Численные методы вычисления критериев роста трещин в смешанных задачах теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Полкунов Ю.Г., Спиридонова Е.В.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ РОСТА ТРЕЩИН В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Статья посвящена разработке численных методов решения смешанных задач теории упругости по определению коэффициентов интенсивности напряжений для трещин, на берегах которых заданы одновременно смещения и напряжения.

Содержание задачи. Для решения задач, связанных с разрушением и сдвижением пластов, необходимо знание коэффициентов интенсивности напряжения первого и второго рода от воздействия нормальных и сдвиговых смещений на основную трещину и сжимающих и касательных напряжений на зияющую трещину соответственно.

Коэффициенты интенсивности напряжения в конце трещины являются основными критериями в линейной механике разрушения по оценке роста трещин, поэтому определять их необходимо с большой степенью точности.

Поэтому целью данной работы является разработка нового критерия интенсивности напряжения второго рода для смешанных краевых задач.

Плоскодеформированное состояние упругой среды описывается в декартовой системе координат уравнениями равновесия

до до

+ ■

ху

— о,

до до ху — 0,

дх ду дх ду

уравнением совместности деформаций

д д V

д Ч

2-^ = -;

дхду ду

и законом Гука

+ ■

уу

дх

—

1

Е

1 +v

(охх -У(ахх +ауу

))

£)у — ~Ё~(оуу +оуу^

-1+У £хУ — Е 0хУ'

Компоненты деформаций определяются выражениями

—

ди„

ди.

1

£ —

уу

£ху 2

ди.

+

диу

ду дх

дх ду

В уравнениях использованы следующие обозначения: и ремещений; ахх,

х,иу - компоненты вектора пе-о

о уу - компоненты тензо-

ху > ~ уу

ра напряжений; £хх, £ху, £уу - компоненты тензора деформаций; V - коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга.

Постановка первой задачи. На рис. 1 приведен разрез ОА бесконечной упругой плоскости с зияющей трещиной, которая находится под действием сжимающих напряжений.

Краевые условия имеют вид:

ип — к,о. — 0 при у = 0, А < х < О ;

о — 0,Оп — 4 при у = 0 , о < х < В, где ип - нормальные смещения берегов разреза;

Оп ,о. - нормальные и касательные напряжения соответственно;

Н, д - заданные величины.

Граничные интегральные уравнения [3] для данной задачи приводились к следующей системе линейных уравнений:

N N _

0 — (о; )о — I Ар. +I АР, «—1> N;

У—1

У—1

к У

14 в

III 1 1 1 X"

«-и

Рисунок 1. Математический разрез упругой плоскости с зияющей трещиной отрыва, которая находится под действием сжимающих напряжений

h = (п\)0 = У В1Р{ + У , I = 1 ,М ;

V п у 0 пз 5 пп п ' ' '

1=1 1=1

а =

4 ■ h

п

L

+

я=(°п )о =У +У Апа

1=1 1=1

1 п

г = М +1, N,

где N - количество всех граничных элементов; М - количество граничных элементов на которые разбивается участок АО; А^уА^ - компоненты разрывов смещений ^го отрезка трещины в нормальном и касательном направлениях соответственно;

иЗ - касательные перемещения; и'п - нормальные перемещения;

,&п - касательные и нормальные напряжения на границе тела соответственно; ВВВВАААА -

ззг1' зпЦ' ту' ппЦ' ззг1' зпЦ' пз1]' пщ

фундаментальные решения. Расчеты осуществлялись на основе формул (1) и (2), которые позволяют проводить анализ определения коэффициентов интенсивности напряжений, когда берега разреза находятся отдельно под действием нормальных и сдвиговых смещений [1]:

К,

G

■ Нт-

А

2 2■ (1 -V) х^1

, (1)

Ктт =-П

G

■ lim-

а

, (2)

2 2 ■ (1 - V) х^1 4!

где К1, К11 - коэффициенты интенсивности напряжений первого и второго рода соот-

Я/ 3/2

/ м ;

Е 2

G = -т - модуль сдвига, Н / м ;

2 ■ (1 + V) 2

Е - модуль Юнга, Н / м ; ! - длина трещины, м; V - коэффициент Пуассона. В результате анализа результатов расчета было установлено, что величиной разреза ОА, не теряя точности, можно ограничиться и принять равной 0,1 м.

