Численное моделирование процесса неравновесной сорбции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 2 (2016). С. 39-43.

УДК 517.957, 517.962

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕРАВНОВЕСНОЙ СОРБЦИИ

И.А. КАЛИЕВ, С.Т. МУХАМБЕТЖАНОВ, Г.С. САБИТОВА

Аннотация. Фильтрация в пористых средах жидкостей и газов, содержащих ассоциированные с ними (растворенные, взвешенные) твердые вещества, сопровождается диффузией этих веществ и массообменом между жидкой (газовой) и твердой фазами. Наиболее распространенными видами массообмена являются сорбция и десорбция, ионный обмен, растворение и кристаллизация, кольматация, сульфатация и суффозия, парафинизация. В работе рассматривается система уравнений, моделирующая процесс неравновесной сорбции. Сформулирована разностная аппроксимация дифференциальной задачи по неявной схеме. Решение разностной задачи строится с помощью метода прогонки. Опираясь на численные результаты, можно сделать следующий вывод: при уменьшении времени релаксации решение неравновесной задачи стремится с ростом времени к решению равновесной задачи.

Ключевые слова: система уравнений неравновесной сорбции, разностная аппроксимация, неявная схема, метод прогонки, численные эксперименты.

Mathematics Subject Classification: 35Q35, 65М06, 76S05

ВВЕДЕНИЕ

Практически все жидкости, встречающиеся в природе, представляют собой растворы, т.е. смеси двух или более веществ (компонентов). Фильтрация в пористых средах жидкостей и газов, содержащих ассоциированные с ними (растворенные, взвешенные) твердые вещества, сопровождается диффузией этих веществ и массообменом между жидкой (газовой) и твердой фазами. Наиболее распространенными видами массообмена являются сорбция и десорбция, ионный обмен, растворение и кристаллизация, кольматация, сульфатация и суффозия, парафинизация. С учетом особенностей физико-химического взаимодействия растворов с породами пласта рассматриваются задачи равновесной и неравновесной сорбции.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть m(x,t) - пористость среды, 0 < m(x,t) < 1; поровое пространство заполнено раствором и твердой фазой, выпавшей в осадок из раствора; c(x,t) - массовая концентрация определенного вещества в жидкой фазе (на единицу объема раствора); s(x,t) - массовая концентрация твердой фазы этого вещества, выпавшей в осадок (на единицу объема пор).

В равновесных условиях, когда контакт между раствором и твердой фазой поддерживается достаточно длительное время, соотношение между концентрациями с(х, t) в растворе и на сорбенте s(x,t) определяется изотермой сорбции. При малых концентрациях раствора, величина абсорбции определяется линейной зависимостью - изотермой Генри s = Гс, где Г > 0 - некоторая постоянная величина, зависящая от физико-химических свойств среды (постоянная Генри).

I.A. Kaliev, S.T. Mukhambetzhanov, G.S. Sabitova, Numerical modeling of the non-equilibrium sorption process.

© Калиев И.А., Мухамбетжанов С.Т., Сабитова Г.С. 2016.

Поступила 18 августа 2015 г.

40

И. А. КАЛИЕВ, С. Т. МУХАМБЕТЖАНОВ, Г. С. САБИТОВА

Уравнения равновесной сорбции не всегда могут полностью характеризовать особенности поглощения и обмена веществ в двухфазной системе раствор - твердая фаза. В работах [1]-[3] были предложены математические модели для описания процессов неравновесной сорбции. При этом концентрация з твердой фазы связывается с концентрацией с в жидкой фазе уравнением

где положительная постоянная т - характерное время релаксации, Г - постоянная Генри. Концентрация с вещества в растворе удовлетворяет уравнению

9с ^ . „ дв т_=ВДс_„Ус-ж, (2)

где > 0 - коэффициент диффузии, ь(х,£) - вектор скорости фильтрации, которые

считаются известными функциями указанных аргументов.

Пусть П - ограниченная область п-мерного пространства Кп с достаточно гладкой границей Б = дП, С^т = О х (0,Т), Т > 0; Бт = Б х (0,Т) - боковая поверхность цилиндра

Ят.

Требуется найти функции с(ж,£), определенные в области С^т, удовлетворяющие

в С^т уравнениям (1), (2), начальным условиям

с(х, 0) = со(ж), I 6 О, (3)

з(ж,0) = 5о(ж), I 6 О, (4)

и граничному условию

с(х,£) = сь(х,£), (х,£) Е Бт■ (5)

В работе [4] доказана глобальная однозначная разрешимость многомерной начально-краевой задачи (1)—(5), моделирующей процесс неравновесной сорбции.

РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

ПО НЕЯВНОЙ СХЕМЕ

Рассмотрим одномерный случай по переменной х. В этом случае уравнение (2) перепишется в виде

дс

дЬ дх2 дх дЬ' Пусть концентрация вещества в жидкой фазе - функция с(х, ¿) удовлетворяет начальному условию

с(х, 0) = со(х), х Е (0,1), (7)

и граничным условиям

с(о,г) = сьо(г), с(1,г) = сы(г), ге[о,т], (8)

а концентрация твердой фазы - функция удовлетворяет начальному условию

з(ж,0) = (ж), ж € (0,1). (9)

Требуется найти решение уравнений (1) и (6) в прямоугольнике

Е (0,1) х (0, Т), удовлетворяющее начальным условиям (7), (9) и граничным условиям (8).

