CC BY
47
УДК 517.968; 519.642
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ ВХОДОМ КВАДРАТИЧНЫМИ ПОЛИНОМАМИ ВОЛЬТЕРРА1
С.В. Солодуша2
Рассматриваются полиномиальные интегральные уравнения Вольтер-ра I рода второй степени, возникающие в задаче автоматического регулирования нелинейной динамической системы. Разработан адаптивный алгоритм учета обратной связи. Приводятся результаты тестовых расчетов для эталонной модели теплообмена.
Ключевые слова: нелинейная динамическая система, полиномиальное уравнение Вольтерра Iрода, теплообмен.
Введение
В теории моделирования систем управления традиционно используется аппарат дифференциальных уравнений. Тем не менее разработка альтернативных методов моделирования, связанных с приложением интегральных уравнений типа Вольтерра, является актуальной прикладной задачей (см., например, [1, 2]).
В цикле публикаций [3] (ссылка сделана на последнюю работу автора, в которой имеются ссылки на другие публикации) исследовались полиномиальные уравнения Вольтерра I рода, в том числе уравнение
г г г
|К(г,s)x(s)ds + ЦКп(г,sl,52)x(s1)x(s2)ds1ds2 = у(г), ге [0,Г], (1)
0 0 0
которое возникает при аппроксимации нелинейной динамической системы типа черного ящика квадратичным полиномом Вольтерра, и ставится задача об определении входного сигнала х(г), которому соответствует заданный выход у (г). В (1) г имеет физический смысл времени, ядра Кг(г,5), Кц(г,5Х,52) идентифицированы каким-либо способом (например, с помощью методики из [4, 5]), у(г) - скалярная функция времени, причем у(0) = 0, у/(г) е С[0Г], ядро Кп симметрично по переменным 5 и 52. В этой работе рассмотрим случай, когда х(г) есть вектор-функция времени. Вместо (1) имеем:
Р Р Р г-1
Жл +£^,гХг2 + .. (Хг, Х}.) = у(г), г е [0,Г], (2)
7=1 7=1 7=2 і=1
і і і
У1,гХг = IКг (і, э)Хг , У2,гХІ ° 11Кг, (і, $і, ^ )Хг (51)Хг (э2 )^1
0 0 0
і і
У2,}і(Хг,Хі ) ° || Кр (і, Э1, Э2 )Х] (Э1)Хг (э2 )<*1<*2, 7 * І І, І = 1 Р , 00
где для определенности хг (і), і = 2, р , считаются заданными; ядра Ки, і = 1, р , симметричны по переменным э1, э2; у(0) = 0, у'(і) є С[0Г ^; К1(і, і) * 0 V і є [0,Г].
1. О специфике полиномиальных уравнений Вольтерра I рода вида (2)
Рассмотрим задачу стабилизации (регулирования), связанную с поиском управляющего воздействия х (і), поддерживающего выходной сигнал у (і) на заданном уровне у* = 0 . Все функ-
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ N° 12-01-00722.
2 Солодуша Светлана Витальевна - кандидат физико-математических наук, доцент, зав. лабораторией «Неустойчивые задачи вычис-
лительной математики» Института систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН.
циональные пространства считаем вещественными. Уравнение (2) является полиномиальным уравнением Вольтерра I рода, непрерывное решение которого, вообще говоря, носит локальный характер.
В работах [6-8] рассматривались некоторые частные классы (2). Если, например, К ( (г, 5) = к1, к1 > 0, К^ (г, 5^52) = ку,, к11 Ф 0 , 1 < у < г < Р , то (2) переходит в
Гг Л2
1 + Е к1г | Х (‘5№
г=2 0
| Х (5^5 + к11 | Х (5^5
V 0
= / (г), г е[0,Т ],
(3)
где
Рг
Г г ЛГг Л
/ (г) = у (г) - Е к, | х (s)ds - ЕЕ куг I х (5^5 | Ху (5^5 . (4)
г=2 0 г=2 у=2 V 0 А 0
В (3), (4) для сокращения записи принято к1 = 1. В [7] показано, что если /(г) е С[0Т], /(0) = 0 ,
то единственное непрерывное решение (3), (4) определяется формулой
Г (г) , 1 а„
1
где
х* (г) = а^ + ^гЬ(г) — (1+Ь(г))-1
а(г) 2кп Va(г)
Р(г) = Е кц^1 (г); 3 (г) = I х (5)Ж, г = 2, р; а(г) = ^/(1 + Ь(г))2 + 4кп/(г).
