Численное решение нелинейных уравнений методом аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.615 Асламова Вера Сергеевна,

д. т. н., проф., зав. каф. «Автоматизация и электроснабжение промышленных предприятий» (АиЭПП), Ангарская государственная техническая академия (АГТА), тел. (3955) 67-89-15, 8 908 643 14 12, е-mail: [email protected]

Болоев Евгений Викторович, доцент кафедры АиЭПП, АГТА, тел. (3955) 67-89-15, 8 902 172 19 59, e-mail: [email protected]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ АППРОКСИМАЦИИ

V.S. Aslamova, E. V. Boloev

NUMERICAL SOLUTION OF THE NONLINEAR EQUATIONS BY AN APPROXIMATION METHOD

Аннотация. Рассматривается решение нелинейных уравнений методом аппроксимации.

Ключевые слова: решение нелинейных уравнений, аппроксимация функции по методу наименьших квадратов, ортогональные базисные функции.

Abstract. The solution of the nonlinear equations by an approximation method is considered.

Keywords: solution of nonlinear equations, least-squares approximation for the function, оrthog-onal basis functions.

Необходимость отыскания корней нелинейных уравнений возникает при решении задач в различных областях науки и техники, в том числе в расчетах систем автоматического управления.

При отсутствии аналитического решения задачи отыскание корней нелинейного уравнения осуществляют в два этапа: локализации корней, итерационного уточнения корней. С обзором методов итерационного уточнения корней уравнения можно ознакомиться во многих учебниках по численным методам, например в [1]. Методы уточнения корней по организации процесса решения можно условно объединить в три группы:

1) методы уточнения отрезка локализации корня: метод половинного деления (биссектрис), метод хорд,

2) методы преобразований (приведения уравнения к виду, удобному для итераций): простых итераций; метод Ньютона (касательных), метод секущих, метод ложного положения и др.;

3) методы обратной интерполяции, например, квадратичной.

Методы первой группы медленно сходятся, но обладают надежной сходимостью [1]. Методы второй и третьей группы трудоемки, не достаточно надежны, но имеют высокую локальную сходимость [1].

Одним из наиболее эффективных методов второй группы является метод Ньютона, который при хорошо выбранном начальном приближении обладает квадратичной сходимостью [1]. В [1] метод Ньютона рассматривается как итерационный метод, использующий степенную линеаризацию функции уравнения по формуле Тейлора и позволяющий свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений. Линеаризация по формуле Тейлора аппроксимирует функцию лишь в непосредственной близости к одной выбранной точке, которая может быть далека от решения. Таким образом, выбранная формула линеаризации функции метода Ньютона определяет ее локальную сходимость.

В данной работе авторами предлагается использовать последовательную линеаризацию функции уравнения по методу наименьших квадратов.

Рассмотрим решение нелинейного уравнения

w(x) = 0. (1)

Корень уравнения (1) локализован на отрезке

ь].

Построим аппроксимацию функции w(x)

f (x) = СоФо (х)+С1Ф1 (х)+с2ф2 (х)+... + cl ф, (х)+...(2)

так, чтобы минимизировать взвешенную среднюю квадратическую ошибку на отрезке [а, Ь]

а2 =

j[w(x)-/(х)] 2dx,

(3)

рования и интегрирования, имеем

где с - параметры; ф,(х) - базисные функции.

Базисные функции будем выбирать таким образом, чтобы они были попарно ортогональны на отрезке [а,Ь]. Функции являются попарно ортогональными [2], если при I Ф V выполняется условие

_д_ деи

j V (х) - 2w(xЕ С Ф/(х) + S С Ф/(х)

>dx =

_д

дс

j S СФ (х) dx - 2 j w(x)S СФ (х) dx I = (8)

k [ a L ' b

= 2с j ф2 (x)dx - 2 j w(x)ф (x)dx = 0 .

b

jф/(x )Фv(x)dx = 0.

(4)

Подставляя . в (7) и выполняя преобразования, получаем формулы для вычисления парамет-

Использование попарно ортогональных функ- ров функции (2)

| ^(х)ф(х *)ёх

ции имеет преимущество, которое заключается в том, что улучшение аппроксимации (2), путем добавления нового члена с;+^;+1(x) не меняет ранее вычисленных параметров С0 , С , С , —, С [2]. Принимаем

Фо (х) = 1, Ф1 (х) = х + dio,

/-1

ф(х)= х2 + dix + d20 , —, ф(х) = х' +Sdhxv, — ,

v=0

где dlv - параметры базисных функции.

Определяем параметр d10 из условия (4)

b b j ф0 (х )ф (x)dx = j (х + d10 )dx

(x + dio)2

(b + dio )2 (a + d10 )

Отсюда

d10 =-

2

a + b 2

= 0.

