Численные исследования непараметрических алгоритмов принятия решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

Е. А. Зайцева

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Обсуждается задача построения моделей дискретно-непрерывных организационных процессов, имеющих трубчатую структуру. Дается краткая характеристика постановки задачи принятия решений в условиях непараметрической неопределенности. Приведены результаты исследования непараметрических алгоритмов принятия решений методом статистического моделирования.

Модели дискретно-непрерывных и организационных процессов, имеющих трубчатую структуру. Известно, что на производстве для всякого технологического процесса установлен технологический регламент, который определяет, в каком диапазоне значений должна находиться величина той или иной переменной процесса. Если значения технологического параметра оказываются за пределами этого диапазона, то такое положение классифицируется как брак. Без нарушения общности будем считать, что на вход объекта поступают две входные переменные х1 сА(х1) и х2 сй(х2), на выход - выходная переменная г с О(х). Опять же без нарушения общности примем, что все эти области представляют собой отрезки [0;1], т. е. 0(х1) = [0;1] , О(х2) = [0;1], О( х) = [0; 1].

Рассмотрим частный случай (рис. 1). Здесь заштрихованная поверхность Р представляет собой модель объекта, единичная область - куб О(х, х) - область допустимых значений х и г, удовлетворяющих технологическому регламенту, который и определяется областью О(х, х). Если мы зададим любое значение вектора х є О(х), то обязательно получим 2 є О(х). Таким образом, выход 2 за пределы О (х) при условии, что х є О(х), не возможен.

пространстве Е, О(х, х) с Е. Часть поверхности Р, которую мы обозначим R, содержится в О( х, х), т. е. удовлетворяет технологическому регламенту. Точка К не принадлежит линии У (таким образом, она не может быть наблюдаемой точкой процесса), но принадлежит поверхности R и, следовательно, принадлежит области О(х, х), а значит и технологическому регламенту.

Точки же С и В таковы, что, хотя х є О(х), но будучи подставленными в модель R, дают оценку х і О(х), т. е. не принадлежат технологическому регламенту. Следовательно, 2 может принять значения, физически не реализуемые. Таким образом, не только точки С и В, но и точка К являются следствием ошибки той или иной природы, и таких точек не должно быть.

Более интересным случаем является процесс, представляющий собой некоторую объемную полоску (рис. 2).

Пусть области значения переменных х и 2, а следовательно, и технологический регламент те же, что и в предыдущем примере, а модель представляет собой линию У в пространстве О( х, х). С одной стороны, справедливо считать, что область возможных значений О(х, х) определяется единичным кубом, но с другой - х и 2 принимают вовсе не все возможные значения из области О( х, х), а лишь те из них, которые принадлежат линии У.

Представим типичный случай, фрагментарно иллюстрирующий содержание задачи идентификации и, как представляется, адекватный многочисленным практическим ситуациям. Рассмотрим в предыдущих условиях задачу построения некоторого процесса (см. рис. 1). Здесь поверхность Р представляет собой модель в евклидовом

Такие процессы назовем ^-процессами, соответственно модели таких процессов назовем ^-моделями. Значения ^-процесса принадлежат области Он (х, х) (причем Он (х, х) с О(х, х)), т. е. технологическому регламенту. И технологический регламент должен определяться не областью О(х, х), как это в настоящее время делается в промышленности, а областью Он (х, х). Отыскание этой области представляет собой одну из новых задач идентификации.

Другой новой задачей идентификации является построение ^-моделей, а не моделей типа R, которые обычно рассматриваются при моделировании разнообразных процессов. На первый взгляд, самый простой путь построения ^-моделей может состоять в том, что в качестве таких моделей принимать некоторую линию (или область, ее содержащую), полученную в результате пересечения двух моделей типа R. Но нам такой путь представляется малоэффективным.