(5)
г ....... л ....... .. ,^ + Ь(г) ) +'
г=2 0
Также в [7] на примере (3), (4) получено, что кроме единственного непрерывного решения х*(г) есть решение х**(г), принадлежащее пространству обобщенных функций:
Г 1 1 р л
х** (г) = - х* (г) +—8(г) +—Е
ч к11 к11 г=2
где £(г) есть с>-функция Дирака.
Для установления области существования непрерывного решения (3), (4) в [6, 8] была применена техника, основанная на введении специальных мажорантных интегральных уравнений.
Не уменьшая общности, положим К1 (г, г) = 1. С учетом симметрии Ки по 51, 52 уравнение
(2) эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра II рода
г р г
Г р г Л
Х(г)
1 + ЕI К1г (г, х, г) х1 (х ^х + 2х1 (г )| К11 (г, 51, г) х1 (51 ^51 + Е хг (г )| К1г (г, г, 52) х1 (52 ^2
+
г=2 0
г=2
+
| К (г, 51) х (51 )^ + Е II К[ц (г, 51,52) х (51) х г (52 ^5^ = /' (г) :
(6)
0
=1 0 0
где
/ '(г) = у' (г) - Е К, (г, г) х, (г) - Е| К' (г, 51) х, (51Щ -Е Е х} (г) | К у, (г, 51, г) х, (51 ^ ■
=2 =2 0 =2 у =2 0
р г
р г
р г
-Е Е хг (г)|Ку, (^ г, 52)ху (52 )d52 - Е Е IIК>]ч (г, 51, 52)х, (51)ху (52 ^1^
г=2 у=2 0 г=2 у=2 0 0
Следуя [3], рассмотрим мажорантное интегральное уравнение для (2), (6)
Г р Л г г Г г
<р(г)
1 - ЕМ1,(г)^г (г) = ^(г) + 2р(г)Мп(г)р(5^5 + Х(г)р(5^5 + Х11(г) р(5^5 I , (7)
=2
0
0
V 0
где
М11(г) = тах |КП(£, 51,Х)| > 0, Ь11(г) = тах К11 (X, 51,52) > 0, ^(г) = тах|/'(£)| > 0.
0<51<Х<! 0<51, 52<Х<Г г I 0<Х<г
0
0
0
г
г
гг
2
2
ДО = 4(0 + £ЫЪО,(г) + ^М^,(0, А(0 = тах К (X,*1)! > 0
р р
* г , . , ч т / .4 I г'/ *-
, 5
,=2 ,=2 ................... °<*1<Х<‘' ^
X
4Д0 = тах К1 (X,51,52) > 0 , 0,(г) = тах [Iх,(5)йъ > 0 , gi(г) = тах 1хДХ)| > 0 ,
0<51, ъ2<Х<г г I 0<Х<г* 0<Х<г
М1;(г) = тах {|К1г(££ ^2)], |К1г-(Х, 51,Х)|}> 0, 2 </< р, г е[0,Т],
0<51, ъ2 <Х<г
0 (г) = Ф(0(г) )= Р ^)+Ь( )0(г) +^ )0 (г) , 0(0) = 0, г е [0,Т ], (8)
и соответствующую задачу Коши
1 - £М,(г)в, (г) - 2Мп(г)0(г)
1=2
где
г
0(г) = [ (р^йъ .
