CC BY
34
УДК 518: 517.948 Т. Т. Каракеев
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ТРЕТЬЕГО РОДА
На основе регуляризованного уравнения обоснован метод численного решения интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. Установлена связь малого параметра и шага дискредитации, необходимая для достижения сходимости приближенного решения к точному. Проведен численный эксперимент.
В работе [1] показано, что интегральное уравнение Вольтерра третьего рода, содержащее известную невозрастающую функцию и имеющее решение в пространстве непрерывных функций, регуляризируемо и его решение единственно в этом пространстве. Основываясь на этом, изучим способы приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра третьего рода
p(x)v(x) + | K (x, t)u(t)dt = f (x). (1)
0
Предполагается, что и(х)&С [0,b], известные функциир(х), fx), K(x,t) подчиняются условиям: а) У^&С^ОЬ], K(x,t)<a С1(П), K(x^)>0, (x,t)& D = {0 < t < x < b}, р(х)<аС2[0,Щ, р(Ь)=0, р(х) -
невозрастающая функция.
Уравнение (1) эквивалентно уравнению
(Av)(x) + (Gv)(x) = (Lv)(x) + g(x), (2)
x x x
где (Lv)( x) = j L( x, t )v(t)dt, (Gv)( x) = j G(t )v(t )dt, g(x)=fx)+Сo j f (t )dt, (Av)(x)=p(x)v(x),
000
x
G(x) = C0p(x) + K(x, x), L(t, t) = K(t, t) - K(x, t) - C0 j K(v, t)dv, 0 < C0 = const.
t
В пространстве С1[0,Ь] для решения уравнения (2) регуляризирующим является семейство уравнений [1]
(eI + A)ve (x) + (Gvs)(x) = (Lvs)(x) + ev(0) + g(x) (3)
при e ® 0, где I - тождественный оператор, если найдутся такие положительные числа в1, в2 и
С0, что для функции G(x) выполняются условия:
0 < d1 < G(x), d1G(x) + p'(t) > 0, в1 + в2 = 1. (4)
Частично обратим уравнение (3), используя резольвенту ядра - G(t)/(e + p(x)):
Ue (x) = (He [Lve ])(x) + e(HeV0)(x) + (Heg)(x). (5)
Здесь оператор ffe имеет вид
(Heg)(x) =----1---[exp(-j-^^-dv'Git)gg(t)—g(x)dt +-1---exp(-[ G^V) dv)g(x), (6)
e + p(x) j j e + p(v) e + p(t) e + p(x) 0 e + p(v)
е(Неи0)(х) =-------е---и0 ехр(-[---------Ж).
' е °Д ' е + р(х) 0 ^ I е + р(0 '
Введем на [0,Ь] равномерную сетку аН = {хг = гН, г = 0..п, Ь = Нп} и обозначим через Си
пространство сеточных функций иг=и(хг) с нормой
||иг II = тях^г I. (7)
11 о<г<П 1
Аппроксимируем интегралы в (5) по квадратурной формуле правых прямоугольников. Тогда получим треугольную систему линейных алгебраических уравнений
1 г ] г ~ г
и =---------— НТ^е:1г°} [НЁЦцРе* - НТ;ккие,к + ё] - ёг ] + 1~иН [НЕ Ц Ре,] + ёг + еи0 ]> 1=1-П, (8)
е+ рг ]=1 к-1 к-1 ]=1
где = Цх, , хк ), ие,, = ие (х, ), ёг = ё(хг Рг = Р(Хг К х] = А ]=1-г,
L(xi , xk ) = -K(xi , xk ) + K(xk , xk ) - C0h ZK(xm , xk ), i=1-n, V0 = V(0) .
m=k+1
W j =— exp e + pj
1
г
G
1
-hZ~^ , Wf =-exp -hZ
( >G+ p' }
mm
e + p0
\ m=1 e + pm 0
i=1..n.
Так как
( Z K m,k )| k==i = (Z Kmk -Z K m,k )| k==i = 0 , m=k+1 m=1 m=1
то
ZLiV = -Z (Kit - Kkk Vk - C0 Z ( ZKmk )Vk = ZLiV .
k=1 k=1 k=1 m=k+1 k=1
Поэтому (8) примет вид
1 i j-1 i-1 i-1
ve,i =-— hZWfGj [hZLj,kVe,k - hZLi,kVe,k + gj - gi ] + WUh [hZ Li, jVe, j + gi + ev0 L i=1-n- (9)
e+ pi j=1 k=1 k=1 j=1
Лемма 1. При выполнении условий а) и (4) для решения системы (9) имеет место оценка
||Ve,||C < (V0 + N0 + N1 )M1, (10)
II IlCh
где N0 = maxi f (x)|, N1 = maxi f'(x)| , М1 - постоянная, не зависящая от h и e.
