Численное решение векторной трехмерной обратной задачи на объемном неоднородном диэлектрическом полушаре двухшаговым методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 537.226

doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-1

Численное решение векторной трехмерной обратной задачи на объемном неоднородном диэлектрическом полушаре двухшаговым методом

Ю. Г. Смирнов

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия mmm@pnzgu .ru

Аннотация. Актуальность и цели. Работа посвящена реализации двухшагового метода решения векторной трехмерной обратной задачи дифракции на неоднородном диэлектрическом рассеивателе в форме полушара, характеризующемся неоднородной диэлектрической проницаемостью. Основной областью применения результатов настоящей статьи является ранняя диагностика рака молочной железы методом микроволновой томографии. Материалы и методы. Применен двухшаговый метод решения векторной обратной задачи дифракции на полушаре. В отличие от традиционных подходов, духшаговый метод решения обратной задачи является неитерационным и не требует знания хорошего начального приближения. Соответственно нет и проблем, связанных со сходимостью численного метода. Результаты и выводы. Исходная краевая задача для системы уравнений Максвелла сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений. Предложена интегральная формулировка векторной обратной задачи дифракции. Представлено подробное описание метода коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения первого рода в специальных классах функций. Представлены результаты расчетов приближенных решений обратной задачи. Показано, что двухшаговый метод является эффективным подходом к решению векторных задач ближнепольной томографии.

Ключевые слова: трехмерная векторная обратная задача дифракции, восстановление неизвестной диэлектрической проницаемости, интегро-дифференциальные уравнения, двухшаговый метод

Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации по гранту Государственного задания (Рег. № 124020200015-7).

Для цитирования: Смирнов Ю. Г. Численное решение векторной трехмерной обратной задачи на объемном неоднородном диэлектрическом полушаре двухшаговым методом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 3-17. doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-1

Numerical solution of a vector 3D inverse problem on a volumetric inhomogeneous dielectric hemisphere by a two-step method

Yu.G. Smirnov

© Смирнов Ю. Г., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Penza State University, Penza, Russia [email protected]

Abstract. Background. The work is devoted to the implementation of a two-step method for solving a vector three-dimensional inverse diffraction problem on an inhomogeneous dielectric scatterer in the form of a hemisphere characterized by inhomogeneous permittivity. The main area of application of the results of this article is the early diagnosis of breast cancer by microwave tomography. Materials and methods. The two-step method for solving the vector inverse problem of hemisphere diffraction is applied. Unlike traditional approaches, the two-step method of solving the inverse problem is non-iterative and does not require knowledge of a good initial approximation. Accordingly, there are no problems related to the convergence of the numerical method. Results and conclusions. The boundary value problem for the Maxwell system of equations is reduced to a system of integro-differential equations. An integral formulation of the vector inverse diffraction problem is proposed. A detailed description of the collocation method for solving an integro-differential equation of the first kind in special classes of functions is presented. The results of calculations of approximate solutions to the inverse problem are presented. It is shown that the two-step method is an effective approach to solving vector problems of near-field tomography.

Keywords: three-dimensional vector inverse diffraction problem, restoration of unknown permittivity, integro-differential equations, two-step method

Financing: the work was carried out with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation under the grant of the State Assignment (Reg. No. 124020200015-7).

For citation: Smirnov Yu.G. Numerical solution of a vector 3D inverse problem on a volumetric inhomogeneous dielectric hemisphere by a two-step method. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4):3-17. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-1

Введение

Обратные векторные задачи дифракции электромагнитных волн в трехмерном пространстве представляют большой интерес в медицинской диагностике, неразрушающем контроле объектов, дефектоскопии. Один из наиболее распространенных подходов к их решению заключается в минимизации некоторых функционалов ошибок с регуляризацией по Тихонову и использовании итерационных методов, требующих выбора хорошего начального приближения [1-4].

