CC BY
37
Вычислительные технологии
Том 9, № 3, 2004
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ В УСИЛИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ*
М.А. Курикалова, Д. Б. Нурсеитов Новосибирский государственный университет, Россия e-mail: [email protected], [email protected]
М. П. ФЕДОРУК Институт вычислительных технологий, Новосибирск, Россия
e-mail: [email protected]
When powerful optical pulse propagates along a fiber with normal dispersion, a parabolic-like pulse is formed. Dependence of the parameters of parabolic pulse that is being formed on the input Gaussian signal parameters and fiber characteristics is investigated. Range of parameters where the relative error is minimal has been studied.
Введение
В состав современных волоконно-оптических систем передачи входят волоконно-оптические усилители, которые позволяют компенсировать затухание оптических импульсов в волоконных световодах и увеличивать длину безрегенерационных участков до расстояний в несколько сотен километров. В настоящее время в волоконных линиях связи применяются два типа волоконных усилителей: эрбиевые [1] и рамановские (ВКР) [2]. Эрбиевые волоконно-оптические усилители (erbium-doped fiber amplifiers, EDFA) получили название сосредоточенных (lumped), поскольку длина, на которой происходит усиление сигнала (несколько десятков метров), значительно меньше расстояния между усилителями. Принцип действия рамановских волоконных усилителей (distributed Raman amplifiers — DRAs) основан на использовании стимулированного рамановского рассеяния, обеспечивающего усиление слабого оптического сигнала путем преобразования части энергии мощной волны накачки.
В связи с очень активным использованием оптических усилителей в современных волоконно-оптических линиях передачи представляется, что весьма актуальна задача развития адекватных математических моделей, описывающих динамику оптических импульсов в усиливающей среде. Основной математической моделью для описания распространения оптических сигналов в волоконных усилителях является обобщенное нелинейное уравне-
* Работа выполнена при поддержке Президента РФ (грант № НШ-2314.2003.1) и Министерства образования РФ (грант № ЗН-080-01).
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
ние Шредингера (ОНУШ) [3]:
гфг - у^ + = ¿^(1)
где ф(г,1) — медленно изменяющаяся комплексная амплитуда огибающей импульса в движущейся системе координат; в2 = пс\) — дисперсия групповых скоростей, Б — коэффициент дисперсии, с — скорость света, Ао — длина волны; а — коэффициент нелинейности; д(г) — коэффициент усиления сигнала.
В работе [4] показано, что в предположении малости линейного дисперсионного члена по сравнению с нелинейным членом автомодельные решения ОНУШ для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму. Эти результаты были подтверждены экспериментально в работе [5]. В [6] проведен детальный математический анализ квазиклассического параболического решения ОНУШ в волоконном световоде с постоянным коэффициентом усиления и показано, что результаты развитой аналитической теории хорошо согласуются с данными прямого численного моделирования.
В настоящей работе приведены результаты численного моделирования динамики оптических сигналов в усилителях различных типов и установлены области характерных параметров входного сигнала и усиливающей среды, при которых обобщенное нелинейное уравнение Шредингера имеет автомодельные решения в виде импульсов параболической формы.
1. Основные уравнения параболического приближения
Следуя [6], будем искать решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
ф(г,г) = а(г)Г )егС(^2, (2)
где
« = ЯГ) ■ II = *аЪ) (3)
— автомодельные переменные. Здесь а(г) имеет размерность, аналогичную ф(г,Ь), и описывает зависимость пиковой амплитуды импульса от пройденного расстояния; т(г) — характерная ширина импульса; С (г) — фазовый коэффициент; Г ) — нормированная безразмерная функция, описывающая эволюцию формы импульса.
В новых переменных (3) исходное уравнение (1) примет следующий вид:
гахГегС'2 + га3ГпаегС*2 - гаГ< ^егС'2 - аП2СгегС2 -
-ааГ^ р-егС'2 - 2аГ^гС1егС* - аГ^-гСе^2 + (4)
2т2 т
+аГр22С212егС'2 + аа|а|2 Г |Г |2егС*2 = %д-аГегС{2.
Группируя слагаемые при гЕ в (4), получим
ъагЕегС*2 - аЕв2гСегС*2 = г^аГегС'2,
• 9
гах — а/32гС = г ^ а,
^=ьс+2.
а 2
Группируя слагаемые при Е5, получим уравнения
—гаЕ ^ егС*2 — в2аЕ? 12гС1егС'2 = 0,
т
1
-2 + в2-2Сг = 0,
т
- = —в2 С. т
Наконец, выпишем оставшиеся члены (4) (общий множитель е опускаем) га3Еп а — аЕС* г2 — у (аЕ?? -1 — аЕ 4С2г2) + аа3Е |Е |2 = 0,
2
гЕп — -1- С г2Е — % + Е + |Е |2Е = 0,
а2а а2а
где
Учитывая уравнение (3), получим
гЕп + (|Е |2 +
Введя обозначение
Л
получим уравнения
с(п)
2т2а2а в2 '
2в2 С2 т2 — Сг т2 2
а2 а
£2) Е — ^Е55 = 0.
