CC BY
12
with a non-differentiated objective function G( т) and Wj, i = l,...,N parameters recovered using the neurolinguistic identification method of unknown complex nonlinear relationship.
Summary. The method and algorithm has been suggested for constructing a multiplicatively weighted Voronoi diagram involving fuzzy parameters with optimal location of a finite number of generator points in a limited set of и-dimensional Euclidean space En. The method is based on the formulation of an appropriate continuous problem of optimal set partitioning into non-intersecting subsets, where the centers of these subsets are located involving fuzzy parameters in the objective functional and with the criterion of the partition quality, which provides an appropriate Voronoi diagram with fuzzy parameters. The method of solving the above problem of optimal set partitioning is based on the application of the mathematical apparatus developed in [11], while the method of neurolinguistic identification, developed in [8], was used to eliminate the fuzziness in the OSP problem.
Bibliographic References
1.Preparata F., Sheimos M. Computational geometry: an introduction. Springer. First Edition edition, 1993. 390 p.
2.Kiseleva Е.М., Koriashkina L.S. Theory of continuous optimal set partitioning problems as a universal mathematical formalism for constructing Voronoi diagrams and their generalizations I. Theoretical foundations // Cybernetics and Systems Analysis, vol. 51, № 3, pp. 325-335 (2015). DOI 10.1007/s10559-015-9725-x.
3.Kiseleva Е.М., Koriashkina L.S. Theory of continuous optimal set partitioning problems as a universal mathematical formalism for constructing voronoi diagrams and their generalizations. II. Algorithms for constructing Voronoi diagrams based
УДК 519.622.1
ГРНТИ 27.41.1
on the theory of optimal set partitioning // Cybernetics and Systems Analysis, vol. 51, № 4, pp. 489-499 (2015). DOI: 10.1007/s10559-015-9740-y.
4. Aurenhammer F., Klein R., Lee D.-T. Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations. World Scientific Pub Co Inc, 2013. 337 p.
5.Okabe A., Boots B, Sugihara K., Chiu S.N. Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams // West Sussex, England: John Wiley and Sons Ltd, second ed., 2000. 696 p.
6.Trubin Stanislav I. Information Space Mapping with Adaptive Multiplicatively Weighted Voronoi Diagrams // Thesis (M.S.) - Origon State University. -2007.
7.Kiseleva E.M., Shor N.Z. Continuous problems of optimal set partitioning: theory, algorithms, applications. Kyiv: Naukova Dumka, 564 p. (2005) [in Russian].
8.Kiseleva E.M., Pritomanova O.M., Zhuravel S.V. Algorithm for Solving a Continuous Problem of Optimal Partitioning with Neurolinguistic Identification of Functions in Target Functional // Journal of Automation and Information Science, vol. 50, № 3, pp. 1-20 (2018). DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i3.10.
9.Shor, N.Z. Nondifferentiable optimization and polynomial problems. Boston; Dordrecht; London: Kluwer Acad. Publ., 412 p. (1998)
10.Stetsyuk P.I. Shor's r-Algorithms: Theory and Practice. In: Optimization Methods and Applications: In Honor of the 80th Birthday of Ivan V. Sergienko. Ed. by Butenko S., Pardalos P.M, Shylo V. Springer. 2017. P. 495-520.
11. Kiseleva E., Hart L., Prytomanova O., Kuzenkov O. An Algorithm to Construct Generalized Voronoi Diagrams with Fuzzy Parameters Based on the Theory of Optimal Partitioning and Neuro-Fuzzy Technologies. URL: http://ceur-ws.org/Vol-23 86/paper 12. pdf.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
Абрамова Вера Викторовна
Канд. ф.-м. наук, доцент кафедры автоматизации и управления, Набережночелнинский институт (филиал Казанского (Приволжского) федерального университета,
Набережные Челны,
АННОТАЦИЯ
Данная работа посвящена методу коллокации решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметром при производной, Основой исследований являются: общая теория приближённых методов анализа и конструктивная теория функций.
ABSTRACT
This paper is devoted to the method of collocation of the solution of first-order ordinary differential equations with the parameter for the derivative. The basis of the research is the general theory of approximate analysis methods and the constructive theory of functions.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, метод коллокации, обратный оператор, сходимость, скорость сходимости, оценка погрешности.
Keywords: differential equation, method of collocation, inverse operator, convergence, rate of convergence, estimation of error.
Рассмотрим однозначно разрешимую задачу Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка
ex'(t) + a(t)x(t) = y(t) (1)
х(0) = 0, (2)
где 0 < t < 1; е — вещественный положительный (в том числе малый) параметр; a(t),y(t) — заданные функции, x(t) — искомая функция.
