Численное моделирование ускорения электронов в фокусе ультракороткого лазерного импульса с применением усредненного релятивистского уравнения Гамильтона-Якоби Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS

А. В. БОРОВСКИЙ

Байкальский государственный университет экономики и права, г. Иркутск, Российская Федерация А. Л. ГАЛКИН

Институт общей физики РАН им. А. М. Прохорова, г. Москва, Российская Федерация

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСКОРЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ФОКУСЕ УЛЬТРАКОРОТКОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА С ПРИМЕНЕНИЕМ УСРЕДНЕННОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО УРАВНЕНИЯ

ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Аннотация. В статье рассмотрено ускорение электронов коротким, но достаточно протяженным лазерным импульсом при его фокусировке в газ. Такие импульсы могут содержать 100 и более колебаний лазерного поля, и их длительности простираются в диапазоне iL > 10-13с. Предложен метод усреднения действия Гамильтона-Якоби для электронного газа. Получено усредненное релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби для действия в гауссовом лазерном пучке с линейной поляризацией, представленное в эйлеровой и лагранжевой постановках. При рассмотрении ла-гранжевой постановки получено аналитическое выражение для релятивистской пондеромоторной силы, действующей на электрон, в эйлеровой постановке усредненное релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби решено численно в рамках T2D задачи. Вычислено пространственно-двумерное распределение модуля импульса электронного газа, ускоренного в гауссовом фокусе линейно-поляризованного лазерного излучения.

Ключевые слова. Ускорение электронов ультракоротким лазерным импульсом; усредненное релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби; релятивистская пондеромоторная сила.

Информация о статье. Дата поступления 27 февраля 2015 г.; дата принятия к печати 23 марта 2015 г.; дата онлайн-размещения 30 июня 2015 г.

УДК 535.3; 531.1

DOI 10.17150/1993-3541.2015.25(3).526-532

A. V. BOROVSKY

Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk, Russian Federation A. L. GALKIN

General Physics Institute of RAS n.a. A.M. Prokhorov, Moscow, Russian Federation

NUMERICAL SIMULATION OF ELECTRONS ACCELERATION IN THE FOCUS OF AN ULTRASHORT LASER PULSE WITH THE AVERAGED RELATIVISTIC HAMILTON-JACOBI EQUATION USE

Abstract. The article considers electrons acceleration by a short, but rather long laser pulse under gas focusing. Such pulses may contain 100 or more laser field oscillations and spread in the range iL > 10-13c. The method intended for averaging the Hamilton-Jacobi action for electron gas is offered. An averaged relativistic Hamilton-Jacobi equation for the action in the Gaussian laser beam with linear polarization represented in Euler's and Lagrange's formulations is determined. Proceeding from Lagrange's formulation, the analytical expression for the relativistic ponderomotive force influencing the electron is obtained. In Euler's formulation the averaged relativistic Hamilton-Jacobi equation is solved numerically within T2D task. Space two-dimensional distribution of the model of impulse of electron gas, accelerated in the Gaussian focus of linearly polarized laser radiation, is calculated.

Keywords. Electron acceleration by a short laser pulse; averaged relativistic Hamilton-Jacobi equation (ARHJ); relativistic ponderomotive force.

Article info. Received February 27, 2015; accepted March 23, 2015; available online June 30, 2015.

© А. В. Боровский, А. Л. Галкин, 2015

A. V. BOROVSKY, A. L. GALKIN

Одной из проблем, привлекающих внимание исследователей в настоящее время, является ускорение электронов в фокусе ультракоротких лазерных импульсов. На этом пути можно получать электроны с кинетической энергией 1 МэВ и выше, что представляет интерес для применений в наноэлектронике. На электрон, осциллирующий в сильном поле, действует стрикционная (пондеромоторная) сила, выталкивающая его в область более слабого поля. В процессе своего движения электрон ускоряется. Движение электрона является релятивистским. Это обстоятельство усложняет решение задачи.

