CC BY
22
УДК 537.525
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ
ПРОЦЕССОВ В ПРИКАТОДНОЙ ОБЛАСТИ ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА В РЕЖИМЕ НОРМАЛЬНОЙ
ПЛОТНОСТИ ТОКА
П. Л. Рубин
С помощью численного моделирования движения электронов в прикатодной области тлеющего разряда уточняются полученные ранее автором результаты по теории нормальной плотности тока в тлеющем разряде. Принят во внимание разброс направлений вылета электронов, испускаемых катодом под воздействием падающих на него положительных ионов, что приводит к уменьшению величины начальной плотности электронного тока (плотности тока у поверхности катода). В результате меняется и граничное условие у поверхности катода. Поскольку эмиссию электронов и дальнейшее их движение в газе можно считать статистически независимыми процессами, достаточно знать среднюю величину проекции скорости вылетающего из катода электрона на направление нормали к поверхности катода.
В предыдущей работе автора [1] было показано, что режим нормальной плотности тока в прикатодной области тлеющего разряда может быть описан теоретически, если принять во внимание естественное дополнительное условие: непрерывность электронной составляющей тока в газе в непосредственной близости от поверхности катода'
1Это условие не тождественно дополнительному условию, предложенному Энгелем и Штеенбеком [2]. Отметим также, что предложенный в работе [1] и развиваемый в настоящей работе подход к проблеме интерпретации феномена нормальной плотности тока подвергся критике в работе Азарова и Очкина [3].
Прикатодная область разряда в предыдущей работе рассматривалась макроскопически, и режим дрейфа электронов в ней предполагался таким же, как и вдали от катода. Ясно, что на самом деле это лишь некоторое упрощение реальной ситуации.
В то же время испускаемые катодом электроны зачастую обладают невысокой энергией и на начальном этапе движения подвергаются лишь упругим столкновениям с атомами газа. Последнее обстоятельство упрощает анализ движения электронов в при-катодной области, поскольку сечения упругих столкновений электронов с атомами во многих случаях хорошо известны. Цель настоящей работы - уточнение полученных ранее результатов с помощью анализа граничного условия вблизи поверхности катода в нормальном тлеющем разряде на основе непосредственного численного моделирования движения электронов вблизи катода. В качестве примера использован разряд в аргоне с медным катодом.
Режим эмиссии электронов из катода. Как и в предыдущей работе [1] (см. также [2]), сделано предположение, что эмиссия электронов происходит главным образом за счет бомбардировки катода падающими на него положительными ионами. При этом энергия вылетающих электронов е определяется потенциалом ионизации газа / и работой выхода материала катода ip:
е = I -2(р.
При этом начальная скорость электронов составляет
üo = (2 e/me)1/2,
где те - масса электрона. В рассматриваемом случае (аргон - медный электрод) было принято: v0 = 1.569 х 108 см/с. На этот раз по сравнению с предыдущей работой принимается во внимание следующее уточнение. Если ранее предполагалось, что плотность электронного тока у поверхности катода составляет nevо (п и е - концентрация и заряд электронов соответственно), то теперь принимается во внимание наличие разброса скоростей электронов по направлению вылета. При этом средняя составляющая скорости электронов в направлении электрического поля будет kvо (0 < k < 1), плотность электронного тока непосредственно у катода также оказывается в к раз меньше. Ясно, что
к = (cos в),
где в - угол между направлением вылета электрона и нормалью к катоду, угловые скобки означают статистическое усреднение.
Моделирование электронной компоненты тока в прикатодной области разряда. Постоянный газовый разряд по мере возрастания напряжения, приложенного к разрядному промежутку (и с использованием при необходимости регулирующего ток балластного сопротивления), последовательно проходит ряд качественно различных режимов горения ([4, 2]), начиная с таунсендовского темного разряда и заканчивая возникнове нием электрической дуги. В настоящей работе рассматривается "нормальный" режим разряда, который характеризуется постоянной величиной катодного падения потенциала и постоянной плотностью тока на катоде вплоть до заполнения катодным пятном всей площади катода.
