
7. Dansereau R., Kinser W. New relative multifractal dimension measures// 26th International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP'2001). Salt Lake City. Utah. May 7-11. 2001. 4 p.
8. Olsen L. A multifractal formalism// Advances in mathematics. 1995. vol. 116. P. 82-195.
9. Riedi R.H., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra// Fractals. 1997. vol. 5. №1. P.153-168.
