CC BY
11
4. Манцсров Д.И. Среда УепПег-КО: верификация решений задач по математике. "Компьютерные инструменты в образовании". - Санкт-Петербург, Автономная некоммерческая организация "Центр Информатизации Образования "КИО", 2006. -С. 36-41
5. http://www.osp.ru/os/1999/04/179785/_pl.html: Надежда Куцевич. Компонентные технологии в системах промышленной автоматизации
6. The JavaBeans 1.01 specification. - Sun Microsystems. July, 1997.
Канунникова E.A., Колтунов Jl. И., Потапенко А.H.
Численное моделирование распределенных
электротехнических систем в полубезграничных областях на основе метода инверсии
Введение
В прикладных исследованиях электротехнических систем встречается необходимость расчета электрических полей (ЭП) для высоковольтных линий электропередач (ЛЭП) переменного и постоянного тока [1.2], для систем молниезащит [3], для высоковольтных электростатических систем типа однозонных и двухзонных электрофильтров в системах очистки газа [4, 5], распределенных систем ионизации воздуха типа модификации "Аэроион-Про" [6] и др.
В исследованиях электрических полей ЛЭП одним из основных показателей, определяющих степень влияния высоковольтных ЛЭП на биологические объекты, является уровень напряженности ЭП вблизи поверхности земли. для систем молниезащит - особенности распределения ЭП относительно стержневых молниеотводов, для распределенных систем ионизации воздуха необходимо в окружающем пространстве определять распределения потенциала и напряженности поля, так как на коронирующие электроды подается потенциал высокого напряжения и др. Задачи расчета ЭП в распределенных электротехнических системах типа [1-3] относятся к внешним краевым задачам в полубезграничных областях, также к ним можно отнести и исследования распределенных систем ионизации воздуха [6] с учетом соотношений размеров, например для спортивных залов:
Я,/Я <1000, Н1с1< 100.
I Л 3
где Н1 - расстояние между противоположными стенами зала; Я - расстояние от ко-ронирующего провода до стены; с1 - диаметр провода.
Решения внешних краевых задач связаны с определенными сложностями, и поэтому для их преодоления предлагаются новые методы, среди которых метод полос [7], метод точных искусственных граничных условий [8], метод квазиравномерных сеток [9]. метод инверсии для численного решения внешних краевых задач [10] и др. В этой работе для численного моделирования распределенных электротехнических систем в полубезграничных областях используется метод [10] в виде модифицированного метода инверсии для полубезграничных сред (МИПБС). При этом в [10] показывается, что в численном методе моделирования применяется переход от исследуемой области О к составной из Э'и О', причем при переходе от О' до О'с помощью инверсии сохраняется шаблон расчетной схемы в силу свойства конформных отображений сохранения углов и постоянства растяжений.
1. Постановка задач для исследования распределенных электротехнических систем
1.1. Математическая модель для исследования ЭП высоковольтной линии электропередачи на примере ЛЭП (СаИога Вах.ча)
ЛЭП представляет собой высоковольтную биполярную линию постоянного тока мощностью 1920 МВт и длиной 1420 км, состоящей из двух линий напряжением +533 кВ и-533 кВ, расположенных на расстоянии 1 км [2]. т.е. их электрические поля не влияют друг на друга. Схема ЛЭП постоянного тока показана на рис. 1а и соответствующая ей схема моделирования - на рис. 16. Определяется ЭП одной линии ЛЭП с расщепленным полюсом Ар, состоящим из
четырех проводов бесконечной длины. Полюс расположен в полубезграничной области над проводящей поверхностью земли Zk, причем грозозащитный провод находится над центральной частью полюса (см. рис. 1а). Исходные условия и обозначения следующие: высота подвеса до центральной части расщепленных проводов ЛЭП относительно земли Н/ = 8.55 м, расстояние между проводами / = 0.45 м. радиус провода Rr = 0.0159 м, эквивалентный радиус расщепленных проводов R = 0.215 м, высота расположения грозозащитного провода над центральной частью расщепленных проводов Я, = 2,45 м, радиус грозозащитного провода R, = 0,0088 м [2]. Границы на схеме моделирования обозначены в виде Г.