0
Как отмечено в [3], локальная Липшиц-непрерывность отображения Ф(0(г)) :С[0 ^] ® С[0^] гарантирует единственность решения (8) 0*(г) при достаточно малом г . Следовательно, (7) имеет единственное решение (р* (г) = 0* (г), такое что х* (г) < (р (г), г е [0, г).
Для определения максимального значения г приравняем знаменатель (8) к нулю:
у(0 ° £м ,(г)0, (г) + 2МП(О0(О = 1.
1=2
Функция у(г) является непрерывной строго возрастающей функцией г, причем у(0) = 0 . Значит, найдется такое г > 0, что у(г ) = 1.
2. Численный алгоритм учета обратной связи
Развивая исследование, начатое в [6], рассмотрим вопрос получения управляющего воздействия х1(г) с учетом апостериорных данных об отклонении выходной переменной у(г) от желаемого значения у* = 0, так что х1(г) = и (г - И), и(Х) = 0, Хе [-И,0], И - известное постоянное запаздывание. В этом случае задача регулирования стационарного нелинейного динамического объекта сводится к поиску непрерывного решения и* (г) полиномиального уравнения Вольтерра I рода
V + £^дДи, х,) + и 2 = /(г) - £х,. х, - £х,. х2 - £ £ ^2,л (х}, х,), (9)
1=2 1=2 1=2 1=2 3=2
где / (г) = е(г) -е(г - И), г е[0,Т ]. Сигнал е(г) = у*- у (г), е(Х) = 0, X е [—И, 0], считаем рассогласованием или ошибкой управления.
При малом г решение (9) заведомо существует [3]. Найдем его кубатурным методом средних
прямоугольников. Введем сетку узлов г, = ,И, г 1 = [/-11 И , , = 1, п , пИ = Т . Аппроксимируем
2 ^ 2у
* ( 1 ^
интегралы в (9) суммами. Для вычисления и (г) в I , - — I -м узле получим квадратное уравнение
И
относительно и
И2 К,,
111 1
( ^ 2 (
и + К11
I 2 У 1 2
р , ' 1. . и +. +И££Кт х'И
— з_^ ]+ ^ ,,—п 1—1 _,к — 1-к +—
2,3 2 2 т=2 к =1 2 2 2 у
иИ 1 =
,—
2
22
= /(/И) - 2(,И) - и £ К 1 + и £ кп иИ 1 + и ££
3=2 3-2 к=2 3-2к-2 , к+2 т=2 к=1
К
,-з+-2
(10)
2(,И) = И££ Кт 1 + И£Кда 1 1 х^ х + И££К^ 1
т=23=1|
(
к=1
3-1, к-- '- к +о
2 2 2
П=2 к=1
р /
у(1И)=и£к^1 + и£ кп 1 1 иИ 1 + и ££ К1т 1 1
к=1 3-2,к-2 1 к 2 т=2 к=1
1 1 т 1
j-—, к-1 /-к+1
2 2 2 У
/ - 3— 2
1 + г(/И),
у(И) = г(И), /(И) = е(И), /(/И) = е(/И) - е((/ - 1)И), е(,И) = у - уЩ, / = 2,п .
Выбор нужного корня в (10) определяется условием
и!' -Т-5® “(0) = ^
2 И-0 ^ К1(0)
Дальнейшее развитие работы связано с исследованием нелинейных процессов теплообмена. В качестве эталонной динамической системы рассмотрим математическую модель переходного процесса в элементе теплообменного аппарата, предложенную в [9]. Зависимость возмущения энтальпии А,(г) (кДж/кг) теплоносителя на выходе теплообменника от возмущения расхода теплоносителя АА(г) (кг/с) и теплоподвода АQ(t) (кВт) имеет следующий вид:
( г г Л
А,ег (г ) =
_ 1112
[I АQ(h) -ААО(Л)
\
А
А( 5)й5 -А [ Д(5)йЪ
V - е V
йц , ге [0,Т],
(11)
где г - время, А0 и - стационарные значения расхода и теплоподвода, А0 = 0,16 кг/с, 00 = 100 кВт , А и 12 - корни характеристического уравнения некоторой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, А(г) = А0 + АА(г). Нелинейный стационарный динамический объект с входными воздействиями х1 (г) = АА(г), х2 (г) = А0(г) и откликом у(г) = А!е1 (г) моделируется с помощью полинома Вольтерра второй степени в форме
Атоё (г) = [ К1 (51 )АА(г - 51 )й51 + [ [Кц(51,52 )АА(г - 51) АА(г - 52 )й51й
+
(12)
00
+[К2(51)А0(г - 51)й51 + [ [К12(51,52)АА(г - 51)А0(г - 52)й51й52, г е [0,Т].
