CC BY
22
УДК 628.16.069:532.516
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО ВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ В ГИДРОТЕХНИЧЕСКОМ ОТСТОЙНИКЕ
© 2008 г. В.К. Ахметов
Московский государственный строительный университет
Moscow State Building University
На основе численного решения полной системы уравнений Навье-Стокса исследована задача о движении потока вязкой жидкости в камере гидротехнического отстойника. В рамках конвективно-диффузионной модели изучен процесс переноса и осаждения мелких малоинерционных частиц. Проведено сравнение полученных расчетных данных с результатами экспериментов.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, конвективно-диффузионная модель.
On the basis of numerical solution of the complete Navier-Stokes equations the problem of motion of a viscous flow in hydrotechnical settle construction is investigated. The mass transfer and the deposition processes for fine low-inertia particles are studied following convection-diffusion model. The comparison of obtained calculated dates with experimental results is presented.
Keywords: Navier-Stokes equations, convection-diffusion model.
В гидротехническом строительстве одной из важнейших задач является удаление донных и взвешенных наносов из потоков воды, поступающих в энергетические, ирригационные и водохозяйственные водоводы. Удаление донных наносов может быть осуществлено за счет соответствующей конструкции водозабора без строительства специальных сооружений. Для осаждения взвешенных наносов требуется возведение дорогостоящих отстойников, в которых частицы оседают на дно под действием силы тяжести. Знания гидродинамики потока необходимы для создания дополнительных благоприятных условий, способствующих наиболее быстрому и эффективному осаждению наносов. Физическое моделирование течений в устройствах такого типа представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Поэтому математическое моделирование течений в отстойнике с учетом осаждения частиц является актуальной задачей.
Одна из простейших конструкций, применяемая для этой цели, изображена на рис. 1 и имеет следующий принцип работы.
У
Uo , И
Qo
/ ь H
h
\ ' h1 t=Q* '
Придонное течение в камере транспортирует осевшие частицы наносов к входному порогу, в нижней части которого располагается промывная щель. Через нее наносы сбрасываются в нижний бьеф сооружения.
1. Постановка задачи и метод решения
В качестве математической модели течения в камере отстойника рассмотрим задачу о движении потока вязкой несжимаемой жидкости через порог высотой h , в нижней части которого имеется сток с заданным расходом Q„. Введем декартовую систему координат Оху с центром в основании порога. Система уравнений Навье-Стокса, описывающая ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в переменных функция тока у и завихренность О, может быть записана следующим образом:
( Л
—+ -V П) + -V П) = -
dt dx dy y Re
5 гД^=_п,
d2Q d_9
dx2 dy2
К =
dy
¥'
cX2 dy2
y dx'
(1)
(2)
dVy dV
Q = —y--x . (3)
dx dy
Рис. 1. Схема течения
Из подводящего канала вода попадает в камеру отстойника, минуя порог, представляющий собой внезапное углубление высотой h . В камере отстойника формируется развитая рециркуляционная зона.
Здесь Vx , Vy - осевая и поперечная компоненты скорости соответственно, отнесенные к характерному значению осевой скорости U0 на входе в отстойник, Re = U0 h / v - число Рейнольдса, v - кинематическая вязкость жидкости.
Предполагается, что граница свободной поверхности является прямой y = yk = const, параллельной оси x. Течение рассматривается в прямоугольной
0
X
области G (0 < х < хк , 0 < у < ук). Величина ук = Н / h характеризует глубину потока в камере
отстойника (ук1 - высота порога), а у1 = h1 / h - размер промывного отверстия.