Cahora Bassa (а) и схема для ее моделирования (о)
Внешняя краевая задача сводится к решению уравнения Лапласа [11] в некоторой области D(x, у):
ДЧ/ = 0. (1)
Д - оператор Лапласа.
Граничные условия с учетом оси симметрии задачи следующие:
• на поверхности земли Zk. (граница Г,):
• на границе Г»:
v(co) = 0;
• на оси симметрии (граница Г4):
(2)
(3)
R,
■У
R,
+ | +
им
7777777777777777777777
а
ду/дп = 0; (4)
• на грозозащитном проводе (граница
(5)
(6)
у) = 0;
• на проводах (границы Г,г Г,,):
\|/(х, у) = чiv где D(x, у) - расчетная область, ограниченная границами Г,, Г,,, Г^, Г^, Г4, Гх; Г, - внутренняя граница в области D(x, у) (искусственная граница для внешней краевой задачи с учетом применения численного моделирования на основе МИПБС); Гоо - условная граница на бесконечности; - заданный потенциал на расщепленных проводах.
С учетом применения модифицированного МИПБС для плоско-параллельных задач исследуемая область D(x,y) для полубезграничных областей может быть в виде квадрата, прямоугольника и др. (с возможностью упрощения применяемого численного метода решения задачи). Пусть, например, некоторая искусственная область Dk(x, у), входящая в состав области D(x, v), имеет форму четверти круга с радиусом R с исходными границами Г,, Г,,, Г„. Г,,, Г,. Г4. Для реализации предлагаемого метода необходима дополнительная область D\{x,y) такого же размера, как и Dk(x,y), причем граница Г, - общая граница этих областей. Согласно [10] часть исходной области D(x, v), находящейся между границами Г, и Гоо, отображается на область
б
Рис. 1. Исходная схема высоковольтной линии постоянного тока
D\(x, у) с учетом метода инверсии. В узлах на границе области D'k(x,y), расположенной по ее диаметру, присваивается нуль, что совпадает со значением потенциала у на границе Г, области Dk(x, >•) и на бесконечности Гоо.
1.2. Математическая модель для исследования ЭП на примере трехфазной ЛЭП напряжением 735 к В (канадской компании "Hydro-Quebec ")
Схема ЛЭП напряжением 735 кВ показана на рис. 2а соответствующая ей схема моделирования - на рис. 26. Исходные условия следующие: схема расположения фаз горизонтальная, в каждой фазе по 4 провода с расстоянием между ними / = 0,457 м. высота подвеса фаз Я, = 27.43 м. радиус проводов расщепленной фазы /?, = 0,0153 м, расстояние между центрами фаз /, = 13,72 м. высота расположения грозозащитных проводов над центрами фаз Я, = 12,8 м. расстояние между грозозащитными проводами /, = 18 м. радиус грозозащитных проводов = 0,0061 м [7]. (На рис.2 в jpg вместо L используется !).
Внешняя краевая задача также сводится к определению поля потенциала у и напряженности поля. т.е. предполагается стационарность электромагнитных полей и применение уравнения Лапласа в некоторой области D(x, у) с учетом того, что для трехфазной ЛЭП расчеты выполнялись для момента времени t. при выполнении одного из условий [7], а именно на средней фазе U1 = 0. на крайних фазах (72, и Ub соответственно равны 624,75 В и -624,75 В.
R.
