CC BY
114
2016, Т. 158, кн. 2 С. 243-261
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 519.63
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАДАЧ ДИФФУЗИОННОГО И КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА В СИЛЬНО ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
М.В. Васильева1,2, В.И. Васильев1, Т.С. Тимофеева1
1 Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова, г. Якутск, 677000, Россия 2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
г. Новосибирск, 630090, Россия Аннотация
В работе рассматривается конечно-элементная аппроксимация уравнения конвективного и диффузионного переноса. Рассмотрены различные методики стабилизации конечно-элементной аппроксимации по пространственным переменным, такие как проти-вопотоковая аппроксимация конвективного слагаемого посредством введения искусственной диффузии (AD, artificial diffusion), метод SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin), которые используются для стабилизации классического метода Галеркина. В работе рассмотрена также аппроксимация уравнения переноса с использованием разрывного метода Галеркина, позволяющая строить противопотоковые схемы аппроксимации. Представлены результаты численного сравнения рассматриваемых схем на примере задачи конвективного и диффузионного переноса в пористых средах. Рассмотрены задачи фильтрации с сильно гетерогенными коэффициентами, которые ведут к большим перепадам давления (большим скоростям фильтрации, градиентам давления).
Ключевые слова: уравнение конвекции-диффузии, фильтрация, гетерогенные пористые среды, метод конечных элементов, численная стабилизация, классический метод Галеркина, разрывный метод Галеркина
Введение
В настоящей работе проводится численное решение задачи конвективного и диффузионного переноса, возникающей при моделировании течений жидкости в пористых средах. Задачи переноса при моделировании процессов в пористых средах возникают, например, при моделировании течений двухфазной жидкости в пористых средах с учетом капиллярных сил, где процесс перераспределения насыщенности описывается уравнением конвективного и диффузионного переноса. Уравнение конвекции-диффузии служит также математической моделью процесса тепломассопереноса в водонасыщенных грунтах и может рассматриваться как уравнение для перераспределения концентрации примесей при моделировании фильтрации загрязняющих веществ в грунтах [1-4]. Существенной особенностью процессов фильтрации в грунтах является гетерогенность их физико-механических свойств, когда может иметь место очень сильный разброс коэффициентов в несколько порядков [5-7]. Подобные свойства грунтов приводят к возникновению больших градиентов давления, что существенно усложняет решение задач переноса и может приводить к задачам с доминированием конвективного переноса.
Изучаемые процессы описываются системой уравнений для скорости и давления, а также уравнением конвективного и диффузионного переноса для концентрации примеси [3, 6, 8, 9]. Рассмотрим вычислительные алгоритмы решения поставленной задачи, основанные на методе конечных элементов [10]. Для аппроксимации системы уравнений относительно скорости и давления используется смешанный метод конечных элементов [11—13].
Основные сложности при численном решении связаны с уравнением переноса [14, 15]. Классический метод Галеркина, когда тестовые и триальные базисные функции совпадают, в случае задач с доминирующим конвективным слагаемым приводит к численной неустойчивости - возникновению осцилляций в решении задачи, поэтому для таких задач обычно применяют специальные методы стабилизации [16, 17]. Среди классических методов стабилизации можно выделить такие методы, как противопотоковая аппроксимация конвективного слагаемого посредством введения искусственной диффузии (AD, artificial diffusion), метод SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin). Такие методики стабилизации подавляют нефизичные осцилляции в приближенном решении задачи. Основным недостатком перечисленных методов является появление дополнительных стабилизирующих членов в уравнении, которые приводят к усложнению структуры матрицы, кроме того, метод чувствителен к выбору параметров стабилизации, неправильный выбор которых приводит либо к потери устойчивости, либо к ухудшению точности [18]. Другим известным методом для аппроксимации уравнений конвективного и диффузионного переноса является разрывный метод Галеркина, который позволяет строить противопотоковые схемы аппроксимации для конвективного слагаемого уравнения [19-23].
Настоящая работа состоит из четырех разделов. В первом разделе рассмотрена постановка задачи и конечно-элементная аппроксимация уравнений. Дискретизация системы уравнений для скорости и давления проводится смешанным методом конечных элементов, который позволяет вычислять напрямую скорость фильтрации, входящую в уравнения переноса, более того, данная постановка приводит к прямому выполнению закона сохранения массы и закона Дарси. Основная вычислительная сложность задачи связана с решением уравнения, одновременно описывающего и конвективный, и диффузионный переносы. В данном разделе приводится аппроксимация уравнения с использованием неявной разностной схемы по времени и классического метода Галеркина, который может приводить к возникновению осцилляций для задач с доминирующим конвективным слагаемым.
Во втором разделе рассматриваются различные методики стабилизации, позволяющие получить гладкое устойчивое решение для задач переноса при высоких значениях числа Пекле.
Далее, в третьем разделе рассмотрен разрывный метод Галеркина для аппроксимации уравнения переноса, позволяющий строить противопотоковые аппроксимации конвективного слагаемого в уравнении переноса.
В последнем разделе приводятся численные результаты для модельной задачи переноса и течения в пористых сильно гетерогенных средах. Расчеты проведены для линейного случая. Рассмотрены и численно исследованы различные варианты аппроксимаций для уравнения конвективного и диффузионного переноса с использованием метода конечных элементов в двумерной постановке.
1. Постановка задачи и конечно-элементная аппроксимация
Уравнение переноса конвективного и диффузионного переноса имеет вид дс
——+ u • grad с — div(a grad с) = f, x G Q, T > 0, (1)
где а = а(х) - коэффициент диффузионного переноса, и - скорость течения жидкости в пористой среде. Отметим, что в общем случае скорость течения может также определяться и системой уравнений Навье-Стокса, но в настоящей работе мы ограничимся случаем фильтрации в пористой среде - скорость фильтрации определяем с помощью обобщенного закона Дарси.