о 0 0
Таким образом, задача выбора и(г), который обеспечивает А,тод(г) = 0 при известном А0(г), может быть сведена к решению уравнения (10) (для р = 2). С помощью (12) на базе метода средних прямоугольников выполнено построение А/1/Imod (г,) , А,^^ (г,), причем при выборе тестовых сигналов для идентификации ядер Вольтерра использовались алгоритмы, описанные в [5] и [10] соответственно. В частности, для идентификации К1, К11 в [5] использовались наборы тестовых сигналов
| х«1,2(г) =«1,2 А I (г), | хй2(0 =«1,2 А (I (г) -1 (г - о)),
I х2(г) = 0,
I х2(г) = 0,
(13)
где «1 + «2 = 0, 0 <о< г < Т , I (г) - функция Хевисайда. В [10] для однозначного поиска К1, К1
11
были использованы
х«, (г) = «А (I(г) -1(г - 23)), {х«О (г) = «2А (I(г) -1(г - о)),
х2 (г) = 0,
где 0 <юi < г < Т , со3 = 3! , 3 = 1, п, пИ = Т .
х2 (г) = 0,
(14)
И
И
и
И
И
И
И
и
г
е
0
о
Схема решения (10) была внедрена в программный комплекс [11], позволяющий проводить идентификацию и тестирование квадратичной интегральной модели (12) применительно к математической модели (11) теплообменного аппарата. Расчеты АА1И (г{) и АА^^) выполнялись с
использованием апостериорных данных о выходных значениях А/—Imod(t/) и А/2Иmod(ti) соответственно. При проведении вычислительных экспериментов была учтена скорость открытия регулирующих клапанов (задвижек) [12, с. 112]. Предположим, что допустимые входные возмущения А0(г) = у001(г), г е [0,Т]. Вычисление управляющего сигнала АДИ (г,) (АА^ (г,)), обеспечивающего желаемый отклик А/1Иmod = 0 (А,^^ = 0) при заданном возмущении А0И (г,),
0,5 < у< 0,75 , проводилось с помощью нескольких уравнений вида (10) (для р = 2), ядра Вольтерра в которых были настроены на тестовые сигналы с амплитудами 0,008 < |«| • А0 < 0,12 кг/с и 5 <|«- 00 < 75 кВт. Приведем некоторые результаты вычислительных экспериментов для ,0 = 434 кДж/кг, Т = 30 с, И = 1 с.
Основная специфика (9), как и в скалярном случае, связана с локальностью области существования его вещественного непрерывного решения. При вычислении АА1 (г), 0 < г < 30 с было получено, что специфика (9) проявляется при возмущающих воздействиях А0(г) с у> утах (см. таблицу), что означает возможную потерю управляемости изучаемого процесса теплообмена.
Значения утах , при которых существует решение АВ1И (г,), 0 < г, < 29 с
а (в %) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Утах (в %) 58,8 57,2 56 55,6 55,8 56,4 57,3 58,9 61,4 64,9 69,3 71,3
Из таблицы видно, что на величину утах влияет выбор значений «, используемых для восстановления ядер Вольтерра.