Граничные условия для системы (1)-(3) ставятся следующим образом. На входе в камеру отстойника при х = 0, 1 < у < ук задается равномерный осевой
поток с расходом с расходом Q0 и скоростью и0. При х = 0, 0 < у < у1 имеем сток с относительным расходом Q1 = Q» / Q0 и параболическим распределением скорости. На твердых поверхностях при 0 < х < хк , у = 0 и х = 0, у1 < у < 1 задаются условия прилипания. На поверхности жидкости 0 < х < хк , у = ук ставятся условия равенства нулю касательных напряжений, а в выходном сечении х = хк, 0 < у < ук -мягкие граничные условия, заключающиеся в требовании равенства нулю производных от у и О по х . Совокупность граничных условий может быть записана в виде
V = Vo( У),
V = V1( УX
^ = 0
cx
cy
cX
V = 0, ^ = 0,
cX
V = V1(0) = const,
, X = 0, 1 < y < yk , (4) = 0, x = 0, 0 < y < yi, (5) x = 0, y < y < 1, (6)
y = 0, 0 < x < xk , (7)
^ = 0
V = Vo( yk) = const,
9у
Q = 0
cy cx
= 0,
cQ cx
= 0,
y = yk, 0 < x < xk, (8) Xk, 0 < y < yk , (9)
где
Vo(y) = y - 1 Vi(y) = — öi 2 yi
' y2
y
з А
2yi 3y2
3
yi
Для численного решения краевой задачи (1) - (3) с граничными условиями (4) - (9) использовался конечно-разностный метод установления. Для решения уравнения Пуассона (2) применялся метод неполной редукции. Уравнение переноса завихренности (1) решалось с помощью неявного метода блочной итерации. Аппроксимация диффузионных членов осуществлялась центральными разностями. При аппроксимации конвективных членов использовалась модифицированная схема Леонарда с квадратичными разностями против потока третьего порядка точности. Изложенный метод успешно применялся в [1, 2] для расчета течений различных типов.
2. Результаты расчетов полей течения
Расчеты течения в камере отстойника, определяемые краевой задачей (1) - (9), проводились при значениях Re = 100; 150; 200; 250; у = 0.1, ук = 1,7; 1,8;
1,9; 2; 2,1. Основное внимание уделялось изучению образования зоны возвратного потока за порогом и исследованию зависимости длины этой зоны от высоты порога и интенсивности стока в промывное отверстие. По результатам вычислений строились картины линий тока и профили скорости в различных сечениях потока. В расчетах использовалась сетка 81x257 с длиной расчетной области хк = 20. Шаг по времени
составлял & = 0,1 ^ 0,3.
Рассмотрим наиболее важные свойства исследованных течений на примере расчетных данных, полученных при Re = 150, ук = 1,8 . При отсутствии стока приходим к задаче о «чистом» обтекании порога (ступеньки). В этом случае непосредственно за порогом образуется, так называемая, застойная зона, внутри которой линии тока замкнуты и жидкость совершает циркуляционное течение (рис. 2 а). Наличие стока жидкости в основании порога ^ = 0.2) приводит к тому, что у дна камеры отстойника появляется область противотока, которая отжимает застойную зону вверх (рис. 2 6). В непосредственной близости от промывного отверстия характер линий тока напоминает течение, соответствующее решению классической задачи об истечении жидкости из резервуара. С увеличением расхода жидкости в промывное отверстие (2Х = 0,4) длина зоны возвратного течения уменьшается (рис. 2 в).
1,5 1 -
0,5-
0
y
1,5 1 -I
0,5
0
y
1,5 1 -
0,5-
0
Рис. 2. Линии тока при Re = 150 ; ук = 1,8 ;
Q1 = 0; 0,2; 0,4 (а-в)
Экспериментальные исследования течений в камере отстойника, схема которого изображена на рис. 1, проводились сотрудниками кафедры использования водной энергии МГСУ. Модель отстойника была выполнена из оргстекла в виде лотка со входным порогом. Общая длина лотка составляла 5050 мм, длина подводящего канала 1200 мм, длина камеры отстойника 2800 мм. Вода в головную часть отстойника подавалась насосом с расходом жидкости 20=3^15 л/с, число Рейнольдса составляло Re~104-105. По данным
X
а
2
х
4
б
X
в
измерении строились картины линии тока и определялась длина зоны возвратного течения.
Результаты экспериментов можно сравнить с полученными численными решениями на основе понятия об эффективных параметрах течения. Введем для этого в соответствии с гипотезой Прандтля величину длины пути смешения I, которая связана с турбулентной вязкостью vt следующим образом:
"V (С
Эффективная вязкость в потоке veff определяется суммой veff = V + vt, причем vt »V . Взяв известную величину I » 0,11 для течений такого типа и оценив величину дУх / ду из экспериментальных данных, получим, что эффективное число Рейнольдса составляет Reeff = и0h/V» 140-150 .