Данная работа является продолжением исследования, начатого в статье «Математические модели, основанные на релятивистком уравнении Гамильтона-Якоби в лазерной физике» [3], там же приведена большая часть библиографии. В исходной статье рассмотрено волновое уравнение Дирака и его классический предел — уравнение релятивистское Гамильтона-Якоби (РГЯ), а также показано, что для изучения ускорения электронов в фокусе лазерных импульсов достаточно использовать указанное уравнение. Это уравнение для случая гауссова лазерного импульса и линейной поляризации излучения в системе единиц измерений c = 1, e = 1 имеет вид

dS dt

dx

2 Ж Г + 2A. dS + 2A dS =

dz

'Я ^

dY.

= m2 + (Ax )2 + (Az )2;

VS = p + A; s = —, dt

dx

dz

(1)

где 5(/, г) — функция действия; р/, г) — векторная функция имульса; е(/, г) — энергия электронов; А(/, г) — векторный потенциал электромагнитного поля.

Для гауссова лазерного импульса с линейной поляризацией излучения векторный потенциал обладает двумя компонентами: поперечной, перпендикулярной оси, — Ах, и продольной, направленной вдоль оси лазерного импульса, — Аг: _

Ах = А ^еып(фч) = А>(Фд);

Az = 2A0 е

Р

cos^') = A0 005(9^);

9g =rat -kz + arctg

z

V zR J

zr

zrP

-ф0; (2)

Ф, =9g + arctg

f - Л

v zR J

где к = 2п /X — волновое число; X — длина волны излучения; р = р0^1 + г2/, гК =пр2/Х — рэлеев-ская длина; р0 — поперечный размер минимальной гауссовой перетяжки в фокальной плоскости; ф0 — значение фазы в момент времени / = 0, в точке г = 0; г = у] х2 + у2; е — малый параметр.

Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параметрического типа с вынуждающей силой. Исследование данного уравнения можно разделить на два случая в зависимости от длительности лазерного импульса Для длинных импульсов, длительность которых условно превышает 100 колебаний лазерного поля tLю/2л>100, справедлива концепция пон-деромоторной силы, предложенная П. Л. Капицей в 1951 г. для механических систем с высокочастотной вынуждающей силой [4, с. 119]. В нашем случае механической системой является электрон, а высокочастотную силу создает внешнее электромагнитное поле лазерного импульса.

Для более коротких лазерных импульсов с длительностью tLю/2л<10 концепция пондеро-моторной силы теряет свою силу, и для решения задачи следует рассматривать строгое уравнение РГЯ в лагранжевой постановке, которое принимает вид уравнения движения для электрона под воздействием силы Лоренца с учетом релятивистских эффектов.

Далее рассмотрим первый случай, в рамках которого можно усреднить уравнение РГЯ и получить выражение для пондеромоторной силы, действующей на электрон внутри лазерного импульса релятивистской интенсивности. Отметим, что концепция П. Л. Капицы использовалась в ряде работ, например, при изучении колебаний молекул в оптических полях [1] и применительно к лазерному импульсу [6].

1. Усреднение уравнения РГЯ. Уравнение (1) содержит постоянные и осциллирующие члены, поэтому его решение можно представить в виде постоянной 50 (усредненной по высокочастотным осцилляциям электромагнитного поля) и осциллирующей Д5 частей. Осциллирующая часть должна содержать гармоники в силу нелинейности уравнения:

S = S0 + AS;

AS = ^ASns/n(ncot + an).

n = 1

Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.

2015, vol. 25, no. 3, pp. 526-532. ISSN 1993-3541 2015. Т. 25, № 3. С. 526-532. ISSN 1993-3541

MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS

Здесь амплитуды имеют п-й порядок малости при условии отсутствия резонансов.

Подстановка в уравнение (1) дает следующий результат:

DSr

dt

f DAS

+ К dt

DSr

dx

ds0 12 fdV2

+ 2A ^ + 2A

dy ) К dz dS<

dx

dz

dAS dx

dAS dy

dAS ~dz

.. dAS dAS

+ 2 A -+ 2 A -+

dx

dz

2 сА^ сА^ 2 сА^ сб^ сА^ _

dt dt дх дх ду ду dz dz

_ т2 + (Ах)2 + (А,)2.

