Численное моделирование коллективного ускорения протонов в проектируемом ускорителе Ecripac Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 541.532.78

Численное моделирование коллективного ускорения протонов в проектируемом ускорителе ЕСН1РАС

А. М. Умнов, Г. С. Слабов, Мариус С. Б. Кубе

Кафедра экспериментальной физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Проведено изучение коллективного ускорения протонов в ускорителе ЕСШРАС на одномерной численной модели, построенной по методу частиц в ячейке. Определены зависимости параметров ускоряемого сгустка протонов от параметров плазмы и градиента магнитного поля.

Введение

Коллективное ускорение ионов — название группы методов ускорения частиц, имеющее вполне определенный смысл, но не всегда однозначное толкование. Коллективный метод ускорения частиц возник в результате исследований, связанных с реализацией когерентных методов ускорения [1]. Для всех традиционных способов ускорения заряженных частиц характерно использование внешних полей для ускорения - электрического или комбинации электрического и магнитного. Напряженность электрического поля определяла темп ускорения и конечную энергию ускоряемых частиц. Когерентные методы были отходом от традиций, на которых базировались все известные методы ускорения, в них внешние поля перестали играть определяющую роль. Поля, ускоряющие частицы, возникают в результате взаимодействия групп частиц между собой или с потоками плазмы, или с электромагнитным излучением. Ускорение заряженных частиц происходит в поле поляризации, которое для плотной плазмы достигает 108 В/см. Эксперименты показали, что процессы, происходящие в ускоряемом сгустке, гораздо сложнее, чем предполагалось, а эффективное удержание подобного сгустка в процессе ускорения является особой проблемой, не решаемой простыми способами [2].

Новая волна интереса к коллективным методам ускорения связана с применением ускоренных ионов в медицине (протонотерапия). Для эффективного применения методов протонотерапии требуется разработка и создание компактных (размерами порядка 2-3 метра), недорогих и эффективных ускорителей, работающих в диапазоне энергий 25-200 МэВ.

Проект такой установки — коллективного ускорителя ЕСШРАС — был предложен Р. Желлером и К. Голованивским [3,4], однако в силу ряда причин, прежде всего из-за недостатка теоретических и экспериментальных данных, этот проект пока не реализован.

Целью настоящей работы является изучение коллективного ускорения ионов в ускорителе ЕСШРАС на численной модели, построенной по методу частиц в ячейке.

1. Коллективное ускорение ионов 1.1. Коллективное ускорение ионов электронными кольцами

Идея использования электронных колец для ускорения ионов была высказана в 1962 году В. И. Векслером [5], также как и мысль об их формировании путем

адиабатического сжатия по радиусу в растущем магнитном поле, чем обеспечивалась и необходимая плотность электронов, и устойчивость сгустка в целом. Кольцо релятивистских электронов ускоряет относительно небольшое число ионов, практически не создающих возмущений для электронов. Менялся не только подход к созданию сгустка, но и принцип ускорения. Новый метод получил название коллективного метода ускорения ионов электронными кольцами. Главным его достоинством является универсальность — коллективные ускорители, в принципе, могут перекрыть весь диапазон энергий, интересный для физических исследований, а их создание экономически намного выгоднее традиционных.

В коллективном методе ионы ускоряются собственным электрическим полем электронов. Электрическое поле, связанное с пространственным зарядом, достигает колоссальных значений при сравнительно небольшой плотности заряда электронов, и использование его для ускорения ионов позволяет существенно увеличить темп ускорения — набор энергии ионом на единице длины. В процессе получения больших электрических полей необходимо, прежде всего, создать условия существования плотных электронных сгустков, которые распадаются вследствие ку-лоновского взаимодействия электронов. Однако при формировании электронного сгустка существенную роль играет явление ослабления кулоновского взаимодействия в релятивистских пучках. Благодаря магнитному притяжению одноименных зарядов, движущихся в одном направлении, их разлет в направлении, перпендикулярном к движению, уменьшается по сравнению с неподвижными зарядами в 72 раз, где 7 — релятивистский фактор. Поэтому в релятивистском электронном пучке на электрон, движущийся по краю пучка, действует сила еЕ/72, где Е — напряженность поля бесконечного цилиндрического пучка электронов. Силу поля кулоновского расталкивания при достаточно высоких значениях 7 можно компенсировать и внешними полями, а также сравнительно небольшим количеством ионов в пучке. Сами ионы, не имеющие направленной скорости, удерживаются электрическим полем электронов.

