Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках Текст научной статьи по специальности «Физика»

Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках

И.Ф. Головнев, Е.И. Конева, В.М. Фомин

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

На примере трехмерного кристалла меди исследован процесс разрушения при постоянной скорости деформации. Для численного расчета использована пропагаторная модификация метода молекулярной динамики.

Проведен анализ критериев разрушения на микроуровне, показано, что наилучшим является пространственно-энергетический критерий. На макроуровне получена зависимость критической деформации, тензора напряжений на подвижной границе и времени до разрушения от скорости подвижной границы. Дано физическое обоснование немонотонного поведения этих характеристик в различных интервалах скоростей деформации.

Показано, что кристалл при быстром нагружении выдерживает значительно большие нагрузки, чем в статике, а динамическая прочность зависит от “истории” процесса нагружения.

1. Введение

В настоящее время в континуальном подходе к решению проблемы динамического разрушения твердых тел остается открытым вопрос о критерии разрушения. Анализ экспериментальных данных выявил ряд основных противоречий, которые невозможно объяснить, пользуясь квазистатическими критериями:

1. При быстром нагружении материалы выдерживают большие нагрузки, чем в статике.

2. Динамическая прочность зависит от способа внешнего воздействия, т.е. от “истории” нагружения.

3. Разрушение может начаться, когда локальное нагружение уже начинает уменьшаться.

Попытка введения пространственного критерия Ней-бером и Новожиловым [1, 2] или временного критерия Никифоровским и Шемякиным [3] не позволила снять эти противоречия. В связи с этим Морозовым и Петровым [4] был предложен пространственно-временной критерий разрушения, в котором содержатся некие пространственно-временные параметры, определяемые феноменологическим путем. Таким образом, хотя этот критерий и позволяет устранить ряд противоречий, остается открытым вопрос физического толкования этих величин и их получения из первых принципов. Особенно это касается бездефектных материалов, где пространственно-временные параметры имеют субатомную природу. В связи с этим представляет интерес анализ

процесса динамического разрушения с помощью метода молекулярной динамики.

В настоящей работе моделировался тестовый эксперимент разрыва стержня при постоянной скорости деформации.

2. Физическая система

В качестве модели стержня использован трехмерный кристалл меди с числом пх, пу и п2 кристаллических ячеек вдоль соответствующих осей координат. Численные расчеты проведены для значений пх = 20, пу = п2 = 3. Такой выбор параметров обусловлен, с одной стороны, требованием разрешимости структуры фронта волны возмущения, распространяющейся вдоль оси X, а с другой стороны, экономией времени счета на компьютере.

Взаимодействие атомов меди в кристалле описывается многочастичным потенциалом Джонсона [5]:

и = Е F (р,)+1 ),

, 2 г 7

р, = Е/ (г X

/(г) = /е ехР[-Р(г/Ге - 1)],

ф(г) = феехр[-у(г/ге -1)],

F (р) = - Ес (1 - 1п х) х - 6фе у,

© Головнев И.Ф., Конева Е.И., Фомин В.М., 2001

г, а 10 -

о Ъ, А ю А

ю

10

15 X, А

15 X, А

Рис. 1. Критическое значение потенциальной энергии взаимодействия в ближайших плоскостях (а); критическая относительная деформация, когда плоскости расположены внутри кристалла (б); критическое значение потенциальной энергии взаимодействия в ближайших плоскостях (в); критическая относительная деформация, когда одна из плоскостей является граничной (г)

где X = (р/ре)а/р; у = (р/ре)у/р; а Р> у, /, Фе> Е — константы; ге = а/42 — равновесное расстояние между атомами; р е = 12 /е.

Закрепление на стенках моделируется следующим образом. Атомы идеальной решетки, находящиеся на торцах параллелепипеда, помещаются в минимум трехмерного потенциала Морзе. В результате потенциал неподвижной (левой) стенки имеет вид:

^(г,) = А + А + А

е-2а8(х,-х-) - 2е-а8(х,-х«)

2а,(У, - У0) - 2е-а з( У-- У0)

+

■2а8(-^°) - 2е-а8(-z0)

а условие движения правой стенки вдоль оси X со скоростью и0 обусловило вид соответствующего потенциала:

^(г,-) = А

+ А + А

е-2а8(х,-(х, +и01)) - 2е-а8(х,-(х, +и0*))

е -2а 8( У, - У0) - 2е-а 8( У, -у?)' +

'2а8 (-20) - 2е-а8 (-2,0)

Здесь (х0, У0, 20) — это координаты атомов идеального кристалла при нулевой температуре, лежащих на гранях около стенок. Слагаемое и0£ у координат х0 правой стенки обеспечивает ее движение вдоль оси X со скоростью и0. Суммирование ведется по атомам соответствующей грани. Таким образом, потенциал правой стенки является нестационарным. Использованы следующие начальные данные: атомы располагаются в их равновесных положениях в идеальном кристалле, а их импульсы приравниваются нулю, что соответствует нулевой температуре.