После усреднения по периоду лазерного поля выпадут слагаемые

2Ах 2А, 2 М, дх дг dt dt

<Ш_ _ _ 550 дАБ

2 , 2~ ~ , 2_

dx dx

dz dz

ду ду

так как они содержат синусы и косинусы в первой степени. Усреднение следующих двух слагаемых дает

' , дД5\ о ЗА5,

2А„—— ) _ cos(a1 -ф,)Ах

dx

dx

ТА dAS\ ■ , (i), Ло dAS, 2 A —— ) = sin(a1 - ф}) )Az -

здесь

ф} = -kz + arctg

f z 1

К zR )

ф}}) = ф} + arctg

zr

zrP

z

Фо;

К zR )

где ф,, ф,1) — части фаз в выражении (2), не зависящие от времени; а, — постоянная фаза в формуле (3); ДS1 — амплитуда колебаний на основной частоте. Первое слагаемое имеет первый порядок малости, второе слагаемое — следующий порядок малости, так как компонента А0 — мала.

Усреднение квадратичных слагаемых дает , 2\

dAS

ГдГ

> = ш 2-2(AS})2;

(ft: 0=k2 -2(AS})2

dAS Л2 dx ) + fdAS12 f dAS = К dr .

IfdAS1 \\ i( ' dAS} 12

\К dr J 1 = 2 К . dr )

разность —

I)-(ШI) _ <- *г)>)2 _ о,

в силу дисперсионного соотношения (для вакуума)

га2 - к2 _ 0.

В результате приходим к следующему уравнению:

Э5о 12 ГЭ5о У (д5012 ГЭ^2

dt

dx

dy

dz

_ т2 + 1(А0)2 + 1(А0)2 - ссз(а, -ф)А°0 ^А5, + (4) 2 2 дх

+ з1п(а1-ф1<1))А, д^.

дг

Последние два слагаемых в правой части уравнения (4) представляют собой малые поправки, условие их малости

^ << А о.

Слагаемое 1/2( А,) для гауссова пучка также мало. В результате приходим к усредненному релятивистскому уравнению Гамильтона-Якоби (УРГЯ), не содержащему малых поправок

2 (д5012 Г55о 12 Г^2

dt

dx

dy

dz

= m2+V)2;

AO = Л,Ро e~p2 ;

P

(5)

Поскольку правая часть уравнения (5) цилиндрически симметричная (зависит от поперечных координат х, у в комбинации г х2 + у2), то уравнение (5) также является цилиндрически симметричным

r

1

r

2

A. V. BOROVSKY, A. L. GALKIN

dS0 dt

dr

dSo

dz

m2 + (Ao(z-1)Po)2 e

2r 2

(6)

2p2

dSo „ . dSo „ . dSo

= Poi;

:po||;

дг ' дz ' и" дf 0

Амплитуда А0(|) описывает огибающую импульса. В данной постановке это медленная зависимость. Интересным является тот факт, что уравнение (6) не зависит от поляризации линейно-поляризованной волны. Такая зависимость возникает только при учете малых осцилляционных поправок. Предложенный метод назовем «методом усреднения действия Гамильтона-Якоби в лазерном поле».

2. Начальные и граничные условия. Уравнение (6) описывает плавное дрейфовое движение электронов. Рассмотрим случай, когда электроны перед лазерным импульсом покоятся. К уравнению (6) можно поставить нулевое начальное условие по времени, поскольку энергия и импульс начального электрона малы. Если расчет начинается в момент f = 0, то перед прохождением лазерного импульса

5о(0, г, z) = 0.

Равняться нулю также должны компоненты импульса:

^(0, Г, z) = Ро±(0, г, 2) = 0;

дг

дБ

-^(0, г, z) = Р0ц(0, г, z) = 0.

Электрон на оси не может обладать поперечным импульсом, так как он приобретается под воздействием пондеромоторной силы. При этом электрон уходит с оси

^ 0, z) = р0±(г = 0) = 0. дг

За пределами лазерного импульса электрон покоится (имеет малый физический импульс по условиям данного пункта), поэтому

дБ

г, z ^ ±оо) = ^(г ^ ±оо) = 0;

дБ

—0(f, г ^ +о,г) = Р0±(г ^ +оо) = 0.