Решение подобной задачи было приведено в работе [2], где раскрытие зияющей трещины в аналитическом решении задачи имело следующий вид:

+

2 ■ я ■ (1 -и)

G

■у] х ■ (! - х)

(3)

Подставляя (3) в (1), получаем коэффициент интенсивности напряжений первого рода для полубесконечного разреза упругой плоскости с зияющей трещиной

G ■ h ■ л/2 1п ■!

я , (4)

К1 =

4ьП (1 - V)

установленный в работе [1] на основе асимптотического критерия

К1 = Итоу ■у! 2 ■ п ■ (х - !).

х^! у

Проведенное численное исследование.

В таблице 1 приведены результаты расчетов раскрытия берегов трещины нормального разрыва, вычисленные аналитически по формуле (3) и численно при следующих входных

значениях: ! = 0 , 01м; h = 0,0000012м; Н

Я = 9 , 8 -10 —-; К - количество граничных

элементов, £ которые разбивалась зияющая

трещина; V = 0 , 3; Е = 3 ■ 104 МПа.

Знак «- » перед Ап соответствует раскрытию трещины.

Анализ результатов, приведенных в таблице 1, показал, что значения нормального раскрытия зияющей трещины в аналитических и численных решениях практически совпадают и отличаются в среднем друг от друга на 6,7%.

Сопоставление раскрытия зияющей трещины в аналитическом и численном решениях приведены на рис. 2.

В таблице 2 и на рис. 3 приведены результаты численных расчетов, когда зияющая трещина делилась на 50 граничных элементов.

Анализ данных зависимостей показал, что результаты численного решения при увеличении количества граничных элементов зияющей трещины отличаются от аналитического в среднем на 5,7%.

Из таблицы 2 следует, что результаты численных расчетов приближаются к точному решению с увеличением количества граничных элементов К.

Таблица 1. Результаты моделирования нормального раскрытия зияющей трещины

Таблица 2. Результаты моделирования нормального раскрытия зияющей трещины

К X, см Dл , см

аналитическое решение численное решение

1 0,05 -0,0002045 -0,0001922

2 0,15 -0,0001775 -0,0001677

3 0,25 -0,0001580 -0,0001487

4 0,35 -0,0001411 -0,0001323

5 0,45 -0,0001253 -0,0001171

6 0,55 -0,0001101 -0,0001026

7 0,65 -0,0000945 -0,0000882

8 0,75 -0,0000780 -0,0000733

9 0,85 -0,0000591 -0,0000569

10 0,95 -0,0000335 -0,0000369

с О

1_, см

Рисунок 2. Нормальное раскрытие зияющей трещины, вычисленное: -аналитически и — численно

Таким образом, приведенное численное решение удовлетворяет аналитическим выкладкам.

Постановка второй задачи. Для решения поставленной цели был рассмотрен математический разрез упругой плоскости с зияющей трещиной сдвига, которая находится под действием сдвиговых напряжений. Схема для данной задачи приведена на рисунке 4.

Краевые условия для рис. 4 имели следующий вид:

и. — Ь,оп — 0 при у = 0 , А < х < О ;

о. — роп — 0 при у = 0 , О < х < В,

где и. - касательные смещения берегов разреза;

Ь, р - заданные величины.

Граничные интегральные уравнения [3] для данной задачи приводились к следующей системе линейных уравнений:

К X, см Dл , см

аналитическое решение численное решение

1 0,01 -0,0002242 -0,0002183

2 0,03 -0,0002126 -0,0002078

3 0,05 -0,0002045 -0,0001998

4 0,07 -0,0001979 -0,0001932

5 0,09 -0,0001921 -0,0001874

16 0,31 -0,0001476 -0,0001421

17 0,33 -0,0001443 -0,0001387

18 0,35 -0,0001411 -0,0001355

19 0,37 -0,0001378 -0,0001322

20 0,39 -0,0001347 -0,0001290

31 0,61 -0,0001008 -0,0000954

32 0,63 -0,0000976 -0,0000923

33 0,65 -0,0000945 -0,0000893

34 0,67 -0,0000913 -0,0000862

35 0,69 -0,0000881 -0,0000831

46 0,91 -0,0000452 -0,0000428

47 0,93 -0,0000397 -0,0000378

48 0,95 -0,0000334 -0,0000322

49 0,97 -0,0000258 -0,0000256

50 0,99 -0,0000148 -0,0000169

0,00025

0,0002

Рисунок 3. Нормальное раскрытие зияющей трещины, вычисленное: -аналитически и — численно

О

в

Рисунок 4. Математический разрез упругой плоскости с зияющей трещиной сдвига, которая находится под действием сдвиговых напряжений

N N

h = (и)0 =У ВУА] +У ВУА], г = 1,М;

0 / / 55 5 / / зп п ' ' '

1=1

1=1

Р = (^ )0 = У АЦА + У АЖ , г = М +1, N;

1=1 1=1

N N _

0 = «)0 = У АзА + У А1А1, г = 1, N .