+ ! + + i +
Поле потенциала у в области D(x,y) определяется из уравнения (1) с учетом симметрии задачи, граничных условий (2)—(4) и трех дополнительных (см. рис. 26):
• на проводах расщепленной фазы (границы Г21, Г„):
M/(-v. у) = U\ : (7)
• на проводах расщепленной фазы (границы Г Г Г Г )•
23' 24' 25' 26''
у) =02; (8)
• на грозозащитном проводе (граница
V)1(Х. у) = 0; (9)
где D(x, v) - расчетная область, ограниченная границами Гг Г4, Гоо Г,, - Г,7, Г, - внутренняя граница в области D(x,y) (искусственная граница для внешней краевой задачи с учетом применения модифицированного МИПБС на основе [10]).
1.3. Математические модели для исследования ЭП ионизатора воздуха и стержневого молниеотвода системы молниезащиты
Ионизаторы типа "Аэроион-Про" [6] предназначены для создания в больших помещениях отрицательных аэроионов, представляют собой тонкий провод, расположенный по периметру помещения вблизи потолка, подключенный к отрицательному потенциалу высоковольтного блока. Схема для моделирования этого типа ионизатора показана на рис.За.
Системы молниезащит в основном содержат молниеотводы, токоотводы-проводники и за-
+ ! + +I+-1
! L, !
'//У///////////////////////////////////////////////,
Г,
а б
Рис. 2. Исходная схема ЛЭП напряжением 735 кВ (а) и схема для ее моделирования (б)
землители. Среди систем молниезащит можно выделить молниеотводы стержневого типа, схема для моделирования которого показана на рис. 36.
Г,
с учетом части сферы сводится к определению поля потенциала у и напряженности поля в области D(x,y,~) на основе уравнения Лапласа ( 1 ) при следующих условиях:
б
Рис. 3. Схемы моделирования распределенной системы ионизации воздуха (а) и стержневого молниеотвода системы молниезащиты (о)
Краевая задача (см. рис. 3, а) для распределенной системы ионизации воздуха с учетом плоско-параллельной постановки сводится к определению поля потенциала \\i на основе уравнения Лапласа ( I ) в исследуемой области Dix,у), как, например, в [12]. при следующих условиях:
• на границах Г, и Г,:
v|/(.v, v) = 0; (10)
• на границе Гоо:
v|/(co) = 0; (11)
• на границе Г4:
V(.v, у) = \\i в (12)
Здесь Dix. у) - расчетная область с границами Г,, Г2, Г4, Гоо; Г, - внутренняя граница в области D(x. у) (искусственная граница для этой краевой задачи с учетом использования модифицированный МИПБС); ув - потенциал на короннрующем проводе.
Для расчета систем молниезащит принят подход [13] с возможностью определения ЭП в окрестностях стержневых молниеотводов, при котором вместо объемных зарядов на облаке задается потенциал и принимается напряженность поля в пределах Еп = 1 В/м и менее. Краевая задача (см. рис. 36) в трехмерной постановке
• на границе Г( и на заземленном стержне (границе Г4):
yix,y,:) = 0; (13)
• на границе Гоо:
\|/(оо) = 0; (14)
• на границах Г,. Г,:
cty/dw = 0; (15)
• на границе Г;
у(х, у, г) = v|/c; (16)
где Dix. у, :) - расчетная область, ограниченная Г,, Г„ Г3, Г4, Г6, Гоо; Г5 - внутренняя граница в области Dix, у, г) (искусственная граница с учетом МИПБС); \\ic - потенциал на стержне.
Для трехмерной задачи с учетом модифицированного МИПБС некоторая выделенная область DJx, у, г), входящая в состав области Dix, у, г), имеет форму некоторой части полусферы с радиусом и с границами Г, - Г6 (с учетом упрощения численного моделирования область DJx, у, z) может быть в виде куба, параллелепипеда и др.). Для реализации этого метода необходима дополнительная область D'm(x, у, :) с учетом вида области D {x, у, :) для того, чтобы часть исходной области Dix, у, г) между границами Г, и Гоо. отобразилась на об-
ласть Э'т(х,у, z) с учетом подхода [10]. При этом на границе области й'т(х,у, г), расположенной по диаметру некоторой части полусферы, присваивается значение, совпадающее со значением потенциала у на бесконечности Г,.