В данной работе рассматривается неитерационный подход к решению трехмерной векторной обратной задачи восстановления неоднородности диэлектрического тела в форме полушара по измерениям ближнего электромагнитного поля. Задача состоит в отыскании неизвестной кусочно-непрерывной диэлектрической проницаемости (или соответствующего ей показателя преломления) ограниченного объемного рассеивателя, расположенного в К .

В отличие от традиционных подходов, духшаговый метод решения обратной задачи является неитерационным и поэтому не требует выбора хорошего начального приближения. Это достоинство двухшагового метода является ключевым, поскольку выбор хорошего начального приближения в итерационном методе является отдельной сложной задачей. Кроме того, нет проблем, связанных со сходимостью численного метода. Во многих подходах

к решению обратных задач сходимость итерационных методов строго не доказана, не получены оценки скорости сходимости. В противовес этому используемый нами двухшаговый неитерационный метод позволяет сразу решать систему линейных алгебраических уравнений, возникающую при решении обратной задачи, известными методами. Главным недостатком нашего метода является плохая обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Впрочем, скорее это недостаток не используемого метода, а свойство обратной задачи вообще. Тем не менее решение таких систем линейных алгебраических уравнений достаточно хорошо разработано и не является проблемой в настоящее время. В нашем случае хорошо зарекомендовали себя стандартные методы регуляризации и построение предобу-словливателей.

В статье представлено описание, обоснование и применение двухшаго-вого метода, который ранее успешно применялся для решения скалярных и векторных обратных задач рассеяния [5-9]. Отметим, что двухшаговый метод решения обратной задачи для поиска неоднородностей в диэлектрическом теле произвольной формы по измерениям ближнего поля был предложен и обоснован в работах [5-9], где, в частности, доказана единственность решения обратной задачи в рассматриваемой в этой статье постановке, т.е. существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство единственности решения при исследовании обратных задач удается получить сравнительно редко. В нашем случае постановка задачи изначально выбрана конечномерной (ищется конечное число неизвестных параметров - значений диэлектрической проницаемости на элементах сетки). Также были представлены результаты численных расчетов для решения двумерной (2D) обратной задачи [6], трехмерной (3D) скалярной обратной задачи [5, 7], трехмерной (3D) векторной обратной задачи [8] на параллелепипеде и ^-мерной скалярной обратной задачи [9].

В настоящей работе мы применяем и разрабатываем двухшаговый метод решения обратной задачи на теле в форме полушара в сферических координатах, который имеет ряд особенностей. Численные результаты также представлены для определения неоднородностей в полушаре.

Основной областью применения результатов настоящей статьи является ранняя диагностика рака молочной железы методом микроволновой томографии.

1. Прямая задача: постановка и основные результаты

3

Пусть Q с К - полушар, тогда граница дQ - кусочно-гладкая поверхность, состоящая из двух поверхностей класса С .

Будем предполагать, что диэлектрическое тело Q является изотропным и неоднородным; оно характеризуется постоянной магнитной проницаемостью Цо >0 и функцией диэлектрической проницаемости е(х) е С^).

Введем относительную диэлектрическую проницаемость £г = £ / £о и предположим, что в каждой точке х е Q существует комплекснозначная функция

(£г(х) -1)-1. (1)

3 —

Свободное пространство R \ Q предполагается однородным с постоянными значениями проницаемостей £0 > 0 , Цд > 0 (проницаемости вакуума).