Аналогично составляя уравнения в соответствии с условием (4), находим параметры других базисных функций. Первые три базисные функции имеют вид:

Фо (х)=1; (5)

/ \ а + Ь Ф1 (х) = х "

2

Ф2 (х

(х)=|х -

a + b

2

- —(a - b)2. 12 '

^j w(x)-SС'Ф/(x)

j ф2 (x)dx

(9)

Первые три коэффициента функции (2) в соответствии с (9) будут равны

b

M

w(x )dx

b - a

12jw(x)| x -

a + b

\dx

(b - a )3

(10)

(11)

180j w(x )

a + b

x - -

- - (a - b)2 12 7

dx

(Ь - а)5

Для решения уравнения (1) будем использоваться линейную аппроксимацию функции (2)

I (х) = соФо (х)+С1Ф1(х). (12)

При подстановке (5), (6) в (12) получаем

1 (х) = со + С1 ^х - Ь

Приближенное значение х„ корня уравнения (6) (1) будет находиться из условия I (х)= 0 по фор-

муле

a + b Сп

Параметры сА функции (2) рассчитываются из условия минимума взвешенной среднеквадратичной ошибки на отрезке [а, Ь] (3). Задача поиска минимума соответствует задаче поиска корней системы уравнений

дс

2

(13)

dx — 0 при v = 0,1, 2,...(7)

Раскрывая левую часть уравнений (7), учитывая (4) и независимость операций дифференци-

Уменьшая множество х отрезка аппроксимации [а, Ь] функции ^(х) вблизи корня, можно получать более точные значения х . Рассмотрим процедуру сужения отрезка аппроксимации.

Принимаем исходные приближения концов отрезка аппроксимации а'о] и Ь'о] соответственно равными концам отрезка локализации а и Ь . В дальнейшем верхний индекс, заключенный в квадратные скобки, будет обозначать номер при-

b

2

b

a

a

a

b

a

a

a

С/ =

a

a

С0 =

b

b

2

a

С1 =

2

a

a

a

2

b

2

2

a

2

С

Современные технологии. Механика и машиностроение

ближения. Рассчитываем коэффициенты с[о] и с[о] по формулам (10) и (11) соответственно

I w(x

аТо]

с[0] = Л 0 Ь[о] - а[0]

,[о]

Ло] _ Л0] С1 =

121 w(x)

,[0]

Г а[о] + Ь[°П

x--

dx

(Ь[0]- а[0])3

ш

Определяем значение x[1] по формуле (13):

x[I] = а[0]+ Ь[о] с0о] ^ =

2

с

[о] •

Находим новые приближения концов отрезка аппроксимации по формулам

аМ= xíl], Ь1 = W(xf) .

* г[о] с1

Графическая интерпретация решения показана на рис. 1 . Процесс решения повторяют для

Рис. 1. Графическая интерпретация решения: 1 - функция у = с[о] + с[о]

а [о] + Ь[о] ^

x--

2 - функция у = с[о] - w(xIl])+ с|

[о]

x--

а[0]+ Ь[о]'

; 3 - функция у = с[1] + с[1]

2 у а[1]+ Ь[1П

x —

2

4 - функция у = с[1] - w(xí2])+ с[1

x--

,[1]+ ь[1]

[о ]

Ь

2

2

новых приближений а, Ь11

Л Ь14.

Таким образом, к -я итерация будет состоять из следующих этапов:

1. Принятия исходных приближений концов отрезка аппроксимации или их расчета по результатам предыдущей (к — 1) -й итерации

ак—1 и

ь'к—1 = х[к—1] —

2. Расчета коэффициентов

Л[к—1]

Лк—1] .

(14)

(15)

Лк—1] _ а с0 =

Г щ(х )ёх

Гк—1]

Л[к-1]

12

с[к—1] = С1 ="

Г ч

Гк—1 ]

гЛ I

Ь[к—1] — а[к—1] ' / ак—1] + Ь[к—1] ^

щх)х — -

2

ёх

(Ьк—1 ]— а'к—1] )

(16)

(17)

3. Расчета значения х

[к]

„[к—1] , /1[к—1] [к] _ а + Ь

х =

2

с[к—1] Со_

-[к—1]

-[к—1]

<8 .