Для решения данной задачи применим метод коллокации. Приближённое решение будем искать в виде полинома
xn(t)=rk=iaktk, (3)
где ak — неизвестные коэффициенты, определяемые из условий
£x'n(ti) + a(ti)xn(ti) = y(ti),i = 1,п, (4)
ti Е [0,1] — узлы коллокации. Подставляя (3) в (4), получим систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов a1,a2,..., an:
ХП=1 aktk-1[£k + a(ti)ti] = y(ti), i = m. (5)
Теорема 1. Пусть выполняются условия
1. функции a(t),y(t) Е Ha(0 < a < 1);
2. задача (1) — (2) имеет единственное решение x*(t) при Vy(t) Е С [0,1];
3. узлы коллокации являются узлами Чебышёва первого или второго рода:
72i — 1 in -
t.- = с os2-n,t.- = cos2-,i = 1,п.
i 4п 2п + 2
Тогда система (5) имеет единственное решение a1, a£,..., аП и приближённые решения
n
к о = X
aktk
k=1
сходятся к точному решению х*(Ь) задачи (1) — (2) в пространстве функций класса С(1)[0Д], удовлетворяющих условию (2), со скоростью
тж1х' — х^<К1(£)1^=0(^), (6)
0< t<1 па кпаУ
где К^е) — положительная постоянная, не зависящая от п, но, вообще говоря, зависящая от е. Доказательство. Пусть
X = С(1)[0Д] = [х(1):х(1) Е С(1)[0,1],х(0) = 0},
II х \\х= тах1х'0;)1Ух Е X; У = С[0Д], || у ||у= тах1уК)1Уу Е У.
0< <1 0< <1
Задача (1) — (2) эквивалентна операторному уравнению
Ах = у (х Е X, у Е У), Ах = гх' + ах, (7)
где А — линейный оператор из X в У. Введём п-мерные подпространства: Хп — подпространство полиномов вида Т1п=1 ак^к(Хп с X), Уп — подпространство полиномов вида Т1п=1 Рк^к-1(Уп с У). Определим оператор Рп, переводящий У в Уп соотношением Рпу = где
шп(Ь)
= п Л/^ Г Шп({) = ({- ^ - ^ " -
Известно, что Рп является однородным, аддитивным, проекционным оператором. Тогда система (5) эквивалентна функциональному уравнению
^ПХП — Уп(хп Е ^П'Уп ^пУ Е ^ПХП + ^П(Р'ХП)' (8)
Для Чхп Е Хп находим
II Ахп — Апхп Ну=Н Ахп — АПХП У^У 0-хп — Рп(ахп) ^С— 2 II ^п ^С^С ^п-1(ахп)С-
Так как — узлы Чебышёва первого или второго рода, то (см. [2])
4 2 2п II Рп Ис^с—- + -1п(—). л л л
Следуя [2], [3], получим
Еп-1(ахп)с — 3ш(ахп;1/п)с < 3[ш(а;1/п)с II хп Цс +Ц а Цс ш(хп;1/п)с],
где ш(ф; 8)с — модуль непрерывности функции (р.
Представляя хп(£) в виде интеграла хп(£) = / хп,(т)йт, получим оценку
t
lxn(t)l < I 1хп,(т)№т < maxlxn,(t)lt <|| хп ||х,
J 0<t<1
0
т.е. II хп Цс—Ц хп Цх. Для ш(хп; 1/п)с имеем
l
ы(хп;-)с= sup lxn(t') - xn(t")l = sup lxnl(T)(t'- t")l <
n 1 1
Itl-tll ltl-tlll<-
1 1 n 1 1 n
v,t" е[0,1] tr,trre[0,i]
maxlxn,(t)l и r и n n
Известно (см., напр., [2], [3]), что для a(t) ЕНа (0 < а < l)
l М ш(а;—)г < —. v nJC na
Поэтому
где
4 2 2n ИАхп-АпхпИу< 2[- + -ln(—)] x л л л
М l
x 3[— И х Цс+- И а ПЛ х Цх] =епЦх Цх, па п
4 2 2n М l Inn
= 6Ъ + -ln(—)] х[- + -Ца ||c] =0(—)^ 0, л л л na n na
при n ^ Ю, или
£п=ИА-АпИХп^У^0 (9)
при П ^ Ж.
Поскольку в условии теоремы оператор А — линейно обратим, то в силу соотношения (9) и способу введения подпространств Хп,Уп(6\шХп = dimVn = п < ж) можем сделать вывод (см.[1, с.19], теорема 7):
при всех п, удовлетворяющих неравенству цп = еп\\ А 1 ||< 1 приближённое уравнение (8) имеет единственное решение хп Е Xп при любой правой части уп Е Уп, кроме того
Inn
Sn=\\y-yn Ну=Н У - РпУ Ну< 2 II Рп llc^c En-i(y)c = О(-) ^ 0
при n ^ га.
Поэтому (см. [1]) приближённые решения хП Е Хп сходятся к точному решению х* Е X по норме пространства X со скоростью
n n
\\х*п—х* \\х=О(£п + 8п) = О(—).
Пусть задана погрешность вычислений 8, т.е. \\ хП — х* \\^< 8. Тогда
n n с-< 8,
na
где с = const, и можно найти n0, при котором достигается заданная точность:
1 Inn 8 — <-< -
na na с
Отсюда na > с/8 или n > (c/8)1/a. Следовательно n0 = E[(c/8)1/a + 1], где Е[р] — целая часть р.