Для сравнения эффективности применения способов идентификации, описанных в [5, 10], с помощью (11) были найдены значения А^ (Т) (А,^ (Т)), соответствующие входам А^ и АДИ (АА^). Рисунок иллюстрирует результаты
расчетов с точностью 8 = 10 5. Видно, что при согласовании уровня у< 0,6 с величиной |«
предпочтительнее использование ядер, восстановленных с использованием (13) из [5]. Было
получено, что 4 • 10-6 • ,0 < \е1 (Т)| < 0,065 • ,0 ,
|е(Т )| (Т)
С другой стороны, применение в (10) ядер Вольтерра, построенных с помощью набора тестов (14) из [10], дает решение АА2 на всем исследуемом промежутке 0 < г, < 30 с для любых \а\ и у> утах , хотя погрешность регулирования
\а\
(в %)
55 --
30 --
у (в %)
Вычислительный эксперимент: □ - если ^ (т ^ < |А/2Иt(Т Щ- если к*(Т)| ^А^,(Т)|
этом
случае
достаточно
\£2(Г )| < 0,189 • /о, ШТ )| = А^ (Т)
велика:
5
в
Заключение
В работе исследуется один класс нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода, связанный с задачей моделирования нелинейной динамики в векторном случае. Разработан адаптивный алгоритм учета обратной связи для применения полиномов Вольтерра в задачах автоматического управления нелинейными динамическими системами типа черного ящика. Приводятся иллюстративные расчеты на примере эталонной динамической системы, описывающей процессы теплообмена. Численные эксперименты показали важность выбора тестовых сигналов, используемых для идентификации ядер Вольтерра.
Литература
1. Верлань, А.Ф. Моделирование систем автоматического управления с реальной обратной связью на основе интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра / А.Ф. Верлань, В.Ф. Миргород, Д.Э. Контрерас // Труды Одесского политехнического университета. - 2000. - № 3. - С. 120123.
2. Belbas, S.A. Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations / S.A. Belbas, Yu. Bulka // Applied Mathematics and Computation. - 2011. - V. 217. - Issue 9. - P. 4791-4804.
3. Апарцин, А.С. Полиномиальные интегральные уравнения Вольтерра I рода и функция Ламберта / А.С. Апарцин // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18, № 1. - С. 69-81.
4. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы / А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука, 1999. - 193 с.
5. Апарцин, А.С. К идентификации несимметричных ядер Вольтерра в интегральных моделях нелинейной динамики / А.С. Апарцин, С.В. Солодуша // Тр. Сиб. конф. по прикладной и индустриальной математике. - Новосибирск, 1997. - Т. 1. - С. 1-13.
6. Солодуша, С.В. Приложение нелинейных уравнений Вольтерра I рода к задаче управления динамикой теплообмена / С.В. Солодуша // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 6. - С. 133140.
7. Солодуша, С.В. Применение полиномиальных уравнений Вольтерра I рода в задачах автоматического регулирования / С.В. Солодуша // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». - 2011. - Т. 16, № 4. - С. 1181-1183.
8. Солодуша, С.В. Моделирование систем автоматического управления на основе полиномов Вольтерра / С.В. Солодуша // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - № 1. -С. 60-68.
9. Таиров, Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем / Э.А. Таиров // Изв. АН СССР: Энергетика и транспорт. - 1989. - № 1. - С. 150156.
10. Солодуша, С.В. О моделировании нелинейных динамических систем с векторным входом полиномами Вольтерра / С.В. Солодуша, В.А. Спиряев, М.С. Щербинин // Материалы Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика». - Челябинск: ЧелГУ, 2007. - С. 181-187.
11. Солодуша, С.В. Программно-вычислительный комплекс для моделирования нелинейной динамики теплообмена на базе квадратичных полиномов Вольтерра / С.В. Солодуша // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2012614246. - 12. 05. 2012.
12. Таиров, Э.А. Применение сетевой модели к расчету потокораспределения в трактах энергоустановок / Э.А. Таиров, В.Ф. Чистяков, И.В. Караулова // Изв. РАН. Энергетика. - 2003. - № 3. - С. 105-114.
Поступила в редакцию 14 мая 2012 г.