На рис. 3 показано сравнение длины L зоны возвратного течения, рассчитанной путем решения краевой задачи (1)-(9) с экспериментальными данными, полученными на вышеуказанной гидравлической модели. Точками отмечены данные экспериментов для этого же диапазона изменения высоты порога. Видно, что имеется достаточно хорошее соответствие теории с экспериментом. В целом за счет выбора соответствующего эффективного числа Рейнольдса удается правильно описывать крупномасштабные вихревые структуры (такие, как рециркуляционные зоны). В этом смысле результаты расчетов ламинарных течений, как это отмечалось в [1, 2], могут быть использованы для моделирования этих структур в турбулентных потоках.
9 L
5
_ 3 1_12" - - 4 X \ \ 4 \ N
\ \ \ \ \ \ , %
ж \ \ \ \ ▲
N \ ' \ \ \ \ \
0
0,2
ßi 0,4
dt 2St x
dV 1 1
—yL =—+— (Vv - Vvs). dt Fr 2 St v vs
(12) (13)
Fr = Uo gh
St =
PsrsU 0 9vp h
представляющие собой числа Фруда и Стокса соответственно, а индекс 5 относится к частицам. При условии St << 1, что имеет место в большинстве случаев течений в отстойниках, из (12) следует, что продольная скорость частиц совпадает со скоростью основного потока (Ухх = Ух).
Скорость движения частицы Уу5 в поперечном
направлении будем определять из уравнения (13), которое при условии стационарности потока (д / д/ = 0) примет вид
dVvs 1 1
Vv^-JVL =--+-(Vv - Vvs).
^ dr Fr 2St v ys
(14)
Рассмотрим процесс переноса частиц для рассчитанных в пункте 2 течений. Следуя методу, основанному на конвективно-диффузионной модели для смеси сплошной среды с мелкими малоинерционными частицами, можно пренебречь обратным влиянием частиц на течение жидкости (приближение пассивной примеси). Поле скоростей частиц находится на основании уравнений (12), (13). Уравнение сохранения массы частиц преобразуется в уравнение диффузии для пассивного скаляра
- + -(Vxc) + (VvsC) = -±-dt dx x dv v ReSc
( ^2 ~2 Л
d С d С
dx2 Ov2
(15)
Рис. 3. Сравнение расчетной длины рециркуляционной зоны при Re=145, ук = 1,65; 1,7; 1,75 (кривые 1-3) с экспериментом
3. Постановка задачи об осаждении частиц в отстойнике
В камере отстойника из всех сил, действующих на движущуюся частицу, наиболее существенными являются сила тяжести и сила вязкого сопротивления (стоксова сила). Уравнения движения частиц под действием этих сил в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют вид
в котором с - концентрация частиц, Sc "V / D - число Шмидта, D - коэффициент диффузии. Конвективно-диффузионное уравнение вида (15) применялось для моделирования течений смесей с потерей массы частиц осаждением на стенках, например, в [4]. Распределение V в (15) определялось из решения уравнения (14) с условием V (ук) = 0 .
Предполагая, что примесь из частиц вводится в основной поток в начальном сечении х = 0 при
у.1 ^ у ^ У,2 (У.1 > ^ У,2 < ук), запишем граничные
условия для уравнения (15) в виде
x = 0: °С = 0,
dx
0 - v - , vs2 - v - vk;
c =^ -v-
dc
x = xk: т" = ^ 0 - v - vk ;
dx
dc
v = 0, v = vk : -z- = 0, 0 - x - xk dv
7
Краевая задача (15), (16) решалась методом установления по разностной схеме, применяемой для уравнения переноса завихренности (1).
4. Результаты расчетов полей концентрации
Численное решение задачи о распределении концентрации частиц для рассчитанных выше течений проводилось в диапазоне параметров Sc = 1- 5 , St = 10-4 -10-5.
Наиболее характерные результаты расчетов представлены на рис. 4 в виде линий равной концентрации. Штриховой линией на этих рисунках изображен контур зоны возвратного течения. Внутри нее линии равной концентрации имеют зигзагообразный вид, причем в придонной области (рис. 4 а) обратное течение способствует переносу частиц в сторону начального створа и наличие промывного отверстия в головной части отстойника позволяет эффективно удалять из потока взвешенные наносы. Увеличение расхода ^ в промывное отверстие (рис. 4 б, в) приводит к более интенсивному осаждению частиц; линии равной концентрации сильнее отклоняются ко дну камеры отстойника; значительно повышается концентрация частиц в области возвратного течения.
