CC BY
0
УДК 517.9, 577.35
doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-8
Численное моделирование динамических процессов в задаче передачи давления от артерии в окклюзионную манжету
А. Н. Тында1, С. И. Геращенко2, М. С. Геращенко3, А. А. Пивкина4
1,2,з,4пензенский государственный университет, Пенза, Россия '[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Аннотация. Актуальность и цели. До настоящего времени процесс передачи давления от артерии к гидроманжете не исследовался. Поэтому получение теоретических знаний о физических процессах, лежащих в основе формирования в ней осцилляций, при радиальных ограничениях механических колебаний представляет актуальную задачу повышения точности оценки гемодинамических параметров. Материалы и методы. Для моделирования напряженно-деформированного состояния системы ман-жета-ткани-артерия используется интегральная модель Больцмана - Вольтерра, отражающая гистерезис перемещений масс и изменения их упругой деформации во времени в процессе компрессии и декомпрессии. Результаты и выводы. Предложен эффективный итерационный численный метод решения нелинейного слабосингулярного интегрального уравнения Вольтерра, лежащего в основе модели. Для численного решения линейных интегральных уравнений, возникающих в итерационном процессе, предложены два численных подхода, в одном из которых используется асимптотическая информация о поведении точного решения. Приведены численные результаты решения модельных задач, подтверждающих эффективность предложенного подхода.
Ключевые слова: гидроманжета, модель Больцмана - Вольтерра, напряженно-деформированное состояние, ядро Ржаницына, метод Ньютона - Канторовича
Финансирование: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-25-00404, https://rscf.ru/project/24-25-00404/
Для цитирования: Тында А. Н., Геращенко С. И., Геращенко М. С., Пивкина А. А. Численное моделирование динамических процессов в задаче передачи давления от артерии в окклюзионную манжету // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 91-104. doi: 10.21685/20723040-2024-4-8
Numerical simulation of dynamic processes in the problem of pressure transfer from an artery to an occlusal cuff
A.N. Tynda1, S.I. Gerashchenko2, M.S. Gerashchenko3, A.A. Pivkina4
i,2,3,4penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract. Background. To date, the process of pressure transfer from the artery to the hydro-cuff has not been studied. Therefore, obtaining theoretical knowledge about the physical processes underlying the formation of oscillations in it, with radial limitations of mechanical vibrations, is an urgent task in solving the problem of improving the accuracy of estimating hemodynamic parameters. Materials and methods. To simulate the stress-strain
© Тында А. Н., Геращенко С. И., Геращенко М. С., Пивкина А. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
state of the cuff-tissue-artery system, the Boltzmann-Volterra integral model is used, reflecting the hysteresis of mass movements and changes in their elastic deformation over time during compression and decompression. Results and conclusions. An effective iterative numerical method for solving the nonlinear weakly singular Volterra integral equation underlying the model is proposed. Two numerical approaches are proposed for the numerical solution of linear integral equations arising in the iterative process, one of which uses asymptotic information about the behavior of the exact solution. Numerical results of solving a number of model problems are presented, confirming the effectiveness of the proposed approach.
Keywords: Hydro-cuff, Boltzmann - Volterra model, stress-strain state, Rzhanitsyn's kernel, Newton - Kantorovich method
Financing: the research was financed by the RSF within the research project No. 24-2500404, https://rscf.ru/project/24-25-00404/
For citation: Tynda A.N., Gerashchenko S.I., Gerashchenko M.S., Pivkina A.A. Numerical simulation of dynamic processes in the problem of pressure transfer from an artery to an occlusal cuff. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4):91-104. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-8
Введение
Практика применения современных тонометров и приборов для выявления критических состояний сердечно-сосудистой системы показала, что остается серьезной проблемой точность представления регистрируемых значений артериального давления. Сложные и нелинейные соотношения между давлением в артерии и обрабатываемыми различными методами сигналами не позволяют создать универсальные методики и алгоритмы оценки гемоди-намических параметров для различных групп населения вследствие существенных анатомических различий. Используемые для вычисления артериального давления параметры в основном ориентированы на среднестатистические физические величины, обладающие существенной неопределенностью для конкретного пациента.