2. Дискретная модель и численный метод исследования
В качестве примера для одной из внешних краевых задач с учетом уравнения (1) и граничных условий (2)—(6) рассмотрим представление исходных уравнений в операторной форме для дискретной области с учетом определения поля электрического потенциала у в узле (/',/) в виде:
\Уп\»и =0, (хпуу) е Г4; У/у =УА> (^у) е Г21,Г22; 4/4, =0, (Х,-,^) 6 П,Г23'Гоо-
(17)
Так как во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя. то во всех расчетных внутренних узлах области Ок^х, у) и у) потенциал х|/;/ рассчитывается с помощью экстраполяционного метода Либмана [14] по формулам:
У/.у =
(19)
Здесь И/, = сУ/дх\ IVп = Р/ду2, 1Уп = д/дп, производные потенциала представляются конечно-разностными аппроксимациями. Исследуемая область Эг включающая области О^х, у) и О'^х, >•). является дискретной, причем из основных вариантов многомерных эйлеровых сеток выбрана универсальная регулярная сетка в виде прямоугольной с учетом того, что исследуемая область - часть круга с расположенными в нем проводами круглого сечения (см. рис. 16). Аналогичный подход применяется и в остальных задачах.
Аппроксимация криволинейных границ области й! выполняется на основе метода Бре-зенхема. В узлах областей Ок/х, у) и П'и(х, у) значения рассчитываются методом конечных разностей и с учетом метода инверсии внешней бесконечной области [10]. На обшей границе Г, этих областей расчет ведется по формулам аналогично внутренних узлов, а значения в них. не входящих в основную область Ок^х, у), берутся из дополнительной области у),
и наоборот. В связи с этим условие на общей границе этих областей отсутствует в постановке задачи.
На оси симметрии Г4 с учетом того, что относительно вертикальной оси ц/.+1 . = у ,, , тогда потенциал ц/ рассчитывается по формуле:
V/,у =---^-—• (18)
^-ч!?(20)
где а - ускоряющий коэффициент (1 < а < 2); у9 ' . - значение в узле ц/.^, вычисленное на предыдущей итерации; - значение в узле \|//у, вычисленное в текущей итерации согласно (19); Ч/5,, - новое значение.
Модуль напряженности поля I Е I в каждой ¡-ой точке исследуемой области определяется следующим образом:
(21)
Компоненты напряженности электрического поля £у и £ с использованием центрально-разностной аппроксимации определяются как
Еи=-(ду11Ч-ду1И)/Иг, (22)
где /' - изменение по координате л-;у - изменение по координате у.
3. Результаты численных расчетов
Тестирование применяемого метода на примере одиночного провода относительно поверхности земли дано в [15], при этом использовались методы инверсии и зеркальных изображений. Потенциал произвольной точки М на основе метода зеркальных изображений определялся с учетом выражения [11]:
т , Ь „ Ум =--1п—+С,
2 лее,, а
(23)
где е0 - электрическая постоянная; е - относительная диэлектрическая проницаемость среды; т - линейная плотность заряда; а - расстояние от точки М до геометрической оси провода: Ь - расстояние от точки М до зеркального отображения геометрической оси провода.
При численных расчетах напряженности поля вблизи проводника и на некотором удалении от земли установлено [15], что средние
погрешности при расчете поля потенциала проводника. например, вблизи поверхности земли находятся в пределах от 0,410% до 5,258 % при изменении расстояния от проводника до поверхности земли.
Результаты расчета плоскопараллельного ЭП с учетом расщепленных и грозозащитного проводов для ЛЭП постоянного тока показаны на рис. 4. причем на рис. 4а показан характер распределения поверхностей равных напряжен-ностей электростатического поля с заданным шагом АЕ между грозозащитным проводом и поверхностью земли, а на рис. 46 показано распределение этих же поверхностей поля вблизи верхней части полюса в увеличенном масштабе.