Уравнение (1) дополняется начальным условием
c(x, 0) = с0, x G Q, (2)
и граничными условиями
с = ci, x G Г1, с = С2, x G Г2,
дс (3)
— а— =0, x G OQ/Г /Г2, On
где n - вектор внешней нормали.
Для описания течения в пористой среде будем использовать следующую систему уравнений:
u = —k gradp, x G Q
(4)
div u = 0, x G Q.
Система уравнений (4) дополняется соответствующими граничными условиями:
p = pi, x G Г1, p = P2, x G Г2,
(5)
u = 0, x G 0Q/r1 /Г2,
Далее будем предполагать, что Q - прямоугольная область, а Г1 и Г2 - левая и правая границы соответственно.
Рассматриваемые уравнение конвекции-диффузии и система уравнений для скорости и давления встречаются при моделировании многофазных (вода, нефть и газ) течений в пористых средах. Уравнение (1) в этом случае описывает перераспределение водоносыщенности в случае двухфазной фильтрации. При моделировании задач тепломассопереноса в грунтах, насыщенных водным раствором загрязняющих веществ, уравнение (1) может интерпретироваться как уравнение, описывающее перераспределение концентрации примеси.
Проведем дискретизацию линейного уравнения конвективного и диффузионного переноса (1) с помощью классического метода Галеркина, в котором тестовые и триальные функции совпадают. Пусть с и z G Q(Q), вариационную постановку запишем следующим образом:
/с"+1 — сп С С
-zdx + (aVen+1, Vz) dx + u •Ven+1zdx = 0 Vz G Q, (6)
П n n
где для аппроксимации по времени использовали неявную разностную схему. В качестве базисных функций будем использовать стандартные линейные базисные функции.
Отметим, что для уравнения (6) сеточное число Пекле определяется следующим образом: Peh = (umaxh)/(2amax), где amax - верхняя граница коэффициента диффузии, umax - максимальная скорость фильтрации и h - характерный шаг сетки. При малых числах Пекле Peh < 1, когда диффузионное слагаемое уравнения (6) преобладает над конвективным, представленная классическая аппроксимация
уравнения переноса является устойчивой, то есть в решении задачи не будут появляться нефизичные осцилляции решения, а при больших числах Пекле Рвь > 1 представленная аппроксимация может приводит к появлению осцилляций в решении, и поэтому необходимо использовать специальные схемы аппроксимации со стабилизацией.
Для дискретизации системы уравнений (4) применим смешанный метод конечных элементов и получим следующую вариационную формулировку задачи: найти (и,р) € V(О) х Ь(О) такие, что
где (V, д) € V (О) х Ь(О), с! = 2, 3 .В качестве базисных функций для поля скоростей будем использовать элементы Равьяра-Тома (ИТ, Ил^ай-ТЬотаз) [12] и кусочно-постоянные функции для давления, удовлетворяющие ЬББ (ш^ир) условию [11].
2. Аппроксимация уравнения переноса со стабилизацией
В данном разделе рассмотрим методы стабилизации, применяемые при конечно-элементной аппроксимации уравнения конвективного и диффузионного переноса в задачах с доминирующей конвекцией.
Известно, что аппроксимация уравнений конвекции-диффузии с использованием стандартного метода Галеркина приводит к возникновению осцилляций в решении задачи и не подходит для расчетов в случае доминирования конвективного слагаемого над диффузионным. В отличие от оператора диффузионного переноса, аппроксимация которого ведет к симметричной и положительно-определенной матрице, аппроксимация оператора конвекции с использованием стандартного метода Галеркина в случае задач с доминирующей конвекцией приводит к несимметричной и знаконеопределенной матрице, что и приводит к возникновению осцилляций в решении задачи. Стандартным способом борьбы с осцилляциями является измельчение расчетной сетки до тех пор, пока конвективный член не перестанет доминировать на сеточном уровне. Отметим, что подобное измельчение сетки ведет к увеличению размерности разностной задачи, особенно для случая многомерной постановки, что также приводит к необходимости расчета задачи для скоростей и давления на соответствующих мелких сетках.
При аппроксимации уравнения с использованием метода конечных разностей в случае задач с преобладающим конвективным слагаемым обычно используются противопотоковые аппроксимации конвективного слагаемого. Известно, что метод Галеркина на дискретном уровне дает аналог центрального разностного отношения конвективного члена уравнения, а это ведет к возникновению осцилляций за счет немонотонности дискретного оператора конвекции. Известно, что для борьбы с ос-цилляциями в методе конечных разностей используются потоковые схемы. Отметим также, что подобные схемы имеют только первый порядок точности в отличие от центральных разностей, имеющих второй порядок аппроксимации. Противопо-токовые схемы можно построить посредством добавления искусственной диффузии для центрально-разностной схемы. Для конечно-элементной аппроксимации про-тивопотоковые схемы мы можем построить аналогичным способом.
В методе конечных разностей для аппроксимации конвективного слагаемого можно использовать центральные разностные отношения, которые имеют второй
(7)
/
ид!х = 0,
п
порядок аппроксимации, но можно также использовать классическую противопо-токовую аппроксимацию с первым порядком по пространственным переменным. Аналогичную разностную схему в методе конечных разностей можно получить и при добавлении слагаемого с искусственной диффузией
ь Уз - Уз-1 - а Уз+1 - 2Уз + Уз-1 = ь Уз+1 - Уз-1 - ( + Уз+1 - 2уз + Уз-1
h h2 2h V 2 J h2
где b и a - коэффициенты конвекции и диффузии, а h - шаг сетки. Таким образом, аналогичная аппроксимация может быть получена при использовании центрально-разностной аппроксимации уравнения bux — (a + bh/2) uxx = 0.