NUMERICAL SIMULATION OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS WITH VECTOR INPUT BY QUADRATIC VOLTERRA POLYNOMIALS
S.V. Solodusha1
Second degree quadratic polynomial Volterra integral equations of the first kind are considered. Such equations arise in the automatic control problem of a nonlinear dynamic system. An adaptive algorithm based on feedback is developed. Results of test calculations for the reference heat exchanger model are produced.
Keywords: nonlinear dynamic system, polynomial Volterra integral equation of the first kind, heat exchange.
References
1. Verlan' A.F., Mirgorod V.F., Kontreras D.E. Modelirovanie sistem avtomaticheskogo upravleniia s real'noi obratnoi sviaz'iu na osnove integro-differentsial'nykh uravnenii Vol'terra (Simulation of automatic control systems with actual feedback on the basis of integral differential Volterra equations). Trudy Odesskogopolitekhnicheskogo universiteta. 2000. no. 3. pp. 120-123. (in Russ.).
2. Belbas S.A., Bulka Yu. Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations. Applied Mathematics and Computation. 2011. Vol. 217. Issue 9. pp. 4791-4804.
3. Apartsin A.S. Polinomial'nye integral'nye uravneniia Vol'terra I roda i funktsiia Lamberta (Poly-nominal integral Volterra equations of the first kind and Lambert function). Trudy instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN. 2012. Vol. 18, no. 1. pp. 69-81. (in Russ.).
4. Apartsin A.S. Neklassicheskie uravneniia Vol'terra pervogo roda: teoriia i chislennye metody (Nonclassical Volterra equations of the first kind: theory and numerical methods). Novosibirsk: Nauka, 1999. 193 pp.
5. Apartsin A.S., Solodusha S.V. K identifikatsii nesimmetrichnykh iader Vol'terra v integral'nykh modeliakh nelineinoi dinamiki (To identification of nonsymmetric Volterra kernels in integral models of nonlinear dynamics). Trudy Sibirskoi konferentsii po prikladnoi i industrial'noi matematike (Proc. Sib. Conf. on Applied and Industrial Mathematics). Novosibirsk, 1997. Vol. 1. pp. 1-13. (in Russ.).
6. Solodusha S.V. Automation and Remote Control. 2011. Vol. 72. no. 6. pp. 1264-1270.
7. Solodusha S.V. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriia: Estestvennye i tekhnicheskie nauki. 2011. Vol.16, no. 4. pp. 1181-1183. (in Russ.).
8. Solodusha S.V. Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem. 2012. no. 1. pp. 60-68. (in Russ).
9. Tairov E.A. Izv. ANSSSR: Energetika i transport. 1989. no. 1. pp. 150-156. (in Russ.).
10. Solodusha S.V., Spiriaev V.A., Shcherbinin M.S. O modelirovanii nelineinykh dinamicheskikh sistem s vektornym vkhodom polinomami Vol'terra (On the modeling of nonlinear dynamic systems with vector input Volterra polynomials). Materialy Vserossiiskoi nauchnoi konferentsii «Matematika. Mekhanika. Informatika» (Proc. All-Russian Sci. Conf. «Mathematics. Mechanics. informatics»). Cheli-abinsk, ChelGU, 2007. pp. 181-187. (in Russ.).
11. Solodusha S.V. Programmno-vychislitel'nyi kompleks dlia modelirovaniia nelineinoi dinamiki teploobmena na baze kvadratichnykh polinomov Vol'terra (Programming and computing suite for nonlinear dynamics of heat exchange simulation on the basis of quadratic Volterra polynomials). Svide-tel'stvo o gosudarstvennoi registratsii programm dlia EVM№2012614246 (Certificate of state registration of computer programs №2012614246). 12.05.2012. (in Russ.).
12. Tairov E.A., Chistiakov V.F., Karaulova I.V. Izv. RAN. Energetika. 2003. no. 3. pp. 105-114. (in Russ.).
1 Solodusha Svetlana Vitalievna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of the Laboratory of «Ill-posed problems of computational mathematics» of Melentiev Energy Systems Institute SB RAS.
