CC BY
33
УДК 535.2:621.373.826 375.8:535.2
О.М. Паршков ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ОПТИЧЕСКОГО БРИЗЕРА В СРЕДЕ С НЕОДНОРОДНЫМ УШИРЕНИЕМ РЕЗОНАНСНОГО КВАНТОВОГО ПЕРЕХОДА
Представлены результаты численного моделирования эволюции оптического бризера, возникшего в результате взаимодействия входного 0п-импульса с неоднородно уширенным квантовым переходом в случае точного и приближённого резонансов. Показано, что в квазирезонансном случае бризерный тип огибающей импульса на больших расстояниях заменяется структурой в виде двух разночастотных 2п-импульсов одинаковой длительности. Приведены результаты численного анализа, относящиеся к известному эксперименту по наблюдению 0п-импульса в кристалле рубина.
O.M. Parshkov
NUMARICAL SIMULATION OF BREATHER EVOLUTION WITH RESONANCE QUANTUM TRANSITION INHOMOGENEOUS BROADENING
The numerical simulation results of optical breather evolution are presented in this article, when breather arises due to input 0n-pulse and inhomogeneously broadened quantum transition interaction in the case of proximate and approximate resonance. It is found under the quasi resonance condition, that breather envelope pulse type is replaced by the structure composed of two different frequencies 2n-impulses of equal durations in large distance region. The numerical simulation results of the well-known experiment connected with observation of 0n-pulse in a ruby crystal are presented here too.
Введение
Самоиндуцированная прозрачность (СИП) [1] занимает особое место среди нестационарных оптических явлений [2]. Изучение СИП ввело в оптику понятие солитона [3, 4], широко используемое при интерпретации экспериментов в области коротких, в частности фемтосекундных, лазерных импульсов [5, 6].
Теоретический анализ [7, 8] показал, что СИП может иметь место не только при возникновении оптического солитона - 2п-импульса, но и при формировании 0п-импульса с огибающей бризерного типа [9, 10]. (Далее такой оптический бризер именуется 0п-бризером.) Экспериментальное изучение эволюции 0п-импульса в рубиновом стержне было выполнено в работе [11], в которой приводились также результаты численного анализа этого эксперимента. Как отмечали авторы [11], в связи с ограничениями вычислительных возможностей для расчетов выбиралось заниженное по сравнению с экспериментальным (по нашим оценкам, почти на два порядка) значение длительности входного 0п-импульса. Кроме того, численная модель не учитывала
необратимой релаксации, которая в условиях эксперимента не являлась пренебрежимо малой. Ввиду сказанного моделирование не воспроизводило временную задержку и длительность наблюдаемого Оп-импульса.
В работе [12] приведены результаты численного моделирования эволюции Оп-импульса при точном резонансе (совпадение несущей частоты излучения с центральной частотой неоднородно уширенного квантового перехода) в отсутствие необратимой релаксации. Предложено правило нахождения структуры Оп-импульса на больших расстояниях от входной поверхности по площади под графиком модуля огибающей входного Оп-импульса. Представлены формулы, описывающие огибающую огибающей напряжённости электрического поля Оп-бризера и продемонстрирован упругий характер столкновения Оп-бризеров.
В данной работе, являющейся продолжением исследований [12], приводятся итоги численного моделирования эволюции Оп-импульса в среде с неоднородным уширением резонансного квантового перехода. Основное внимание уделяется при этом эффектам, связанным с формированием Оп-бризера как при условии точного резонанса, так и при небольших отступлениях от него (квазирезонансный случай). Приводятся результаты численного моделирования эксперимента [11] при адекватном выборе длительности входного Оп-импульса и учёте поперечной релаксации квантового перехода.