Самая простая конфигурация электронного сгустка, позволяющая иметь выделенное направление ограниченного в пространстве релятивистского движения — кольцо. Электроны вращаются с релятивистскими скоростями так, что силы расталкивания их в поперечном сечении ослаблены в 72 раз. Ионы удерживаются в электронном кольце собственным электрическим полем электронов. При ускорении электронно-ионного кольца в направлении, перпендикулярном плоскости кольца, оно поляризуется, центры сечений электронной и ионной компонент расходятся на расстояние к так, что электроны находятся впереди ионов в направлении ускорения. Ионный сгусток отстает от электронного и удерживается в режиме ускорения собственным электрическим полем электронов. Фокусировка электронов в аксиальном направлении осуществляется или внешней потенциальной ямой, движущейся вместе с кольцом, или с помощью самофокусировки. Создаются такие условия, при которых ускорение электронно-ионного кольца во внешнем поле определяется электронной компонентой, т. е. суммарный ионный заряд много меньше электронного, чего и требует принцип коллективного метода ускорения ионов электронными кольцами. При совместном движении электронов и ионов получается большой выигрыш в темпе ускорения по сравнению с непосредственным ускорением ионов во внешнем электрическим поле. Например, в ускорителе тяжелых ионов ОИЯИ (Дубна) на длине ускорения около 1 метра обеспечивается ускорение 1-5 МэВ/-нуклон [2].

1.2. Коллективное ускорение ионов в ускорителе ЕСШРАС

Альтернативный подход к описанному выше методу коллективного ускорения был предложен в работах [3,4]. Для получения большего значения собственного электрического поля электронов было предложено использовать не электронное кольцо, а релятивистскую плазму, получаемую в условиях синхротронного гиромагнитного авторезонанса (СГА) [6,7], с последующим адиабатическим сжатием и ускорением полученного плазменного сгустка в спадающем в пространстве магнитном поле. Реализация данной идеи позволяет предъявить более мягкие требования

к техническим параметрам установки в целом. Предложенный метод получил название ECRIPAC (Electron Cyclotron Resonance Ion Plasma Accelerator). Устройство Ecripac (см. рис. 1), состоящее из трех основных частей: инжектора плазмы (1), системы катушек (2), создающих стационарное магнитное поле, катушки (3) для создания переменного реверсивного магнитного поля и вакуумного резонатора (4), который представляет собой металлическую цилиндрическую камеру. По обеим сторонам камеры установлены диафрагмы. Левая отвечает за размер инжектируемого пучка холодной плазмы. Правая имеет отверстие, через которое частицы высаживаются на мишень (5).

Рис. 1. Схема ускорителя ECRIPAC и профиль магнитного поля.

Фактически ускоритель ECRIPAC представляет собой комбинацию двух установок: Gyrac и Pleiade, которая дополнена системами инжекции и адиабатического сжатия плазмы.

Устройство Pleiade [8] представляет собой одиночную магнитную ловушку, в которой электронно-ионный сгусток ускоряется в стационарном, спадающем в пространстве магнитном поле. Электроны, набирающие энергию в режиме ЭЦР, затем ускоряются под действием силы ¿iVi? = W±_eVB/B, где W±e — энергия электрона, связанная с его поперечным движением. По предварительным оценкам предельная

энергия иона, движущегося в аксиальном направлении W\\i — (l - Jj^, где

W^ — энергия электрона в режиме электронного циклотронного резонанса (ЭЦР), Во — — величина индукции магнитного поля, соответствующего классическому ЭЦР, то и е — масса покоя и заряд электрона соответственно, с — скорость света в вакууме, си — частота СВЧ поля. Однако энергия, приобретаемая ионами в установке Pleiade, составляет лишь несколько десятков кэВ, что недостаточно для технологического использования.

Другая экспериментальная установка, плазменный синхротрон Gyrac [7], представляет собой резонатор, помещенный внутри системы катушек, формирующих нарастающее во времени магнитное поле с небольшим пробочным отношением. Аналитические оценки, результаты экспериментов и численного моделирования, показали, что условие ЭЦР, в нарастающем во времени магнитном поле автоматически поддерживается:

eB(t)

ш — -- = const, (1)

7 ш0с

в случае медленного нарастания магнитного поля во времени.

