CC BY
56
2016, Т. 158, кн. 1 С. 81-89
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 519.63+517.977.58
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОТОЧЕЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФУНКЦИЮ СОСТОЯНИЯ
А.В. Лапин, А.А. Платонов
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Рассмотрена задача оптимального управления системой, описываемой задачей Дирихле для линейного параболического уравнения, при наличии поточечных ограничений на функцию управления и на состояние системы. Функцией управления служит правая часть параболического уравнения. Функционал цели содержит распределенное в пространственно-временной области наблюдение. Построена конечно-разностная аппроксимация рассматриваемой задачи оптимального управления с использованием явной по времени аппроксимации параболического уравнения состояния. Доказано существование ее единственного решения. Построена соответствующая сеточной задаче оптимального управления седловая задача с ограничениями. Доказано существование решения седло-вой задачи и сходимость обобщенного итерационного метода Удзавы для ее решения. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
Ключевые слова: оптимальное управление, параболическое уравнение состояния, ограничения на состояние, конечно-разностная аппроксимация, итерационный метод
Введение
Задачи оптимального управления с ограничениями на состояние системы, описываемой параболическим уравнением, возникают, например, при моделировании прикладных задач с фазовыми переходами (см. [1-3] и библиографию этих работ). В настоящей статье рассмотрена модельная задача оптимального управления с линейным параболическим уравнением состояния и с поточечными ограничениями на функцию состояния. Доказано существование единственного решения сформулированной задачи на основе общей теории выпуклого анализа и оптимального управления [4, 5]. Построены ее конечно-разностная аппроксимация и итерационный метод решения, являющийся предобусловленным вариантом метода Удзавы. Обоснованы разрешимость сеточной задачи и сходимость итерационного метода, приведена апостериорная оценка точности итераций. Отметим, что реализация метода осуществляется полностью по явным формулам. Приведены результаты вычислительных экспериментов, которые свидетельствуют об эффективности предложенного метода.
В статье не затронуты вопросы сходимости сеточной схемы. Исследованию сходимости и точности метода конечных элементов для параболической задачи оптимального управления с поточечными ограничениями на функцию состояния посвящена работа [6].
Итерационные методы решения для некоторых параболических задач с поточечными ограничениями на функцию состояния исследованы в [7, 8]. Настоящая работа является продолжением исследований в области итерационных методов для сеточных аппроксимаций задач оптимального управления с ограничениями на состояние [8-16].
1. Формулировка задачи оптимального управления и ее аппроксимация
Пусть П = (0,1)п,п > 1, = П х (0,Т], Т = дП х (0,Т] и состояние у(х,Ь) управляемой системы является решением задачи Дирихле для уравнения теплопроводности с управлением и(х,Ь) в правой части
ду
—--Ау = и в Qт; у = 0 на Т; у(х, 0) = 0 при х € П. (1)
дЬ
Для любого и € Ь2^т) существует единственное обобщенное решение задачи (1)
из пространства W(QT) = {y G L2(0,T; Hq(Q)), dy/dt G L2(QT)} и справедливо
неравенство устойчивости [17, p. 370]
1Ы1ь2(0,Т ;H1(Q)) +
ду dt
< 4u\\b2(QT) ■ (2)
L2 (Qt )
Определим следующие множества ограничений на управление и состояние: Uad = {u е L2(Qt) : \u(x,t)\ < Umax П. вс. В Qt}, Umax > 0,
Yad = {y е W(Qt) : ymin (x, t) < y(x,t) < y max (x,t) п.вс. в Qt},
где ymin(x,t), ymax(x,t) - непрерывные в Qt = ft x [0,T] функции, ymin(x,t) < 0 < ^ ymax(x,t). Зададим целевой функционал с распределенным в области Qt наблюдением yd е L2(Qt):
J (y,u) = — J (y(x,t) — yd(x,t))2 dxdt + — J u2 dxdt, a> 0.