Объектом рассмотрения в настоящей работе является область нормального разряда, непосредственно примыкающая к катоду. Речь пойдет о расстояниях до катода порядка длины свободного пробега электрона. При этом электрическое поле вблизи катода с хо рошей точностью можно считать постоянным. Ради определенности в процессе расчетов давление аргона было принято равным 1 Topp. Приведенная напряженность электрического поля у катода была принята равной 790 В/см Topp [5, 6].
Моделирование потока электронов выполнялось следующим образом. Направление вылета электрона и процесс его дальнейшего движения в газе считались статистически независимыми (некоррелированными). А поскольку концентрация электронов вблизи катода мала, электроны сталкиваются практически только с атомами газа. Поэтому усреднение по углам вылета выполнялось сразу и сводилось к фиксированию угла вылета электрона во (угол между направлением вылета и нормалью к поверхности катода). Определение величины 0о является по существу одной из основных задач настоящей работы.
Движение электрона на малых расстояниях от катода происходит под действием внешнего электрического поля и упругих столкновений с атомами аргона (притяжение электрона катодом - "сила электростатического изображения" - пренебрежимо мала в масштабе длины свободного пробега электрона при рассматриваемых давлениях газа).
Моделирование столкновений электронов с атомами аргона выполнялось с использованием таблицы дифференциальных ссчспий упругого рассеяния электронов на атомах аргона [7]: на малых расстояниях от катода энергия электронов недостаточна для инициирования неупругих процессов. Это обстоятельство сказывается на скорости дрейфа электронов в этой области разряда. По мере удаления от катода энергия электронов
<
возрастает, электроны приобретают способность возбуждать и ионизовать атомы газа, вместе с тем меняется и зависимость скорости их дрейфа от величины электрического поля. Однако в настоящей работе рассматривается только область непосредственно вблизи поверхности катода.
Сначала с помощью генератора случайных чисел определялись }ТЛЫ рассеяния О и ip в сферической системе координат с осью OZ, направленной вдоль вектора скорости электрона. Затем производился пересчет новых компонент вектора скорости (после столкновения) к лабораторной системе координат. Для определения 0 использовалось уравнение (см. Приложение)
в
р = J sm(9)a{e)de,
о
где р - (псевдо)случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1] (величина сечения а(в) предварительно подвергалась необходимой нормировке, чтобы параметр р действительно принадлежал диапазону [0, 1]). Угол ср определялся непосредственно с помощью генератора случайных чисел, порождавшего величину, равномерно распределенную в интервале [0, 27г].
В процессе движения в результате столкновений с атомами аргона часть электронов может снова вернуться на катод. Эти электроны не дают вклада в электронную компоненту тока, поэтому подобные траектории из рассмотрения исключались. Угол во определялся из условия, чтобы нормальная составляющая скорости электрона по отношению к поверхности катода не испытывала скачка у его поверхности (расчеты выполнялись вплоть до расстояний, значительно меньших длины свободного пробега). В результате расчетов при напряженности электрического поля 790 В/см Topp (см. выше) угол в0 оказался равным ~ 72° (точнее говоря, известной следует считать среднюю величину косинуса угла вылета: (cos$o) = 0.31, а во = arccos0.31). Точность определения cos (в0) составляет приблизительно 1.5%. На рисунке представлена средняя величина нормальной к поверхности катода компоненты скорости электронов в зависимости от расстояния до катода. Как уже упоминалось, предполагается, что поток электронов вблизи катода формируется под влиянием двух факторов: электрического поля и тормозящего действия упругих столкновении с атомами газа.