(19)

Сравним метод Ньютона с предлагаемым методом, который в дальнейшем будем называть методом аппроксимации. С общих позиций метод Ньютона и метод аппроксимаций можно рассматривать как итерационные методы, использующие специальные функции линеаризации и позволяющие свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений. Решение методом Ньютона основано на разложении функции уравнения в окрестности точки приближения х[к] в ряд Тейлора и использовании линейной части. Решение методом аппроксимаций основано на приближении функции уравнения многочленами методом наименьших квадратов вблизи точки приближения х[к], заданной

т[к—1]

М - Лк—1]_ По_

отрезком

-¿к—1] Ь[к—1]'

[к—1]

где хо

[к—1]

о

- исходное

приближение; Пк'1], П\к—1] -параметры итерационной формулы. Для метода Ньютона исходное приближение и параметры равны

х0к—1]= х!к—1], П0к—1]= щ(х[к—1]), П[к—1 ] = щ'(х[к—1 ]), а для метода аппроксимации

Ь[к—1]

ак]+ Ьк\ Г Щ с[к—1] = а + ь П[к—1] = С[к—1] =

щ(х)ах

2

Н\к—1] = с,[к—1 ] =

ь[к—1]

Г щ(-

1] _ Л1]

щ\х\ х —

Ь[к—1] — а[к—1] ' а[к—1] + Ь[к—1] ^ 2

ёх

Ь[к—1]

х—

а[к—1] + Ь[к—1] ^

а[к—1] V

1 + 2

ёх

При вычислении параметра в методе Ньютона вычисляется производная функции, а в

(18) методе аппроксимаций при вычислении

И[к] и Н\к]

4. Проверки критерия окончания. Если критерий выполняется, то расчет заканчивается. Искомое значение принимается равным х[к ]. Если критерий не выполняется, то значение увеличивают на единицу и возвращаются к первому этапу.

Критерием окончания итерации при заданной точности вычисления 8 > 0 является неравенство

,(х!к])

и использовании линейной

части. Таким образом, для рассматриваемых методов можно записать общую итерационную формулу:

используют интегрирование функций. Следовательно, трудоемкость методов будет определяться трудоемкостью вычислений функции, производной функции и интегралов функции. Трудоемкость метода аппроксимации по сравнению с методом Ньютона повышается из-за дополнительного уточнения приближения концов отрезка аппроксимации.

Интегралы некоторых функций являются не берущимися, что ограничивает использование метода аппроксимаций.

Заметим, что на отрезке [а, Ь] возможные

значения щ'(х) соответствуют возможным значениям с , возможные значения ч(х) соответствуют возможным значениям с . Эти соответствия позволяют утверждать, что методы отличаются выбором параметров для построения итерационной последовательности. Можно выдвинуть гипотезу о квадратичной локальной сходимости метода аппроксимаций.

Параметр С интерпретируется как средневзвешенное значение функции на [а,Ь], а с -средневзвешенное значение скорости изменения функции на [а,Ь]. Если функция ч(х) является монотонной, то с - среднее значение функции на [а,Ь], с - среднее значение скорости изменения функции на [а,Ь]. Параметр с может использоваться при анализе чувствительности в практических задачах.

2

Таблица 1

Результаты расчета_

Итерация Результаты расчета методом аппроксимации Результаты расчета методом Ньютона

x[n] |w(x*Í w(xk ) x[n] |w(xM ) I [n] _ [n-1]| Л* Л* 1

cík]

1 0,5234489508 0,1971208693 3,02596685-10-2 0,5667052869 8,53751993-10-2 1,29438161-10-2

2 0,5537600676 2,3734-10-4 3,64516-10-5 0,5537614709 2,465421-10"4 3,75967-10-5

3 0,5537238739 3-10"10 0 0,5537238742 2,13-10"9 3-10-10

Исследуем сходимость на примере решения уравнения 48т 600^)+ 3 = 0, корень которого локализован на отрезке [о, 2].

Для w(x) = 48т6с08^) + 3 :

(a,b) = 4 -

c0 [a

6[sin (a) - sin (b)]+4[cos(a )- cos(b)]

a-b

С (a,b) = -

12

-(4[sin (a )-sin (b)]-

(a - b)3

- 6[cos(a)- cos(b)]- 2(a - b)[cos(a)- cos(b)]-- 3(a - b)[sin(a)- sin (b)]), w'(x) = 4cos(x)+ 6sin (x). Концы отрезка аппроксимации принимаем равными a'0' = a = 0 , b'o] = b = 2 . Расчеты методом аппроксимации выполняем по формулам (14)—(18) с проверкой критерия окончания (19).

Исходное приближение для метода Ньютона принимаем равным

x[0] = о + й = 1. 2

Расчеты методом Ньютона выполняем по формуле

WiXn.

x* —x*

При этом трудоемкость метода Ньютона из-за большего числа итераций может превышать трудоемкость метода аппроксимаций. При xíо] = Ь = 2 для рассматриваемого примера метод Ньютона расходится.