Постановка краевой задачи
Резонансная среда представляется ансамблем двухуровневых квантовых объектов, далее называемых атомами. Невырожденные энергетические уровни нумеруются цифрами 1 и 2 в порядке роста энергии. Полагается, что гауссов контур разброса частот ш21 квантовых переходов около центральной частоты ш21 имеет ширину 2/Т по уровню е— максимальной высоты. Пусть i j k - правый ортонормированный базис лабораторной системы координат х у г, а р = (1/-\/2 )|рх12 - /ру12|, где рх12 и ру12 - х и у компоненты
вектора электродипольного момента перехода 1-2. Напряжённость электрического поля поляризованного по кругу лазерного излучения, распространяющегося вдоль оси г, представим в виде
Е = фа(г,^)вга(/) + ё.п.,
где а(г,Г) - комплексная огибающая; п _ линейный показатель преломления среды, в которую внедрены атомы, д = 3й/[232Т(п2 + 2)р]. Введём безразмерные независимые переменные
^ = а Т г, ч = (^ - г п / с) / Т,
2пш р2 (п2 + 2)2 N
а =-----^--------—,
9с Н п
N - концентрация атомов. В приближении медленных огибающих [13, 14] получаем систему уравнений, описывающую взаимодействие поля и среды
да
дэ
до
і ш
-т= {°2іЄхр[-(8-8о)2] йг
V П -ад
—21 + і 8021 =-іа Р-У^21. (1)
ш
-дР = - 1т(а с*21), с№
где о21 - амплитуда недиагонального элемента матрицы плотности, а р=о22-ап -инверсия населённостей квантового перехода;
8О = Т (ш21 -ю), 8 = (ш21 -ш), у = Т / Т21,
Т21 - время поперечной релаксации перехода 1-2.
Система (1) дополнялась начальными (ч=О) условиями
р (э, ч = О) =-1, о21(э,ч = О) = О, э > О. (2)
Граничное условие, задающее импульс излучения на входной поверхности (э=О), имело вид
а (э = О, ч) = / (ч) - / (ч + Ач), ч > О, (3)
где _Дч) - огибающая импульса, именуемого далее составляющим импульсом,
определялась формулой
r ©
f (w) =
exp I q
w — w,
+ exp I - 3q
w-w
(4)
Здесь r = 1.4332, q = 1.5919, ©0 - амплитудный множитель, имеющий смысл площади под графиком функции fw); т - длительность составляющего импульса по уровню 0,5 полной высоты. Огибающая (3) описывает 0п-импульс, полученный наложением двух противофазных составляющих импульсов, смещенных относительно друг друга на время Aw. Такая конструкция входного 0п-импульса моделирует экспериментальный способ его получения, реализованный в работе [11].
Краевая задача (1)-(4) решалась численно. Использованная для этой цели программа описана в работах [15, 16], в которых также обсуждались методы контроля правильности вычислений.
Способ представления результатов расчёта
Результаты расчёта представляются графиками функций As(w) и фДУ), где As (w) = |a(s = const, w)|, фs (w) = arg a(s = const, w) - действительная огибающая и фазовая
добавка импульса при фиксированном значении s. В случае точного резонанса (s0=0) величина a(s,w) является действительной и, следовательно, a(s, w) = ± As (w). На графиках
As(w) полярность огибающей a(s,w) указывается символами «+» и «—». Если полярности чередуются, то эти символы ставятся только около некоторых субимпульсов. Функция Am(s) описывает зависимость от s максимального значения огибающей As(w). Движение населённостей резонансного перехода описывается графиками функции pss(w), равной функции p(s = const, w) при заданном значении параметра отстройки частоты s.
В качестве интегральной характеристики огибающей рассматривается функция
ад
©(s) = J As (w) dw ,
—ад
имеющая смысл площади под графиком модуля огибающей a(s,w) при фиксированном s . В теории СИП [1] площадь импульса ©(s) определяется интегралом от самой функции a(s,w). Согласно теореме площадей [1], в случае точного резонанса и 0п-импульса на входной поверхности равенство ©(s)=0 выполняется для всех s. В качестве энергетической характеристики импульса рассматривается функция e( s) = E (s)/ E (0), где E(s) - энергия, перенесённая излучением через единицу площади поперечного сечения на расстояние s от входа в резонансную среду.
