CC BY
264
УДК 658.5
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ «ПАТРОННИК-ГИЛЬЗА-ПОРОХ»
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В.М. Лялин, В. А. Дунаев, Н.А. Тарасова
Изложена математическая модель и результаты решения задачи нестационарной теплопроводности для системы «патронник-гильза-порох» методом конечных элементов.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, метод конечных элементов.
Актуальной задачей обеспечения надежности функционирования гильз спортивно-охотничьих патронов является задача нестационарного теплообмена между патронником, гильзой и порохом. Для численного решения этой задачи воспользуемся методом конечным элементов, как одним из наиболее эффективных численных методов, получивших в последнее время широкое распространение для решения наиболее сложных задач теории теплопроводности.
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что искомую непрерывную величину, такую, как температура, необходимо аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Эти кусочно-непрерывные функции определяются внутри каждого конечного элемента с помощью значений функции в узловых точках. Для каждого элемента может быть определен свой вид функции, но эти функции подбираются так, чтобы сохранялась их непрерывность вдоль границ элементов.
Задача сводится к нахождению таких значений узловых температур, которые обеспечат наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это приближение осуществляется путем минимизации функционала, связанного с физической сущностью задачи. Для задачи распространения тепла минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением теплопроводности, которое является для этого функционала уравнением Эйлера-Остроградского. Минимизация этого функционала в классе кусочно-непрерывных функций сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений относительно узловых температур.
В двумерных задачах широкое распространение получили элементы в виде треугольника. Стороны линейных элементов представляют собой
прямые линии. На рис. 1 изображен треугольный конечный элемент.
Рис. 1. Треугольный конечный элемент
Введем нумерацию его узлов и будем обозначать значения величин в узловых точках с соответствующим индексом Х1, Х2, Х3, у1, у2, Уз, Т1,Т2, Т3, а разность величин между двумя точками с двойным индексом, например: Х21=Х2-Х1 .
Линейная функция распределения температуры по конечному элементу в общем виде представляется зависимостью
Т=а+ЬХ+су, (1)
где а, Ь и с - постоянные коэффициенты. Для нахождения этих трех констант воспользуемся тремя значениями температуры в узлах конечного элемента, что дает три алгебраических уравнения:
Т1=а+ЬХ1+су1;
Т2=а+ЬХ2+су2;
Тз=а+ЬХз+суз.
В результате решения этой системы получаем значения констант а, Ь и с, выраженные через геометрические параметры конечного элемента и узловые температуры. Подставляя их затем в уравнение (1) для функции Т, находим
Т=Н1Т1+Н2Т2+НзТз,, (2)
где
N1 = 2ГУ23 (х - Х3 Х23 - Уз
N2 = ^ГУз! (х - Х1 Х31 (У - У1
т (3)
'3
^ — 1 Уі2 (Х - Х2 )-Х12 (У - У2 );
2&
S -1 -
^ 2 Х21У32 Х32у2
ST - площадь треугольника.
Коэффициенты N называют коэффициентами формы. Уравнение (2) в МКЭ записывают в матричной форме:
T =[N^{1-; } .
Данная линейная функция распределения температуры обеспечивает ее непрерывность на границе с соседними элементами, т.к. это распределение линейно вдоль любой стороны треугольника и при одинаковом изменении величины в узлах такие же самые изменения будут и вдоль всей внутренней границы.
Градиенты температуры и, следовательно, тепловые потоки в элементе определяются дифференцированием зависимости (2) по пространственным координатам
дТ 1 (-У23Г! -Уз1Т2 -У,2Т3 ), =^(х23Т + Х31Т2 + Х12Т3 )
дх 28
ду 28,
(4)
Рассмотрим область, показанную на рис. 2, которая разделена на треугольные конечные элементы.