При решении нелинейных уравнений метод аппроксимации удобно использовать в качестве стартового, а затем использовать метод Ньютона.

Можно предложить различные модификации метода аппроксимаций, в том числе модификацию метода с постоянными параметрами в итерационной формуле. Эффективной для решения может оказаться модификация метода, использующая преобразованные базисные функции ф,^) (I = 2,3,...) к виду

Vl (x,x0 ) —

l -2

xi x/1+É d

v=1

lvx0 1 + dl 0,

при x0, определяемой из

mino = mi?

xn xn

jMx)-k>(x)+С1Ф1 (x)+

+

É''v Vv (x,)

л

dx.

Критерий окончания ^^ - x^" 1]| < в .

Результаты первых трех итераций с десятью знаками мантиссы приведены в табл. 1.

Благодаря выгодному исходному приближению для метода Ньютона значение функции w

и

для первого приближения этого метода меньше, чем для метода аппроксимации. На второй итерации ситуация меняется. Значение функции для второго приближения w

И

для метода

аппроксимации становится меньше метода Ньютона. Метод аппроксимации дает лучшую сходимость.

Из примера видно, что метод аппроксимации имеет более высокую трудоемкость по сравнению с методом Ньютона. Однако если исходное приближение для метода Ньютона будет неудачным, то для расчета с заданной точностью число необходимых итераций значительно возрастает.

При решении можно использовать другие базисные функции и нелинейные члены аппроксимации (2).

Выводы

1. Для решения нелинейных уравнений можно использовать итерационные последовательности, полученные на аппроксимации функции методом наименьших квадратов.

2. Метод аппроксимации на итерации имеет более высокую трудоемкость по сравнению с методом Ньютона.

3. Метод аппроксимации может иметь более высокую локальную сходимость по сравнению с методом Ньютона.

4. Для метода аппроксимаций не задаются исходные приближения в отличие от метода Ньютона. При неудачном исходном приближении метод Ньютона по трудоемкости может превышать

a

v=2

метод аппроксимаций.

5. Метод аппроксимации удобно использовать в качестве стартового для решения нелинейного уравнения. При достижении области квадратичной сходимости метода Ньютона, можно использовать его для нахождения корня уравнения. При этом трудоемкость расчета будет минимальной.

6. Параметр с при монотонной функции w(x), определяемый как

12j w(x)\ x -

a + b

\dx

показывает среднюю скорость изменения функции на [а,Ь]. Этот параметр может использоваться при анализе чувствительности в практических задачах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. М. : Изд-во МЭИ, 2003. 596 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. СПб. : Лань, 2003. 832 с.

(b - a)3

УДК 621.81+539.4.013 537.311.4

Кудрявцев Александр Александрович,

аспирант ИрГТУ, тел. 89641145025

КОНТАКТНАЯ ТЕПЛОПРОВОДИМОСТЬ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ АНАЛИЗА ТЕПЛОНАПРЯЖЕННОСТИ СБОРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

A.A. Kudryavcev

THE HEAT CONDUCTION AND FINITE ELEMENT METHOD IN PROBLEM OF PREFABRICATED ELEMENTS CONTACT HEAT INTENSION ANALYSIS

b

2

a

ci =

Аннотация. Рассмотрено теплонапряжен-ное состояние деформируемых сборных конструкций. Математическое моделирование проводится на основе трехмерных моделей метода конечных элементов (МКЭ), где представлено два физических типа контактных задач: определения температурного поля в сборной конструкции; и ее расчета на прочность, при внешнем силовом воздействии, включая полученное в первой задаче температурное поле.

Ключевые слова: контакт, теплонапря-женность, температурное поле.

Abstract. The heat intension of prefabricated elements is considered. The mathematical modeling is realized on bases of three-dimensional models of finite element method. There are two physical types of contact problem: the calculation of thermal field for prefabricated elements and the stress calculation in the presence of the involving forces and this thermal field.

Keywords: contact, heat intension, thermal

field.

Физическая сущность явления контактной теплопроводимости сборных конструкций, при их работе в условиях силового и температурного воздействий (теплонапряженности), заключается в том, что при вариации уровня механического контактного давления на сопрягаемых поверхностях деталей и прохождении через них теплового потока наблюдается вариация поля температур. Это физическое явление подтверждается экспериментальными данными, полученными в работе [4] и других. Возникающее при этом дополнительное контактное сопротивление тепловому потоку приводит к повышению градиента температурного поля в области стыка деталей. Последнее обстоятельство влияет на свойства пластичности материала в этом месте, что приводит к изменению (ослаблению) в нем условий контактного механического сопряжения деталей и, соответственно, уменьшению уровня работоспособности сборной