ювилх теоремы 1 приили^^еппые операторы А 1
норме в совокупности
Следствие. В условиях теоремы 1 приближённые операторы А-1 существуют и ограничены по
|| А-1 К^хп=0(1)<К1(г) для п > п0, где К1 — положительная постоянная, не зависящая от п, но, вообще говоря, зависящая от
.
Точное решение задачи (1) — (2) записывается по формуле
11 с(t) = I —y(s) ехр(— I a(r)dr)ds,
0
где 0 < < 1.
Пусть а(С) < а0, где а0 > 0. Тогда || А-1 ||< ехр(а0/е)/е. Нормы обратных операторов || А-1 || ограничены выражением (см.[1, с.19]:
ц А^ \\< " А-1 " < ехР(ао/е) ^ ехР(ао/е) п ~ 1 — £пЦ А-1 Ц~ £ — £п ехтр(а0/£) £
при п ^ га.
Для а(Ь) < — а0, где а0 > 0, получаем
\\ А-1 \\ 1 1
\\ АП1 -
1 — £пЦ А-1 || £ ехтр(а0/£) — £п £ ехтр(а0/£) при при п ^ га.
Особый практический интерес представляет случай, когда £ ^ 0. Тогда при а(Ь) < —а0, где а0 > 0, получаем || Ап1 |Н 0.
Теорема 2. Пусть функции а(Ь),у(Ь) Е Н£(0 < а < 1,г > 0 — целое число). Тогда в условиях теоремы 1 приближённые решения х^Ь) сходятся к точному решению х*(Ь) со скоростью,
\\ х* — хП Ь< К2(£) — = О(-), (10)
где К2 (£) — положительная постоянная, не зависящая от п, но, вообще говоря, зависящая от £. Доказательство. Задача (1) — (2) эквивалентна операторному уравнению вида
Ах = вх + Тх = у (х Е X,у Е У),
где йх = ех'(1); Тх = а(1)х(1); А:Х^ У(Х, У,Хп, Уп введены в доказательстве теоремы 1); й:Х ^У;Т:Х ^ У; — линейные операторы.
Соответствующее приближённое уравнение имеет вид
^пхп = Рп^хп = Уп (хп Е Хп,уп = Рпу Е Уп),
Апхп Схп + РпТхп, РпТ: X * У, С: Хп ^ Уп.
Докажем, что оператор С — линейно обратим. Пусть йх = г, тогда
t t
1
-1г.
1 Г 1 [
х = G z = — I zMdT < — I тах1г(т)Шт,
£ J £ J 0<r<t
0 0
то есть УС —z\\<-maxlz(t)l или \\ G 1 \\ у_—. Однородность и аддитивность оператора G
очевидна.
Поскольку \\ А — Ап ||у _у=\\ Т — РпТ \\_ 0 при п _ ю (см. теорему 1), то следуя [1, с.27] имеем
\\ х* — х*п \\*<\\ Е — А-—РпТ \\х_х\\ G~— \\у_*\\ Gx* — PnGx* \\у<
<{1 + К—(£)0(1)} \\ С- Ц^щ 2 \\ Рп \\с_с En_—(Gx*)c <
Inn Inn <К2(£)^—= 0(——),
2 v у „„пл-г ^-„пл-г'
так как
1
En-dGx*) = О(-) (Gx* Е Way, || Рп ||с^с= O(lnn);
IА-1 UYn^xn< к^е) (см. следствие к теореме 1); \РпТ UXn^Y= 0(1).
Заданная погрешность вычислений S достигается при п > п0, где п0 Е N — минимальное решение неравенства
Inn
К2 (е) —— < 8
относительно п.
Список литературы 2. Даугавет И.К. Введение в теорию
1. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные приближения функций. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. -аппроксимации решений линейных задач. - Казань: 184 с.
Из-во Казан. ун-та, 1980. - 232 с. 3. Натансон И.П. Конструктивная теория
функций. - М-Л.: Гостехиздат, 1949. - 688 с.
ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ОТ СКОРОСТИ _ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ ПРИ ПНЕВМОЗАРЯЖАНИИ_
DOI: 10.31618/ESU.2413-9335.2020.6.71.614 Ачеева Э.А., Локьяева С.М., Лопушняк Е.В.
АННОТАЦИЯ
Широкое применение пневматического способа заряжания и транспортирования гранулированных взрывчатых веществ (ВВ) при ведении горных работ указывает на необходимость исследований недостатков, сопутствующих этому методу: а именно возникновение электризации в зарядном шланге. Электрический потенциал и заряд являются основными параметрами энергии, выделяющейся при разряде, количество теплоты которого идет на разогрев ВВ. В итоге, зная минимальные скорости движения потока аэровзвеси, можно контролировать величину электрического заряда, превышение которого ведет к незапланированному взрыву.
ANNOTATION
The wide use of pneumatic method of loading and portage of granular explosives (ВВ) at the conduct of mountain works specifies on the necessity of researches of defects concomitant to this method: namely an origin of electrification in a charge hose. Electric potential and charge are the basic parameters of the energy distinguished at a digit, the amount of warmth of thatgoes to the warming-up of VV. In the total, knowing the minimum