В тонометрии для получения исходной информации и реализации алгоритмов и программ расчета значений артериального давления широко используется окклюзионная воздушная манжета. Ее существенным недостатком является малая амплитуда формируемых осцилляций (1-3 мм рт.ст.). Замена воздуха на жидкость позволяет практически на порядок увеличить их значения. Это дает основания для повышения точности оценки значений артериального давления.
Поскольку жидкость в манжете несжимаема, процесс окклюзии артерии характеризуется практически незначительными перемещениями сегментов тканей, расположенных под манжетой. Передача энергии пульсовой волны артерии в манжету осуществляется за счет изменения напряженного состояния в окружающих тканях. На этот процесс существенное влияние оказывают их массовые, эластичные, вязкоупругие и демпфирующие свойства. До настоящего времени, процесс передачи давления от артерии к гидроманжете не исследовался [1]. Задача его изучения ставится впервые. Практическое применение аналитических методов для ее решения ограничено нелинейностью процесса. В этой связи ряд исследователей для описания напряженно-деформированного состояния используют модель Кельвина - Фойгта.
Она состоит из параллельного соединения ньютоновской массы и упругой пружины Гука [2, 3]. Эта модель также используется для выявления свойств ползучести полимеров. Она способна отражать гистерезис перемещений масс и изменения их упругой деформации во времени в процессе компрессии и декомпрессии.
Основное соотношение модели описывается линейным дифференциальным уравнением
с(г ) = Eг(t) + V .
Л
Однако модель Кельвина - Фойгта плохо описывает поведение при релаксации после снятия напряженной нагрузки [3].
В рамках данной работы в предположении, что напряженно-деформированное состояние системы манжета-ткани-артерия описывается законом наследственной ползучести Больцмана - Вольтерра, будем использовать более общее уравнение состояния такой среды в интегральной форме [2]:
г
Ee(t ) = с(г) +|к (г, т) / (с(т)М т, (1)
о
связывающее полное напряжение с(г) и деформацию е(г). Здесь Е - мгновенный модуль упругости; ядро К (г, т) выполняет функцию ядра ползучести и характеризует реологические свойства системы манжета-ткани-артерия. Функция К (г, т) должна быть положительной монотонно убывающей функцией по переменной времени.
Наряду с моделью (1) будем также рассматривать линейную интегральную модель
г
Ее(г ) = с(г) + |к (г, т)с(т)ёт, (2)
к анализу которой на каждом шаге предложенного ниже метода численного решения и сводится исходная задача.
При описании деформирования нестареющих материалов, в частности полимеров, используются ядра вида К (г, т) = К (г -т), зависящие от разности аргументов г -т. При описании напряженно-деформированного состояния в системе манжета-ткани-артерия наиболее близким по реологическим свойствам материалом является силиконовый полимер.
Простейшие убывающие разностные ядра, для которых решения могут
быть получены аналитически, имеют вид К (г -т) = ае~в(г-т). Однако такие функции недостаточно хорошо описывают реальное поведение системы. В начальный момент после приложения нагрузки скорость ползучести оказывается весьма большой, другими словами, кривая ползучести при г -т^ 0 имеет практически вертикальные касательные [4], а следовательно, опытным данным гораздо лучше отвечают ядра, учитывающие эту особенность, например, слабосингулярные. В данной работе будем использовать разност-
ное ядро А. Р. Ржаницына [5], учитывающее такое поведение в начальный момент времени:
е-РС-т)
К(г — т) = A-, A >0, В > 0,0 < а<1. (3)
(г — т)а
Оно описывает кривую скорости деформирования вязкоупругой среды при постоянной нагрузке единичной величины. Параметры ядра определяются с помощью испытаний на ползучесть при постоянных напряжениях.
Ниже предлагается численный метод, позволяющий получить достаточно точные решения (1) при произвольных кривых деформирования, модулях упругости, параметрах ядра К (г, т) и функции напряжения /(а).