(2в2С2 — С )т2 а2а
(С — 2в2С2)т2 = — Лаа2
1
гЕп + (|Е|2 + Л£2)Е — —% = 0.
Таким образом, имеем систему уравнений
ах
в2С +2 а 2
9
— 2в2С;
(С — 2в2С2)т2 = —Лаа2; гЕп + (|Е |2 + Л£ 2)Е — -1) % = 0, ф)
2аа2т2
в2 '
(5)
(6)
(7)
Из (5)-(8) можно получить уравнения на величины а и т:
а2(г)т(г) = а2(г0)т(г0) ехр йг'д(г') 2в-аАа2
тг
(9)
(10)
с начальными условиями на т и (тг)г=го = -2^2С(г0)т(г0). Здесь г0 — начальная координата, начиная с которой будем считать, что параболическое приближение описывает динамику оптического импульса.
Разделив Г на вещественную амплитуду А и фазовый коэффициент Ф
Г Ы ) = А(л,0егФЫ
из (9) получим систему уравнений:
2
(А2)п -^"г(А2Ф?)? = 0;
Фп +
1
с(П)
4 с(п)
- (Фе)
А 2
А
- (А2 + АС2) = 0.
(11)
(12) (13)
Определим параметр е как отношение линейного члена к нелинейному в уравнении (13)
е(п,С)
с(п)А3
Предположив далее, что е ^ 1 и А = А(С), Ф = Ф(п), получим решение вида [6]
А(С) = [А(1 - С2)]1/2, ||£||< 1,
(14)
Ф(п) = Ац.
(15)
В исходных переменных будем иметь
' 3и (г)
М1
4т(г) _
1/2
1-
т(г)
1/2
для |г| < т(г);
1Ф(г,1)1 = 0, для |г| >т(г); aIg ф(г,г) = Ап(г) + С (г)г2;
С (г) = - ¿2 Тгт
12т = 3р2аи(г);
иг2 = 2Г2 ;
и (г) = и (г0) ехр ¡^ д(г' )1г'
Данное решение справедливо при условии, что
2в2
(16)
(17)
(18)
(19)
3ати
2
г
2. Результаты численного моделирования
В этом разделе мы сравним результаты расчетов в рамках параболического приближения (16)-(20) с прямым численным моделированием исходного уравнения (1). При этом основное внимание будет уделено расчетам усиливающей среды с распределенным усилением.
Предположим, что имеет место обратная накачка в волоконном световоде длины Ь, который характеризуется следующими параметрами: коэффициент дисперсии групповой скорости = 5.098 • 10-3 пс2 • м-1, коэффициент затухания сигнала а3 = 0.24 дБ/км, эффективная площадь моды Ле££ = 55 мм2, нелинейный показатель преломления п2 = 2.67 • 10-20 м2/В, нелинейный коэффициент а = (2пп2)/(Л0Ле££), где Ао = 1.55 мкм — несущая длина волны.
В случае распределенного усиления с обратной накачкой коэффициент усиления в уравнении (1) имеет вид
g(z) = (—Ys + go exp[-2YP(L - z)]). Здесь g0 = PpgR/(2Aeff), Pp — мощность обратной накачки, g^/Aeff = 0.8 Вт
-1 ■ км-1;
коффициент затухания мощности на длине волны накачки ар = 0.36 дБ/км. Предположим, что при г = 0 импульс имеет гауссовскую форму:
^(0,i) = VP0 exp
f2
If +iC<2.
где T0 — полуширина импульса по уровню интенсивности, которая в e раз меньше максимальной. На практике удобно использовать полную длительность по уровню половины максимальной интенсивности FWHM (Full Width at Half Maximum). Для импульса гаус-совской формы эти две величины связаны соотношением
Tfwhm = 2(ln 2)1/2To ~ 1.665T0.
На рис. 1-5 в качестве характерного примера представлены результаты расчетов для импульса со следующими начальными параметрами: начальная ширина импульса
Рис. 1. Эволюция формы импульса в усили- Рис. 2. Зависимость пиковой амплитуды сиг-вающей среде. нала от расстояния.