Кинетическая энергия электронов нарастает в соответствии с ростом магнитного поля

'Bit)

w±e = 0.511

Вп

- 1

МэВ. (2)

Работа ускорителя ЕСР1РАС состоит из следующих стадий. Первая — инжекция холодной плазмы в секцию йугас. Характерный поперечный размер плазмы инжекции—2-3 см, плотность — 109-Ю10 см"3, инжекция осуществляется синхронно с добавлением вспомогательного (реверсивного) переменного во времени магнитного

поля, создаваемого катушкой с обратным током. Общее магнитное поле уменьшается до тех пор, пока его уровень не будет соответствовать величине Во, при которой электроны захватываются в режим СГА (см. рис. 1). Вторая стадия — нарастание магнитного поля до значения Вдут и ускорение электронов в режиме СГА до энергий порядка 0.5-1.0 МэВ. Частота СВЧ поля —2.45 ГГц. Третья — адиабатическое сжатие плазмы: повышение плотности плазмы и дальнейшее возрастание энергии электронов вследствие бетатронного эффекта. Четвертая — собственно коллективное ускорение ионов в спадающем магнитном поле. Заметим, что в результате СГА образуется скорее электронно-ионный сгусток, чем релятивистская плазма, однако, следуя терминологии авторов проекта, будем называть этот объект плазмой.

В работе [3] получено выражение для энергии приобретаемой ионами в процессе коллективного ускорения:

'/ Мг + п„

где индексы «f» и «s» означают «конечный» и «начальный», соответственно, и ограничение накладываемое на градиент магнитного поля

(4)

В ~ Мгс2 V ;

При ориентировочном характерном продольном размере плазменного цилиндра порядка 1 см и предполагаемой конечной плотности 1 • 10псм~3, можно легко рассчитать значение напряженности собственного электрического поля, создаваемого электронной компонентой:

Е = Aimed = 1.8 • 102кВ/см . (5)

Также нетрудно определить величину отношения между значениями градиента магнитного поля и величиной магнитного поля:

VB — 3.85 ■ 10~4В. (6)

Наряду с процессом адиабатического сжатия плазмы может быть использован иной путь увеличения ее плотности, основанный на взаимодействии электромагнитных волн с плазмой. Повышение плотности плазмы достигается путем увеличения частоты излучения электромагнитной СВЧ волны вводимой в резонатор. Однако в этом случае уменьшаются характерные размеры генерируемого плазменного сгустка, что, в свою очередь, приводит к относительному снижению общего числа частиц.

2. Численное моделирование коллективного ускорения протонов

2.1. Численная модель коллективного ускорения протонов

Одним из наиболее эффективных и часто применяемых методов моделирования плазменных процессов является метод частиц в ячейке [9,10]. Учитывая физические особенности процесса коллективного ускорения ионов, описанные выше, ограничимся одномерной электростатической моделью.

Схема метода частиц в ячейке, используемая в данной работе, состоит из следующих основных этапов. По известному распределению частиц плазмы (электронов и ионов) в момент времени т" (т = шЬ — безразмерное время, п — номер шага по времени) определяется распределение заряда в узлах заданной сетки р{з) = где А2 — шаг сетки в направлении — 1, ..., 3 — номера узлов

пространственной сетки в направлении 7,. Распределение зарядов в узлах сетки

находится с помощью обратной билинейной интерполяции (процедура «раздачи»

заряда по ближайшим узлам). Решение разностного аналога уравнения Пуассона

+ + = ^ (7)

осуществляется методом прогонки [9]. Потенциал на границах области полагался равным нулю.

Значения поля Е™ в узлах сетки определяются после усреднения найденных значений потенциала по сетке с помощью взятия конечно-разностных производных

Электрическое поле в точках расположения частиц также определяется с помощью билинейной интерполяции.

Следующим шагом является решение уравнений движения электронов и протонов с учетом релятивизма. Для решения уравнений движения использовалась схема «с перешагиванием». Конечно-разностный аналог уравнений движения в безразмерной форме имеет вид для электронов:

+ ^ -Ц." * _ дп (7е -1)

А т ~ Ijff b" dCe

и ионов

71+A n-i п

иг - иг - = дГ_

At Rm '

(9)

(Ю)

где ис, щ — импульсы электрона и иона в единицах гпос, д71 — безразмерная величина электрического поля в момент времени п, С* ~~ координаты электрона и иона в единицах с/и>, Ьп — магнитное поле, нормированное на Во, Ат — временной шаг, Дт —отношение массы иона к массе электрона.

При переходе к следующему моменту времени цикл вычислений завершается расчетом новых координат частиц

сг+1-сг + «н/7Г4-аг) (id

и получением нового распределения частиц в координатном пространстве и пространстве импульсов. В дальнейшем цикл вычислений повторяется.

