CC BY
59
Небесная механика и астрономия
УДК 521.1
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ НА ОСНОВЕ НОВОГО ПРИНЦИПА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
А. Ф. Заусаев
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: Zausaev_AF@mail .ru
Проведено численное интегрирование уравнений движения больших планет на основе нового принципа взаимодействия. Вычислены элементы орбит больших планет на большом интервале времени (1602-2200 гг.). Результаты вычислений сопоставлены с элементами орбит, определёнными по данным координат и скоростей численной теории DE405. Показано, что элементы орбит внешних планет, найденные по новому алгоритму и по данным DE405, удовлетворительно согласуются. Для внутренних планет (Венера, Земля, и Марс) имеются незначительные 'расхождения в вековых смещениях перигелиев по сравнению с данными DE405.
Ключевые слова: элементы орбит, численное интегрирование, дифференциальные уравнения движения, барицентрические координаты.
В работах [1,2] получены дифференциальные уравнения движения, основанные на новом принципе взаимодействия материальных тел друг с другом. Даётся вывод дифференциальных уравнений движения. Напомним, что основная идея при выводе дифференциальных уравнений движения основана на сжатии пространства на величину, пропорциональную объёму движущегося материального тела. Полученные дифференциальные уравнения движения п материальных тел, основанные на новом принципе взаимодействия [1], в барицентрической декартовой системе координат имеют следующий вид:
Анатолий Фёдорович Заусаев (д.ф.-м.н.), профессор, каф. прикладной математики и информатики.
где X, У, Z — барицентрические координаты возмущаемого тела; Х^, 1^, Zi — барицентрические координаты возмущающих тел; А| = (Х^—Х)2 + (Уг—К)2 + + {Zi — Z)2■1 Гог — эффективный радиус ¿-того тела; ао» — соответствующее ускорение для ¿-того тела на расстоянии го» от центра массы.
Путём решения системы уравнений (1) в работе [1] проведено исследование эволюции орбит больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 1600-2200 гг. По координатам и скоростям найдены элементы орбит: Мо, а, е, со, О, г. Сопоставление элементов орбит, вычисленных на основании решения дифференциальных уравнений (1) и найденных по координатам и скоростям теории БЕ405, не выявило существенных расхождений в элементах внешних планет. Однако различие в средней аномалии Венеры и барицентре системы «Земля + Луна» на концах интервалов интегрирования превышало 10 секунд. Для устранения этих расхождений была произведена коррекция начальных данных координат и скоростей Венеры, Земли и Луны. Кроме того, учёт влияния несферичности Земли на движение Луны проводился по алгоритму, приведенному в работе [2].
В табл. 1 и 2 приведены начальные данные координат и скоростей внутренних планет, которые использовались для численного интегрирования уравнений (1). Следует отметить, что они несущественно отличаются от начальных данных координат и скоростей, которые использовались при создании численной теории движения больших планет БЕ405 [3, 4].
Для численного интегрирования уравнений движения (1) использовался метод Эверхарта 27 порядка [5, 6]. В табл. 3 приведены элементы орбит больших планет на ряд моментов, отстоящих друг от друга по времени на 36 500 суток. Элементы орбит первой строки соответствуют решению системы дифференциальных уравнений (1). Элементы орбит второй строки вычислены
Таблица 1
Начальные данные координат внутренних планет, Луны и Солнца в барицентрической системе координат на момент времени Т = 1969 6 28 (ЛО = 2440400,5)
X У г
Солнце 0,004502508156 0,000767074701 0,000266056805