1. Описание численного метода
Рассмотрим на отрезке [0,Г] уравнение (1) с ядром (3). Оно относится к классу нелинейных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Решение этого уравнения может иметь неограниченные производные в точке г = 0. Качественные дифференциальные свойства решений слабосингулярных уравнений вида (1) приведены в работе [6], где также на основе уравнения (1) получены результаты моделирования ползучести водо-насыщенного суглинка.
Следуя работе [6], применим итерационный метод, линеаризирующий интегральный оператор в соответствии с модифицированной схемой Ньютона -Канторовича [7]. Для этого определим нелинейный интегральный оператор
(Га)(г) - а(г) — вг(г) + А . (4)
0 ев(г—т)(г — т)а
1.1. Итерационный процесс
Итерационная операторная схема Ньютона - Канторовича для уравнения Г а = 0 имеет вид
ат+1 = ат — [Г'(а0 )]—1 (Г(ат Ж т = ... (5)
Здесь ад(г) - начальное приближение; производная Г '(ад) оператора Г, определенная на элементе аф, принимает вид
Г'(с„)=Нт Г(а0 + Ю°) — Г(а0) =
ю—0 Ю
г
1
= Нт —
ю—0 Ю
юа(г) + Aj
/ [а0(т) + юа(т)] — / [а0(т)]
ев(г—т)(г — т)а
й т
Далее, принимая во внимание, что /'(ад + 0юа) — /'(а0) — 0 при Ю —> 0 равномерно относительно а, ||а|| = 1, 0< 0 <1, получаем
[ F '(«0)1(0) = o,) + Aj d т.
Таким образом, на первом шаге итерационного процесса имеем уравнение относительно Лс = с (г) - Со (г):
[Поо)](До1) = -Р (со). (6)
На каждом последующем шаге т +1 приходим к интегральному уравнению относительно очередной поправки Лт+1:
A«m+,<') + Aj d T = -Om (t) - Aj + -(t), (7)
где Лст+1(г) = Ст+1(г) - ст (г), т = 0,1, • -
Из уравнения (7) определяется очередное приближенное решение
Ст+1(г).
Таким образом, имеем окончательно ( ^
)т+1
(t) + Aj Z^f dT = Ф m (t), m = 0,1,2,..., (8)
0 eP(t T)(t -T)a
где
t _
J(t—T)
Ф m (t) = W) + Aj /[«°(T'1«—f^m (T)1 dT.
0
e^'"1 '(t — t)l
Применив общую операторную теорию метода Ньютона - Канторовича [7] к нашему уравнению, сформулируем следующую теорему сходимости итерационного процесса (8) в банаховом пространстве С[0,Г] с нормой
llx(t)l Irro T 1 = max 1 x(t) 1 •
L ' J te[0,T]
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) оператор F дважды непрерывно дифференцируем в шаре ^0
(11 « — «0|Г[0,т 1 - Р);
2) уравнение (6) однозначно разрешимо на [0,T], т.е. существует
r0=[F '(«0)]"1;
3) Ml г[0,т ] ;
4) ||Г0F"(o)||r[0,T] - L, «еЦ,
Т , . <1 1— V1 — 2h - 1W1 — 2h
Тогда, если h = Lr| < — и -т| - p --т| , то уравнение
2 h h
* *
(1) имеет единственное решение « в ^0, итерации (8) сходятся к « , а скорость сходимости оценивается неравенством
п
С[0,Т] к
<П (1 — л/ 1 — 2к)
т+1
т = 0,1,.
1.2. Дискретизация линейного уравнения
Для построения решения линейного интегрального уравнения (8) на каждом шаге т итерационного процесса предложим два метода.
Для упрощения выкладок введем следующие вспомогательные обозначения:
*(0 = ат+1(г), я (г) = Фт (г), н (г,з) = /азр ■
Уравнение (8) примет вид
х(г) +1
0
^^ = я (г).
(г—з)а
(9)
Отметим также, что предложенные в данной работе численные методы пригодны и для более широкого класса непрерывных ядер Н (г, s), а не только экспоненциальных.