[0,Ъ]' 1 [0,b] 1 1
Доказательство. Используя условие а), получим
\Lhk -L},k\< (T1 + C0T0)(hi -hj), \Lhk\< (T1 + C0T0)(hi -hk), (11)
T0 = maxiK(x, t)|, T1 = max|K' (x, t)|. Тогда
0 d 1 1 1 D 1 x 1
|hZ LJ,kVe,k - hZ Li,kVe,k \<hZ\ Lj k - Li,k\ |Ve,k| + hZ| Li,k\ |Ve,k| < (T1 + C0T0 ) X
k=1 k=1 k=1 k= j
X (hi - hj)hZ\Ve,k I + (T1 + C0T0 )Z (hi - kh)\Ve,k I < 2(T1 + C0T0 )(hi - jh)Z\Ve,k I .
k=1 k=j k=1
Поскольку р(х^) <р(х}) при всех j < k, то учитывая условие (4), имеем
—^(hi - jh) < hZ —— < d-^Z —- •
e + Pj k=je + Pk k=je + Pk
На основе приведенных оценок получим
1 i j-1 i-1 i-1 m
I-hZWGhZLV - hZhVek + gj - gi ] < [2T2hZ Ve.k I + N1 + C0N0 ]T3d- Z e-vv2 ,
^ j - . j,k e,k / r^i.k e,k Tv^^lJr1 _
e+ pi j=1 k=1 k=1 k=1 v=0
i G i G
где v = h Z----m—, m = hZ-m—, T2 = T1 + C0T0, T3 = maxiG(x)|.
e + Pm m=1 e + Pm [0b]
m -v 2 -v 2
Выражение Sm = Ze vv2 мажорируется рядом Ze vv2 , сходимость которого следует из
v=0
признака Маклорена-Коши [2]. Таким образом, Sт < +<х> .
Аналогично, используя условия а) и (4), для второго выражения в (9) имеем
i-1 1
Wief [hZL,Ve, j + gi + eV0 ]|< ----------------------iT2hZ Ve,k + (1 + bC0 )N0 + eV0 ].
1=1 e + P0
Тогда из системы уравнений (9), введя обозначения T4 = T2 (2dI1S0T3 + р-1)
d2 = max{d-1S0T3, р-1 (1 + bC0) + d-1S0C0T3}, S0 = Swp|Sm| получим
i-1
V \+TM + N0J“2^alJ0-
l—l
|Ve,| < T4hZVe,k\ +(N1 + N0)d2 +eV0 .
k=1
Откуда непосредственно следует оценка [2]
lVe i C < [V0 + (N1 + N0 )d2 ]exP(bT4 ).
Ch
v=0
Лемма 2. Если выполняются условия а), (4) и v(x)&С1[0,b], то справедлива оценка
II h II
\\He [Vi-V0 ]Ch ||< N4, (12)
1 i
Hh [Vi -V0 ] =-hZWjG [Vj -V ] + Wtf [Vi - V0 ], N4 = T3S0f1 / d1 + 2r0 / P0, |v( x)\ < r,
e +Pi
|v'(x)| < r1, r0, r1 = const.
Лемма 3. Если выполняются условия а) и (4), то при соблюдении связи e = O(ha), a > 0 справедливо неравенство
*G(s) + р '(s)ds ,^Gm + P'm\< O(h p
ds - hZ m < O(h p), p = 1 - 2a . (13)
0 е +Р(я) т=1 е +Рт
Теорема 1. Пусть имеют место условия а), (4) и е = 0(На). Тогда для всех 0 < а < 1 /2 решение системы (9) при Н ® 0 равномерно сходится к иг - точному решению уравнения (2), причем справедлива оценка
и е , -и\\с <0(На).