В методе конечных элементов аналогичная технология может быть также использована для достижения противопотоковых аппроксимаций [16, 17]. Тогда вместо уравнения (1) будем рассматривать модифицированное уравнение c дополнительным слагаемым (искусственная диффузия, AD)
дс
— + u ■ Ус — div (âgrad с) = 0, (8)
где â = (a + \u\h/2) есть модифицированный коэффициент диффузии с дополнительным слагаемым (искусственная диффузия), который пропорционален шагу по сетке и максимальной скорости фильтрации, \u\ = \J(u, u).
Таким образом, аппроксимацию уравнения (8) с использованием метода конечных элементов запишем в виде: найти cn+1 G Q такую, что
/сп+! — cn Г Г
-zdx + (â Vcn+1, Vz) dx + u ■Vcn+1zdx = 0 V z G Q, (9)
n n n
Отметим, что подобная аппроксимация имеет первый порядок в уравнении переноса, вместо искомого уравнения (1) мы будем решать модифицированное уравнение (8).
Далее рассмотрим метод SUPG для стабилизации решения дискретной системы в задачах с преобладающей конвекцией. В отличие от рассмотренного ранее метода с искусственной диффузией (AD), метод SUPG обеспечивает более высокий порядок аппроксимации. Основной идеей SUPG является модификация тестовых функций с учетом направления течения.
В рассмотренном ранее методе добавляется искусственная диффузия, равная aAD = \u\h/2 (изотропный коэффициент диффузии). Пусть теперь будем добавлять искусственную диффузию только в направлении течения e = u/\u\, то есть 'a = aAD ee = a ad (uu)/\u\2 (анизотропный коэффициент диффузии). Тогда дополнительное слагаемое можно записать следующим образом:
I (aVcn+1, Vz) dx = j(aAD U Vcn+1, Vz) dx = nn
( (uVcn+1,0AD uVAdx = ¡u ■Vcn+lhvl ■ Vz dx. (10) J V \u\2 J J 2\u\ V ;
nn
Таким образом, аппроксимацию уравнения переноса запишем в виде
г сп+1 — сп г
-zdx + (аЧсп+1,Чг) dx+
Jn т Jn
ш 2М Jn
+ f u ■Vcn+1hu ■Vzdx + f u ■Vcn+1zdx = 0, (11)
n 2\ u\ n
или
/г"+1 — сп Г (
-zdx + (aVcn+1, Vz) dx + u ■ Vcn+1Z dx = 0 (12)
Q
~ h , где z = (z + ——гu ■ Vz).
2|u|
Вариационная постановка в виде (12) называется методом SU (streamline upwind) [16, 17]. Основным минусом такой постановки является то, что уравнение уже не соответствует исходному дифференциальному уравнению, поэтому вместо уравнения (12) в методе SUPG используется следующая вариационная постановка: найти cn+1 е Q
/ cn+1 — cn Г Г _ -Zdx + (aVcn+1, Vz) dx + u ■Vcn+1Zdx = 0 V Z е Q, (13)
Q Q Q
Таким образом, поскольку триальное пространство Q и тестовое пространство Q не совпадают, этот метод является методом Петрова -Галеркина (PG, Petrov-Galerkin). Полученная аппроксимация уже не может быть интерпретирована как схема с искусственной диффузией, поскольку само уравнение остается прежним, а меняется только тестовая функция z .
3. Аппроксимация уравнения переноса с использованием разрывного метода Галеркина
Разрывный метод Галеркина был впервые предложен в [24] для решения гиперболического уравнения, с тех пор метод активно развивается. В [22, 23] метод LDG (local discontinuous Galerkin) рассматривается для решения задач конвекции-диффузии. Метод в различных его вариациях активно разрабатывается и для решения эллиптических уравнений [19, 21, 25], для задач теории упругости [19, 26], а также для задач гидродинамики [27-30]. Метод IPDG (interior penalty discontinious Galerkin) рассмотрен в работах [19, 20, 31], в том числе и для решения задач многофазной фильтрации. Отметим что метод IPDG, который мы и будем использовать в настоящей работе, имеет несколько вариаций: NIPG (nonsymmetric IPDG), SIPDG (symmetric IPDG), IIPDG (incomplete IPDG) [21, 32, 33].
В статье [21] рассмотрено обобщение разрывного метода Галеркина, где предложены различные варианты метода для эллиптического оператора. Разрывный метод Галеркина также применяется для построения аппроксимаций по времени и рассматривается как некоторый общий случай, объединяющий такие классические аппроксимации, как явная, неявная схемы (backward and forward Euler) для аппроксимации по времени [34], методы высокого порядка Рунге-Кутта [23]. Метод интересен для рассмотрения и является более общей методологией аппроксимации не только по пространству, но и по времени. В настоящее время метод очень активно развивается, и на его основе создается множество других современных, интересных методов, такие как DPG, HDG и др. [35-38]. В [39, 40] разработана абстрактная теория схем разрывного метода Галеркина в смешанной формулировке для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.
При сравнении со стандартным методом Галеркина (CG, continious Galerkin) следует отметить, что разрывный метод Галеркина является более современным и в настоящее время активно развивается и применяется для решения задач различного типа. А классический метод Галеркина имеет более чем 60-летнюю историю, и о нем написано большое количество работ и книг, что, конечно, является преимуществом, но все же представляет научный интерес использование и рассмотрение современных методов, активно разрабатываемых в научной среде, которые основаны
на разрывном методе Галеркина (DG). Одним из достоинств метода DG является локальная консервативность аппроксимации, в то время как метод CG обладает только глобальной консервативностью. Свойство локальной консервативности для задач переноса является критическим, например, для решения задач теории фильтрации. Среди недостатков метода DG следует отметить большую размерность задачи - количество неизвестных получаемой системы уравнений. А именно, в методе DG при аппроксимации с использованием линейных базисных функций (полиномов первой степени) размерность задачи (количество степеней свободы, DOF) будет равняться произведению количества элементов на количество узлов в элементе, а в методе CG размерность задачи равна количеству узлов расчетной сетки, что существенно меньше. Например, для структурированной треугольной сетки 5 на 5, то есть содержащей 50 треугольных элементов и 36 узлов, размерность задачи при аппроксимации с использованием метода CG будет N = 36, а для метода DG (IPDG) - N = 50 ■ 3 = 150. И, следовательно, время счета может быть существенно больше.