Выбор данной численной модели обусловлен возможностью рассмотрения следующих проблем:

— исследование условий ускорения протонов плазмы и зависимости эффективности ускорения от начальных параметров (плотности плазмы, градиента магнитного поля);

— изучение эволюции плазменного сгустка в процессе ускорения ;

— изучение зависимости энергетического спектра протонов от начальных параметров плазмы и градиента магнитного поля.

В начальный момент времени т = 0, учитывая результаты экспериментов и численного моделирования плазмы в условиях СГА, задавалось гауссово пространственное распределение электронов и протонов с общим числом моделируемых частиц порядка 20000 каждого сорта. Степень заряженности плазмы г> — 100%

711

варьировалась в диапазоне от 5% до 80%. Предполагалось, что вся кинетическая энергия электронов в начальный момент связана с вращательным движением. Таким образом, начальные продольные импульсы электронов, как и начальные импульсы протонов, считались равными нулю. В модели использовалось реальное отношение массы протона к массе электрона. Учет диамагнитных явлений, отраженных в уравнении движения для электронов (сила кулоновского расталкивания

Рис. 2. Поле поляризации плазменного сгустка в начальной стадии ускорения: I — < = 12 не; 2 — 4 = 30 не; 3 - г = 60 не; 4 - { = 120 не.

электронной компоненты уменьшается в 72 раз), дает основание воспользоваться схемой метода частиц с учетом лишь электростатических взаимодействий. Учет уменьшения плотности электронной компоненты плазмы вследствие возрастания ларморовских радиусов электронов при их движении в область спадающего магнитного поля проводился при расчете плотности заряда на сетке. Учитывая предполагаемые особенности исследуемого процесса, а именно: быстрое изменение плотности плазмы, ускорение протонов до релятивистских энергий, выбор шага сетки был обусловлен следующими соображениями. С одной стороны, шаг сетки должен быть порядка дебаевского радиуса плазмы после стадии адиабатического сжатия, а с другой стороны, он должен быть достаточно большим, чтобы релятивистская частица проходила расстояние равное шагу сетки не менее, чем за два временных шага, то есть < 2сД4, где Д^ —шаг интегрирования уравнений движения. В данной работе шаг сетки ДЯ = 0.05 см при среднем числе частиц в ячейке в начальный момент времени И,,, = № — 400. Учет пространственной ограниченности процесса проводился для анализа потерь частиц из плазмы, посредством ввода границ, соответствующих условиям эксперимента. Частицы, достигшие стенок камеры, считались потерянными.

2.2. Результаты численного моделирования

Результаты численного моделирования позволили получить и проанализировать следующую информацию об изучаемом процессе:

— пространственное распределение электронов и протонов, что дает возможность проследить за эволюцией плазмы во времени;

— данные об энергиях частиц (электронов и протонов) для анализа изменения энергетического спектра во времени, а также эффективности ускорения протонов;

— потери частиц из плазмы;

— напряженность поля поляризации, возникающего в процессе коллективного ускорения

Расчеты проводились для различных значений плотности плазмы в начале цикла коллективного ускорения, а также значений величины индукции магнитного поля и градиента магнитного поля. На рис. 2-4 представлены результаты, полученные для следующих параметров: п = 1011 см-3, У/ = 5 МэВ, В — 8750 Гс, УВ = 10 Гс/см.

В начальной стадии коллективного ускорения возникает поле поляризации (рис. 2), достигающее максимального значения 190 кВ/см за время менее, чем 0.1 мкс. Пространственная область поля разделения зарядов увеличивается, однако полного разделения электронной и ионной компонент плазмы не происходит. Сохраняется область (5-6 см), в которой плотности электронов и протонов различаются несущественно (рис. 3). Такой режим ускорения позволяет получать сгусток протонов со средней энергий 26 МэВ на длине ускорения 300 см (рис. 4).

Число ускоренных протонов в этом случае составляет около 10% от общего числа. Выбранный градиент магнитного поля для заданных значений плотности и

Рис. 3. Плотности электронной (пунктирная кривая) и ионной (сплошная кривая) компонент.

Рис. 4. Энергетические спектры протонов на различных длинах ускорения.