1=1 1=1

Проведенное численное исследование.

Поставленную задачу будем решать методом разрывных смещений. Входные данные имели те же численные значения, что и для схемы, приведенной на рис. 1. В таблице 3 приведены результаты сопоставления двух задач:

- основная трещина находится под действием нормальных смещений, а зияющая -под влиянием сжимающих напряжений;

- основная трещина находится под действием сдвиговых смещений, а зияющая - под влиянием касательных напряжений.

На основании анализа результатов, приведенных в таблице, следует, что нормальные и касательные раскрытия зияющей трещины совпадают. Таким образом, функция суммарного сдвигового раскрытия берегов трещины

Таблица 3. Результаты моделирования нормального и касательного раскрытия зияющей трещины

К X, см ип , см и5 ,см

1 0,05 -0,0001922 -0,0001922

2 0,15 -0,0001677 -0,0001677

3 0,25 -0,0001487 -0,0001487

4 0,35 -0,0001323 -0,0001323

5 0,45 -0,0001171 -0,0001171

6 0,55 -0,0001026 -0,0001026

7 0,65 -0,0000882 -0,0000882

8 0,75 -0,0000732 -0,0000733

9 0,85 -0,0000569 -0,0000569

10 0,95 -0,0000369 -0,0000369

Ь будет иметь ту же функциональную зависимость (3):

а=

+

4 ■ к

п

аг^.

Ь

+

2 ■ р ■ (1 -и)

G

х ■ (Ь - х)

(5)

При подстановке (5) в (2) получаем коэффициент интенсивности напряжения второго рода

КП =

G ■ к ■ л/2 \п■ Ь

Р ■•

у[ГЛ (1 - V) '

(6)

Таблица 4. Коэффициент интенсивности напряжения первого рода, вычисленный аналитически и численно

ч ип 9,8 104 -Д м 2 39,2 104 Д м 58,8 104 Д м 78,8 104 Д м2 98 104 Д м2

0,00012 15,137 11,659 9,341 7,023 4,705

14,529 10,769 8,262 5,576 3,249

0,00024 31,433 27,956 25,637 23,319 21,001

30,311 26,551 24,045 21,538 19,032

0,0006 80,322 76,845 74,527 72,208 69,890

77,658 73,898 71,392 68,885 66,378

0,0012 161,804 158,326 156,008 153,689 151,371

156,570 152,810 150,303 147,797 145,290

Таблица 5. Коэффициент интенсивности напряжения второго рода, вычисленный аналитически и численно

ч ип 9,8 104 Д м2 39,2 104 Д м2 58,8 104 Д м2 78,8 104 Д м2 98 104 Д м2

0,00012 15,143 11,665 9,347 7,028 4,710

14,529 10,769 8,262 5,576 3,249

0,00024 31,447 27,969 25,650 23,331 21,013

30,311 26,551 24,045 21,538 19,032

0,0006 80,356 76,878 74,559 72,241 69,923

77,658 73,898 71,392 68,885 66,378

0,0012 161,872 158,394 156,075 153,756 151,438

156,570 152,810 150,303 147,797 145,290

Анализ результатов моделирования

В таблице 4 и 5 представлены результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжения первого и второго рода соответственно, вычисленные численно по формуле (2) и аналитически с использованием (5), (6). Жирным шрифтом выделено аналитическое решение, которое было выполнено по формулам (4) и (6).

Анализ данных, приведенных в таблицах 4 и 5, показал, что:

- коэффициенты интенсивности напряжений первого и второго родов для поставлен-

ных краевых условий двух задач практически совпадают;

- численный метод дает погрешность вычисления в среднем менее 8,5% и его точность прямо пропорционально зависит от количества разбиения на граничные элементы зияющей трещины.

Таким образом, предложенные методы аппроксимации разрыва смещений зияющей трещины и прямой расчет по формуле (2) позволяют достаточно точно вычислять коэффициенты интенсивности для трещин, на берегах которых заданы смешанные краевые условия.

Список использованной литературы:

1. Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. - СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

2. Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. - М.: Недра, 1987. - 308 с.

3. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. - М.: Мир, 1987. - 328 с.