3 —

Поле возбуждается точечным источником в точке xq е R \ Q, порождающим электромагнитную волну E0, H0 е C~ (R \ xq), удовлетворяющую

3

системе уравнений Максвелла в R \ xq :

rot H0 = —¿weqEq, rot E0 = iw^o H0. (2)

Полное поле представляется в виде суммы падающего и рассеянного полей:

E = E0 + Es, H = H0 + Hs . (3)

Решение прямой задачи дифракции - полное электромагнитное поле E, H, принадлежащее классам функций

Е,Не C2 (3\dQ)n C(Q) n C(К3 \ Q), (4)

3

удовлетворяющее в К \ dQ:

- уравнениям Максвелла:

rotH = —¿юеЕ, rotE = ¿юц0 H; (5)

- условиям непрерывности касательных компонент на границе области неоднородности:

[Ет ] IdQ =[Hт ] IdQ =0; (6)

- условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства:

Е, H е L2,l0c (R3); (7)

- условиям излучения Сильвера - Мюллера [10] на бесконечности для рассеянного поля:

H s>«r — Es = o(r_1) Es^er + H s = o(r_1),

i (8)

Es, Hs = O(r-1), r

2 2 T

где ko = w - волновое число; er = x/r, r =| x |, x = (xj,X2,X3) ; предельные соотношения в (8) выполняются равномерно по всем направлениям.

Определение 1. Решение E, H задачи (2)-(3), (5)-(8), удовлетворяющее условиям (4), называется квазиклассическим.

Сформулируем основные результаты о разрешимости прямой задачи дифракции.

Утверждение 1. Пусть диэлектрическая проницаемость удовлетворяет в Q условиям

£r е C~(Q), Reer >1, Imer > 0, (9)

а вне Q - условиям £ = £ и Ц = Ц0. Тогда задача дифракции (2)-(3), (5)-(8) имеет не более одного квазиклассического решения, а оператор

AE(х) := E(х) - (к) + grad div) \в(х, у)(£г (у) - 1)Е(у)ф

JQ

непрерывно обратим в L2(Q).

Краевую задачу (2)-(3), (5)-(8) можно свести к системе, состоящей из интегро-дифференциального уравнения по области неоднородности

E(x)- (к)2 + grad (х,у)(£г(у)- 1Щу)ёу = Eо(x), хе Q, (10)

JQ

и интегрального представления поля вне тела

E(х) = Eо (х) + (к)2 + grad \ в(х, у)(£г (у) - 1)E(у)ёу, х е R3 \ Q, (11)

JQ

е'ко\х-у1

где в (х, у) =

4п \ х - у \

Магнитное поле всюду выражается через электрическое поле по формуле из второго уравнения в (5).

Имеет место результат об эквивалентности краевой задачи и интегро-дифференциального уравнения.

Утверждение 2. Если краевая задача (2)-(8) имеет квазиклассическое решение E, И, то вектор-функция E е Сп L2 удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению (10). Обратно, если E е L2^) удовлетворяет уравнению (10), то краевая задача (2)-(8) имеет квазиклассическое решение E, И, выраженное формулами (10)—(11) и вторым уравнением в (5).

Доказательства сформулированных утверждений приведены в работах [11, 12].

2. Постановка обратной задачи

3

В однородном трехмерном пространстве R , характеризующемся волновым числом кд >0, в сферических координатах х = {г, ф, 0}, г > 0, 0 < ф < 2п, 0 < 0 < п} рассмотрим векторную обратную задачу восстановления неоднородности изотропного диэлектрического полушара Q (без границы):

Q = {х:0< г<К,0<ф<2п, 0<0<п/2}.

Введем на Q равномерную сетку с узлами:

К 2п п/2 ги =— 1 0 < г1 < пЪ ф/, =-Ъ 0 < 12 < 0/3 =-0 < 13 < п3.

1 Щ 2 П2 3 Пз

Разобьем Q на элементарные ячейки:

={х: \ < г < \+1, Ф/2 < ф < Ф/2+1, 0/3 < 0 < 0/3+1}, 0 < 1к < пк -1.

Далее будем предполагать, что область Q характеризуется магнитной проницаемостью Ц0 >0 и подлежащей отысканию кусочно-постоянной функцией диэлектрической проницаемости е(х) = £г (х)£о- Точнее,

Диэлектрическую проницаемость в точках граней можно до-

определить как предел значений £( х) в одной из смежных ячеек.