Tfwhm = 5 пс, начальная мощность импульса P0 = 0.64 Вт, фазовый коэффициент (chirp) C = 0. В расчетах предполагалось, что длина оптического усилителя L = 8 км, z0 = 7 км, мощность накачки Pp = 2.5 Вт. Сплошная линия соответствует результатам прямого численного моделирования, пунктир — результатам расчетов в рамках параболического приближения. На всех рисунках единицы измерения следующие: длина — километр, мощность — ватт, пиковая амплитуда — ватт1/2, фазовый коэффициент — терагерц2, энергия — пикоджоуль, ширина импульса — пикосекунда.
На рис. 1 показана эволюция формы импульса в усилителе с распределенным усилением. Видно, что начальный гауссовский импульс, эволюционируя, приобретает параболиче-
W
60
40
20
C
0 г
0.02
0.04 -
0.06 -
8 z
8 z
Рис. 3. Характерная ширина импульса в зависимости от дистанции распространения.
Рис. 4. Динамика фазового коэффициента сигнала.
U
900 Ь
600 -
300 -
8 z
A
0.8
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
C
0
2
4
6
0
2
4
6
1
0
2
4
6
0
Рис. 5. Изменение энергии при распространении импульса.
Рис. 6. Величина относительной ошибки в плоскости фазового коэффициента и пиковой амплитуды; мощность накачки 1 Вт.
скую форму. На рис. 2-5 представлены динамика пиковой амплитуды, ширина, фазовый коэффициент и энергия импульса соответственно. Для количественного сравнения была вычислена величина относительной ошибки
6 = лАА-^С^Ц)2/^fp[+w[Vc¡ + U-,
где индекс 1 соответствует ОНУШ, индекс 2 — параболической модели. На рис. 6-10 начальная ширина импульса TFWHM = 4 пс, длина оптического усилителя Ь = 15 км, г0 = 14 км, дисперсия групповой скорости в2 = 1.274 • 10-3 пс2 • м-1. На рис. 6-8 представ-
Рис. 9. Сравнение областей с одинаковыми значениями ошибки: сплошная кривая соответствует мощности накачки 1 Вт, пунктир — 1.4 Вт; величина относительной ошибки 0.048.
Рис. 10. Величина относительной ошибки в плоскости энергия и ширина импульса.
лена величина относительной ошибки в плоскости (пиковая амплитуда, фазовый коэффициент) для мощностей накачки Pp = 1,1.4,1.6 Вт соответственно. На рис. 9 в плоскости параметров (пиковая амплитуда, фазовый коэффициент) показаны области, где величина относительной ошибки 8 < 0.048 для мощностей накачки Pp = 1,1.4 Вт. Из рисунков видно, что наименьшая величина относительной ошибки соответствует областям, близким к нулевому значению фазового коэффициента C.
На рис. 10 приведены линии уровня относительной ошибки в плоскости (ширина, энергия) для системы с постоянным коэффициентом усиления. Эти вычисления соответствуют параметрам, рассмотренным в работе [6]: длине оптического усилителя 4 ■ 10-3 км, Tfwhm = 0.5 пс, коэффициенту нелинейности а = 610-3 Вт-1м-1, в2 = 3510-3 пс2м-1, коэффициенту усиления g(z) = 1.44 м-1 и стартовой точке для параболического режима z0 = 2.5 ■ 10-3 км. Из рисунка видно, что величина относительной ошибки имеет минимальное значение, если параметры сигнала находятся в следующих диапазонах: Ttwhm £ (0.4, 0.5) пс, U £ (50, 65) пДж.
Заключение
Исследованы квазиклассические решения импульсов с параболическим профилем. Проведено сравнение между решениями в параболическом приближении и решением в рамках ОНУШ. Приведены области параметров начального импульса, где величина относительной ошибки минимальна. Создан программный пакет, позволяющий определять области параметров оптоволоконного усилителя, необходимых для генерации параболических импульсов.
Список литературы
[1] Desurvire E. Erbium-doped fiber amplifiers. N.Y.: Jonn Willey & Sons, Inc., 1993.
[2] DlANOV E.M. Raman fiber amplifiers // Topical Meeting on Optical Amplifiers and Applications. ThAI, Nara, June 9-11, 1999.
[3] AGRAWAL G.P. Nonlinear Fiber Optics. N.Y.: Acad. Press, 2001.
[4] Kruglov V.I., Peacock A.C., Dudley J.M., Harvey J.D. Self-similar propagation of high-power parabolic pulses in optical fiber amplifiers // Opt. Lett. 2000. Vol. 25. P. 1753.
[5] Fermann M.E., Kruglov V.I., Thomsen B.C. ET AL. Self-similar propagation and amplification of parabolic pulses in optic fibers // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 6010.
[6] BOSCOLO S., TuritSYN S., NOVOKSHENOV v., NlJHOF J. Self-similar parabolic optical solitary waves // Theor. and Math. Phys. 2002. Vol. 133. P. 1645-1654.
Поступила в редакцию 5 февраля 2004 г.