Метод первого порядка точности
Применим сначала схему дискретизации, основанную на кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции в сочетании с явным выделением особенности при численном интегрировании.
кТ
Введем равномерную сетку узлов % = —, к = 0,1,2,.,N , и обозначим
хк = х(гк), Як = Я(гк). Очевидно, что х0 = я0, а для каждого к = 1,2,.,N , имеют места равенства
к р
н (гк, 5)х(з) й
Ж = Як.
хк + X \ , ,а
Р=1г 1 (гк — 5)а
^ Р—1
Для аналитического интегрирования особенности заменим последние равенства приближенными, полагая функции Н , 5) и х(5) кусочно-постоянными на достаточно малых участках:
хк + Ххрн
Р=1
гк,
гр—1 + гр
йз
I/ >—5)'
Р—1
а
Як.
После интегрирования особенности получим
хк
1 к
— — X хрН
1 — а ^ р
Р=1
гр—1 + гр гк,-;
\
- ((р)^а-(гк—гр—1)1—а) = Як.
)
Преобразуем последнее равенство к-1
xk
■ — f xPH
1 -a ^ p
' tn-1 +1 Л
lp-i^ lp
(( -tp)1-a-(tk -tp-i)1-a)
+
1 -a
Окончательно имеем
^ tk-1 + tk Л tk,—~—
(tk - tk-1)1 a = Sk ■
xk
k-1
Sk(1 -a) + f XpH
p=1
tp-1 + tp
tk,—2— 2 у
((tk-tp )1-a-(tk-tp-1)1-a)
1 -a + (tk -tk-1)1-aH
k = 1,2,...,N ■
tk
tk-1 + tk
(10)
Таким образом, определив из (10) значения неизвестной функции в узлах сетки, восстанавливаем ее в виде кусочно-постоянной функции.
Метод, основанный на использовании асимптотической информации о точном решении
Хорошо известно, что решения интегральных уравнений Вольтерра со слабой особенностью могут иметь неограниченные производные в начальной точке отрезка. Точные дифференциальные характеристики решений таких уравнений в зависимости от гладкости входящих функций приведены, например, в [6].
Используя асимптотическое представление решения в окрестности точки г = 0: х(г) х г , а также форму резольвенты, соответствующей ядру уравнения (8) (см., например, [8]), будем аппроксимировать решение разложением
2r
x(t )= fck (t)
k=0
(11)
по следующей системе базисных функций:
Фк (г) е{1, г, г2, г3,., гг, г1-а, г2-а,..., гг-а}, к = 0,1,2,.,.,2г, (12)
где г - показатель гладкости входящих в уравнение функций.
Неизвестные коэффициенты Ск разложения (11) будем определять с помощью метода коллокации по системе узлов 0 = ^ < ^ < ^ < •.. < ¿2г-1 < ¿2г = Т. Для этого сформируем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
2г *РН(, , 5)фк (5)
X'Ск Фк (гр) + XСк I—р-— & = Я(гр), Р = 0,1,2,..,2г.
к=0 к =0 о (гр - 5)
Приведем последнюю систему в классическую форму:
*ри (гр, ^ )ф£ («)
^ркСк = Я(*рX Р = 0,1,2,...,2г, урк = Фк(1Р) + ]—£-— ¿У. (13)
к =0 0 (*р - у)
При вычислении коэффициентов Урк матрицы системы (13) возникает
необходимость аппроксимации слабосингулярных интегралов со степенной особенностью. Будем применять методику, описанную в работе [9]. Определив из системы (13) коэффициенты Ск, получаем приближенное решение интегрального уравнения в виде разложения (11).
2. Численные эксперименты
2.1. Решение линейного уравнения
Проиллюстрируем результаты применения метода (11)—(13) к модельному уравнению
1 ге"2(* ) х( У)
х(*) +о [-7=^¿8 = Я(*), *е [0,1], (14)
20 ^ - У
где правая часть я (*) подобрана таким образом, чтобы точным решением яв-
* 1 Г 3/ 2 лялась функция х (*) = ^л/ * + 2\ * .