дугу в сторону оси симметрии, направляется вниз. Полученные результаты с учетом того, что Етм находится на поверхностях проводов, соответствуют [2], так как экстремальные значения напряженности ¿"находятся на нижних и верхних проводах расщепленного полюса строго под углом 45°. Следует отметить, что. согласно расчетам на основе математической модели с учетом некоторого провода с эквивалентным радиусом Я ) [ 1 ] для ЛЭП [2], линия 1 модуля напряженности Етм находится по оси симметрии. Для случая с учетом (рис. 4), чтобы эта линия была направлена от центра полюса в сторону проводящей поверхности необходим некоторый эквивалентный радиус Л = Як, отличающийся от расчетного К =0,215 м более чем в 5 раз. Следовательно,
Рис. 4. Распределение поверхностей равных напряженностей поля с шагом Д£ для ЛЭП постоянного тока для разных масштабов
Анализ результатов расчета показывает (см. рис. 46), что для верхнего провода полюса линия 1 модуля максимальной напряженности поля (£тах) вначале направлена под углом порядка 45° (относительно грозозащитного провода), а затем, описав некоторую дугу в сторону оси симметрии, направляется вверх параллельно этой оси.
Аналогичные результаты наблюдаются и в нижней части полюса, только линия 1 модуля напряженности Етм вначале направлена под углом порядка 45° к поверхности земли и выходит из нижнего провода, а затем, описав некоторую
расчеты в окрестностях проводов расщепленного полюса по модели с эквивалентным радиусом [ I ] являются некорректными.
Результаты численных расчетов для количественной оценки распределения напряженности поля для ЛЭП постоянного тока на разных уровнях относительно поверхности земли, показаны на рис. 5. причем эти результаты представлены в относительных величинах:
Е" = -ду'I ц/" = \\i.l )А; 5* = 5./ /, где /- расстояние между проводами; - потенциал расщепленных проводов.
Из полученных результатов расчета следует (см. рис. 5), что на разных уровнях И' относительно поверхности земли и с удалением от оси симметрии полюса величина напряженности поля изменяется по некоторому колоколо-образному закону. При этом вблизи полюса максимальная величина £* = находится под крайними расщепленными проводами, а на уровне земли находится под центральной частью полюса ЛЭП СаЬога ВавБа. С удалением от расщепленных проводов от /г", до /»',, т.е. с изменением уровня в 1.3 раза, максимум напряженности поля резко уменьшается (более чем в 4 раза), а затем при дальнейшем уменьшении И' максимум Е' = Д5",) также уменьшается, но с существенно меньшим градиентом.
Результаты расчетов поля для трехфазной ЛЭП напряжением 735 кВ в виде характеристики £=/(5,) показаны на рис. 6. причем выполнены для момента времени /. с учетом одного из условий [7]. а именно на средней фазе V1 = 0. на крайних фазах 112 - 624,75 В и Ш = = -624.75 В.
Анализ зависимостей Е-/(5^) показал, что максимум напряженности поля вблизи находится не под центром крайних расщепленных фаз (см. рис. 6, где /, - центр симметрии крайней расщепленной фазы), а смещается во внешнюю сторону относительно крайних фазовых проводов при приближении к земле. В теоретических исследованиях этот эффект не изучался, но подтверждается многочисленными экспериментальными исследованиями [1].
Рис. 5. Характеристика Е' -./(5*,) относительно поверхности земли: I - А',= 4.44: 2 - А*,= 13.33; 3 - А',= 17.78
При расчетах ионизаторов воздуха исследовалось влияние изменения соотношений Я/Я, (см. рис. За) на величину напряженности поля
на некотором уровне относительно границы Гг Результаты расчета напряженности £ в окрестностях провода при условии Я, = Я, (провод расположен симметрично относительно Г, и Г,) в виде распределения поверхностей £ = const с шагом А£ показаны на рис. 7а. Результаты численных расчетов распределения модуля напряженности в виде E' = /\S'L) на уровне Нк'= 2HJh показаны на рис. 76 (в относительных единицах, где И - нормирующая величина, равная Я:).