Вводя мультииндекс i = ('123), представим функцию £( х) при каждом хе Q равенством

Рассмотрим некоторую ограниченную область Б такую, что Б п Q = 0. Предположим, что в точках х е Б известны значения полного поля на фиксированной частоте ю >0.

При постановке обратной задачи дифракции будем использовать систему интегральных равенств (10), (11), определяющих зависимость поля Е( х) от диэлектрической проницаемости £( х) и падающей волны Ео( х).

Постановка обратной задачи дифракции заключается в следующем: требуется восстановить функцию £(х) в области неоднородности Q по результатам измерения полного поля Е(х) в точках области Б, используя равенство

(¿0 + gгad ёгу) Гв(х, у)(£г (у) - 1)Е(у)йу = Е(х) - Ео (х), х е Б, (12) JQ

Е(х) - (¿2 + gгad С(х,у)(£г (у) - 1)Е(у)йу = Е0(х), х е ^^ (13) JQ

Опишем двухшаговый метод решения обратной задачи дифракции. Введем в области Q вектор-функцию

предполагая, что всюду в Q выполнено условие | £г (х) |> £ > 1. Тогда из представления поля (12) вне рассеивателя получим уравнение для J (х):

Введем кусочно-постоянные функции х' '

£( х) = (x)Xi(х).

с учетом уравнения в области неоднородности Q

J (х):=(£г (х) - 1)Е( х),

(¿02 + gгad б(х, у^ (у)йу = Е(х) - Е0(х), х е Б, (14)

а уравнение в области неоднородности (13) перепишем в виде

Л(х) , -(к02 + grad (х,у)Л(у)йу = Е0(х), хе Q. (15)

ег(х) -1 Щ

Двухшаговый метод восстановления диэлектрической проницаемости в Q состоит в следующем. Первый шаг: по известным значениям падающего

поля Е0(х) и полного поля Е(х) в области О необходимо найти ток Л (х)

в Q из уравнения (14). Второй шаг: вычислить явно £г (х) в Q, используя

уравнение (15).

Отметим, что предложенный метод решения обратной задачи не является итерационным и не требует знания «хорошего» начального приближения. Итерационный метод решения аналогичной задачи предложен в [13, 14].

3. Единственность решения интегро-дифференциального уравнения

Для приближенного отыскания Л будет применен метод коллокации с финитными базисными функциями. Сначала предположим, что Л представляет собой кусочно-постоянную функцию

Л (х) = & Х|(х),

I

3

где е С - неизвестные (векторные) коэффициенты; (х) - характеристические функция множеств Qi (на гранях Qi ток можно доопределить любым из постоянных значений).

Имеет место теорема о единственности решения уравнения (14) в классе кусочно-постоянных функций Л( х).

Утверждение 3. Пусть задано разбиение тела Q на щп2П3 ячеек Qi. Уравнение

(*0 + grad div)í в(х,у)Л(у)йу = Е, (х), х е О, О пё = 0, Е, е С~(О), •'и

имеет не более одного кусочно-постоянного решения Л(х) при всех кф > 0 за исключением, быть может, конечного числа значений к0.

Доказательство аналогично представленному в [8] для случая параллелепипеда вместо полушара.

Предположим, что правая часть уравнения (14) принадлежит линейной оболочке функций

(ко + grad div) I в (х, у )Л( у)ёу •'и

на данной фиксированной сетке в Q. Тогда оператор уравнения (14) можно рассматривать как отображение, действующее в конечномерных пространствах. Это отображение будет обратимым вследствие утверждения 4, а решение обратной задачи дифракции для случая кусочно-постоянных токов Л находится из уравнения (15).

4. Численный метод решения прямой и обратной задач

И прямая, и обратная задачи решаются методом коллокации. Для реализации этого метода необходимо выбрать базисные функции и узлы колло-кации.