Меркурий 0,361762747189 -0,090781975617 0,085714990648
Венера 0,612751941342 -0,348365368495 -0,1952782889802
Земля 0,120527233779 0,9258142646808 0,4015270193241
Луна 0,119719062857 -0,927808896784 -0,4026142829017
Марс -0,11018607599 -1,3275994767 -0,60588914201
Таблица 2
Начальные данные скоростей внутренних планет, Луны и Солнца в барицентрической системе координат на момент времени Т = 1969 6 28 (ЛО = 2440400,5)
X У г
Солнце Меркурий Венера Земля Луна Марс -0,351748210- 10~6 0,00336749391398 0,010952068352875 0,017405049505381 0,119719062857 0,0144816530597 0,51776253996-10“5 0,0248945204468 0,01561768533868 0,001750343873786 0,001582898416648 0,00024246311776 0,22291018544- Ю-5 0,0129463006886 0,00633110596579 0,000759242499158 0,000673680354182 -0,000281520734247
Таблица 3
Сопоставление элементов орбит, полученных путем совместного решения дифференциальных уравнений, с данными банка данных БЕ405
м а е О і
Т = 1602 8 11 (ЛБ = 2306400,5) Меркурий
Совм. интегр. БЕ405 Д5 194.9607 194.9608 0,0001 0,387098 0,387098 0,0 0,205553 0,205553 0,0 27,9945 27,9944 0,0001 48.8278 48.8278 0,0 7.0287 7.0287 0,0
Венера
Совм. интегр. БЕ405 Д5 69.7775 69.7776 0,0001 0,723333 0,723333 0,0 0,0069511 0,0069511 0,0 53,9995 53,9929 0,0066 77.7835 77.7835 0,0 3.3975 3.3975 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. БЕ405. Д5 223.1729 223.1729 0,0 0,9999942 0,9999942 0,0 0,016904 0,016904 0,0 105,6716 105,6681 0,0035 355,8820 355,8828 0,0008 0,0520 0,0520 0,0
Марс
Совм. интегр. БЕ405 Д5 280.6292 280.6292 0,0 1.523727 1.523727 0,0 0,092961 0,092961 0,0 283,5934 283,5921 0,0013 50.7217 50.7217 0,0 1,8818 1,8818 0,0
Т = 1669 9 8 (ГО = 2330900,5) Меркурий
Совм. интегр. БЕ405 Д5 17.1541 17.1542 0,0001 0,387098 0,3870978 0,0 0,205573 0,205573 0,0 28,1862 28,1861 0,0001 48.7447 48.7447 0,0 7.0247 7.0247 0,0
Венера
Совм. интегр. БЕ405 Д5 82,0887 82,0889 0,0002 0,723329 0,723329 0,0 0,0068943 0,0068943 0,0 54,0682 54,0627 0,0055 77.5961 77.5961 0,0 3.3971 3.3971 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. БЕ405 Д5 250.2029 250.2029 0,0 0,999990 0,999990 0,0 0,016853 0,016853 0,0 106,3040 106,3011 0,0029 355,6416 355,6424 0,0008 0,0432 0,0432 0,0
Марс
Совм. интегр. БЕ405 Д5 159.1618 159.1619 0,0001 1.523677 1.523677 0,0 0,093146 0,093146 0,0 284,0609 284,0598 0,0011 50,5266 50,5265 0,0001 1.8763 1.8763 0,0
Т = 1769 8 15 (ГО = 2367400,5) Меркурий
Совм. интегр. БЕ405 Д5 347.3593 347.3593 0,0 0,387099 0,387099 0,0 0,205588 0,205587 0,000001 28.4690 28.4690 0,0 48.6196 48.6196 0,0 7.0187 7.0187 0,0
Венера
Совм. интегр. БЕ405 Д5 239,8549 239,8542 0,0007 0,723328 0,723328 0,0 0,0069026 0,0069026 0,0 54,3406 54,3378 0,0028 77.3193 77.3193 0,0 3.3966 3.3966 0,0
Продолжение таблицы 3
м а е О і
«Земля + Луна»
Совм. интегр. БЕ405 Д5 224,7671 224,7670 0,0001 1.000004 1.000004 0,0 0,016828 0,016828 0,0 106,8233 106,8211 0,0022 355,2918 355,2926 0,0008 0,0301 0,0301 0,0
Марс
Совм. интегр. БЕ405 Д5 205.8907 205.8908 0,0001 1.523592 1.523592 0,0 0,093264 0,093264 0,0 284,8367 284,8360 0,0007 50.2342 50.2342 0,0 1.8685 1.8685 0,0
Т = 1869 7 22 (ЛБ = 2403900,5) Меркурий
Совм. интегр. БЕ405 Д5 317.5712 317.5712 0,0 0,387099 0,387099 0,0 0,205602 0,205602 0,0 28.7510 28.7510 0,0 48.4942 48.4942 0,0 7.0128 7.0128 0,0
Венера
Совм. интегр. БЕ405 Д5 37.3604 37.3604 0,0 0,723330 0,723330 0,0 0,0068243 0,0068243 0,0 54,8729 54,8712 0,0017 77.0435 77.0435 0,0 3.3957 3.3957 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. БЕ405 Д5 199.0611 199.0612 0,0001 0,999987 0,999987 0,0 0,016785 0,016785 0,0 107,3134 107,3120 0,0014 355,2360 355,2368 0,0008 0,0171 0,0171 0,0