Заключение. Итак, одно из использованных ранее дополнительных условий для вычисления электрического поля [1] (условие у поверхности катода) должно быть изменено. Следует учитывать разброс направлений вылета электронов, выбиваемых из катода
VxlO"7, см/с
18
/
10 8
16 14 12
6
X, см
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
Рис. 1. Зависимость средней скорости потока электронов (У) от расстояния до катода в аргоновом разряде с медным катодом (х) при электрическом поле у катода 790 В/см и давлении газа 1 Topp.
в процессе горения разряда. Если свойства катода в этом отношении известны, то появляется возможность вычисления электрического поля у поверхности катода (взамен условия, использованного для этой цели в предыдущей работе, где не принималось во внимание изменение свойств электронной компоненты тока в зависимости от расстояния до катода). Подчеркнем, что для этой цели необходимо либо моделирование электронного потока (как это сделано в настоящей работе), либо решение кинетического уравнения для потока электронов. В обоих случаях речь идет о выходе за рамки чисто макроскопического подхода к задаче. В принципе можно ставить вопрос о возвращении в русло макроскопического подхода, но в настоящей работе этот вопрос не рассматривается.
В заключение необходимо сделать замечание. Согласно экспериментальным данным (см., например, [4, 6]), параметры области катодного падения потенциала в нормальном режиме тлеющего разряда не являются строго определенными функциями пары: газ -материал катода. Результаты измерений одних и тех же параметров области катодного падения потенциала могут различаться в несколько раз для совпадающих пар: газ материал катода. Эти различия слишком велики, чтобы их можно было отнести за счет погрешностей эксперимента. В первую очередь, здесь можно ожидать различий коэффициента вторичной эмиссии 7 для разных катодов. Как показывают результаты настоящей работы, свою лепту может внести и различие функций распределения (по направлению) скорости выбиваемых из катода вторичных электронов.
i 1 ' j
В настоящей работе предложен метод определения среднего угла вылета электрона при его выбивании из катода ионизованным атомом (точнее, речь идет о среднем косинусе угла вылета). Если же индикатриса углов вылета известна, появляется воз можность более точного определения напряженности поля у катода по сравнению с рецептом, предложенным в предыдущей работе [1], а именно, в выражениях, полученных в [1], вместо модуля скорости вылета электронов из катода v следует использовать среднюю нормальную составляющую этой скорости, т.е. v —> v • (cos 0).
Автор благодарит А. В. Азарова, С. В. Митько и В. Н. Очкина за обсуждение ряда вопросов в связи с настоящей работой.
Приложение
Пусть задана случайная величина £ с непрерывной функцией распределения w(x) на отрезке (а, Ь). Функция распределения предполагается нормированной:
ь
J w(x)dx = 1.
а
Нетрудно убедиться, что генерация случайной величины £ достигается решением уравнения
х
р = J w(x')dx', (1)
а
где р - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [О, I]2. Действительно, пусть /(£) - некоторая функция случайной величины Использование генератора случайных чисел р дает (см. (1))
ь
J f(x)w(x)dx,
\
2 Генераторы подобных псевдослучайных величин обычно уже встроены или легко могут быть встроены в современные вычислительные системы.
(/(*)>= J f[x(p)]dp = J f(x)^dx =
.с. деистви±ельно среднее значение ,/(£)•
ЛИТЕРАТУРА
[1] Рубин П. Л. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 25 (2000).
[2] Р а й з е р Ю. П. Физика газового разряда. М., 1992.
[3] А з а р о в А. В., О ч к и н В. Н. Препринт ФИАН N 36, М., 2003.
[4] Р h е 1 р s А. V. Plasma Sources Sei. Technol, 10, 329 (2001).
[5] Б p а у н С. Элементарные процессы в плазме газового разряда. Госатомиздат, 1961.
[6] Э н г е л ь А. Ионизованные газы. Физматгиз, 1959.
[7] N a h а г S. N. and W a d е h г a J. М. Phys. Rev., А, 35, 2051 (1987).
Поступила в редакцию 28 декабря 2004 г.