В каждом конечном элементе данной области узловые величины температуры определяют функцию
' т,'
т = мт }=[Ы,;Ы2;Ыз ]•
т
12
т
(5)
Так как узловые величины однозначно определяют температуру во всей области, то функционал Ф[Т(х,у)] можно минимизировать по отношению к этим величинам, рассматривая его в классе линейных функций (5). Осуществим указанные операции вначале для каждого конечного элемен-
та, рассматривая стационарную задачу, а затем учтем нестационарность и составим общую систему уравнений для всего тела, путем суммирования уравнений по всем конечным элементам, из которых состоит исследуемое тело.
Подставляя функцию (5) в исходный функционал и дифференцируя его по узловой температуре Tг , получим
• кЭ = Я 2
xy
_д_
дх
+1
_д_
дУ
dxdy,
дФ
дТх
къ _
ЛхУ4зУ23 + 44у4233 )
' Л ' 11
т+
+
( Л ( Л
ХХх У31У23 +Уу УЗ т2 + Хху12.у23 +ХуХ12Х23 т 23
Л V 12 ) I V 13 )
45т
где Фкэ - функционал для одного конечного элемента.
Дифференцируя по Т2 и Т3, получим аналогичные выражения.
В матричном виде полученные выражения запишутся следующим образом:
дФ,
дТ
=1 !т},
(6)
где/!] - матрица теплопроводности конечного элемента
Л1 Л2 Л3
1,1 '
Л21 Л22 Л23
_131 132 Л33,
Окончательные уравнения процесса минимизации функционала по* дФкъ
лучаются объединением всех производных дт для всех конечных эле-
ментов и приравнивания их нулю:
дФ Nkъ дФ Nkэ 3 (
дфф=I дт=II (1 Л }+С ,}т
д11 ]=1 д11 ]=1 I=1 V
дт.'
дт
№}+ {с}1
дт'
-{& }-Ш-{& }={о}
2
2
1
<
>
<
<
>
где /Л], {С} - глобальные матрицы теплопроводности и теплоемкости, {т} -вектор узловых температур; {Ы} - векторы тепловых потоков всей области
- лучистых, конвективных и контактных.
Для численного решения полученной системы уравнений МКЭ воспользуемся методом конечных разностей, применяя неявную разностную схему. Используя конечно-разностное выражение производной первого порядка в виде (!с+1 - !)/А* , преобразуем выражение (7) в соответствии с неявной схемой:
[лк+1 ]тк+' }=-{с/+1} ({тк+1 }-{тк })^+ы+1}+ {<Й+1 }+Ы+1},
где к - временной индекс, {тк+1}, {тк} - векторы узловых температур в последующий и данный моменты времени.
Для объединения в левой части уравнения всех членов, содержащих неизвестные величины !к+1, выделим в матрицах {Ыа} и {ЫК} неизвестные температуры узловых точек конструкции:
т={Л}({тс}-{т}), ш={Як}({тк}-{т}),
где {А}, {Як} - вектора конвективного теплообмена и термических сопротивлений для всей конструкции в целом.
Перенося в левую часть полученного уравнения члены, содержащие неизвестные !к+1, окончательно получим:
([лк+1 ]+—[ск+1 ]+ [а к+1 ]+ [як+1 ]){тк+1}=
т * (8)
=V* {ск+1 }т {тк}+ {Ак+1 }т т+1}- {тк+1})+Ы+1}+ }
Для обеспечения надежности функционировании гильзы необходимо решить задачу нестационарной теплопроводности в системе «патрон-ник-гильза-порох» и в результате отыскать значение температуры наружной поверхности пороха. Сравнив найденную температуру с температурой вспышки пороха, можно сделать вывод о возможности или невозможности самовоспламенения порохового заряда во время функционирования гильзы спортивно-охотничьего патрона при выстреле.
Проведем расчет в программе Term2, в основу которой положена вышеописанная математическая модель.