Qt Q
Будем решать задачу оптимального управления
min J (y,u), {y,u)eK (3)
K = {(y,u) € Yad x Uad : выполнено уравнение состояния (1)}.
Лемма 1. Задача оптимального управления (3) имеет единственное решение.
Доказательство. Из определения множеств Uad, Yad и неравенства (2) следует ограниченность и замкнутость выпуклого множества K в W(Qt) x Ь2 (Qt). Кроме того, K не пусто, так как содержит нулевой элемент W(Qt) x L2 (Qt) • Поскольку квадратичный функционал J(y, и) - непрерывный и строго выпуклый в этом пространстве, отсюда следует сформулированный результат (см., например, [4, глава II, предложение 1.2]). □
Построим конечно-разностную аппроксимацию (3) на равномерной по x и t сетке шх x wt в Qt , где шх = {xH = ih, i = 0,1,... Nx; Nxh =1}, wt = {tj = jr, j = = 0,1,... Nt; NtT = T}. Пусть Vh - пространство сеточных функций, определенных на сетке wx и равных нулю в граничных узлах сетки, yj = y(x,tj) € Vh -сеточная функция на временном слое tj = jT € wt .В дальнейшем используем одинаковые обозначения для сеточных функций и векторов их узловых значений. Через Nx обозначим размерность пространства Vh, через ||.||х - евклидову норму этого пространства. Пусть A - матрица сеточного оператора Лапласа с нулевыми условиями Дирихле в граничных точках сетки wx. Ее спектр лежит на отрезке (A),^max(A)], где ^max(A) имеет порядок h 2, а Mmin (A) > 0 ограничено снизу положительной постоянной, не зависящей от h.
Аппроксимируем краевую задачу состояния (1) явной разностной схемой
У - У 1 + Лу3-1 = и3, з =1, у0 =0, (4)
т
считая выполненным условие т < 2/^тах(А), обеспечивающее устойчивость схемы. Пусть функция уа непрерывна. Определим сеточную целевую функцию
1 N N
I(v,u) = -J2 У — ydwl + №wl, (5)
2 ■ 2
3=1 3=1
и множества ограничений
Uhd = i(u\ uNt) : u3 e Vh, \u31 < um&x], Yh = {(y\...,yNt): y3 e Vh, yj in < y3 < y3max}. Сеточная задача оптимального управления имеет вид
min I(y,u),
(y,u)eKh (6)
Kh = {(y,u) e Y^d x Uhhd : выполнено уравнение состояния (4)}.
Лемма 2. Задача (6) имеет единственное решение.
Доказательство. Непустое множество Kh ограничено и замкнуто в конечномерном пространстве, то есть компактно. В свою очередь, функция I(y, u) непрерывна, поэтому существование ее минимума на Kh следует из теоремы Вейер-штрасса. Поскольку квадратичная функция I(y, u) строго выпукла, а множество Kh выпукло, решение единственно. □
2. Решение сеточной задачи
Пусть N = NxNt - размерность векторов узловых параметров сеточных функций от x и t, E e RN xN - единичная матрица, матрица L e RN xN определена равенством
f y1 y3 — y3-1 ' 1
(Ly)3 = < — при j = 1, ----+ Ay3 при j = 2,...,Nt >.