О достоинствах ^-моделей говорит тот факт, что при построении моделей многомерных процессов мы обыч-

но располагаем несколькими сотнями наблюдений, на основе которых и строится модель, удовлетворительная с точки зрения практики. Если бы эта модель была типа R, то тогда такое число наблюдений х и 2 было бы явно малым. А для создания ^-моделей, которые требуют существенно меньше наблюдений, чем R-модели, этого количества достаточно. Кроме того, при удовлетворительно построенной модели иногда возникают случаи, когда оценки 2 при известных х принимают значения, не только находящиеся вне технологического регламента, но и физически вообще не реализуемые (например, содержание какого-либо элемента в продукте принимает отрицательное значение). Эти случаи мы уже обсуждали при анализе рис. 1 (точки К, С, В).

Наконец, более тщательный анализ технологического регламента показывает, что область 0(х, х) дает очень широкий диапазон значений переменных х и г, хотя (х, х) ёО н (х, х') с 0( х, х).

Таким образом, на практике мы часто имеем дело с ^-процессами и, соответственно, с необходимостью строить ^-модели, а не R-модели, которые представляют собой основной предмет исследования в задачах параметрической идентификации. Построение ^-моделей тесно связано с задачей аппроксимации функций по наблюдениям.

Исследование алгоритмов принятия решений методом статистического моделирования. Представленные выше алгоритмы принятия решений были исследованы методами статистического моделирования. Рассмотрим следующие процессы: на входе объекта действуют 10 вещественных переменных (4 управляемых, 6 неуправляемых, но контролируемых), 5 дискретных и 5 булевых, размерность вектора выходов принята равной 3. Введем следующие обозначения: и(?) - вектор управляемых переменных; ц(/) - вектор неуправляемых, но контролируемых переменных; w(t) - вектор дискретных переменных;

) - вектор булевых переменных; х(?) - вектор входных переменных (рис. 3).

В качестве системы уравнений, описывающих исследуемый процесс, были приняты следующие:

1. Каждый выход объекта рассчитывался независимо от других выходов:

Х1 = м + 2^2 — 2и3 + и4 — 2м5 + 4^6 — 0,1^1 + 0,2^2 ' — 0,1^4,

Х2 — и7 — и8 + 2,5% + 1,6ию + 0,1(^4 — 0,5^5 + 0,2^6 + 0,3^7,

Х3 — М3 — 1,9и4 + М5 — 1,5и6 — 0,2и9 — 1,2ию — 0,5^ + 0,5^§ + 0,2^9 — ,

где х{, I = 1, к, 3 - выходы; и1, / = 1, к, 10 - действительные входы; , / = 1, к, 5 - дискретные входы;

, / = 6, к, 10 - булевы входы; g - некоторая добавка, распределенная по равномерному закону в интервале [-0,5; 0,5]; м2, м4, м9, м10 - управляемые входы. При получении обучающей выборки часть входов задавалась как функция времени:

3t —3t

= N + 1 , U4(t) = ~ +3 +1 ’

3t2

u7(t) = —2 +1.

— 3t2

и«(^ =~Г + 3 + 1 >

N

и9 (ґ) = 0,2 sin

Ґ15ґл

3ґ л

+ — +1 + у

N ’

где N - общее количество элементов в выборке. Другая часть входов задавалась как функция ранее определен-

ных входов:

и = и3 + у, и2 = и1 + и4, и5 = и9 - и4,

и6 = и7 — и8 , и10 = и9 — и6 •

2. Дискретные входы задавались следующим образом:

ё1 (ґ) = |, й2 (ґ) = 3 sin -3ґ

ґ ґ л 1,5N

, ё3 (ґ) = 3 sin

-1,5/

ґ±.'

N \ /

^4 (Ґ) =--------+ 3 , ^5 (ґ) =-----------------------------+ 3 ,

N

N

при этом производилось округление до целого значения. 3. Булевы входы задавались следующим образом:

ё6 (ґ) = cos

/2ґ_л

\ /

, ё7 (ґ) = sin

/2ґ_л

N

V /

, ё8 (ґ) = cos

1,5ґ

N \ /

й9 (ґ) = sin

1,5ґ

, ^ю(ґ) = sin

при этом также производилось округление до целого значения (0 или 1).