Исходные данные для расчета:
а) для патронника:
- наружный диаметр - 24 мм;
- толщина стенки - 6,332 мм;
- температура внутренней поверхности - 543 К;
- плотность материала - 7781 кг/м ;
- удельная теплоемкость - 519 Дж/(кг К);
- коэффициент теплопроводности - 43 Вт/(м К);
б) для гильзы:
- максимальная толщина воздушного зазора между внешней поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника - 0,09 мм;
- минимальная толщина воздушного зазора между внешней поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника - 1х10-6 мм;
- температура внутренней и наружной поверхности на период начала расчета - 343 К;
- плотность материала - 7850 кг/м ;
- удельная теплоемкость - 495 Дж/(кг К);
- коэффициент теплопроводности - 37 Вт/(м К);
в) для пороха:
- температура наружной поверхности на период начала расчета -
343 К;
- плотность - 1600 кг/м .
г) максимальное время рассчитываемого процесса - 10 с.
На рис. 3 представлена графическая модель рассматриваемых сред.
Рис. 3. Графическая модель
На данной модели характерные точки 1 и 4 находятся на наружной поверхности пороха в зоне максимального (точка 1) и минимального (точка 4) воздушного зазора между гильзой и патронником. Точки 2 и 3 находятся на расстоянии 0,5 мм от точек 1 и 4 соответственно.
На рис. 4 представлены результаты расчета программы в виде графиков изменения температуры в течение времени для точек 1-4.
Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что величина воздушного зазора между наружной поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника оказывает незначительное влияние
в начальном этапе теплообмена на температуру наружной поверхности пороха.
Рис. 4. Графики изменения температуры для точек 1-4
Максимальная температура пороха составляет 411 К, что на ~ 10 % ниже температуры вспышки пороха, таким образом самопроизвольное воспламенение порохового заряда в процессе функционирования гильзы спортивно-охотничьего патрона невозможно.
Список литературы
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М: Высшая школа, 1967.
600 с.
2. Метод конечных элементов: учеб. пособие для вузов / П.М. Вар-вак [и др.]. Киев: Вища школа, 1981. 176 с.
3. Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача. СПб: Изд-во СПбГТУ, 2003. 319 с.
Лялин Виктор Михайлович, д-р техн. наук, проф., [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет.
Дунаев Валерий Александрович, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет.
Тарасова Наталья Александровна, аспирант, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет.
NUMERICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF THE NONSTATIONARY THERMAL
CONDUCTION FOR THE SYSTEM "CHAMBER-CASE-GUNPOWDER" WITH THE FINITE ELEMENT METHOD
V.M. Lyalin, V.D. Dunaev, N.A. Tarasova
A method and results of an experimental investigation of semihot presswork special items bar stock is presented.
Key words: the nonstationary thermal conduction, the finite element methode.
Lyalin Viktor Michailovich, doctor of technical sciences, professor, tna-08 a jvail.ru. Russia, Tula, Tula State University.
Dunaev Valeriy Aleksandrovich, doctor of technical sciences, professor, tna-08amail.ru, Russia, Tula, Tula State University.
Tarasova Natalia Aleksandrovna, postgraduate, ^a^amailm, Russia, Tula, Tula State University.
УДК 004.942
АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Е.Б. Кариков, В.Г. Рубанов, В.К. Классен
Предложено использовать для построения математической модели колосникового холодильника нейронную сеть Элмана. Проведена декомпозиция колосникового холодильника на звенья, отражающие характерные процессы: движение клинкера по колосниковой решетке, теплообмен между воздухом и клинкером, движение воздуха. На основе результатов тестирования каждой из моделей и сравнительной оценки с экспериментальными данными показана адекватность нейронной модели реальному объекту.
Ключевые слова: производство цемента, колосниковый холодильник, математическая модель, нейронные сети, NARXсеть, сеть Элмана.
Процесс охлаждения клинкера неразрывно связан с его обжигом во вращающихся печах. Охлаждение клинкера - важный процесс в теплотехническом и технологическом отношениях. Из вращающейся печи клинкер поступает в холодильник с температурой 1100 - 1250 °С. Резкое охлаждение его в холодильнике способствует фиксации Высокотемпературных клинкерных фазы, препятствует росту кристаллов клинкерных минералов,
174