Матрица L положительно определена при условии т < 2/^max(A). Пусть далее ф и у - индикаторные функции множеств YId и Uhd, соответственно, а дф и ду -их субдифференциалы. Сеточная задача оптимального управления (6) может быть записана в виде
1 т а т
шт {I(у, и) + ф(у) + ^(и)}, I(у, и) = 2^2 У - Уа+ 2 12 У У и 3=1 3=1
Строим для этой задачи функцию Лагранжа
С(у, и, X) = I(у, и) + ф(у) + р(и) + (X, Ьу - и),
где (•, ■) - скалярное произведение в . Из общей теории седловых задач (см. [4, с. 169]) следует, что седловая точка функции Лагранжа удовлетворяет системе
Е 0 Ьт \ (у \ (дф(у)\ (уЛ 0 аЕ -Е I I и I + I д^(и) I э ( 0 I . (7)
Ь -Е 0 I V) \ 0 ) \0)
Введем следующие обозначения: z = (y,u)T, f = (yd, 0,0)T, ^(z) = ф(у) + и) и A = diag (E, aE) , B = (L —E) . Тогда задача (7) может быть записана в виде
(A Т) (0 + (Т) э f)- 8
При исследовании и решении (7) будем использовать следующие результаты для общей седловой задачи (8):
Утверждение 1 [11].
1) Пусть матрица A положительно определена, матрица B имеет полный столбцовый ранг, Ф - выпуклая, собственная и полунепрерывная снизу функция,,
{z : Bz = 0}р| int dom Ф =
Тогда задача (8) имеет множество решений X = {(z, А)} и z определен однозначно.
2) Если выполнены условия п. 1, а матрица D = DT > 0 и параметр р удовлетворяют неравенству
(DA, А) > 2 (A-1BTА, BTА) V А = 0, As = 0.5(A + AT), (9)
то предобусловленный метод Удзавы
Azk+1 + дy(zk+1) э BTАк + f,
1 (10)
_ D(Ак+1 — Ак) + Bzk+1 =0, р> 0 р
сходится с любого начального приближения: (zk,Ак) ^ ^*,А*) € X при к ^ ж. Теорема 1.
1) Задача (7) имеет решение (у, и, А) с единственными компонентами (у, и), совпадающими с решением задачи (6).
2) Метод Удзавы для (7) с предобусловливателем D = (L + a-1/2E)x x(LT + a-1/2E),
k+1 + 8^(uk+1) э Ак,
tT Ак
(11)
yk+1 + Зф(ук+1) э yd — LTАк,
\к + 1 \к
(Ь + а-1/2Е)(ЬТ + а-1/2Е) ^ р ^ + ик+1 - Ьук+1 = 0
сходится, если итерационный параметр р удовлетворяет неравенствам 0 < р ^ < 1 •
Доказательство. Применим утверждение 1 к задаче (7). Очевидно, что матрица А = diag (Е, аЕ) симметрична и положительно определена, а матрица В = = (Ь —Е) имеет полный столбцовый ранг. Функция Ф(^) = ф(у) + и) - выпуклая, собственная и полунепрерыная снизу. Кроме того, нулевой вектор (у, и) = = (0, 0) является внутренней точкой множества У^ х и = ^ёошФ и удовлетворяет равенству Bz = Ьу — и = 0. Таким образом, задача (7) удовлетворяет всем условиям п. 1 утверждения 1, поэтому она имеет решение (у, и, X) с единственными компонентами (у, и), совпадающими с решением задачи (6).
Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (11). В рассматриваемом случае
ВА-1 Вт = ЬЬТ + а-1Е, В = (Ь + а-1/2Е)(Ьт + а-1/2Е) = ЬЬТ + а-1Е + а-1/2(Ь + Ьт). Из неравенств
0 < а.-1/2((Ь + Ьт)Х, X) < \\ЬХ\\2 + а-1 уху2 VX = 0 следует спектральная эквивалентность В А-1 Вт и В = (Ь+а -1/2Е)(ЬТ -1/2Е):
((ВА-1ВТ)Х, X) < (ВХ, X) < 2 ((ВА-1ВТ)Х, X) V X = 0. В частности, условие сходимости (9) выполнено при 0 < р ^ 1. □
При реализации каждого шага метода (11) требуется решить два включения относительно ик+1 и ук+1 и систему уравнений с матрицей (Ь + а-1/2Е)(Ьт + + а
. Решение включения а.ик+1 + д^(ик+1) э Xк эквивалентно проектированию а-1 Xк на множество , а включения ук+1 + дф(ук+1) э уа - ЬТXк -проектированию у а - ЬТ Xк на множество У^. В силу того, что эти множества -параллелепипеды, проектирование на них сводится к проектированию координат векторов правых частей на отрезки прямых. В свою очередь, решения систем уравнений также вычисляются по явным формулам, поскольку матрицы Ь + а~ и
ЬТ
+ а являются треугольными.