Самый простой выбор базисных функций - это кусочно-постоянные функции вида (15), для которых носителем является одна элементарная ячейка. Такой вариант базисных функций рассматривался в [5-9]. Недостатком такого выбора является невозможность внесения операции дивергенции под знак интеграла и «переноса» операции на базисную функцию и, следовательно, необходимость решения сингулярного интегро-дифференциального уравнения. Это требует использования специальных методов учета особенности интегралов.

В данной работе предложен другой вариант выбора базисных функций, описанный ниже. В этом случае приходим к необходимости вычисления только интегралов со слабой особенностью.

Введем три типа базисных функций, носителями которых являются две смежные ячейки. По одной из координат эти функции являются кусочно-линейными, по двум другим - кусочно-постоянными.

Введем шаги сетки по переменным /^ = Я / щ, ^ = 2п / п^ , Из = п / (2пз). Базисные функции имеют следующий вид:

Vег) (х) =

1 - г - Гк / х е ^ и Qili2iз,

х * Йн^з и

(16)

V1. (х) =

1

Ф-Ф'2 0,

/ И2, х е Йу2 -1,.3 и Qгlг2гз,

х * -1,г'з и Й'з

(17)

V. (х) =

¥2'3

(18)

0-0 .з /% хе ^ .2 .з-1 и^ 2^ 0, х * Й'1 '2 '3-1 и Й'1 '2 '3.

При реализации метода коллокации необходимо вычислять интегралы (¿02 + grad div)[в(х, у^ К (у)йу, (19)

где J N - приближенное решение.

Запишем операции дивергенции и градиента в сферических координатах для произвольных скалярной функции Ф и векторной функции F в точке х = (г, ф, 0):

, , ЭФ 1 ЭФ 1 ЭФ„

grad Ф = — г +--ф +--0,

дг г sin 0 Эф г Э0

г 1 Э(г2Fr) 1 Э^р 1 Э(F0 sin 0)

div F = ——-г— +--+--—--,

г2 Эг г БШ 0 Эф г БШ 0 Э0

(20) (21)

где r, ф, 0 - единичные векторы по соответствующим направлениям. Образуем векторные базисные функции:

уМ (x) = v^. (x)r(x), (22)

г1г2гз hhh

у(ср). (x) = v{.ф) (х)ф(x), (23)

¥2*3 ¥2h3 v >

у. (x) = v(0> (x)0(x). (24)

¥2h3 г1г2г3 ' ' '

Тогда в пределах своих носителей вычисляем дивергенцию базисных функций (22)-(24), используя формулы (16)-(18), (21):

2

div у %3 (x) = 7vg3 (x) - sign(r - r0/ hi, (25) div у ( р). (x) =--^Sign(p- р2)/ h2, (26)

'1'2'3 r Sin 0 2

div у i9 } . (x) = vi 9 } (x) - Msign(0 - 0 .. ) / h3. (27)

h 1 h. ' r hh 2 r 3> 3 v >

За счет выбора базисных функций дивергенция от них вычисляется обычным образом (не как обобщенная функция) и является кусочно-непрерывной функцией. Вне носителей базисных функций дивергенция от них равна нулю.

Далее каждую компоненту тока (приближенного решения) будем искать в виде линейной комбинации соответствующих базисных функций с неизвестными коэффициентами:

j(r)(x)=Б/(r)v(r)(x), J(p)(x)=Yj(р)у(p)(x), J(0)(x)=Y(0)у(0)(x). i i i

Тогда для приближенного решения имеем J n (x) = J N)(x) + jNp)(x) +

+ J (0)( x). Отметим важное свойство: нормальная компонента приближенного решения равна нулю на границе dQ в точках гладкости границы, Jn(x) v(x) = 0 (здесь v(x) - внешняя нормаль к границе в точке xedQ). Кроме того, очевидно, что введенные базисные функции обладают свойством аппроксимации в пространстве ¿2 (Q).