Рис. 6. Характеристика Е-ДЭ£) относительно поверхности земли: 1 - Я, = 5 м, 2 - Я, = 10 м.
3 - Я, = 15 м, 4 - Я4= 20 м. 5 - Я, =25 м
Из анализа результатов (см. рис. 76) следует. что на уровне Нк при смещении провода к границе Г, максимальная величина модуля напряженности поля для £' = ДБ',) меньше, чем при симметричном его расположении, но значительно больше (более 2-х раз), чем при смещении провода к границе Гг Следовательно, при смещениях провода к любой из границ. Г, или Г, относительно оси симметрии максимальная напряженность поля на уровне Я/ от границы Г, уменьшается по сравнению с его симметричным расположением, но при этом максимальная напряженность на проводе увеличивается в пределах 10 %. Эти результаты необходимо учитывать при монтаже корониру-ющего провода для ионизаторов воздуха типа "Аэроион-Про" [6].
При численных расчетах также исследовался стержневой молниеотвод на основе модифицированного МИПБС с учетом данных [13]. В первом варианте задачи граница Г6 находилась на высоте Я= 3/ и ее радиус был равен 10/. Для сравнительного анализа распределения потенциала у результаты расчетов по этому варианту представлены на рис. 8а с учетом данных [13].
4
0.16л
Рис. 7. Распределение поверхностей Е = const с шагом ДЕ при Я, = //, (а) и характеристика Е' =_f{S'L) на уровне Нк'= 2Я,/й (б) для случаев: 1 - //, = Я,; 2 - Я,'= H/li и Я2и*= 0.5H/h\ 3 - HJ= 0.5H/h и Я,'= H/h
Кроме того, были выполнены расчеты для второго варианта задачи с учетом данных [13]. При этом исследовалось два стержня, расположенных соответственно на границах Г, и Г6, причем смещенных друг относительно друга в вертикальной плоскости и направленных навстречу друг другу (по аналогии с рис. 36). Постановка задачи соответствует уравнению Лапласа (1) и граничным условиям (13)—С16). так как эти стержни расположены соответственно на границах Г, и Г6. При этом исходное условие на границе Г6 со стержнем с учетом данных [13] соответствует = 1 В. а стержень
на границе Г, заземленный. Расстояние от плоскости Г, до Г( составляло величину 2,4 м. С учетом симметрии задачи вертикальная ось О У проходит между стержнями посередине (по аналогии с рис. 16). при этом расстояние между стержнями в горизонтальной плоскости равно 0,4 м. Длина стержня, находящегося на границе Г,, равна 1 м. длина стержня, находящегося на границе Г6, равна 1.3 м. Результаты расчетов по этому варианту представлены на рис. 86.
Сравнение результатов расчета по 2-м методам для стержневого молниеотвода проводилось в вертикальной плоскости на расстоянии
Y|/,B
0.0 0.4
Н, м
1,2 1.6 2,0 2,4 Я, м
а б
Рис. 8. Распределение у для стержневого молниеотвода при £0 = I В/м (а) и для 2-х стержней на границах Г, и Г6. при Еи = 0.42 В/м (б): 1 - расчет МИПБС; 2 - данные [13]; 3 - распределение у при заданном Е0
= 3,2 м от центра молниеотвода (см. рис. 8а), причем максимальная высота распределения поля потенциала была представлена в [13] до уровня порядка Нк} = 13 м. Погрешность расчета (см. рис. 8а. кривая 1 и 2) распределения потенциалов ц/ по вертикали на расстоянии Бк1 менее 0,5 %. Анализ результатов расчета для двух стержней по 2-м методам проводился также в вертикальной плоскости на расстоянии 5^,= 0,6 м по оси ОХ относительно оси ОУ. В этом случае максимальная погрешность распределения потенциалов у до 4,0 %(см. рис. 86, кривая 1 и 2), т.е. больше, чем в первом случае, так как величина потенциала меньше. Распределения потенциала полученные при расчетах по 2-м методам в виде характеристик 1 и 2 (см. рис. 8), хорошо коррелируют между собой.