Спектральная плотность излучения Ох(А)определяется как квадрат модуля Фурье-образа функции (i + ij)E /(V2|j,T) на частоте q'=qp-A/T при фиксированном значении s.
т
т
т
0п-бризер при точном резонансе
Численное моделирование [12] для случая точного резонанса (в0=0) показало, что если площадь 0(0) входного импульса (3) лежит в пределах от 1,5п до 4п, то в среде формируется 0п-бризер, распространяющийся без потерь энергии. На рис. 1 представлены огибающие Оп-бризера, полученные в результате решения краевой задачи (1)-(4) при т =Ач=22, ч0=40 и 0(0)=1,85п. Огибающие Р5(ч) огибающих Л^ч) Оп-бризера (далее называемые вторичными огибающими) изображены на рис. 1 тонкими линиями. Эти вторичные огибающие описываются формулами
р (ч) = рт ЭесЬ
Ч - 5 / V
V =
оо
ПТ I *
+ тУ
4
тр =-------
р р
т
(5)
Рис. 1. Огибающие Д5 0п-бризера (толстые линии) при 5 = 4,3 (1) и 5 = 14,5 (2); вторичные огибающие Р5 0п-бризера (тонкие линии)
где ^т=0,0877 - максимальное значение функции .РДУ). Возможность такого представления вторичной огибающей 0п-бризера обнаружена в работе [12]. Отметим, что первые два соотношения из (5) идентичны соотношениям, описывающим огибающую 2п-импульса при точном резонансе. Однако для 2п-импульса третья формула в (5) заменяется равенством т = 2/¥т .
Спектр 0п-бризера представлен на рис. 2, а (толстая линия). Спектр состоит из двух квазигармоник с центральными частотами ±Л0, где Л0=0,077. На рис. 2, б приведены графики функций Лт^) и е(^). Видно, что для сформированного 0п-бризера ( > 2) величина Лт(5) осциллирует, а функция е(^) сохраняет
постоянное значение.
Специфика спектра 0п-бризера очевидным образом отражается на зависимости инверсии рД^) от величины |в| (при в0=0 инверсия от знака величины в не зависит).
Наибольшее воздействие поля испытывают атомы, для которых |в| = Л0, поскольку их
резонансные частоты близки к частотам квазигармоник спектра 0п-бризера. Данное обстоятельство подтверждается расчетом, результаты которого приведены на рис. 3. Видно, что инверсия атомов с в=0 незначительно отклоняется от равновесного значения -1 (кривая 1 на рис. 3). Инверсия атомов, для которых |в| = Л0, достигает наибольшего возможного для
инверсии значения, равного 1 (кривая 2 на рис. 3). При ещё больших значениях |в| отклонения инверсии от равновесного значения уменьшаются (кривая 3 на рис. 3). Кроме того, как показывает расчёт, при в=0 колебания инверсии противофазны, а при |в| > Л0 -
синфазны с колебаниями огибающей Л^). Отметим, что для 2п-импульса величина рД^) монотонно убывает с ростом |в| и для всех в изменяется в фазе с изменением огибающей Л*(^).
г
а б
Рис. 2. Спектры Оп-бризера (толстая линия) и входного импульса (тонкая линия) (а);
зависимости от в пикового значения Ат (тонкая линия) и энергии е (толстая линия)
при формировании Оп-бризера (б)
-0.!
\
2 д 1
ь и
ш Л
Оп-импульс в квазирезонансном случае
На рис. 4, а представлены результаты решения краевой задачи (1)-(4) при тех же, что и ранее, значениях параметров т, Лм, м0, @(0), но при во = -1. Для малых 5 (импульс 1 на рис. 4, а) огибающая Л5(м) сходна с огибающей 0п-бризера.