Марс
Совм. интегр. БЕ405 Д5 252.7355 252.7356 0,0001 1.523750 1.523750 0,0 0,093182 0,093182 0,0 285,4839 285,4836 0,0003 49.9450 49.9450 0,0 1.8604 1.8604 0,0
Т = 2069 6 3 (ЛБ = 2476900,5) Меркурий
Совм. интегр. БЕ405 Д5 257.9779 257.9779 0,0 0,387099 0,387099 0,0 0,205633 0,205633 0,0 29.3239 29.3239 0,0 48.2434 48.2434 0,0 7.0008 7.0008 0,0
Венера
Совм. интегр. БЕ-405 Д5 352,9557 352,9554 0,0003 0,723331 0,723331 0,0 0,0067766 0,0067766 0,0 55,3561 55,3583 0,0021 76.4875 76.4875 0,0 3.3941 3.3941 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. БЕ405 Д5 147.9629 147.9629 0,0 0,999986 0,999986 0,0 0,016698 0,016698 0,0 288,2139 288,2133 0,0006 174,8989 174,9002 0,0013 0,0090 0,0090 0,0
Марс
Совм. интегр. БЕ405 Д5 346,1592 346,1591 0,0001 1.523744 1.523744 0,0 0,093550 0,093551 0,000001 287,0510 287,0514 0,0004 49.3501 49.3501 0,0 1.8441 1.8441 0,0
Окончание таблицы 3
м а е О і
Т = 2169 5 10 (ЛБ = 2513400,5)
Меркурий
Совм. интегр. 228,1871 0,387100 0,205656 29,6089 48,1181 6,9948
БЕ405 228,1872 0,387100 0,205656 29,6090 48,1181 6,9948
Д5 0,0001 0,0 0,0 0,0001 0,0 0,0
Венера
Совм. интегр. 151,2762 0,723330 0,0066893 55,0713 76,2087 3,3930
БЕ405 151,2760 0,723330 0,0066894 55,0750 76,2087 3,3930
Д5 0,0002 0,0 0,0000001 0,0037 0,0 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. 122,3533 1,000000 0,016609 289,0927 174,3621 0,0221
БЕ405 122,3533 1,000000 0,016609 289,0931 174,3632 0,0221
Д5 0,0 0,0 0,0 0,0004 0,0011 0,0
Марс
Совм. интегр. 33,0168 1,523634 0,093635 287,6887 49,0539 1,8358
БЕ405 33,0168 1,523634 0,093635 287,6894 49,0539 1,8358
Д5 0,0 0,0 0,0 0,0007 0,0 0,0
Т = 2200 1 8 (ЛБ = 2524600,5)
Меркурий
Совм. интегр. 342,3310 0,387098 0,205667 29,6962 48,0794 6,9930
БЕ405 342,3310 0,387098 0,205667 29,6963 48,0794 6,9930
Д5 0,0 0,0 0,0 0,0001 0,0 0,0
Венера
Совм. интегр. 94,6040 0,723327 0,0067024 55,6908 76,1244 3,3928
БЕ405 94,6040 0,723327 0,0067024 55,6948 76,1244 3,3928
Д5 0,0 0,0 0,0 0,0040 0,0 0,0
«Земля + Луна»
Совм. интегр. 0,9986 0,999998 0,016628 289,2236 174,4084 0,0260
БЕ405 0,9985 0,999998 0,016628 289,2242 174,4095 0,0260
Д5 0,0001 0,0 0,0 0,0006 0,0011 0,0
Марс
Совм. интегр. 142,0098 1,523715 0,093505 287,9603 48,9630 1,8333
БЕ405 142,0098 1,523715 0,093505 287,9611 48,9630 1,8333
Д5 0,0 0,0 0,0 0,0008 0,0 0,0
по координатам и скоростям БЕ405 [4], АБ — абсолютные значения разности в орбитальных элементах, полученных первым и вторым методами. Здесь средняя аномалия М, аргумент перигелия со, долгота восходящего узла О и наклонение г выражены в градусах и долях градусов; большая полуось а — в астрономических единицах.
Как видно из табл. 2, элементы орбит, за исключением аргументов перигелия у Венеры, барицентра «Земля + Луна» и Марса, приведенные в первой и третьей строках, почти полностью совпадают, так как различие в угловых элементах не превосходит 1 секунды дуги, а большие полуоси совпадают до шестого знака включительно. Различие в значениях аргументов перигелиев у Венеры, «Земли + Луны» и Марса в 1602 г. достигает 0,0066, 0,0035 и 0,0013
градусов или около 24, 13 и 5 секунд соответственно. В 2200 г. различие в аргументах перигелиев вышеуказанных планет достигает 14, 2 и 3 секунд соответственно. Таким образом, расхождение вековых движений перигелиев планет, вычисленных совместным интегрированием и на основании данных теории DE405, составляет 5,8; 2,4; 1,2 секунд у Венеры, «Земли + Луны» и Марса соответственно. Величина векового смещения перигелия Меркурия, полученная на основании решения дифференциальных уравнений (1), практически полностью согласуется с величиной, полученной с учётом релятивистских эффектов.