Заключение
Анализ результатов численного моделирования распределенных электротехнических систем с учетом их сравнения с данными других авторов показал возможность применения модифицированного метода инверсии для полубезграничных сред при исследованиях особенностей этих систем.
1. При исследованиях электрических полей ЛЭП показана возможность определения одного из важных показателей степени влияния высоковольтных ЛЭП на биологические объекты в виде распределения напряженности ЭП на уровне земли. При этом установлен закон изменения модуля максимальной напряжен-
ности поля относительно поверхности земли для расщепленных проводов на примере ЛЭП Cahora Bassa, соответствующий колоколооб-разному закону. Выявлено, что максимальное значение напряженности поля для трехфазных ЛЭП (компании "Hydro-Quebec") смещается в сторону от крайних фазовых проводов при приближении к земле, а это важно учитывать в условиях нахождения людей вблизи ЛЭП при переменном рельефе поверхности земли.
2. При численном моделировании распределенных систем ионизации воздуха установлены характерные закономерности, важные для монтажа таких систем в помещениях зданий или сооружений. Выявлено, что коронирующий провод необходимо устанавливать по периметру помещения вблизи потолка, но с учетом его асимметричного расположения в угловых зонах, так как это приведет к существенному уменьшению максимума напряженности поля под этим проводом.
3. Исследования стержневых молниеотводов для систем молниезащит показали качественные и количественные совпадения результатов численного моделирования исследуемых объектов с результатами других авторов. причем на основе предлагаемого метода расчета этих систем существенно упрощается определение особенностей распределения ЭП относительно стержневых молниеотводов, что важно при оценке некоторой области для защиты от молнии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дальние электропередачи 750 кВ. В 2ч. 4.1. Воздушные линии/ Под общ. ред. A.M. Некрасова и С.С. Рокотяна. - М.: Энергия. 1974. - 224 с.
2. Holtzhausen, J.P. Corona On The Cahora Bassa DC Line: Theory And Tests On A Scale Model/ J.P. Holtzhausen. H. Hcndricks. P.J. Pieterse//SAUPEC 2002. Vanderbijlpark. January 2002. - P. 283-287.
3. Базс.шн, Э.М. Физические и инженерные основы молниезащиты/Э.М. Базелян. Б.Н. Горин. В.И Левитов. - Л.: Гндрометеоиздат. 1978. - 327 с.
4. Гоник, А.Е.Электрические и механические фильтры кассетного типа для очистки воздуха от сварочных аэрозолей / А.Е. Гоник, H.H. Жуков// Защита окружающей среды, здоровье, безопасность в сварочном производстве: Труды I Междунар. на-учно-практической конференции. - Одесса: Изд-во Астропринт, 2002. - С. 169-174.
5. Патент №2145910 (Россия). Двухзонный электрофильтр для очистки газов/ Гоник А.Е.. Жу-
ков Н. Н.. Потапенко А.Н.. Белоусов А.В.. Штифа-нов А.И. - Опубл. в Бюл. № 6. 2000 г.
6. http://www.ion.moris.ru
7. Yang, Y. The strip simulation method for computing electric field on conductor surfaces/ Y. Yang, D. Dallaire. J. Ma. and F. P. Dawalibi// Proceedings of the Third IASTED International Conference on Power and Energy Systems. EuroPES 2003. Marbella, Spain, Sept. 3-5. - 2003. - P. 353-357.