Рассмотрим аппроксимацию уравнения (1) с использованием разрывного метода Галеркина, в частности SIPDG (symmetric interior penalty discontinious Galerkin). Разрывный метод Галеркина позволяет также строить противопотоковые аппроксимации конвективного слагаемого. Пусть Th - триангуляция области О и Г^ -множество всех внутренних граней. Пусть e есть грань между двумя элементами сетки K1 и K2 (треугольниками или тетраэдрами), тогда определим функцию скачка и среднего для функции u следующим образом:
М = uKl + , [u] = u|K ■ п\кг — u\k2 ■ п\к2. (14)
Вариационная постановка для задачи (1) с использованием разрывного метода Галеркина IPDG записывается следующим образом: найти c е QDG такую, что
Г cn+1 _ cn
J2 ---zdx + aDG(c, z) = Idg(v) Vz е QDG, (15)
кетhK T
где
aDG(u, v) = / aVcVzdx — ^^ {aVc ■ ne}[z] ds — ^^ {aVz ■ ne}[c] ds+
кетh K ee_rh e ee_rh {
+ Y / a[c][z] ds + / u ■ necup[z] ds + / u ■ neczds, (16) eerh { eeThJe eer2 {
Idg(v) = / fzdx + u ■ nec1 z ds (17)
h K e
и сир = сК1 при и ■ пе > 0 и сир = сК2 при и ■ пе < 0 для всех е = дК\ р| дК2 и 7 - параметр штрафа рассматриваемого метода.
4. Численные результаты
Рассмотрим численную реализацию предложенных в работе различных методик аппроксимации (СО, ЛБ, ВИРС, БС) для численного решения задач переноса и течения в пористых средах с сильно гетерогенным коэффициентом проницаемости. Для численного решения задачи для скорости и давления будем использовать
смешанный метод конечных элементов со стандартными базисными функциями Равьяра-Тома наименьшего порядка для скорости и кусочно-постоянными функциями для давления. Решение задачи рассматриваем в обезразмеренном виде.
Расчетной областью является прямоугольная область Q = [0,1.5] х [0, 0.5]. Для численного решения используется неструктурированная треугольная расчетная сетка, содержащая Nc = 50848 треугольных ячеек, Ne = 76592 граней и Nv = = 25745 узлов, следовательно размерность задачи для скорости и давления будет NUpP = Ne + Nc = 127440, а размерность для уравнения переноса будет N = = Nv = 25745 для методов CG , AD и SUPG, а для метода DG - N = Nc ■ 3 = = 152544. Вычислительная реализация базируется на открытой библиотеке Fenics [41]. Для построения сеток используется программа Gmsh [42], позволяющая строить неструктурированные треугольные и тедраэдральные сетки. Для визуализации результатов расчета используется программа Paraview [43].
Пористая среда сильно гетерогенная, то есть коэффициент проницаемости изменяется в широком диапазоне, что является классическим для верификации алгоритмов решения задач фильтрации (SPE10, 10th SPE Comparative Solution Project). В качестве тестовых примеров рассмотрим два варианта:
Вариант 1. Первый слой из модели 2 [5] (слева на рис. 1);
Вариант 2. Пятидесятый слой из модели 2 [5] (справа на рис. 1).
Используемые коэффициенты проницаемости представлены на рис. 1 в логарифмической шкале. Разброс коэффициентов составляет 5-6 порядков. Расчет
о
Рис. 3. Решение задачи конвективного и диффузионного переноса при а = 0.001 (Задача 1) для варианта 1 (слева) и варианта 2 (справа) с использованием классического метода Галеркина (ОС), со стабилизацией посредством добавления искусственной диффузии (ЛЮ), метода ЯИРО и разрывного метода Галеркина (ВО) (сверху вниз) на конечный момент времени
проводился при Ттах = 0.7 для варианта 1 и при при Ттах = 0.1 для варианта 2, количество временных слоев М = 100.
На рис. 2 показано распределение скоростей по направлениям х и у, которое соответствует гетерогенному коэффициенту проницаемости к.
Для приведенных вариантов проницаемостей проведем численные исследование для двух следующих задач:
Задача 1. Перенос с различными коэффициентами диффузии полей проницае-мостей:
а = 0.01, 0.001 и 0.0001 для варианта 1, а = 0.1, 0.01 и 0.001 для варианта 2;
Задача 2. Конвективный перенос, то есть а = 0.
На рис. 3 представлены результаты решения уравнения с достаточно малым коэффициентом диффузионного переноса а = 0.001 на конечный момент времени для варианта 1 и варианта 2 при использовании различных методов: ОС, ЛБ, ВИГС и БС. Рис. 4 иллюстрирует изолинии решения для с = 0.9 при различных значениях коэффициента диффузии для варианта 1 и варианта 2. Численное сравнение решений вдоль среза при у = 0.18 для обоих случаев представлено на рис. 5. Приведенные результаты иллюстрируют различие решений на конечный момент времени при использовании различных методов аппроксимации уравнения конвективного и диффузионного переноса. При коэффициенте диффузионного
□ = 0.01 0 = 0.1
Рис. 4. Изолинии для с = 0.9 решения задачи конвективного и диффузионного переноса (Задача 1) для варианта 1 (слева) и варианта 2 (справа) для различных коэффициентов диффузионного переноса (сверху вниз) с использованием различных методов аппроксимации по пространству на конечный момент времени. Классический метод Галеркина (СО) -черная линия; со стабилизацией посредством добавления искусственной диффузии (ЛБ) -красная; метод ЯИРО - зеленая; разрывной метод Галеркина (БО) - голубая
Рис. 5. Решение задачи конвективного и диффузионного переноса (Задача 1) вдоль линии у = 0.18 для варианта 1 (сверху) и варианта 2 (снизу) для различных коэффициентов диффузионного переноса (справа на лево) на конечный момент времени. Классический метод Галеркина (СО) - черная линия; со стабилизацией посредством добавления искусственной диффузии (ЛБ) - красная; метод ЯИРО - зеленая; разрывный метод Галеркина (БО) - голубая
переноса а = 0.001 (рис. 3) видно, что использование метода с искусственной диффузией ведет к сильному размазыванию решения, методы 8ИРС и БС дают практически совпадающие решения. Отметим при этом, что решение задачи с использованием классического метода Галеркина при малых значениях коэффициента диффузии приводит к возникновению нефизичных осцилляций.