энергии плазмы, и стартового значение магнитного поля являлся наиболее оптимальным. В случае большего градиента магнитного поля (VВ = 20 Гс/см) плазма практически полностью распадалась на длине ускорения. Максимальная энергия, приобретаемая протонами, едва достигала 15 МэВ (рис. 5, кривая 1), причем число таких частиц составляло не более 2%, от первоначального числа протонов. При меньших градиентах магнитного поля ('ЧВ — 5 Гс/см) наблюдалось движение плазменного сгустка как единого целого, однако вследствие относительно небольших значений напряженности поля поляризации темп ускорения протонов был невысоким (рис. 5, кривая 2). Заметим, что несмотря на общую компактность сгустка протонов наблюдается тенденция к его распаду, о чем свидетельствует сильная неоднородность сгустка в конце цикла ускорения (рис. 6). Похожая неустойчивость — распад релятивистского кольца электронов, нагруженного ионами, на сгустки была обнаружена при ускорении ионов электронными кольцами [2].

ксУ

Рис. 5. Энергетические спектры протонов, полученные при различных градиентах магнитного поля: 1 - УВ = 20 Гс/см; 2 - УВ = 5 Гс/см.

Для ускорения протонов до более высоких энергий на единицу длины ускорения необходима более плотная плазма и больший градиент магнитного поля. На рис. 7 представлен энергетический спектр ускоренных ионов, рассчитанный в случае п = 3 • Ю12 см"3, IV = 10 МэВ, В = 17500 Гс, УВ = 100 Гс/см, г) = 80%, длина ускорения 100 см. Как следует из рисунка, для данных параметров энергия протонов достигает 200 МэВ.

Z, ст

Рис. 6. Плотность сгустка протонов в конце цикла ускорения в случае УБ = 5 Гс/см.

W, MeV

Рис. 7. Энергетический спектр протонов на длине ускорения 100 см.

Обсуждение результатов.

Результаты численного моделирования показали перспективность метода коллективного ускорения ионов, предложенного в работе [3]. Кроме того, все этапы работы ускорителя ECRIPAC, от инжекции плазмы, до коллективного ускорения были экспериментально исследованы на различных установках. Особняком в этом ряду стоит адиабатическое сжатие плазмы. Именно этот этап вызывает наибольшие сомнения, так как известны многие эксперименты, в которых релятивистская плазма распадалась за время порядка 1 мкс. Однако, результаты экспериментального и численного изучения ускорения электронов плазмы в условиях СГА дают повод для оптимизма. Две особенности отличают плазму, полученную в результате СГА от релятивистской плазмы в традиционном понимании. Во-первых, при СГА практически вся энергия электронов — энергия вращательного движении поперек магнитных силовых линий. Во-вторых, плазма в процессе СГА становится заряженной. Степень заряженности зависит от темпа нарастания магнитного поля, напряженности СВЧ поля и может достигать 90%. Именно эти две особенности являются важными факторами, которые могут обеспечить устойчивость СГА-плазмы в процессе адиабатического сжатия. В дальнейшем авторами работы планируется

проведение полномасштабного трехмерного численного эксперимента, моделирующего ускоритель ЕСШРАС, включающего в себя все стадии процесса с учетом диамагнитных эффектов.

Работа выполнена при поддержке программы Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы».

Литература

1. Векслер В.И. // Атомная энергия. — 1957. — Т. 5. — С. 427.

2. Саранцев В. П., Перелыитейн Э. А. Коллективное ускорение ионов электронными кольцами. — М.: Атомиздат, 1979. — С. 216.

3. Geller R., Golovanivsky K.S. C.E.N.G. SPhat-PSI. - 1990. - No. 690. - P. 12.

4. Geller R., Golovanivsky K.S. // Nuclear Instruments and Methods. — 1992. — Vol. 68. - P. 7.

5. Векслер В.И. // Атомная энергия. — 1968. — Т. 24. — С. 317.

6. Андреев В.В., Голованивский К.С. Физика плазмы. — 1985. — Т. 11. — С. 300.

7. Andreev V.V., Umnov A.M. // Plasma Sources Science and Technology. — 1999. - Vol. 8. - P. 479.

8. Geller R. et al. // J. Piasrna Phys. - 1974. - Vol. 12(3). - P. 467.

9. Birdsall С. K., Langdon A.B. // Plasma Physics via Computer Simulation. — Bristol, Philadelphia: IOP Publishing Ltd, 1995. - P. 305.

10. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: Мост между прошлым и будущим физики плазмы. — М.: Физматлит, 2001. — С. 223.

UDC 541.532.78

Numerical Modeling for Collective Acceleration of Protons in

ECRIPAC Accelerator

A. M. Umnov, G. S. Slabov, Marius S. B. Koube

Department of Experimental Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

Numerical modeling for acceleration of protons in ECRIPAC accelerator was carried out. Parameters of accelerated bunches of protons and their dependencies on plasma parameters and magnetic field gradient were studied.