Для расчета траекторий атомов в фазовом пространстве использована пропагаторная механика [6]. Численная схема базируется на разложении оператора эволюции вплоть до квадратичных по временному шагу т слагаемых. Шаг по времени т во всех расчетах был равен 1016 с. Это обеспечивает численную погрешность по энергии при и0 = 0 менее 108 % на временном шаге, что позволило провести количественный анализ исследуемого явления.

3. Выбор критерия разрушения на микроуровне

Проведенные ранее методические расчеты для одномерного кристалла позволили сделать вывод, что наибо-

+

+

г, А ' ю - Ыт = 6000 в

5 J

0 20 40 60 X, А

Рис. 2. Структура кристалла в плоскости Х2 для трех моментов времени: N т = 2 000 (а); 5 500 (б); 6 000 (в). Скорость свободной границы и0 = 0.5 км/с, шаг по времени т = 1016 с

лее удобными параметрами для этих целей являются асимптотическое значение потенциальной энергии взаимодействия атомов в области разрыва, когда силы равны нулю, и соответствующее значение относительной деформации. Для нахождения этих величин проведены расчеты потенциальной энергии взаимодействия атомов в соседних плоскостях в зависимости от расстояния между плоскостями в квазистатическом пределе. Рассмотрены два случая: когда плоскости расположены внутри кристалла (рис. 1, а, б) и когда одна из плоскостей является граничной (рис. 1, в, г). В обоих случаях критическая относительная деформация составляет около 32 %, а значения критических энергий приведены на графиках. Соответствующие квазистатические пределы для нагрузок разрушения составляют 26.88 и 35.28 ГПа соответственно. Проведенный численный эксперимент и полученные значения соответствуют ква-зистатическому разрушению, и поэтому критерий необходимо было апробировать для случая динамического разрушения.

На рис. 2 для трех моментов времени приведена структура кристалла (черные кружки) в плоскости XZ. На первом графике (рис. 2, а) разрушения еще нет, на втором (рис. 2, б) разрушение началось между второй и третьей плоскостями около подвижной стенки, и, наконец, на третьем (рис. 2, в) разрушение между этими же плоскостями достигло значительных размеров. В эти же моменты времени на рис. 3 приведено распределение потенциальной энергии взаимодействия атомов между различными плоскостями (черные кружки). Для удобства здесь же прямой линией отмечено значение критической энергии. Как видно, ее величина значительно меньше значения потенциальной энергии во многих мезоячейках уже до разрушения. Это объясняется тем, что она получена в квазистатическом пределе раздвижения идеальных кристаллических плоскостей, а в случае динамического разрушения имеются смещения атомов из положения равновесия в перпендикулярной плоскости YZ, которые и обусловили значительное увеличение потенциальной энергии. Это приводит

Рис. 3. Распределение потенциальной энергии взаимодействия атомов между различными плоскостями в плоскости XZ для трех моментов времени: ^т = 2 000 (а); 5 500 (б); 6 000 (в). Скорость свободной границы и0 = 0.5 км/с, шаг по времени т = 1016 с

к тому, что условие превышения потенциальной энергией соответствующего критического значения не может быть использовано в качестве микрокритерия динамического разрушения.

На рис. 4 приведены значения относительной деформации между атомными плоскостями в те же моменты времени. Как видно, эта характеристика является наиболее удобной для фиксации момента разрушения. Действительно, начало разрушения, которое визуально фиксируется на картине кристалла, совпадает с моментом достижения величиной 8 критического значения в соответствующей мезоячейке. Особенно ярко преимущество такого контроля начала разрушения видно для меньших скоростей, когда волна возмущения пробежала по всему кристаллу и отразилась от неподвижной стенки. На рис. 5 приведены структура кристалла, распределение потенциальной энергии и относительной деформации в момент разрушения для скорости и0 = = 450 м/с. Как видно, разрушение происходит между

второй и третьей плоскостями, 8 в этой мезоячейке достигает в этот момент критического значения, а максимальное значение потенциальной энергии имеется между третьей и четвертой плоскостями. Это связано с образованием перешейка в третьей плоскости и повышением потенциальной энергии за счет смещения атомов из положения равновесия в плоскости YZ. Таким образом, в дальнейших расчетах в качестве критерия разрушения использовалось условие достижения относительной деформацией между плоскостями критического значения.