4. Для получения значений управляющих переменных использовалась формула

Пф

и(Х) = -

ХП

ф

где I - номер управляющего входа; т - номер выхода; п -номер дискретного (либо булевого) входа; к - номер действительного входа; Ф - колоколообразная функция, имеющая следующие значения:

ц(ґ )

У(ґ)

к(ґ)

Организационная система объекта

СИСТЕМА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ

ОГРАНИЧЕНИЯ

х( )

хк - хк

х - X,

с

с

/=1 т

к

п

хк - хк

х - X,

с

с

1=1 т

к

п

Рис. 3 43

- для действительных входов и выходов Ф(х)= й(—х2) если и <1

0, если

- для булевых переменных

[ 0, если [1, если для дискретных переменных

1, если

Ф( и) =

И -1;

и = 1, и = 0;

и = 0,

2. Выборка N = 1 000, уровень помех 2 (рис. 5). Средние значения отклонений соответствующих выходов: 0,58; 0,559; 0,46. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 1,909; 1,671; 1,327.

Ф(И) = -| 0, если и > 2,

0,5, если и < 2, и > 0.

5. Параметр размытости Сдля каждого типа переменных подбирался с шагом 0,5.

Приведенные выше системы уравнений соответствуют трубчатой структуре описания процесса. Это достигается наличием стохастической связи между входными переменными. На значение выходных переменных накладывается аддитивная помеха. Содержание задачи статистического исследования алгоритмов принятия решений состоит в том, чтобы при известных значениях входных неуправляемых переменных найти управляющее воздействие, позволяющее достичь значения выходной переменной, равного х(?) = х (?), где х*(?) - заданное значение выходной переменной.

Представим работу непараметрического алгоритма принятия решений в графическом виде (рис. 4...9).

1. Выборка N = 1 000, уровень помех 1 (рис. 4). Средние значения отклонений соответствующих выходов: 0,524; 0,319; 0,365. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 1,589; 1,113; 1,032.

Пунктиром обозначен желаемый выход, сплошной линией - выход, получаемый в результате управления.

Выход х :

Рис. 5

3. Выборка N = 1 000, уровень помех 3 (рис. 6). Средние значения отклонений соответствующих выходов: 0,659; 0,854; 0,585. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 1,91; 3,228; 1,743.

Рис. 6

4. Выборка N = 2 500, уровень помех 1 (рис. 7). Средние значения отклонений соответствующих выходов: 0,398; 0,303; 0,285. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 2,178; 1,102; 1,194.

Выход хп:

Рис. 7

5. Выборка N = 5 000, уровень помех 3 (рис. 8). Средние значения отклонений соответствующих выходов: 0,658; 0,85; 0,599. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 2,739; 3,143; 2,637.

Выход х3:

Рис. 4

В дальнейшем иллюстрацию численных исследований алгоритма без нарушения общности можно приводить только на одном выходе модели, например х1.

Рис. 8

6. Выборка N = 10 000, уровень помех 7 (рис. 9). Средние значения отклонений соответствующих выходов:

0,972; 1,257; 0,776. Максимальные значения отклонений соответствующих выходов: 7,554; 13,23; 5,827.

Дальнейшее увеличение объемов выборки неинформативно, поскольку в реальной ситуации при необходимости моделирования организационных процессов даже

Рис. 9

выборка размерностью в 10 000 значений относится уже к области фантастики.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Анализ данных в задаче идентификации / А. В. Медведев // Компьютерный анализ данных моделирования. Т. 2. Минск: Изд-во БГХ 1995. С. 201-206.

2. Медведев, А. В. О моделировании организационных процессов / А. В. Медведев // Вестник Сибирской аэрокосмической академии имени академика М. Ф. Ре-шетнева: сб. науч. тр. / САА. Вып. 1. Красноярск, 2000. С. 173-191.

E. A. Zajtseva

NUMERICAL INVESTIGATIONS OF NON-PARAMETRIC DECISION MAKING ALGORITHMS

The problem of models construction of discrete-continuous organization processes with tubular structure is discussed in the paper. The short characteristic of problem stating in case of non-parametric indetermination is presented. The results of non-parametric decision making algorithms investigations by statistical simulation method are given.