дг

Можно также рассматривать ненулевые начальные условия.

3. Подготовка уравнения (6) к численному моделированию. Возвращаясь к размерным константам, запишем

1 (dSn

dSn

д5п

= m У

дf ) \ дг ) \дг

в2 К^К)2 е-

с2 2р2 в ' ^ = cf-г.

Обозначим

т = cf,

обезразмерим г, г, т на поперечную гауссову перетяжку

г г т

г = —, г = —, т = —,

Р0 Р0 Р0

а действие на величину тср0 —

б=-5^. тср0

Используем формулу (12) из статьи [3] и запишем выражение

-2 - Ш

A0(^) = 4l-Ja, а =

e Ir

В результате получим обезразмеренное УРГЯ

dS дт

dS_ дг

ddS

dz

= 1 + -

a

(т - z - zL )2

(7)

1+pz2

-pz2

• e

a= ^ в =

V zR J

tjC,

Po '

где — начальное смещение максимума лазерного импульса относительно фокальной перетяжки; /г — релятивитская интенсивность (см.: [3]). Используя выражение для рэлеевской длины, можно также записать

г^2.

1ПР0 )

Вторая экспонента в уравнении (7) определяет гауссову форму лазерного импульса по времени.

4. Уравнение, описывающее ускорение электронов вдоль оси лазерного пучка. Можно использовать УРГЯ также для описания ускорения электронов вдоль оси Ог. Для этого

Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.

2015, vol. 25, no. 3, pp. 526-532. ISSN 1993-3541 2015. Т. 25, № 3. С. 526-532. ISSN 1993-3541

MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS

в правой части уравнения (7) следует положить г = 0, а слева опустить производную дБ/дг = 0, получим выражение

^2

дТ

dz

= 1 + -

а

(т-z - zl)2

5. Метод «больших частиц» в лазерной физике бесстолкновительного электронного газа. Рассмотрим УРГЯ в формуле (6). Легко видеть, что

дБ0 ¡—2 2 2 Вс ^-д^ = \1т + тэф + Ро ;

г 2

т = А)(*- ^)Ро "7

тэф = л/2р е , где тэф представляет собой эффективную массу, соответствующую энергии осцилляций электрона в поле электромагнитной волны.

Перепишем уравнение (6) в следующем виде

д|У - №2 = т2 + тЭф2. (8)

Возьмем градиент от левой и правой частей уравнения

vi dS» dt

= 2idS» W*»

dt ) Idt

=YdYSo ]=_28iM

[dt A dt J [ dt V(VS0)2 =V(VS0-VS0) = = 2(VSo -V)VSo = 2(Po -V)Po, в результате получим

2s,.

P

dt

Учтем связь

+ 2(p -V)p0 = -Vm

эф

поэтому

p dt

+ (vo 'V)Po =-

2s

-Vm

эф

(9)

Уравнение (9), которое получается взятием градиента от выражения (8), есть уравнение переноса усредненного импульса в эйлеровой постановке. В лагранжевой постановке оно выглядит следующим образом:

dp»

1

= —-Vm dt 2sn э

тф = ~~(A0)2. (10)

Это есть уравнение дрейфового движения электрона в поле высокочастотной электромагнитной волны. Правая часть в формуле (10) представляет собой выражение для релятивистской пондеромоторной силы. При выталкивании электрона из лазерного пучка градиент отрицательный, поэтому правая часть положительна. К формуле (10) следует добавить уравнение для определения траектории

&о. dt

v;

(11)

Система уравнений (10)—(11) описывает усредненное (дрейфовое) движение электронного газа в поле лазерного импульса в лагранжевой постановке. Система позволяет решать задачу о движении электронного газа в рамках метода «больших частиц». Здесь «большой частицей» является лагранжевская ячейка электронного газа. В методе «больших частиц» для электронного газа без взаимодействия ячейки перепутываются, т. е. могут проходить друг через друга. Уравнения метода больших частиц с взаимодействием между ними для разреженной двухкомпонентной лазерной плазмы были рассмотрены в статье «Метод взаимодействующих частиц в релятивистской лазерной физике» [2]. Решения задачи в указанной работе не проводилось.

