CC BY
25
УДК 538.69.01
ТИМОФЕЕВ Владимир Борисович, соискатель, старший преподаватель кафедры естественно-технических дисциплин Якутского государственного университет имени М.К. Амосова. Автор 43 научных публикаций, в т.ч. 5учебно-мето-дических работ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ В ОКРЕСТНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ НАМАГНИЧЕННОГО ШАРА
В статье численно решена самосогласованная краевая задача для системы двух МГД-уравнений. Получены профиль скорости плазмы и распределение магнитного поля в окрестности шара. Решение для угловой скорости плазмы имеет максимум в экваториальной области, превышающий угловую скорость вращения шара.
Намагниченный шар, вращение, плазма, численный метод
В последнее время, в связи с накоплением экспериментального материала по плазмосфе-рам астрофизических объектов, появился цикл работ, в которых предложены математические модели плазмосферы и исследованы их свойства [1-3]. В основу этих моделей положено вращение однородно намагниченного шара в плазме с осью вращения, параллельной магнитному моменту шара. Подобная модель рассматривалась в более ранних работах для шара, вращающегося в вязкой проводящей жидкости [4, 5]. Во всех этих работах система стационарных МГД-уравнений, описывающая скорость движения среды, электромагнитное поле и ток, решалась приближенными аналитическими методами. В то же время отсутствуют работы, применяющие численные методы к решению этой задачи. Из данных по торможению спутников в плазмосфере Земли следует, что на высотах около 300 км существуют области, где
скорость движения плазмы может превышать угловую скорость вращения Земли. В работах [2, 3] предпринята попытка объяснить эффект «супервращения» действием амперовских сил на токи в плазме. Однако полученное аналитическое решение самосогласованной задачи не содержит этого эффекта [3]. В предлагаемой работе получено численное решение самосогласованной задачи о вращении намагниченного шара в однородной изотропной плазме при малых числах Рейнольдса и произвольных значениях числа Гартмана. Движение плазмы в окрестности вращающегося намагниченного шара при малых числах Рейнольдса описывается системой двух связанных дифференциальных уравнений в частных производных. Краевая задача имеет наиболее простой вид в сферической системе координат, обладает аксиальной симметрией и симметрией относительно экваториальной плоскости шара. Одно из МГД-
уравнении описывает поле скоростей в плазме, другое - индуцированное магнитное поле [5]:
д2 а ^ 4 да ^ 1 дг2 г дг г2
f д2 о а
3 да
л
На
дв2 tgd дв
В
1 дВ 1 дВ 3
-------------1------------1-----------
tgd дг 2г дв 2 rtgO
д2В 2 дВ 1
г ^---------------2
дг г дг г
д1В 1 + ■
дВ
дв tgQ дв
= О
В
г2 sin2 в
+
+ На
sin в
1
да 1 да ■ +
tgd дг 2г дв
Здесь т - угловая скорость вращения плазмы; В - безразмерное индуцированное магнитное поле; г, в - сферические координаты; На -число Гартмана. Шар - идеальный проводник, граничные условия на поверхности шара имеют вид в безразмерных переменных:
дБ Б Л
а(г,в) = 1, ——I—- U при r= 1.
дг г
На бесконечности граничные условия нулевые:
а (г,в)^ 0, В(г,в) ^ 0 при г ^ да .
Переменные в уравнениях не разделяются, поэтому применение численных методов представляется актуальным. Известное аналитическое решение гидродинамической задачи о вращении шара в вязкой жидкости показывает сильную зависимость угловой скорости жидкости от координаты г и отсутствие зависимости угловой скорости от координаты в [6]. Включение магнитного поля шара приведет к появлению зависимости угловой скорости проводящей жидкости от координаты в, однако эта зависимость будет слабой, т.к. граничные условия на поверхности шара (условия прилипания) не меняются. Эти соображения позволяют выбрать метод прямых в качестве численного метода решения задачи. Основная идея метода прямых
состоит в сведении уравнении в частных производных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В методе прямых производные по одной координате заменяются их сеточными представлениями. Для полученной таким способом системы обыкновенных дифференциальных уравнений численно решается задача Коши. Далее решение задачи Коши сводится к решению исходной краевой задачи методом стрельбы [7]. Гладкость искомых функций по координате в позволяет ограничиться малым числом полос. Заменяя производные по координате в в МГД-уравнениях их сеточными представлениями, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dal = х = у
dr
dX. 4Xf 1
— +--------1 + —
dr г г
dr
- 2®i + ®l-1 h2
+
3
®,-+i - -i
Ha
tg (ih) 1
2h
tg (ih) dr 2r
2 h
1 B>
2 rtg (ih)
- 0
dY. 2Y. 1
— +— +~i dr r r
Bt+1 - 2Bi + Bi_x
1 BM - Bt_, tg(ih) 2h
sin2 (ih)
Bt
r2 sm
+ Ha-
tg(ih) dr
in2 (ih) da,
- +
+ Д.Ч1 - Щ-1
2r 2h где h = p/2n - шаг сетки,
и - число полос.