Пусть у*, и* - точное решение сеточной задачи (6). Используя результат [15], можно получить следующую оценку погрешности при определении у*, и* в методе (11) через норму вектора невязки ук = Ьук - ик на к-й итерации:
\\у* - ук у2 + а\\и* - ику2 < ср* - Xk-1\\D\\ук\\п-1 =
= с\\X* - Xk-1уD\\(Ь + а-1/2Е)-1(Ьук - ик)\\,
где постоянная с не зависит от шагов сетки и параметра а, а \\X* - Xk-1\\D ^ 0 при к ^ ж. После умножения обеих частей этого неравенства на кт получим в левой части сеточные аналоги норм Ь2^т). Отметим, что вектор (Ь + +а-1/2 Е)-1 (Ьук-ик) вычисляется при реализации итерационного метода, поэтому контроль точности итераций не требует больших дополнительных вычислительных затрат.
3. Результаты численных расчетов
Решалась одномерная по пространству задача на отрезке по времени [0, T] = = [0, 0.1]. Решение лишь одномерных задач на небольшом промежутке времени мотивировано тем, что это существенно уменьшает объем данных и время вычислений, в то время как все теоретические результаты, основанные на алгебраическом представлении сеточных задач, остаются в силе и для многомерных задач.
В качестве функции наблюдения выбирались y¿ = t sin nx и y¿ = (1/2) t sin nx. Параметр регуляризации в целевой функции а = 1. Границы в множестве поточечных ограничений на функцию состояния выбирались следующими: ymax = tx или ymax = (1/2) tx, ymin = —10 (в качестве нижней границы ymin можно взять произвольное отрицательное число, так как при любых параметрах решение y задачи оптимального управления неотрицательно).
Задача была аппроксимирована конечно-разностной схемой с шагами по пространству h = 0.01 и h = 0.005 и по времени т = ti2/4. Итерационный параметр р варьировался в пределах от 0.75 до 1 .В качестве начального приближения была выбрана сеточная функция \(0j = 0.
р = 0.75 Р = 1
к 0.01 7 5
к = 0.005 7 5
Рис. 1. Число итераций для достижения точности е = 0.0001 при yd = Ь вш(^х) и ограничении утах = Ьх. На графике приведено поведение нормы невязки ||"у||д-1 для различных параметров
к = 0.01 к = 0.005
Уd = Ь бШ^ж) 5 5
Уd = 1/24 вт(^х) 3 3
Рис. 2. Число итераций для достижения точности е = 0.0001 при ограничении утах = Ьх, итерационном параметре р = 1 для различных yd. На графике приведено поведение нормы невязки ||"у||д-1 для различных параметров
к = 0.01 к = 0.005
у = Ьх 5 5
у = 1/2Ьх 8 8
Рис. 3. Число итераций для достижения точности е = 0.0001 при yd = Ь вш(^х), итерационном параметре р = 1 и различных ограничениях утах = у. На графике приведено поведение нормы невязки ||"у||д-1 .
Критерием остановки итерационного метода служила малость нормы невязки \\v\D-i = (гН £||(Ь + а-1/2Е)-1(Ьу — и)\\2)1/2.
Результаты расчетов представлены на рис. 1-3.
Из проведенных расчетов следует, что
1) метод (11) лучше сходится при итерационном параметре р, равном его теоретической верхней оценке;
2) скорость сходимости практически не зависит от шагов сетки и количества
активных ограничений на y.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 16-0100408).