Метод усреднения действия перестанет работать для очень коротких лазерных импульсов, длина которых сравнима с длиной волны излучения:

X

^ < 10- = 100фс. с

6. Результаты численного решения усредненного релятивистского уравнения Гамиль-тона—Якоби (УРГЯ). В данной работе приведены результаты численного решения уравнения (8), реализована двухслойная неявная разностная схема типа «крест сверху» (рис. 1).

100

Рис. 1. Функция действия в момент времени т = 15

0

2

s

0

2

A. V. BOROVSKY, A. L. GALKIN

Решение получено методом простой итерации:

- сетка 100 х 100;

- значение времени т = 15;

- параметры лазерного импульса а = 1, в = 1, xL = 5, г]_ = 10;

- сетка Ьх = 0,02; Ьг = 0,1; Ьг = 0,25.

При нахождении функции импульса увеличена точность расчета производных. Для этого применена разностная формула Ньютона, согласно которой производная рассчитывается по четырем точкам — две точки слева, две справа. Неявная разностная схема при f > 10 дает некоторую шероховатость, которая появляется, когда фронт импульсов становится более крутым и переходит в режим опрокидывания. Для сглаживания решения в задачу вводилась искусственная вязкость согласно [5].

Расчет функции модуль импульса в момент времени т= 15 показывает, что распределение импульса на сетке г, г имеет кольцевую форму с ярко выраженным максимумом, а фокальная перетяжка лазерного импульса находится в точке г = 50 (рис. 2). Ускорение электронов происходит до больших значений импульсов и энергий, также как и их ускорение назад. Однако эти электроны имеют меньшие значения импульсов и энергий. Максимум импульса возникает под значительным зенитным углом к оси лазерного пучка. В принципе, данные расчеты позволяют определить углы, под которыми должны вылетать наиболее энергичные электроны. Это будет конус, направленный вперед под значительным зенитным углом.

Таким образом, в данной работе из строгого уравнения РГЯ усреднением по периоду лазерного излучения получено уравнение УРГЯ. Такое уравнение описывает дрейфовое движение электрона, на который действует релятивистская пондеромоторная сила. Получено выражение для пондеромоторной силы, возникающей для гауссова пучка. Уравнение УРГЯ справедливо

для импульсов, длинных по сравнению с длиной волны излучения. Строгое уравнение РГЯ следует использовать для импульсов, длина которых сравнима с длиной волны излучения. Рассмотрен переход для уравнения УРГЯ от эйлеровой к ла-гранжевой постановке. При этом получено выражение для релятивистской пондеромоторной силы, действующей на электрон в поле лазерного импульса.

Рис. 2. Функция модуль импульса в момент времени т = 15

Проведено численное исследование уравнения УРГЯ в эйлеровой постановке. Решалась T2D задача. Находились функция действия S(f, г) и функция Р(^ г) равная модулю вектора импульса. Решение получено при помощи двухслойной неявной разностной схемы типа «крест сверху». Производные рассчитывались при помощи разностных формул Ньютона, повышенной точности, известных в вычислительной математике. В расчеты вводилась искусственная вязкость согласно рекомендациям книги А. А. Самарского и Ю. П. Попова.

Расчеты показывают, что в фокусе длинного гауссова лазерного импульса горячие электроны выбрасываются в широкий конус в основном под большими углами к оси лазерного импульса.

Список использованной литературы

1. Боровский А. В. Высокочастотная восприимчивость газа анизотропно поляризуемых дипольных молекул / А. В. Боровский, В. В. Коробкин, Ч. К. Мухтаров // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1991. — Т. 99, вып. 3. — С. 715-720.