Замечание. Так как решение при р = 0 и р = 2п совпадает, следует добавить базисные функции с индексом ¿2 = «2 , т.е. 0 < ц < щ -1, 0 < ¡2 < «2, 0 < i3 < n3 -1.

Для реализации численного метода необходимо вычислить дивергенцию от объемного интеграла.

Утверждение 4. Справедлива формула для любого x е R :

divx Sqg(x, N (У)dy = Jqg(x,У)divJN (y)dy. (28)

Доказательство. Действительно, ^х уМ N(у № = Г^^х0 (x, у) •J N(у № = -^QgradyG(x, у) •J N( у¥У . Далее:

-ÍQgradуС(х, у) • МN (у= -у (в(х, у)МN (у)^у + ^(х,уN (у)4у .

По формуле Гаусса - Остроградского в силу равенства нулю нормальной компоненты М N (х) на ЭQ имеем

J0div^ (G(х, y) J N (y))dy = 0 ,

¡Q

что доказывает утверждение. Отметим, что при х е Q несобственные интегралы имеют слабую особенность и абсолютно сходятся.

Формулу (28) можно получить в декартовых координатах, а применять в сферических, используя инвариантность операций градиента и дивергенции относительно системы координат. Теперь вычислим

grad х div х \qG( х, y) J n (y)dy = ^grad xG (х, y)divJ n (У )dy (29)

уже как несобственный абсолютно сходящийся интеграл, поскольку особен_2

ность ядра имеет порядок O(|х _ y| ) при |х _ y| ^ 0 (слабая особенность). При вычислении divJn(y) используем формулы (25)-(27). Имеем

|х _ y| = -\Jr2 + ro2 _ 2rro (cos(9 _ фо) sin 0sin0o + cos0cos 0o), (30) где х = (r, ф, 0), y = (ro, фо, 0о).

1 ^ eiko(

Введем функцию G1(t) := iko _- I-, тогда по формуле (20) находим

t) 4nt

grad xG (х, y) = G1(| х _ y|)

V

r ъ\х _ y| r + 1 Э1х _ y| ф+1Э1х _ у| 0л

dr r sin 0 Эф r Э0

/

где

Э |х _ y| = r _ /o(cos^_^)sin 0 sin 0o + cos 0 cos 0o)

dr \х _ y I

d I х _ y I = rro sin(ф _ Ф0) sin 0 sin 0o Эф |х _ y| '

Э|х _ y| = _ГГ0(^(ф_ф0)^ 0sin0o _ sin0cos 0o)

d0 = Х_У '

(31)

(32)

(33)

а |х - у| определяется формулой (30). Таким образом, градиент (31) вычисляется по формулам (32)-(34) и все необходимые формулы для вычисления выражения (29) представлены. Окончательно в сферических координатах получаем

(к0 +grad х div х) ^ (х, у) J N (у )йу =

К 2пп/2

= ко Л | С(г,ф,0,г0,ф0,0О)ЛК(го,ф0,0o)гo2sin0ой?Го^^0о + ООО

К 2пп/2

+III grad °(г, Ф, 0, г0, Ф0,N (Г0, Ф0,00>0^Ь 00^ й ф0^00. (35)

0 0 0

Формула (35) позволяет вычислять интегралы (19) как собственные абсолютно сходящиеся интегралы.

Теперь выберем узлы коллокации. В прямой задаче наиболее удобным вариантом является тот, когда узлы выбираются в «центре» носителя, т.е. на смежной грани двух ячеек носителя, в точке с координатами, равными полусумме соответствующих сферических координат сторон ячейки. В этом случае узел коллокации однозначно «привязан» к базисной функции и количество узлов равно числу базисных функций, что приводит к квадратной матрице системы линейных алгебраических уравнений в методе коллокации.