Результаты работы алгоритма приведем в табл. 1, в которой используются следующие обозначения: г - количество базисных функций;
£ =
хг (*) - х (*)
- погрешность приближенного решения. Приближен-
С[0,Т ]
ные решения ) и х\5^) в таблице не приводятся ввиду их громоздкости.
Таблица 1
Результаты решения уравнения (14)
г Приближенное решение £
4 3 5 1,868210092V* + 0,9927741783*2 -0,3618973027*2 0,0454
5 3 5 1,400938978%/* -0,7076472949*2 + 0,0941427373*2 +1,712563757* 0,00778
6 3 5 1,293040338%/* -1,989484963*2 -0,284108401*2 + +2,330378178* +1,150161386*2 0,00287
10 3 5 7 9 1,12%/* -8,44*2 -21,36*2 -11,57*2 -0,61*2 + +3,93* +15,89*2 +19,56*3 + 3,98*4 0,000079
13 х13(*) 0,000023
15 х15 (* ) 8,7110-6
Приведем также рис. 1, иллюстрирующий качество аппроксимации при небольших значениях г = 4 и г = 6, при которых расхождение еще различимо визуально.
2.5
1.5
0.5
0.4 0.6
г
— Приближенное решение Точное решение |
а)
0.2
0.4 0.6
t
0.8
~ Приближенное решение-Точное решение |
б)
Рис. 1. Точное х (г) и приближенные решения х4 (г) и х6 (г) соответственно
Рассмотрим еще одно уравнение с более простым точным решением
1
(показатель особенностей кратен а = ~):
x(t) + 3|
t -(t)х(*Ь _
ds = g(t), t e [0,1],
(15)
J/2
* 1 г~ 3
где функция я (г) подобрана так, чтобы х (г) =3^ * + г
Результаты решения задачи (15) приведены в табл. 2. Заметим, что точное решение в данном уравнении принадлежит множеству линейных комбинаций базисных функций, в связи с этим при при-
ближенные решения хг (г) при г > 5 будут практически совпадать с точным. Например:
х5(г) = -4,07 • 10-13 • г + 0,333333333333432 • Л -
3
-2,16 10-13 • г2 +1,00000000000052 • г2
имеет погрешность порядка е ~ 10-14 . Однако на практике при использовании экспериментальных данных такие ситуации маловероятны.
Таблица 2
Результаты решения уравнения (15)
г 3 4 5 7
е 0,0637 0,0106 1,01 • 10-14 1,01 • 10-14
2.2. Решение нелинейного уравнения
Проиллюстрируем сначала сходимость итерационного процесса (8) на модельном уравнении с известным точным решением [6]:
+ Г^а(т) + Ье2(т) ^ = 2(ас + Ьс2 -{ у/г-т
(а + 2Ьс)пг 4Ь 2 гг\ 1 п ±--+ уг2, ге [0,1], (16)
точным решением которого является функция а (г) = с -Л.
В табл. 3 приведены результаты работы предложенного метода при следующих значениях параметров: а = 0,015, Ь = 0,399, с = 1. В качестве начального приближения использовалась правая часть уравнения. В табл. 3 приняты следующие обозначения: т - число итераций модифицированного
метода Ньютона - Канторовича; г - количество базисных функций схемы
*
(11)—(13) при решении линейных уравнений; е = ат(г)-а (г) погрешности.
Результаты решения уравнения (16)
С[0,г ]
норма
Таблица 3
111 1 2 3 4 5 7
г 5 5 5 7 7 7
е 0,0054 0,001 2,81 • 10-5 7,62 • 10-6 4,13 • 10-7 5,12 • 10-9
Рассмотрим теперь уравнение, параметры которого получены по синтетическим данным, близким к экспериментальным измерениям в системе манжета-ткани-артерия:
' -1,921(г) /аТГ) Ее(г ) = а(г) +1,582| (г -т)0,317
ёт, г е [0,1],
(17)
здесь E = 0,68 (модуль Юнга двухкомпонентного силикона VBS26 (ESP601-2)), а экспериментальная кривая ползучести £(t) приведена на рис. 2.