2. Боровский А. В. Метод взаимодействующих частиц в релятивистской лазерной физике / А. В. Боровский, П. А. Мутовин // Применение математических методов и информационных технологий : сб. науч. тр. — Иркутск : Изд-во БГУЭП, 2011. — Вып. 10. — С. 34-39.

3. Боровский А. В. Математические модели, основанные на релятивистском уравнении Гамильтона-Якоби в лазерной физике / А. В. Боровский, А. Л. Галкин // Известия Иркутской государственной экономической академии. — 2015. — Т. 25, № 1. — С. 122-129. — йО! : 10.17150/1993-3541.2015.25(1).141-148.

4. Ландау Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1973. — 208 с.

5. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.

2015, vol. 25, no. 3, pp. 526-532. ISSN 1993-3541 2015. Т. 25, № 3. С. 526-532. ISSN 1993-3541

MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS

6. Quesnel B. Theory and simulation of the interaction of ultraintense laser pulses with electrons in vacuum / B. Quesnel, P. Mora // Physical Review. — 1998. — Vol. 58, № 3. — P. 371.

References

1. Borovskii A. V., Korobkin V. V., Mukhtarov Ch. K. High-sensitivity susceptibility of gas to anisotropic polarized dipole molecules. Zhurnal eksperimental'noi i teoreticheskoi fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1991, vol. 99, iss. 3, pp. 715-720. (In Russian).

2. Borovskii A. V., Mutovin P. A. The method of interacting particles in the relativistic laser physics. Primenenie matem-aticheskikh metodov i informatsionnykh tekhnologii [Mathematical methods and information technologies application in economics]. Irkutsk, Baikal State University Economics and Law Publ., 2011, iss. 10, pp. 34-39. (In Russian).

3. Borovskii A. V., Galkin A. L. Mathematical models based on the relativistic Hamilton-Jacobi equation in laser physics. Izvestiya Irkutskoy gosudarstvennoy ekonomicheskoy akademii = Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2015, vol. 25, no. 1, pp. 122-129. DOI : 10.17150/1993-3541.2015.25(1).141-148. (In Russian).

4. Landau L. D., Lifshits E. M. Mekhanika [Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 208 p.

5. Samarskii A. A., Popov Yu. P. Raznostnye metody resheniya zadach gazovoi dinamiki [Difference methods for solving gas dynamics problems]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 352 p.

6. Quesnel B. and Mora P. Theory and simulation of the interaction of ultraintense laser pulses with electrons in vacuum. Physical Review, 1998, vol. 58, no. 3, p. 371.

Информация об авторах Боровский Андрей Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информатики и кибернетики, Байкальский государственный университет экономики и права, 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, e-mail: [email protected].

Галкин Андрей Леонидович — доктор физико-математических наук, заведующий сектором, Институт общей физики РАН им. А. М. Прохорова, 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 38, e-mail: [email protected].

Библиографическое описание статьи Боровский А. В. Численное моделирование ускорения электронов в фокусе ультракороткого лазерного импульса с применением усредненного релятивистского уравнения Гамильтона-Якоби / А. В. Боровский, А. Л. Галкин // Известия Иркутской государственной экономической академии. — 2015. — Т. 25, № 3. — С. 526-532. — DOI : 10.17150/1993-3541.2015.25(3).526-532.

Authors

Andrei V. Borovsky — Doctor habil. (Physical and Mathematical Sciences), Professor, Baikal State University of Economics and Law, 11 Lenin St., 664003, Irkutsk, Russian Federation, e-mail: [email protected].

Andrei L. Galkin — Doctor habil. (Physical and Mathematical Sciences), Professor, General Physics Institute of RAS n.a. A.M. Prokhorov, 38 Vavilova St., 119991, Moscow, Russian Federation, e-mail: [email protected].

Reference to article

Borovsky A. V., Galkin A. L. Numerical simulation of electrons acceleration in the focus of an ultrashort laser pulse with the averaged relativistic Hamilton-Jacobi equation use. Izvestiya Irkutskoy gosudarstvennoy ekonomicheskoy akademii = Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2015, vol. 25, no. 3, pp. 526-532. DOI: 10.17150/1993-3541.2015.25(3).526-532. (In Russian).