В обратной задаче узлы выбираются вне тела Q . Их количество должно быть не меньше числа базисных функций. Если количество узлов колло-кации совпадает с числом базисных функций, то получается квадратная матрица в системе линейных алгебраических уравнений в методе коллокации. Если узлов больше, чем базисных функций, то получается переопределенная система линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей, что, вообще говоря, является более предпочтительным вариантом, поскольку в этом случае учитывается «больше информации» для определения неизвестных коэффициентов приближенного решения. Решение такой системы возможно, например, методом псевдообратных матриц.

Расположение узлов коллокации при решении обратной задачи является отдельным важным вопросом. Ясно, что узлы коллокации должны располагаться в возможно более широкой области вокруг тела для успешного решения обратной задачи. Но конкретное расположение узлов коллокации необходимо выбирать, учитывая ограничения для их локализации на практике и проводя вычислительные эксперименты.

5. Пример решения обратной задачи двухшаговым методом

Ниже представлены в качестве примера результаты решения обратной задачи двухшаговым методом (см. [15, с. 76-79]). Сетка выбрана размером 12 х 12 х 12, частота 100 ГГц, радиус полушара 15 см. Источник поля расположен на расстоянии 5 см над полюсом полусферы. Точки наблюдения, в которых измеряется поле, расположены вокруг тела, причем наименьшее расстояние от точки наблюдения до полушара выбиралось около 1 см. Функция £г (х) - комплекснозначная (рис. 1, 2).

Рис. 1. Точное решение: вещественная часть ег (х)

Рис. 2. Приближенное решение: вещественная часть ег (х)

Из рис. 1, 2 видно, что неоднородность обнаруживается, локализация ее верная. Однако форма неоднородности и значения диэлектрической проницаемости несколько отличаются от исходных данных. Дальнейшее уточнение решения возможно при увеличении набора исходных данных и измельчении сетки.

Заключение

Разработан и обоснован двухшаговый метод решения задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в форме полушара по измерениям ближнего поля, основанный на решении векторного линейного интегро-дифференциального уравнения по области неоднородности. Предложен численный метод решения обратной задачи. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают эффективность предложенного алгоритма для решения обратной задачи дифракции.

В обратных задачах решающую роль играет точность вычислений на всех этапах ее решения. Кроме того, необходим препроцессинг входных данных, в результате которого отфильтровывается белый шум и систематическая ошибка измерений. В настоящей статье препроцессинг входных данных не рассматривается.

В предложенном методе решения задачи базисные функции выбираются таким образом, чтобы можно было внести операцию дивергенции под знак интеграла, перенести ее на базисную функцию и вычислить дивергенцию аналитически. Это позволяет сократить количество вычислений, приводящих к погрешностям за счет ошибок округлений чисел. Более того, оказывается возможным внесение операции градиента под знак интеграла, поскольку особенность становится интегрируемой. Это тоже сокращает вычислительные погрешности.

Таким образом, предложенный метод решения обратной задачи позволяет добиться приемлемой на практике погрешности решения при сравнительно малом количестве измерений и решении на грубой сетке. Это особенно важно, когда на практике трудно провести большое количество измерений.

Список литературы

1. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York : Springer, 2012. 406 p.

2. Isakov H. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York : Springer, 2005. 346 p.

3. Romanov V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, The Netherlands : VNU, 1987. 239 p.

4. Bakushinsky A. B., Kokurin M. Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. New York : Springer, 2007. 291 p.

5. Medvedik M. Y., Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Two-step method for solving inverse problem of diffraction by an inhomogeneous body. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 38th // Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics - PIERS 2017 (Russia, St. Petersburg, May 22-25, 2017). Cham : Springer, 2018. P. 83-92.

6. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. The two-step method for determining a piecewise-continuous refractive index of a 2D scatterer by near field measurements // Inverse Problems in Science and Engineering. 2020. Vol. 28, № 3. P. 427-447.

7. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem // Inverse Problems in Science and Engineering. 2020. Vol. 28 (10). P. 1-19. doi: 10.1080/17415977.2020.1727466

8. Medvedik M. Y., Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Inverse vector problem of diffraction by inhomogeneous body with a piecewise smooth permittivity // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023. Vol. 32, iss. 3. P. 1-13. doi: 10.1515/jiip-2022-0060

9. Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Direct and inverse scalar scattering problems for the Helmholtz equation in RM // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2022. Vol. 30 (1). P. 101-116.

10. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Heidelberg : Springer-Verlag, 2013. 420 p.

11. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A., Valovik D. V. On the Volume Singular Integrodifferen-tial Equation for the Electromagnetic Diffraction Problem // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96, № 2. P. 173-189.

12. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Existence and Uniqueness Theorems in Electromagnetic Diffraction on Systems of Lossless Dielectrics and Perfectly Conducting Screens // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96, № 8. P. 1326-1341.

13. Smirnov Y. G. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation // IEEJ Transactions on Fundamentals and Materials. 2009. Vol. 129 (10). P. 675-680.

14. Kobayashi K., Shestopalov Yu., Smirnov Yu. Investigation of electromagnetic diffraction by a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2009. Vol. 70 (3). P. 969-983.

15. Отчет о научно-исследовательской работе 1.894.2017/ПЧ «Суперкомпьютерное моделирование для решения прикладных задач электродинамики». Пенза, 2019. URL: https://science.pnzgu.ru/top_project/Smirnov_092018

References

1. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012:406.

2. Isakov H. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York: Springer, 2005:346.

3. Romanov V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, The Netherlands: VNU, 1987:239.

4. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. New York: Springer, 2007:291.

5. Medvedik M.Y., Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Two-step method for solving inverse problem of diffraction by an inhomogeneous body. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 38th. Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics - PIERS 2017 (Russia, St. Petersburg, May 22-25, 2017). Cham: Springer, 2018:83-92.

6. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. The two-step method for determining a piecewise-continuous refractive index of a 2D scatterer by near field measurements. Inverse Problems in Science and Engineering. 2020;28(3):427-447.

7. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem. Inverse Problems in Science and Engineering. 2020;28(10):1-19. doi: 10.1080/17415977.2020.1727466

8. Medvedik M.Y., Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Inverse vector problem of diffraction by inhomogeneous body with a piecewise smooth permittivity. J. Inverse Ill-Posed Probl. 2023;32(3):1-13. doi: 10.1515/jiip-2022-0060

9. Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Direct and inverse scalar scattering problems for the Helm-holtz equation in RM. J. Inverse Ill-Posed Probl. 2022;30(1):101-116.

10. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Heidelberg: Springer-Verlag, 2013:420.

11. Smirnov Yu.G., Tsupak A.A., Valovik D.V. On the Volume Singular Integrodifferen-tial Equation for the Electromagnetic Diffraction Problem. Applicable Analysis. 2017;96(2):173-189.

12. Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Existence and Uniqueness Theorems in Electromagnetic Diffraction on Systems of Lossless Dielectrics and Perfectly Conducting Screens. Applicable Analysis. 2017;96(8):1326-1341.

13. Smirnov Y.G. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation. IEEJ Transactions on Fundamentals and Materials. 2009;129(10):675-680.

14. Kobayashi K., Shestopalov Yu., Smirnov Yu. Investigation of electromagnetic diffraction by a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation. SIAM Journal on Applied Mathematics. 2009;70(3):969-983.

15. Otchet o nauchno-issledovatelskoy rabote 1.894.2017/PCH «Superkompyuternoye modelirovaniye dlya resheniya prikladnykh zadach elektrodinamiki» = Research Report 1.894.2017/PCH "Supercomputer simulation for solving applied problems of electrodynamics". Penza, 2019. (In Russ.). Available at: https://science.pnzgu.ru/top_project/ Smirnov 092018

Информация об авторах / Information about the authors

Юрий Геннадьевич Смирнов

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Yuriy G. Smirnov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 14.10.2024

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 12.11.2024 Принята к публикации / Accepted 25.11.2024