4. Зависимость макрохарактеристик разрушения от скорости деформации

Опираясь на полученный критерий, были проведены массовые расчеты макрохарактеристик разрушения в интервале скоростей подвижной стенки от 100 м/с до 1 км/с. На рис. 6 представлены тензор напряжений а хх на подвижной стенке, относительная деформация крис-

Рис. 4. Значения относительной деформации между атомными плоскостями в плоскости Х2 для трех моментов времени: ^т = = 2000 (а); 5 500 (б); 6000 (в). Скорость свободной границы и0 = 0.5 км/с, шаг по времени т = 1016 с

талла как целого, время до разрушения, отнесенное к времени прохождения звуковой волны по всей длине кристалла.

При малых скоростях волна возмущения (и0 < < 200 м/с) до разрушения успевает пробежать по кристаллу несколько раз. При этом ее энергия диссипирует во внутреннюю энергию кристалла, в основном в ее потенциальную часть, до достижения критического значения. Разрыв при этом происходит, как правило, на неподвижной стенке при отражении волны. Время до разрыва монотонно уменьшается, т.к. с увеличением скорости увеличиваются амплитуда волны и доля диссипи-руемой энергии при однократном прохождении волны по мезоячейке.

При скоростях от 200 до 250 м/с время разрушения практически не меняется. Волна в этом интервале пробегает один раз до неподвижной стенки и возвращается

назад, испытывая при этом два отражения до разрушения кристалла. Относительная деформация растет пропорционально скорости.

В интервале от 250 до 450 м/с энергии волны уже достаточно для возбуждения внутренних степеней свободы мезоячеек до критического значения при однократном прохождении кристалла. Время до разрушения состоит из времени прохода волны и времени отражения от неподвижной стенки и почти не зависит от скорости. Относительная деформация при этом слабо растет пропорционально скорости, а разрушение происходит у неподвижной стенки.

В случае, если скорость превышает 450 м/с, разрушение начинается сразу около подвижной стенки. Время разрушения обусловлено только временем диссипации энергии волны во внутренние степени свободы кристалла.

0 20 40 60 80 Хс, А

Рис. 5. Распределение макрохарактеристик по кристаллу при скорости нагружения ио = 450 м/с, шаг по времени т = 1016 с, в момент времени N т = 25 200, что соответствует наступлению разрушения: структура кристалла в плоскости Х2 (а); распределение потенциальной энергии (б); распределение относительной деформации в момент разрушения (в)

Если функциональные зависимости времени разрушения, относительной деформации и увеличение потенциальной энергии от скорости коррелируют между собой, то этого нельзя сказать о тензоре напряжений а хх на подвижной стенке. Единственное, можно сделать вывод о том, что при малых скоростях его значение совпадает с теоретическим квазистатическим пределом

нагрузки, а при больших — его значение на порядок превышает этот предел, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Таким образом, наиболее удобным критерием разрушения на микроуровне является пространственный критерий, в основе которого лежит энергетическое представление возникновения новой поверхности.

1 о Н в

4 -

п

и 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -

0 0.2 0.4 0.6 0.8 V0, км/с

Рис. 6. Распределение макрохарактеристик по кристаллу в зависимости от скорости деформации: тензор напряжений ахх на подвижной стенке (а); относительная деформация кристалла как целого, точки показывают около какой границы происходит разрушение: верхние соответствуют движущейся стенке, нижние — закрепленной (б); время до разрушения, отнесенное к времени прохождения звуковой волны по всей длине кристалла (в)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования Российской Федерации № Е00-4.0-79.

Литература

1. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехиздат,

1947.- 204 с.

2. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикл. мат. и мех. - 1969. - Т. 33. -Вып. 2. - С. 212-222.

3. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1979. - 271 с.

4. МорозовН.Ф., ПетровЮ.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. - Л.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. -132 с.

5. Johnson R.A. Alloy models with the embedded-atom method // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - P. 12554-12559.

6. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев A.A., Фомин В.М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. -С. 21-33.