№
Рис. 6. Решение задачи конвективного переноса (Задача 2) для варианта 1 (слева) и варианта 2 (справа) в различные моменты времени , т = 20, 60 и 100, (сверху вниз) с использованием метода ЯПЕО
На рис. 4 отметим различие изолиний решений для с = 0.9 при разных значениях коэффициента диффузионного переноса. При моделировании задач с достаточно большим коэффициентом диффузии решения с использованием различных методов аппроксимации практически совпадают, при этом при больших коэффициентах диффузии стандартный метод Галеркина устойчив и решение не осциллирует. При малых значениях коэффициента диффузии во избежание возникновения нефизичных осцилляций в решении необходимо использовать противопотоковые аппроксимации конвективного слагаемого уравнения, при этом метод с добавлением искусственной диффузии начинает сильно размазывать решение (рис. 5). Следует отметить, что метод 8ИРС и разрывный метод Галеркина дают практически одинаково хорошие решения задачи.
Заметим, что при использовании разрывного метода Галеркина размерность дискретной задачи существенно больше, чем для остальных методов со стабилизацией (СО, ЛБ, 8иРС), но тем не менее он является более интересной для нас методикой аппроксимации, поскольку в дальнейшем позволит протестировать и проанализировать другие современные методики, основанные на этом подходе, например ИБС, позволяющий существенно сократить размерность дискретной задачи.
Рассмотрим теперь результаты решения задачи чисто конвективного переноса (Задача 2). На рис. 6 представлены результаты численного решения задачи в различные моменты времени Ьт, т = 20, 60 и 100, для варианта 1 и варианта 2, полученные с помощью метода 8ИРС. Отметим, что для таких задач необходимо строить специальные аппроксимации, поскольку классический метод Галеркина дает неустойчивое решение с очень сильными осцилляциями решения. На рис. 7 приведены результаты на конечный момент времени при использовании различных методик аппроксимации уравнения переноса. Представленные численные результаты иллюстрируют применимость рассматриваемых методов для решения задач при отсутствии диффузионного переноса (гиперболическое уравнение первого
Рис. 7. Решение задачи конвективного переноса (Задача 2) на конечный момент времени для варианта 1 (слева) и варианта 2 (справа) с использованием классического метода Га-леркина (ОС), со стабилизацией посредством добавления искусственной диффузии (ЛБ), метода ЯИРО и разрывного метода Галеркина (БС) (сверху вниз)
порядка), подобные уравнения возникают при моделировании задач двухфазной фильтрации в случае пренебрежения действия капиллярных сил. Отметим, что в настоящей статье рассматривается только линейный случай уравнения переноса, а при моделировании задач многофазной фильтрации возникающая система уравнений является существенно нелинейной, эти задачи в полной трехмерной постановке и с учетом капиллярных и гравитационных сил планируется исследовать в дальнейшем с использованием рассмотренных в настоящей работе методик аппроксимации уравнения переноса.
Заключение
В работе рассмотрено численное решение задач конвективного и диффузионного переноса в сильно гетерогенных пористых средах с использованием метода конечных элементов. Рассмотрены различные методики аппроксимации уравнения переноса с использованием методов стабилизации, таких как методы с искусственной диффузией и метод ВИГС, а также противопотоковых аппроксимаций с использованием разрывного метода Галеркина. Для аппроксимации уравнений течения жидкости в пористой среде используется смешанный метод конечных элементов, который применяется для аппроксимации системы уравнений для скорости и давления и в отличие от постановки задачи для давления проводит к выполнению закона сохранения и закона Дарси. Смешанный метод конечных элементов
также позволяет рассчитывать напрямую скорость фильтрации, которая затем используется в качестве коэффициента конвективного переноса.
Проведено численное исследование задачи на примере решения задачи переноса, где коэффициент проницаемости для расчета скорости и давления взят из классического теста для сильно гетерогенных сред (SPE10). Результаты иллюстрируют возможность использования предлагаемых методов для дальнейших численных исследований нелинейных систем уравнений, возникающих при моделировании задач многофазной фильтрации, в том числе и в полной трехмерной постановке с использованием параллельных технологий.
Благодарности. Работа выполнена при частичной поддержке РНФ (проект № 15-11-10024) и РФФИ (проект № 15-31-20856).
Литература
1. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. - London: Appl. Sci. Publ. Ltd., 1979. - 497 p.
2. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. - N. Y.: Dover Publ., Inc., 1972. - 764 p.
3. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. - SIAM, 2006. - 561 p.
4. Vabishchevich P.N., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Model. Anal. - 2012. - V. 17, No 4. - P. 532-549. - doi: 10.3846/13926292.2012.706655.
5. Christie M.A., Blunt M.J. Tenth SPE comparative solution project: A comparison of upscaling techniques // SPE Reservoir Eval. Eng. - 2001. - V. 4, No 4. - P. 308-317.
6. Chung E.T., Efendiev Y., Lee C.S. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications // Multiscale Model. Simul. - 2015. - V. 13, No 1. - P. 338-366. - doi: 10.1137/140970574.
7. Chung E.T., Efendiev Y., Leung W.T., Ren J. Multiscale simulations for coupled flow and transport using the generalized multiscale finite element method // Computation. -2015. - V. 3, No 4. - P. 670-686. - doi: 10.3390/computation3040670.