При больших 5 излучение распространяется в виде двух импульсов, пронумерованных на рис. 4, а цифрами 2 и 3. Биения графика функции ф^м) в области расположения импульсов 2, 3
свидетельствуют о наличии фазовой модуляции.
Для импульсов 2 и 3 фазовая модуляция оказывается линейной, что позволяет приписать каждому из них свою собственную, отличную от ш, несущую частоту. Расчёт показал, что
собственные несущие частоты импульсов 2 и 3 симметрично расположены относительно несущей частоты ш, отклоняясь от нее на расстояние 0,075 Т-1. При этом частота импульса 2 более удалена от ш21, чем частота импульса 3. Максимальные значения импульсов 2 и 3 одинаковы: Лт2=Лт3=0,043. В системе отсчёта 5, м скорость V, максимальное значение Лт и длительность тр (по уровню БесЬ(1)-Лт) стационарного 2п-импульса связаны формулами
[1, 7]
, -1
Л, =
Т р
Рис. 3. Инверсия населённостей р5Е квантового перехода для |є| = 0 (1),
|е| = А0 = 0,077 (2), |^ = 0.1 (3) при в = 4,9 в случае 0л-бризера
V
=«
) ЄХР[~(Є~Є )2] А!
где В - измеренное и единицах Т-1 отклонение несущей частоты 2п-импульса от частоты ш“1. Если в эти формулы подставить Лт, тр ив для каждого из импульсов 2 и 3, то получатся приближённые равенства, выполняющиеся с погрешностью менее 0,5%.
500 1000 1500 2000
а
500 1000 1500 2000
б
Рис. 4. Огибающие Л5 0п-импульса при э = 5 (1) и э = 48 (2, 3), а также фазовая добавка ф5 при э = 48 (4) для а); огибающие Л5 0п-импульса при э = 5 (1) и 5 = 19,8 (2) для 80 = -0,1 (б)
Представленные результаты, совместно с результатами расчетов для других значений безразмерных параметров входного импульса свидетельствуют о том, что в случае квазирезонанса огибающая 0п-бризера не является асимптотической формой огибающей при больших 5'. Такой формой служит структура из двух 2п-импульсов одинаковой длительности и, следовательно, одинаковой пиковой интенсивности, распространяющихся с разными скоростями ввиду различия несущих частот. Интересно, что энергия данной структуры излучения достаточно хорошо (расхождение около 1%) совпадает с энергией описанного в предыдущем разделе 0п-бризера.
В случае малых значений величины \г0| огибающая импульса сохраняет форму,
сходную с формой 0п-бризера на достаточно больших расстояниях 5. Это видно из рис. 4, б, на котором приведены результаты расчёта при прежних значениях параметров т, Aw, w0, 0(0), но при в0 = -0,1.
Отметим, что при выбранных выше значениях параметров Aw, т, и 0(0) огибающая (4) составляющего импульса близка (подробнее см. [15]) по длительности и пиковому значению к огибающим лазерных импульсов в экспериментах [17] по изучению СИП в парах рубидия. Безразмерное расстояние 5, отвечающее этим экспериментам, превосходило 100.