- О
Задача решалась в области: в = 0 ^ ж I 2; г = 1^4. Для замыкания системы уравнений использовалась симметрия задачи по угловой координате относительно экватора и полюса шара:
В1 = в-и
Вп_j =- Bn+i.
Приведем отдельные численные решения, полученные для 6 полос и На =18. На рис. 1 и 2 показаны численные решения для угловой скорости плазмы и индуцированного магнитного поля в окрестности полюса и экватора шара соответственно.
На рис. 3 показан профиль угловой скорости плазмы в экваториальной плоскости шара. Вблизи поверхности отчетливо виден максимум угловой скорости плазмы, превышающий угловую скорость вращения шара (эффект супервращения).
Граничные условия для угловой скорости и индуцированного магнитного поля на поверхности шара выполнены с погрешностью менее 10%.
Алгоритм решения задачи состоял из нескольких процедур. Сначала вводились значе-
ния производных и шаг пристрелки на внешней границе области для скорости плазмы и магнитного поля. Далее система обыкновенных дифференциальных уравнений прямых решалась методом Рунге-Кутта и находились значения скорости и поля на поверхности шара. Следующая процедура состояла в определении номеров прямых с наибольшим (по модулю) отклонением скорости и магнитного поля от заданных значений на границе. Затем определялся знак поправок к производным на этих прямых и вводились новые параметры стрельбы. Последняя процедура циклически повторяла все процедуры до выполнения граничного условия на поверхности шара с заданной точностью. Программа написана на языке Maple с использованием пакетов прикладных программ. Для повышения устойчивости алгоритма стрельба велась с внешней границы, когда коэффициенты в уравнениях минимальны, а в качестве начальных параметров стрельбы использовалось решение задачи при меньших значениях числа Гартмана.
Шййв
Рис. 1. Угловая скорость плазмы omega[l](r) и индуцированное магнитное поле #[1](г) в полярной области (0=15°) (слева направо)
отеда|5](!)
Рис. 2. Угловая скорость плазмы omega[5](r) и индуцированное магнитное поле #[5](г) в экваториальной области (в — 75°) (слева направо)
Рис. 3. Профиль угловой скорости плазмы omega[6](r) в экваториальной плоскости шара (в — 90°)
Список литературы
1. Малое Д.Е., Чугунов Ю.В. Об электродинамике вращающихся плазмосфер планет в дипольном магнитном поле II Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. 40, № 1-2. С. 232-249.
2. СолдаткинА.О., Чугунов Ю.В. Электрические поля и токи в модели планетарного генератора//Там же. 2000. Т. 43, №6. С. 483-495.
3. Их же. Стационарные осесимметричные конфигурации слабоионизированной плазмы в поле вращающегося намагниченного шара// Физика плазмы. 2003. Т. 29, № 1. С. 72-84.
4. DattaS. Steady Rotation ofMagnetized Sphere in Viscous Conducting Fluid IIJ. Phys. Soc. Japan, 19, 1964,3,392.
5. Ромащенко Ю.А. О конвективном движении вязкой проводящей жидкости в области вращающегося намагниченного шара//Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, №2. С. 193-200.
6. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Гидродинамика. М., 1986.
7. Пирумов У.Г. Численные методы. М., 2004.
Timofeev Vladimir
NUMERICAL MODELING OF HOMOGENEOUS ISOTROPIC PLASMA CURRENT IN THE VICINITY OF ROTATING MAGNETIZED SPHERE
Self-consistent boundary-value problem for the system of two MGD-equations is numerically solved in the article. The structure of plasma speed and distribution of an induced magnetic field in the vicinity of the sphere are obtained. The solution for the angular speed of plasma has a maximum in the equatorial area, exceeding the angular speed of the sphere rotation.
Контактная информация: e-mail\ [email protected], [email protected]
Рецензент- Попов B.H., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