Следует отметить, что при обработке наблюдений с целью уточнения элементов орбит В условных уравнениях величины Д7Г входят всегда с множителем е (эксцентриситетом), т.е. Атге. Так как величины эксцентриситетов Венеры, барицентра «Земля + Луна» и Марса малы, то вековые изменения Aire для вышеуказанных планет не превышают десятой доли секунды дуги. Обнаружить такие смещения непосредственно с помощью наблюдений затруднительно. Это означает, что величины смещений перигелиев у Венеры, барицентра «Земля + Луна» и Марса за счёт релятивистских эффектов получаются с большими ошибками. Так, например, релятивистские поправки в движении перигелиев, по данным работы [7], у Венеры, Земли и Марса в угловых секундах составляют 8/;,06 ± 5/;,28, 5/;,01 ± 1",79 и 1",08 ± 0/;,27.
Таким образом, с помощью решения систем дифференциальных уравнений движения больших планет (1) на интервале времени 1602—2200 гг. элементы орбит Меркурия, Юпитера—Плутона в пределах точности наблюдений совпадают с данными банка данных DE405. Расхождения в долготах перигелиев у Венеры, барицентра «Земля + Луна» и Марса незначительные, т. е. находятся в пределах точности оптических наблюдений.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы: дифференциальные уравнения движения (1) вполне удовлетворительно описывают движение больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 600 лет; они значительно проще дифференциальных уравнений, учитывающих релятивистские эффекты. Кроме того, проведение численного интегрирования уравнений движения (1) по затратам машинного времени происходит более чем в 2 раза быстрее по сравнению с численным интегрированием уравнений с учётом гравитационных и релятивистских эффектов, используемых при создании численной теории движения больших планет, Луны и Солнца DE405 [3, 4].
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/14069)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Заусаев А. Ф. Теория движения те материальных тел, основанная на новом принципе взаимодействия// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. №43. С. 132-139. [Zausaev A. F. Theory of motion of те material bodies, based on a new interaction principle// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2006. no. 43. Pp. 132-139].
2. Заусаев А. Ф. Влияние несферичности фигуры Земли на движение возмущаемого тела / В сб.: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2010. С. 105-111. [Zausaev A.F. Influence non-spherical
shape of the Earth on perturbed body motion / In: Proceedings of the Seven All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Modelirovanie i Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2010. Pp. 105-111].
3. Newhall X. X., Standish E. М., Williams J. G. DE 102: A numerically integrated ephemeris of the moon and planets spanning forty-four centuries// Astron. Astrophys., 1983. Vol. 125, no. 1. Pp. 150-167.
4. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405: Jet Prop
Lab Technical Report. IOM 312. F-98-048, http://iau-comm4.jpl.nasa.gov/de405iom/ de405iom.pdf.
5. Everhart E. Implist single methods for integrating orbits // Celestial Mechanics, 1974. Vol. 10, no. 1 35-55.
6. Заусаев А.Ф., Заусаев А. А. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения задач небесной механики// Матем. моделирование, 2008. Т. 20, №11. С. 109-114. [Zausaev A. F., Zausaev A. A. Employment of the modification Everhart’s method for solution of problems of celestial mechanics // Matem. Modelirovanie, 2008. Vol. 20, no. 11. Pp. 109-114].
7. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.
[Brumberg V.A. Relativistic celestial mechanics. Moscow: Nauka, 1972. 382 pp.]
Поступила в редакцию 20/IV/2011; в окончательном варианте — 20/V/2011.
MSC: 85-08; 70M20, 65L99
NUMERICAL MODELLING OF MAJOR PLANETS MOVEMENT ON THE NEW INTERACTION PRINCIPLE BASIS
A. F. Zausaev
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mail: Zausaev_AFamail.ru
Numerical integration of the equations of movement of major planets, on the basis of a new principle of interaction is spent. Elements of orbits of major planets on large time interval (1602—2200) are calculated. Results of calculations are compared with elements of the orbits defined, according to coordinates and speeds by numerical theory DE405. It is shown that elements of orbits of the exterior planets, found on new algorithm, will well be coordinated with dates DEJh05. For internal planets Venus, the Earth and Mars have insignificant discrepancies in secular offsets of perihelions in comparison with dates DEJh05.
Key words: orbital elements, numerical integration, motion differential equation, barycentric coordinates.
Original article submitted 20/IV/2011; revision submitted 20/V/2011.
Anatolii F. Zausaev (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.