0п-бризер в рубине
Приведём результаты численного моделирования одного из экспериментов [11] по наблюдению эволюции 0п-импульса. Полученная в этом эксперименте огибающая 0п-импульса представлена вторым импульсом на нижней осциллограмме рис. 4 работы [11]. В качестве квантового перехода авторы [11] использовали переход А(± 1/2) - Е(± 1/2) иона хрома Сг+3 при условии точного резонанса в рубиновом стержне длиной 2 см. В [16] исходя из анализа данных работы [11] показано, что для рассматриваемого случая Т = 3,6-10_11 с и 5 = 1,5^2,5. Составляющие импульсы в этом эксперименте имели длительность 3 нс (по уровню 0,5 максимальной интенсивности) и были разделены временем около 3 нс. Учитывая это, имеем т/д = Aw = 80. Время Т21 составляло приблизительно 20 нс [11], откуда у=0,002 (продольная релаксация в условиях эксперимента была пренебрежимо малой). На рис. 5, а приведены результаты расчёта при указанных значениях параметров т, Aw, у и при 00=2п для 8=1,6 и 5=2. Огибающие А5^) имеют форму, сходную с формой 0п-бризера. Это ожидается, поскольку в данном случае 0(0)=1,8п > 1,5п. Анализ показал, что при 5=1.6 огибающая А5^) (толстая линия на рис. 5, а) описывает 0п-импульс, задержка которого относительно импульса, распространяющегося со скоростью с/п, составляет 4,5 нс, а длительность близка к 10 нс. Согласно упомянутой осциллограмме работы [11]
значения этих величин составляют 6 и 10 нс соответственно. Временное разрешение аппаратуры эксперимента [11] не позволяло воспроизвести изменение огибающей вблизи нулей поля. Однако несколько пичков бризера видны на огибающей второго импульса рассматриваемой осциллограммы. Сказанное выше позволяет заключить, что представленный расчёт хорошо описывает экспериментальный результат.
На рис. 5, б приведены результаты решения краевой задачи без учёта релаксации (у=0). Сравнение рис. 5, а и рис. 5, б показывает, что наличие релаксации, несмотря на её малость (т « 0,2 у-1), существенно влияет на характер эволюции 0п-импульса. Это объясняется тем, что потери энергии, связанные с релаксацией, приводят к уменьшению площади 0(5) с ростом 5. Когда условие 0(5)>1,5п перестаёт выполняться, 0п-бризер превращается в экспоненциально затухающий 0п-импульс [12]. Такой импульс движется со скоростью с/п и, следовательно, неподвижен в системе отсчёта 5, w. Это подтверждается тем, что огибающие импульсов для 5 = 1,6 и 5 = 2 на рис. 5, а расположены в одной и той же области оси w. Таким образом в рассматриваемом эксперименте наблюдался 0п-бризер на стадии превращения его в затухающий 0п-импульс.
Рис. 5. Огибающие Л5 0п-импульса при в = 1,6 (толстая линия) и в = 2 (тонкая линия) в присутствии релаксации (а); огибающая Л5 0п-бризера при в = 1,8 в отсутствие релаксации (б)
Отметим, что в работе [11] приводится оценка 00=1,4п. При этом 0(0)=1,3п, что недостаточно для формирования 0п-бризера, и расчёт показывает практически полное затухание 0п-импульса при отсутствии его временной задержки. В связи с этим отметим, что площадь входного импульса в [11] измерялась по полному потоку лучистой энергии, прошедшей через поперечное сечение лазерного пучка. Как отмечали сами авторы [11], поперечное распределение поля не являлось однородным. Поэтому поперечное сечение пучка должно было содержать участки с большими, чем 1,4п, значениями величины 00. Наличие таких участков и обеспечивало возникновение 0п-бризера.
Заключение
Показано, что при точном резонансе огибающая 0п-бризера имеет собственную огибающую, форма которой отличается от формы огибающей 2п-импульса только связью между пиковым значением и длительностью. Движение инверсии населённостей резонансного перехода индивидуального атома в случае 0п-бризера немонотонно зависит от модуля отстройки частоты его квантового перехода от центральной частоты неоднородно уширенного квантового перехода. В случае квазирезонанса асимптотической формой огибающей импульса на больших расстояниях служит структура из двух разночастотных 2п-импульсов с одинаковыми длительностями.
Численное моделирование эксперимента [11] с учётом поперечной релаксации квантового перехода привело к хорошему согласию расчётных и экспериментальных значений задержки и длительности 0п-импульса. Показано, что в данном эксперименте
наблюдался оптический бризер на стадии превращения его в экспоненциально затухающий сигнал ввиду наличия необратимой релаксации.
Высказанные соображения совместно с выводами работы [12] позволяют надеяться, что дальнейшее развитие теории СИП способно привести к новым аналитическим результатам, важным как для описания конкретных оптических явлений, так и в целом для теории нелинейных волн.