Основным аппаратом численного решения уравнений с частными производными являются разностные методы. Для отыскания приближенного решения этой задачи рассмотрим прямоугольную сетку узлов, образуемую точками пересечения двух семейств параллельных прямых

х = Иг, г = 0 ,к, к=1 /к; t = jq, ] = 0,р, д = Т/р.

Для каждого узла {%■,]) обозначим с^ = с({к^д), = з^к^д) и запишем разностную аппроксимацию дифференциальных уравнений (1) и (6)

- (Гс^ - в^), г = 0, к, ] = 0,р - 1, (10)

д т

¿1? 7 о

д к2

2к д [ 4

Из уравнения (10) выразим

$1,3+1 — ( 1 - + —С^. (12)

т/ т

Из уравнения (11) получим

д (А Л (

к V 2 к ) °г+1'3+1 + \тг'3 + 1 Сцз+1

д (

к \ к 2

Для нахождения значений Сг^+1 на (,7 + 1) слое из (13) сначала необходимо найти значение функции 1 на этом же слое из (12).

Начальные и граничные условия (7), (9), (8) для функций с(ж,£), можно перепи-

сать в виде Сг> о = со (г/г), = во (г/г), с0а- = съо{]д), = сы^д), г = 0, к, ] = 0 ,р.

МЕТОД ПРОГОНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введем следующие обозначения: = уи = 1 = Уг-1, т^с^ + -

= (Щ^ + = щ, т^ + ^^ = - ^ = Тогда (13) можно

записать в виде системы (/с + 1) уравнений:

Уо + 0 • = Со^+ь

+ + (¿¿Уг+1 = Рг, г = 1,к-1, 0 • ук_1 + ук = ск,э+1,

т. е. для каждого ^ = 0,р— 1 - это линейная система с трехдиагональной матрицей относительно переменных у0,... Решение существует, единственно и его можно найти с помощью метода прогонки.

РИС. 1.

42

И. А. КАЛИЕВ, С.Т. МУХАМБЕТЖАНОВ, Г. С. САБИТОВА

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

После построения разностной схемы были проведены численные расчеты. В качестве иллюстрации приведем результаты, соответствующие следующим данным: га = 0,5 - пористость среды, D = 1 - коэффициент диффузии, v = 0 - скорость фильтрации, Г = 0, 2 -постоянная Генри, с0(ж) = sin7rx, х G (0,1); 50(ж) = 0, х G (0,1); c&o(i) = 0, Cbiit) = 0, t G (0, T), Т = 0,15; h = 0,1- шаг по х, q = 0, 005 - шаг по i; т\ = 0,1, т2 = 0, 01 - два значения характерного времени релаксации.

Графическая визуализация расчетов при г = 0,1 для c(x,t) приведена на рис. 1, а для s(x, t) - на рис. 2.

-0.05

-0.04

0.03S

-CL.02

хштт/77///

8шШ/Шш/,

10 ».^ПнШ nW// ^^Щ&зо

Рис. 2.

Графическая визуализация расчетов при т = 0.01 для с(ж,£) приведена на рис. 3, а для в(х, ¿) - на рис. 4.

-1

-0.8

-0.6С

-0.4

-0.2

10 йаэ 5 10 . g^gi^ 15t

Рис 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Опираясь на численные результаты и их визуализацию в виде графиков, можно сделать следующие выводы. При уменьшении времени релаксации т решение неравновесной задачи стремится с ростом времени к решению равновесной задачи, т. е. в —>■ Гс. Полученные результаты позволяют подтвердить прогнозы теоретических исследований и результаты, полученные аналитическим путем.

РИС. 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L. Lapidus, W.R. Amundson Mathematics of adsorption in beds. VI. The effect of longitudinal diffusion in ion exchange and chromatographic columns //J. Phys. Chem. 1952. V. 56. P. 984-988.

2. K.H. Coats, B.D. Smith Dead and pore volume and dispersion in porous media // Soc. Petrol. Eng. J. 1964. V. 4, N 1. P. 73-84.

3. Развитие исследований no теории фильтрации в СССР // под ред. П.Я. Полубариновой-Кочиной. М.: Наука, 1969. 546 с.

4. Калиев И.А., Сабитова Г.С. Об одной задаче неравновесной сорбции // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Том VI, № 1 (13). С. 35-39.

Ибрагим Адиетович Калиев,

Стерлитамакский филиал

Башкирского государственного университета,

проспект Ленина, 47а,

453103, г. Стерлитамак, Россия

E-mail: [email protected]

Салтанбек Талапеденович Мухамбетжанов,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

проспект аль-Фараби, 71,

050040, г. Алматы, респ. Казахстан

E-mail: [email protected]

Гульнара Сагындыковна Сабитова,

Стерлитамакский филиал

Башкирского государственного университета,

проспект Ленина, 47а,

453103, г. Стерлитамак, Россия

E-mail: [email protected]