Литература
1. Dautov R., Kadyrov R., Laitinen E., Lapin A., Pieska J., Toivonen V. On 3D-dynamic control of secondary cooling in continuous casting process // Lobachevskii J. Math. -2003. - V. 13. - P. 3-13.
2. Gunzburger M., Ozugurlu E., Turner J., Zhang H. Controlling transport phenomena in the Czochralski crystal growth process // J. Cryst. Growth. - 2002. - V. 234, No 1. -P. 47-62.
3. Clever D, Lang J. Optimal control of radiative heat transfer in glass cooling with restrictions on the temperature gradient // Optim. Control Appl. Methods. - 2012. -V. 33, No 2. - P. 157-175.
4. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. - М.: Мир, 1979. -400 с.
5. Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1971. - 412 p.
6. Deckelnick K., Hinze M. Variational discretization of parabolic control problems in the presence of pointwise state constraints // J. Comp. Math. - 2011. - V. 29, No 1. - P. 1-15.
7. Neitzel I., Troltzsch F. On regularization methods for the numerical solution of parabolic control problems with pointwise state constraints // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. - 2009. - V. 15. - P. 426-453. - doi: 10.1051/cocv:2008038.
8. Лапин А., Платонов А., Романенко А. Решение параболической задачи оптимального управления с ограничениями на состояние с использованием явной аппроксимации уравнения состояния // Материалы 10-й междунар. конф. «Сеточные методы для краевых задач и приложения». - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - С. 444-447.
9. Lapin A., Laitinen E. Iterative solution methods for parabolic optimal control problem with constraints on time derivative of state function // WSEAS Recent Advances in Mathematics: Mathematics and Computers in Science and Engineering Series. - 2015. -V. 48. - P. 72-74.
10. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Explicit algorithms to solve a class of state constrained parabolic optimal control problems // Russ. J. Numer. Analysis Math. Modeling. - 2015. -V. 30, No 6. - P. 351-362. - doi: 10.1515/rnam-2015-0032.
11. Lapin A. Preconditioned Uzawa type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems // Lobachevskii J. Math. - 2010. - V. 31, No 4. - P. 309-322.
12. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. On the iterative solution of finite-dimensional inclusions with applications to optimal control problems // Comput. Methods Appl. Math. - 2010. -V. 10, No 3. - P. 283-301.
13. Lapin A., Khasanov M. State-constrained optimal control of an elliptic equation with its right-hand side used as control function // Lobachevskii J. Math. - 2011. - V. 32, No 4. -P. 453-462.
14. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution methods for a class of state constrained optimal control problems // Appl. Math. - 2012. - V. 3, No 12. - P. 1862-1867.
15. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution methods for the large-scale constrained saddle point problems // Numerical methods for differential equations, optimization, and technological problems. - Springer, 2013. - P. 19-39.
16. Lapin A., Khasanov M. Iterative solution methods for mesh approximation of control and state constrained optimal control problem with observation in a part of the domain // Lobachevskii J. Math. - 2014. - V. 35, No 3. - P. 241-258.
17. Quarteroni A., Valli A. Numerical approximation of partial differential equations. -Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. - 560 p.
Поступила в редакцию 16.11.15
Лапин Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
Платонов Артем Андреевич, аспирант кафедры математической статистики Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 1, pp. 81-89
Numerical Solution of a Parabolic Optimal Control Problem with Point-Wise State Constraints
A.V. Lapin *, A.A. Platonov
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: * [email protected]
Received November 16, 2015 Abstract
The problem of optimal control over the system governed by the Dirichlet boundary value problem for a linear parabolic equation is constructed. Point-wise constraints are imposed on both control and state functions. The right-hand side of the equation is a control function in the problem. The objective functional contains an observation which is distributed in the space-time domain. Finite-difference approximation is constructed for the optimal control problem based on the Euler forward scheme for the state parabolic equation. The existence of its unique solution is proved. Constrained saddle point problem corresponding to the mesh optimal control problem is constructed. The existence of a solution for this saddle point problem and the convergence of the generalized Uzawa iterative method are proved. The results of numerical experiments are given.