8. Aarnes J.E., Gimse T., Lie K.A. An introduction to the numerics of flow in porous media using Matlab // Geometric Modelling, Numerical Simulation, and Optimization. - Berlin; Heidelberg: Springer, 2007. - P. 265-306.
9. Jenny P., Lee S.H., Tchelepi H.A. Adaptive fully implicit multi-scale finite-volume method for multi-phase flow and transport in heterogeneous porous media //J. Comput. Phys. - 2006. - V. 217, No 2. - P. 627-641. - doi: 10.1016/j.jcp.2006.01.028.
10. Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. - Springer Science & Business Media, 2007. - 400 p.
11. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. - Berlin: Springer, 1991. - 350 p.
12. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical Aspects of Finite Element Methods. - Berlin; Heidelberg: Springer, 1977. - P. 292-315.
13. Carstensen C. A posteriori error estimate for the mixed finite element method // Math. Comput., Am. Math. Soc. - 1997. - V. 66, No 218. - P. 465-476.
14. Vabishchevich P.N., Vasil'eva M.V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusion-reaction problems // Numer. Anal. Appl. - 2012. - V. 5, No 4. - P. 297-306. - doi: 10.1134/S1995423912040027.
15. Afanas'eva N.M., Vabishchevich P.N., Vasil'eva M.V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russ. Math. - 2013. - V. 57, No 3. - P. 1-11. - doi: 10.3103/S1066369X13030018.
16. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. - Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2003. - 362 p.
17. Brooks A.N. A Petrov-Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: Dissertation (Ph.D.). - California: California Institute of Technology, 1981. - 126 p.
18. Ольшанский М.А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2004. - Т. 44, № 8. - С. 1450-1479.
19. Riviere B. Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations: Theory and Implementation. - SIAM, 2008. - 212 p.
20. Riviere B., Wheeler M.F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media // Commun. Numer. Methods Eng. - 2002. - V. 18, No 1. - P. 63-68.
21. Arnold D.N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L.D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. - 2002. - V. 39, No 5. -P. 1749-1779.
22. Cockburn B., Shu C.W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems // SIAM J. Numer. Anal. - 1998. - V. 35, No 6. - P. 24402463.
23. Cockburn B, Shu C.W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems //J. Sci. Comput. - 2001. - V. 16, No 3. - P. 173-261.
24. Reed W.H., Hill T.R. Triangular Mesh Methods for the Neutron Transport Equation. Report LA-UR-73-479. - Los Alamos: Los Alamos Scientific Lab., 1973. - 23 p.
25. Brezzi F., Manzini G., Marini D, Pietra P., Russo A. Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems // Numer. Methods Partial Differ. Equations. - 2000. -V. 16, No 4. - P. 365-378.
26. Riviere B., Shaw S., Wheeler M.F., Whiteman J.R. Discontinuous Galerkin finite element methods for linear elasticity and quasistatic linear viscoelasticity // Numer. Math. -2003. - V. 95, No 2. - P. 347-376.
27. Girault V., Riviere B., Wheeler M.F. A discontinuous Galerkin method with non-overlapping domain decomposition for the Stokes and Navier-Stokes problems // Math. Comput. - 2005. - V. 74, No 249.- P. 53-84.
28. Girault V., Riviere B. DG approximation of coupled Navier-Stokes and Darcy equations by Beaver-Joseph-Saffman interface condition // SIAM J. Numer. Anal. - 2009. - V. 47, No 3. - P. 2052-2089.
29. Cockburn B., Kanschat G., Schotzau D. The local discontinuous Galerkin method for the Oseen equations // Math. Comput. - 2004. - V. 73, No 246. - P. 569-593.
30. Cockburn B, Kanschat G., Schotzau D. A note on discontinuous Galerkin divergence-free solutions of the Navier-Stokes equations //J. Sci. Comput. - 2007. - V. 31, No 1-2. -P. 61-73.
31. Sun S., Wheeler M.F. Discontinuous Galerkin methods for coupled flow and reactive transport problems // Appl. Numer. Math. - 2005. - V. 52, No 2. - P. 273-298.
32. Babuska I., Baumann C.E., Oden J.T. A discontinuous hp finite element method for diffusion problems: 1-D analysis // Comput. Math. Appl. - 1999. - V. 37, No 9. - P. 103122.
33. Wheeler M.F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties // SIAM J. Numer. Anal. - 1978. - V. 15, No 1. - P. 152-161.
34. Gottlieb S., Wei G.W., Zhao S. A unified discontinuous Galerkin framework for time integration. Preprint. - 2010. - 42 p. - URL: http://fodava.gatech.edu/files/reports/ FODAVA-10-34.pdf.
35. Kirby R.M., Sherwin S.J., Cockburn B. To CG or to HDG: a comparative study // J. Sci. Comput. - 2012. - V. 51, No 1. - P. 183-212. - doi: 10.1007/s10915-011-9501-7.
36. Nguyen N.C., Peraire J., Cockburn B. An implicit high-order hybridizable discontinuous Galerkin method for linear convection-diffusion equations //J. Comput. Phys. - 2009. -V. 228, No 9. - P. 3232-3254. - doi: 10.1016/j.jcp.2009.01.030.
37. Demkowicz L., Gopalakrishnan J. Analysis of the DPG method for the Poisson equation // SIAM J. Numer. Anal. - 2011. - V. 49, No 5. - P. 1788-1809. - doi: 10.1137/100809799.
38. Demkowicz L., Gopalakrishnan J. A class of discontinuous Petrov-Galerkin methods. Part I: The transport equation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2010. - V. 199, No 23. - P. 1558-1572.
39. Даутов Р.З., Федотов Е.М. Разрывный смешанный метод Галеркина без штрафа для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2013. - Т. 53, № 11. - С. 1791-1803.