8. С офронов. И.Л. Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции: автореферат дис.... доктора физико-математических наук: 01.01.07/ Софронов Иван Львович. - М.: ИПМ РАН им. М.В. Келдыша. -1999.-28 с.
9. Альшина, Е.А. Численное решение краевых задач в неограниченной области/ Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин. С.Л. Панченко// Математическое моделирование. - 2002. - т. 14. - №11. - С. 10-22.
10. Дыльков, М.И. Метод инверсии для численного решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа: дис...канд. физ.-мат. наук: 05.13.18: заш. 17.09.04: утв. 25.12.04/ Дыльков Михаил Иванович. - Белгород, 2004. - 140с.
11. Бессонов, J1.A. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник/ Л.А. Бессонов. - М.: Гардарики. 2001. - 317 с.
12. Потапенко, А.Н. Основы математического моделирования двухзонных электрофильтров и некоторые особенности их применения в энергоэффективных вентиляционных системах/А.Н. Потапенко, A.B. Белоусов. Л.И. Колтунов. Е.А. Потапенко// Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2006. -№ 5-6. - С. 69-84.
13. Резинкина, М.М. Расчет трехмерных электрических полей в системах, содержащих тонкие проволоки/ М.М. Резинкина// Электричество. - 2005. -№ 1. _с. 44—49.
14. Сипай.тов, Г.А. Электрические машины (специальный курс)/ Г.А. Сипайлов. Е.В. Кононенко, К.А. Хорьков - М.: Высш. шк.. 1987. - 287 с.
15. Потапенко, А.Н. Особенности метода численного исследования воздушных линий электропередач. его тестирование и результаты расчетов/ А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова. М.И. Дыльков// Вестник БГТУ им В.Г. Шухова. - 2007. - №4-С.111-121.
Ушмоткин А. С., Коржик В. И.
Оценка эффективности использования системы
цифровых "водяных" знаков для изображений в условиях коалиционных атак
1. Введение
Технология ЦВЗ используется для защиты авторских прав легальных распространителей музыки, видео и изображений. В этом случае информация, вкладываемая в эти продукты, содержит идентификационные данные легального покупателя, что позволяет обнаружить впоследствии тех нечестных покупателей, которые копируют и нелегально распространяют купленные ими продукты. В дальнейшем такие нелегальные распространители могут быть привлечены к суду. С другой стороны, нелегальные распространители копий стремятся принять все меры, чтобы сделать их отслеживание невозможным. В частности, они могут объединяться в группы (коалиции) с целью такой совместной обработки своих индивидуальных продуктов, при которых получается копия, не позволяющая отследить ни одного из участников такой коалиции. Подобные действия называются обычно коалиционной атакой.
При разработке системы ЦВЗ (которая в данном случае обычно называется системой с цифровым отпечатком пальца) необходимо учитывать возможность коалиционной атаки и выбирать параметры ЦВЗ так, чтобы обеспечить малые вероятности как пропуска участника
коалиции - Рт. так и ложного обнаружения Р/а пользователя, на самом деле не входящего в коалицию.
Эффективность системы ЦВЗ определяется парой этих вероятностей и объемом вкладываемой информации, в зависимости от качества продукта и количества возможных участников коалиции. Очевидно, что вероятность образования коалиции будет тем меньше, чем больше количество ее участников.
В настоящей работе производится теоретический анализ эффективности систем ЦВЗ для неподвижных изображений в условии коалиционной атаки, а также экспериментальное исследование данной системы при помощи моделирования.
2. Оценка вероятностен ошибок Р и Р1 при использовании информированного декодера
Рассмотрим метод вложения ЦВЗ с использованием ШПС [1]:
Сы(п) = С(п) + а л.(л), л =1,2, ...N,1=1,2 ... Ь, (1) где С(п) - неподвижное изображение (покрывающее сообщение (ПС)), передаваемое одновременно £ легальным покупателям; к.(п) - псевдослучайная ±1-ичная