Keywords: optimal control, parabolic state equation, state constraints, finite-difference approximation, iterative method
Acknowledgments. This study was supported by the Russian Foundation for Basic
Research (project no. 16-01-00408).
References
1. Dautov R., Kadyrov R., Laitinen E., Lapin A., Pieska J., Toivonen V. On 3D-dynamic control of secondary cooling in continuous casting process. Lobachevskii J. Math., 2003, vol. 13, pp. 3—13.
2. Gunzburger M., Ozugurlu E., Turner J., Zhang H. Controlling transport phenomena in the Czochralski crystal growth process. J. Cryst. Growth, 2002, vol. 234, no. 1, pp. 47—62.
3. Clever D., Lang J. Optimal control of radiative heat transfer in glass cooling with restrictions on the temperature gradient. Optim. Control Appl. Methods, 2012, vol. 33, no. 2, pp. 157—175.
4. Ekland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. Moscow, Mir, 1979. 400 p. (In Russian)
5. Lions J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1971. 412 p.
6. Deckelnick K., Hinze M. Variational discretization of parabolic control problems in the presence of pointwise state constraints. J. Comp. Math., 2011, vol. 29, no. 1, pp. 1—15.
7. Neitzel I., Troltzsch F. On regularization methods for the numerical solution of parabolic control problems with pointwise state constraints. ESAIM: Control, Optim. and Calculus Var., 2009, vol. 15, pp. 426-453. doi: 10.1051/cocv:2008038.
8. Lapin A., Platonov A., Romanenko A. Solving a parabolic optimal control problem with state constraints by using explicit approximation of the state. Materialy 10-i mezhdunar. konf. "Setochnye metody dlya kraevykh zadach i prilozhenuya" [Proc. 10th Int. Conf. "Mesh Methods for Boundary-Value Problems and Applications"]. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 2014, pp. 444-447. (In Russian)
9. Lapin A., Laitinen E. Iterative solution methods for parabolic optimal control problem with constraints on time derivative of state function. WSEAS Recent Adv. Math.: Math. Comput. Sci. Eng. Ser., 2015, vol. 48, pp. 72-74.
10. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Explicit algorithms to solve a class of state constrained parabolic optimal control problems. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modell., 2015, vol. 30, no. 6, pp. 351-362. doi: 10.1515/rnam-2015-0032.
11. Lapin A. Preconditioned Uzawa type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems. Lobachevskii J. Math., 2010, vol. 31, no. 4, pp. 309-322.
12. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. On the iterative solution of finite-dimensional inclusions with applications to optimal control problems. Comput. Methods Appl. Math., 2010, vol. 10, no. 3, pp. 283-301.
13. Lapin A., Khasanov M. State-constrained optimal control of an elliptic equation with its right-hand side used as control function. Lobachevskii J. Math., 2011, vol. 32, no. 4, pp. 453-462.
14. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution methods for a class of state constrained optimal control problems. Appl. Math., 2012, vol. 3, no. 12, pp. 1862-1867.
15. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution methods for the large-scale constrained saddle point problems. Numerical Methods for Differential Equations, Optimization, and Technological Problems. Springer, 2013, pp. 19-39.
16. Lapin A., Khasanov M. Iterative solution methods for mesh approximation of control and state constrained optimal control problem with observation in a part of the domain. Lobachevskii J. Math., 2014, vol. 35, no. 3, pp. 241-258.
17. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1997. 560 p.
Для цитирования: Лапин А.В., Платонов А.А. Численное решение параболиче-/ ской задачи оптимального управления с поточечными ограничениями на функцию \ состояния // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. -
С. 81-89.
For citation: Lapin A.V., Platonov A.A. Numerical solution of a parabolic optimal / control problem with point-wise state constraints. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 81-89.
(In Russian)