40. Даутов Р.З., Федотов Е.М. Абстрактная теория HDG-схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2014. - Т. 54, № 3. - С. 463-480.
41. Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth N. Wells Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. - The FEniCS Book, 2011. - 723 p.
42. Software GMSH. - URL: http://geuz.org/gmsh/.
43. Software package PARAVIEW. - URL: http://www.paraview.org/.
Поступила в редакцию 23.03.16
Васильева Мария Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент-исследователь кафедры вычислительных технологий; старший научный сотрудник Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
пр. Академика Лаврентьева, д. 6, г. Новосибирск, 630090, Россия E-mail: [email protected]
Васильев Василий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительных технологий
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия E-mail: [email protected]
Тимофеева Татьяна Семеновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 2, pp. 243-261
Numerical Solution of the Convective and Diffusive Transport Problems in a Heterogeneous Porous Medium Using Finite Element Method
M.V. Vasilyevaa'b*, V.I. Vasilyeva**, T.S. Timofeevaa***
aM.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677000 Russia bInstitute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected], ***[email protected]
Received March 23, 2016 Abstract
The finite element approximation of the convective and diffusive transport equation has been considered. Different methods for stabilization of the finite element approximation have been discussed: upwind approximation of the convective term using artificial diffusion (AD) and streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method, both used for stabilization of the classic Galerkin method. Another approach to approximation of the transport equation related to the discontinuous Galerkin method (DG) has been investigated. This method also allows to approximate the convective term using upwind schemes. The results of the numerical comparison of the considered schemes for the convective and diffusive transport problems in a porous media have been presented. The flow and transport in a highly contrast heterogeneous porous media that lead to the significant pressure gradients and, therefore, high velocities have been considered as test problems.
Keywords: convection-diffusion equation, filtration, heterogeneous porous media, finite element method, numerical stabilization, classic Galerkin method, discontinuous Galerkin method
Acknowledgments. This study was supported in part by the Russian Science Foundation (project no. 15-11-10024) and the Russian Foundation for Basic Research (project no. 15-3120856).
Figure captions
Fig. 1. Heterogeneous permeability coefficient: on the left -variant 1, on the right - variant 2.
Fig. 2. Filtration velocities ux (from above) and uy (from below): on the left - variant 1, on the right - variant 2.
Fig. 3. Solution of the convective and diffusive transport problem at a = 0.001 (Task 1) for variant 1 (on the left) and variant 2 (on the right) using the classic Galerkin method (CG) with stabilization by artificial diffusion (AD), streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method, and discontinuous Galerkin method (DG) (from up to down) at the finite moment of time.
Fig. 4. Isolines for c = 0.9 of solution of the convective and diffusive transport problem (Problem 1) for variant 1 (on the left) and variant 2 (on the right) for different diffusive transport coefficients (from up to down) using various space approximation methods at the finite
moment of time. Classic Galerkin method (CG) - black line; with stabilization by artificial diffusion (AD) - red line; SUPG method - green line; discontinuous Galerkin method (DG) -blue line.
Fig. 5. Solution of the convective and diffusive transport problem (Problem 1 ) along the line y = 0.18 for variant 1 (from above) and variant 2 (from bottom) for different diffusive transport coefficients (from right to left) at the finite moment of time. Classic Galerkin method (CG) - black line; with stabilization by artificial diffusion (AD) - red line; SUPG method -green line; discontinuous Galerkin method (DG) - blue line.
Fig. 6. Solution of the convective transport problem (Problem 2) for variant 1 (on the left) and variant 2 (on the right) at different moments of time tm , m = 20, 60 and 100 (from up to down) using the SUPG method.
Fig. 7. Solution of the convective transport problem (Problem 2) at the finite moment of time for variant 1 (on the left) and variant 2 (on the right) using the classic Galerkin method (CG), as well as stabilization by artificial diffusion (AD), SUPG method, and discontinuous Galerkin method (DG) (from up to down).
References
1. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. Appl. Sci. Publ. Ltd., 1979. 497 p.
2. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. N. Y., Dover Publ., Inc., 1972. 764 p.
3. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. SIAM, 2006. 561 p.
4. Vabishchevich P.N., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration. Math. Model. Anal., 2012, vol. 17, no. 4, pp. 532-549. doi: 10.3846/13926292.2012.706655.
5. Christie M.A., Blunt M.J. Tenth SPE comparative solution project: a comparison of upscaling techniques. SPE Reservoir Eval. Eng., 2001, vol. 4, no. 4, pp. 308-317.
6. Chung E.T., Efendiev Y., Lee C.S. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications. Multiscale Model. Simul., 2015, vol. 13, no. 1, pp.338-366. doi: 10.1137/140970574.
7. Chung E.T., Efendiev Y., Leung W.T., Ren J. Multiscale simulations for coupled flow and transport using the generalized multiscale finite element method, Computation, vol. 3, no. 4, pp.670-686. doi: 10.3390/computation3040670.
8. Aarnes J.E., Gimse T., Lie K.A. Geometric Modelling, Numerical Simulation, and Optimization. An introduction to the numerics of flow in porous media using Matlab. Berlin, Heidelberg, Springer, 2007, pp.265-306.
9. Jenny P., Lee S.H., Tchelepi H.A. Adaptive fully implicit multi-scale finite-volume method for multi-phase flow and transport in heterogeneous porous media. J. Comput. Phys., vol. 217, no. 2, pp. 627-641. doi: 10.1016/j.jcp.2006.01.028.
10. Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer Science & Business Media, 2007. 400 p.
11. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Berlin: Springer, 1991. 350 p.
12. Raviart P.A., Thomas J.M. Mathematical Aspects of Finite Element Methods. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems. Berlin, Heidelberg,Springer, 1977, pp. 292-315.
13. Carstensen C. A posteriori error estimate for the mixed finite element method. Math. Comput., Am. Math. Soc., 1997, vol. 66, no. 218, pp. 465-476.