II 11сн
Доказательство. Преобразуем уравнение (2) к следующему эквивалентному виду
и(х) = (Не [ки])(х) + е(Неи)(х) + (Неё)(х), (14)
где Не определяется по формуле (6). Полагая х=хг в (14), применим формулу правых
прямоугольников для интегралов. Тогда получим систему уравнений
1 г ]-1 г-1 г-1
] =-—^£4^] [Н£Ь,кик - Н^ки + е(и -иг ) + ё] - ёг ] + [Н£ +
е + рг ]=1 к=1 к-1 ]=1
+ ёг + еиг ] + Яг , г=1..п, (15)
где Яг -сумма всех остаточных членов интегралов, входящих в (14). Введем вектор
погрешности 77^ = и е (хг) - и(хг) = и ег - иг, г=1..п. Тогда из (9) и (15) получим
1 г ]-1 г-1 г-1
<г =-——н£№?0;[Н£]г\ек -Н^кЛк -е(и] -и)] + Щ1 [Н£цХ] +
е + рг ]=1 к-1 к-1 ]=1
- е (и -]0 )] - Яг, г=1..п. (16)
Повторяя выкладки доказательства леммы 1, из (16) приходим к неравенству
kJ < ThWkl + e Hh (Vi -V0 )| +1^|, i=1..n.
к-1
Тогда применяя разностный аналог леммы Гронуолла-Беллмана [4], имеем
\лЦ < (е \НЪ (]г -]0 ^ + \Яг |)еХР(ЬТ4 ). Следовательно, учитывая (12) по сеточной норме, получим
\hh4C < (N4e +1 |^i||C )exP(bT4 ). (17)
ChCh
Поскольку остаточный член IR- ||C < N5h + N6h /e , N5, N6 = const, то из (17) следует
Ch
Ш < (N4e + N5h + N6h /e)exp(bT4). ( 18)
Ch
Таким образом получили оценку, которая является типичной в теории регуляризации [5] и требует согласованности малого параметра с шагом дискретизации. Для сходимости метода (9) достаточно брать e = O(ha), 0 < a < 1 / 2. Причем, так же как в [4], можно установить явную форму связи e и h, при которых (18) дает наименьшую погрешность приближенного решения.
Определим e из минимума правой части (18). Тогда
1
e = (d6h / N4)2 , d6 = N6 exp(bT4).
Замечание. Погрешность, допускаемую в процессе вычисления ve i по правилу (9), обозначим через di. Тогда ve i будет удовлетворять системе уравнений:
1 j . i~1. i-1
v =—— hYWfGj v*ZLi*ve*- hTLtv + gj- g] + W>T [hZ L v e, j + gi + u]+si ;=l-n-
S + Pi j=1 k=1 k=l j=1
Если Si - погрешность вычислительного правила, стремится к нулю равномерно
относительно i при h ® 0 и выполняются условия а), (4), то при s = O(ha), 0 < a £ l /2 и h ® 0 имеет место оценка
||v s t - vi II £ O(ha) + did8, 0 < d8 = const.
II ■ IlCh
Численный анализ показал, что решение регуляризованной системы (3) зависит от свойств функции р(х). Обращение в нуль этой функции в некоторой точке приводит к относительному замедлению сходимости приближенного решения в окрестности данной точки. Длина этой окрестности зависит от величины шага дискретизации и от задания самой функции р(х). Поскольку функция р(х) обращается в нуль только в одной точке х=Ь, то из множества узловых точек wh = {xi = ih,i = 0..n} можно выделить подмножество, где отклонение приближенного решения от точного окажется наибольшим. Оно запишется следующим образом : Wh = {Х; = ih / p(xt) £ s, i = k.n}. Это следует из анализа оценки
d h a
V si - vJ £ (— -----+ N4s + d6h)exp(ЬТ4), при s = O(ha), 0 < a £ l /2
s + Pi
и подтверждается результатами численного эксперимента. Для реализации вычислений по схеме (9) составлена программа на языке Delphi 6. Проведен численный эксперимент с данными, когда x е [0,l], p(x)=(l-x)2/2, K(x,t)=4x-t, f(x)=4x2-x+l/2. При этом, если С0=2,
dl = в2 = l / 2, то выполняются условия а) и (4). Результаты программы подтверждают теоретические выводы. Наибольшее отклонение 8 от точного решения при различных значениях шага дискредитации достигается в точке х=1 . Если h=0.l, то 8 <0.1786. При h=0.0l ошибка 8 <0.04, а при h=0.001 величина 8 <0.0101.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Каракеев Т. Т. Регуляризация нелокальной граничной задачи для псевдопараболических уравнений //Исслед. по
интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек : Илим, 2003. Вып. 32. С. 179-183.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высш. школа, 1988. Т. 2. 576 с.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977. Т.П. 400 с.
4. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, Сибирская издат. фирма РАН. 1999. 193 с.
5. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.
Поступила 26.05.2004 г.