У
1,5 1,0 0,5
У
1,5 ■ 1,0 ■ 0,5
У
1,5 ■ 1,0 ■ 0,5
* 00
0.6
.......... ^ N
* 00
0
* 00
0,1 ^
V r ys
0,05
/ ll /Л V \
1 //" /// У / 2 \ 0 5 \ V 1 V -
s 4. \ N. 4 Ш 7L-' ¿L_ ✓ / —
-0,05
0 0,6 1,2 У 1,8
Рис. 5. Распределение радиальной скорости Vy
(кривые 1-3) и скорости осаждения Vys (кривые 4-6)
при Re = 150 , Q1 = 0 , ук = 1,8 , г = 0,234; 0,938, 5
Характер отложения частиц на дно отстойника иллюстрируется распределениями концентрации С и потока концентрации с при у = 0 , представленный на рис. 6. По этим зависимостям можно определить расстояние, на котором происходит максимальное осаждение частиц. С увеличением расхода Q1 в промывное отверстие местоположение максимума в распределении с и Уухс становится более выраженным и смещается вверх по потоку к входному сечению.
0,008
V c у ys ■
0,004
/ ----- 3
/ * i / /■ ^ 2
/// / 4 /
0,8
0,4
0
10
20
Рис. 4. Линии постоянных значений концентрации при Re = 150; ук = 1,8; Fr = 0,01; St = 5-10-5; Q1 = 0; 0,2; 0,4 (а-в)
На рис. 5 показано сравнение в распределениях поперечной скорости Уу основного потока и скорости
V осаждения частиц. Различие в характере распределения заметно только на небольшом расстоянии х = 0,234 (кривые 1, 6) от входного сечения. Далее вниз по потоку профиль Уу отличается от профиля
V практически на постоянную величину, соответствующую безразмерной скорости осаждения частиц в покоящейся жидкости V* = -2 St / Бг.
Рис. 6. Распределение концентрации с (штриховые линии) и потока концентрации ¥ухс (сплошные линии) при у = 0 ,
Re = 150, ук = 1,8 , Q1 = 0; 0,1; 0,2; 0,3 (кривые 1-4)
Для более наглядного представления процесса осаждения частиц в камере отстойника введем следующие интегральные характеристики: расходы частиц Qout через выходное сечение х = хк, Qb - на дно отстойника при у = 0 , Qst - в промывное отверстие при х = 0, 0 < у < у1 :
Ук
Qout = J (V*c)|*=*(, Qb = -J (Vysc)\У=0
0
*к
dx,
У1
Qst =-J (V* c) | *=0 (fy.
0
0
а
с
0
2
4
6
8
б
0
z
в
Общий расход Qout + Qb + Qst, отнесенный к расходу Qin частиц в начальном сечении У*2
Qin = | (Уха)\х=0dy
в соответствии с законом сохранения массы должен быть равен единице. Это свойство использовалось для контроля точности вычислений.
Зависимости Qout, Qb, Qst, отнесенные к Qin, от величины расхода Q1 показаны при Re = 150, ук = 1.8 на рис. 7. 1
<2ош
Qb
Qst 0,5
0 0,2 Qi 0,4
Рис. 7. Зависимости расходов частиц Q(Mt, Qb , Qst (кривые 1-3) от величины стока Q1 при Re = 150 , yk = 1,8 , Fr = 0,01, St = 5 -10~5
Поступила в редакцию
На них также видно, что увеличение расхода жидкости в промывное отверстие приводит к более интенсивному отложению частиц на дно камеры отстойника, в то время как расход частиц Qst непосредственно в промывное отверстие увеличивается незначительно.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 06-01-00778).
Литература
1. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Взаимодействие струи с
кольцевым закрученным потоком // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 2. С. 39-46.
2. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование рециркуляционных зон в вихревой камере // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 3. С. 39-45.
3. Tsai R., Chang Y.P., Lin T.Y. Combined effects of thermo-phoresis and electrophoresis on particle deposition onto a wafer // J. Aerosol Sci. 1998. V. 29. № 7. P. 811-825.
4. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Распыление порошка закру-
ченным потоком с зоной рециркуляции // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 6. С. 3-15.
22 октября 2008 г.
1
2
3
Ахметов Вадим Каюмович - канд. физ.-матем. наук, доцент кафедры информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета. Тел. (495)183-59-94.