14. Vabishchevich P.N., Vasil'eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusion-reaction problems. Numer. Anal. Appl., 2012, vol. 5, no. 4, pp. 297-306. doi: 10.1134/S1995423912040027.
15. Afanas'eva N.M., Vabishchevich P.N., Vasil'eva M.V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems. Russ. Math., 2013, vol. 57, no. 3, pp. 1-11. doi: 10.3103/S1066369X13030018.
16. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. Chichester, John Wiley & Sons Ltd., 2003. 362 p.
17. Brooks A.N. A Petrov-Galerkin finite element formulation for convection dominated flows. Ph.D. Diss., California Institute of Technology, 1981. 126 p.
18. Ol'shanskii M.A. An analysis of the multigrid method for the convection-diffusion equations with the Drichlet boundary conditions. Comput. Math. Math. Phys., 2004, vol. 44, no. 8, pp. 13741403.
19. Riviere B. Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations: Theory and Implementation. SIAM, 2008. 212 p.
20. Riviere B., Wheeler M.F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media. Commun. Numer. Methods Eng., 2002, vol. 18, no. 1. pp. 63-68.
21. Arnold D.N., Brezzi F., Cockburn B., and Marini L.D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal., 2002, vol. 39, no. 5, pp. 1749-1779.
22. Cockburn B., Shu C.W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems. SIAM J. Numer. Anal., 1998, vol. 35, no. 6, pp. 2440-2463.
23. Cockburn B., Shu C.W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems. J. Sci. Comput., 2001, vol. 16, no. 3. pp. 173-261.
24. Reed W.H., Hill T.R. Triangular Mesh Methods for the Neutron Transport Equation. Report LA-UR-73-479. Los Alamos, Los Alamos Sci. Lab., 1973. 23 p.
25. Brezzi F., Manzini G., Marini D., Pietra P., Russo A. Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems. Numer. Methods Partial Differ. Equations, 2000, vol. 16, no. 4, pp. 365-378.
26. Riviere B., Shaw S., Wheeler M.F., Whiteman J.R. Discontinuous Galerkin finite element methods for linear elasticity and quasistatic linear viscoelasticity. Numer. Math., 2003, vol. 95, no. 2, pp. 347-376.
27. Girault V., Riviere B., Wheeler M.F. A discontinuous Galerkin method with non-overlapping domain decomposition for the Stokes and Navier-Stokes problems. Math. Comput., 2005, vol. 74, no. 249, pp. 53-84.
28. Girault V., Riviere B. DG approximation of coupled Navier-Stokes and Darcy equations by Beaver-Joseph-Saffman interface condition. SIAM J. Numer. Anal., 2009, vol. 47, no. 3, pp. 2052-2089.
29. Cockburn B., Kanschat G., Schotzau D. The local discontinuous Galerkin method for the Oseen equations. Math. Comput., 2004, vol. 73, no. 246, pp. 569-593.
30. Cockburn B., Kanschat G., Schotzau D. A note on discontinuous Galerkin divergence-free solutions of the Navier-Stokes equations. J. Sci. Comput., 2007, vol. 31, nos. 1-2, pp. 61-73.
31. Sun S., Wheeler M.F. Discontinuous Galerkin methods for coupled flow and reactive transport problems. Appl. Numer. Math., 2005, vol. 52, no. 2, pp. 273-298.
32. Babuska I., Baumann C.E., Oden J.T. A discontinuous hp finite element method for diffusion problems: 1-D analysis. Comput. Math. Appl., 1999, vol. 37, no. 9, pp. 103-122.
33. Wheeler M.F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties. SIAM J. Numer. Anal., 1978, vol. 15, no. 1, pp. 152-161.
34. Gottlieb S., Wei G.W., Zhao S. A Unified Discontinuous Galerkin Framework for Time Integration. Preprint. 2010. 42 p. Available at: http://fodava.gatech.edu/files/reports/F0DAVA-10-34.pdf.
35. Kirby R.M., Sherwin S.J., Cockburn B. To CG or to HDG: a comparative study. J. Sci. Comput., 2012, vol. 51, no. 1, pp. 183-212. doi: 10.1007/s10915-011-9501-7.
36. Nguyen N.C., Peraire J., Cockburn B. An implicit high-order hybridizable discontinuous Galerkin method for linear convection-diffusion equations. J. Comput. Phys., 2009, vol. 228, no. 9, pp. 3232-3254. doi: 10.1016/j.jcp.2009.01.030.
37. Demkowicz L., Gopalakrishnan J. Analysis of the DPG method for the Poisson equation. SIAM J. Numer. Anal.., 2011, vol. 49, no. 5, pp. 1788-1809. doi: 10.1137/100809799.
38. Demkowicz L., Demkowicz L., Gopalakrishnan J. A class of discontinuous Petrov-Galerkin methods. Part I: The transport equation. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 2010, vol. 199, no. 23, pp. 1558-1572.
39. Dautov R.Z., Fedotov E.M. Discontinuous mixed penalty-free Galerkin method for second-order quasilinear elliptic equations. Comput. Math. Math. Phys., 2013, vol. 53, no. 11, pp. 1614-1625.
40. Dautov R.Z., Fedotov E.M. Abstract theory of hybridizable discontinuous Galerkin methods for second-order quasilinear elliptic problems. Comput. Math. Math. Phys., 2014, vol. 54, no. 3, pp. 474-490.
41. Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth N. Wells Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book. 2011. 723 p.
42. Software GMSH. Available at: http://geuz.org/gmsh/.
43. Software package PARAVIEW. Available at: http://www.paraview.org/.
Для цитирования: Васильева М.В., Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса \ в сильно гетерогенных пористых средах // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 2. - С. 243-261.
For citation: Vasilyeva M.V., Vasilyev V.I., Timofeeva T.S. Numerical solution of the convective and diffusive transport problems in a heterogeneous porous medium using finite element method. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematiche-skie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 243-261. (In Russian)