Автор выражает искреннюю благодарность А.Е. Дмитриеву за полезные дискуссии в ходе подготовки материала данной статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. McCall S.L. Self-induced transparency / S.L. McCall, E.L. Hahn // Physical Review. 1969. Vol. 183. № 2. P. 457-485.
2. Шен Р.И. Принципы нелинейной оптики / Р.И.Шен; под ред. С. А. Ахманова, пер. с англ. И. Л. Шумая. М.: Наука, 1989. 560 с.
3. Ablowitz M.J. Coherent pulse propagation, a dispersive, irreversible phenomenon / M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C. Newell // Jornal of Mathematical Physics. 1974. Vol. 15. № 11. P. 1852-1858.
4. Kaup D.J. Coherent pulse propagation: A comparison of the complete solution with the McCall-Hahn theory and others / D.J. Kaup // Physical Review. A. 1976. Vol. 16. № 2. P. 704719.
5. Ахманов С.А. Оптика фемтосекундных импульсов (Серия: «Современные проблемы физики») / С. А. Ахманов, В.А. Выслоух, А.С. Чиркин; под ред. С.А. Шлёнова. М.: Наука, 1988. 312 с.
6. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде / А.И. Маймистов // Квантовая электроника. 2000. Т. 30. № 4. С. 287-304.
7. Lamb G.L., Jr. Analytical description of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium / G.L. Lamb, Jr // Review of Modern Physics. 1971. Vol. 43. № 2. P. 99-124.
8. Some results on coherent radiative phenomenon with 0n-pulses / F.A. Hopf,
G.L. Lamb, Jr., C.K. Rhodes, M.O. Scully // Physical Review. A. 1971. Vol. 3. № 2. P. 758-766.
9. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов / Дж.Л. Лэм; под ред. В.Е. Захарова; пер. с англ. Н.Т. Пащенко. М.: Мир, 1983. 294 с.
10. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис; под ред. А.Б. Шабата; пер. с англ. В.П. Гурария и В.И. Мацаева. М.: Мир, 1988. 694 с.
11. Diels J.C. Phase-modulation propagation effect in ruby / J.C. Diels, E.L. Hahn // Physical Review. A. 1974. Vol. 10. № 6. P. 2501-2509.
12. Дмитриев А.Е. Особенности формирования 0п-импульса в среде с неоднородным уширением линий квантовых переходов / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. 2004. Т. 34. № 7. С. 652-656.
13. Ахманов С.А. Проблемы нелинейной оптики (Электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах) 1962-1963 / С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов; под ред.
H.В. Соколова / АН СССР. М.: ВИНИТИ, 1965. 295 с.
14. Резонансные взаимодействия света с веществом (Серия: «Современные проблемы физики») / В.С. Бутылкин, А.Е. Каплан, Ю.Г. Хронопуло, Е.И. Якубович; под ред. В.А. Григорьева. М.: Наука, 1977. 352 с.
15. Вершинин А. Л. Импульс-предвестник и частотная модуляция квазирезонансных импульсов самоиндуцированной прозрачности при наличии процессов необратимой релаксации / А.Л. Вершинин, А.Е. Дмитриев, О.М. Паршков // Квантовая электроника. 2003. Т. 33. № 11. С. 993-997.
16. Дмитриев А. Е. Численное моделирование квазирезонансного режима нестационарного двойного резонанса в схеме с общим верхним уровнем при большом неоднородном уширении линий квантовых переходов / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. 2005. Т. 35. № 8. С. 749-755.
17. Slusher R.E. Self-Induced Transparency in Atomic Rubidium / R.E. Slusher,
H.M. Gibbs // Physical Review. A. 1971. Vol. 5. № 4. P. 1634-1659.
Паршков Олег Михайлович -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 15.10.07, принята к опубликованию 15.01.08