Поскольку точное решение уравнения (16) неизвестно, то для оценки
*
близости точного о (^) и приближенного от () решений будем использовать невязку
Rm = max te[0,1]
le-1*21« - s Ee(t)-am(t)-1,582J- v mW
0
(t -T)
0,317
d т
В табл. 4 приведены результаты работы предложенного метода в определенных ранее обозначениях. При этом в функцию £(£) для учета погрешностей экспериментальных измерений были внесены распределенные по
_3
нормальному закону случайные погрешности в диапазоне | 5|< 10 .
Таблица 4
Результаты решения уравнения (17)
m 1 2 3 4 5 7
r 5 5 5 7 7 7
R 0,237 0,095 0,042 0,009 0,0041 0,0023
Заключение
Из представленных результатов видно, что предложенный метод обладает хорошей сходимостью, а теоретические оценки ее скорости подтверждаются проведенными численными экспериментами. Кроме того, можно говорить об устойчивости метода к случайному колебанию входных данных, о чем свидетельствуют данные табл. 4. Одной из ключевых сложностей в применении подобного рода итерационных схем является вопрос выбора достаточно хорошего начального приближения, от качества которого существенно зависит скорость сходимости. Однако в рассматриваемой задаче мо-
делирования напряженно-деформированного состояния системы манжета-ткани-артерия этот вопрос можно легко решить, имея представление о неком эталонном поведении системы. Также можно сделать выводы об адекватности используемой интегральной модели и выбранного ядра Ржаницына поведению реальных материалов.
Направление дальнейших исследований связано с реализацией методики учета анатомических особенностей пациентов и коррекции значений артериального давления, что позволит снизить инструментальную погрешность тонометров. Это исследование ведется в рамках финансирования Российским научным фондом, по гранту на проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований по соглашению № 24-2500404 от 29.12.2023.
Список литературы
1. Геращенко М. С., Скибицкая Н. Ю., Геращенко С. И. [и др.]. Моделирование пульсовых волн для гидроманжетных систем // Актуальные проблемы медицинской науки и образования (АПМН0-2022) : сб. ст. по материалам VIII Междунар. науч. конф. (Пенза, 22-23 сентября 2022 г.). Пенза : ПГУ, 2022. С. 143-148.
2. Малкин А. Я, Исаев А. И. Реология: концепции, методы, приложения. СПб. : Профессия, 2007. 560 с.
3. Шитикова М. В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела // Известия РАН. Механика твердого тела. 2022. № 1. С. 3-40.
4. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М. : Высшая школа, 1976. 277 с.
5. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М. : Стройиздат, 1968. 418 с.
6. Тында А. Н., Романов А. Е. Численное решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с дробно-экспоненциальными ядрами реологических моделей вязкоупругой среды // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2012. Т. 5, № 2. С. 69-80.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1979. 744 с.
8. Brunner H. Nonpolynomial Spline Collocation for Volterra Equations with Weakly Singular Kernels // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1983. Vol. 20 (6). P. 11061119.
9. Тында А. Н. Смешанный сплайн-коллокационный метод решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра // Труды Средневолжского математического общества. 2005. Т. 7, № 1. С. 351-358.
References
1. Gerashchenko M.S., Skibitskaya N.Yu., Gerashchenko S.I. et al. Pulse wave modeling for hydrocuff systems. Aktualnyye problemy meditsinskoy nauki i obrazovaniya (APMNO-2022): sb. st. po materialam VIII Mezhdunar. nauch. konf. (Penza, 22-23 sentyabrya 2022 g.) = Current issues in medical science and education: proceedings of the 8th International scientific conference (Penza, September 22-23, 2022). Penza: PGU, 2022:143-148. (In Russ.)
2. Malkin A.Ya, Isayev A.I. Reologiya: kontseptsii, metody, prilozheniya = Geology: concepts, methods, applications. Saint Petersburg: Professiya, 2007:560. (In Russ.)
3. Shitikova M.V. A review of viscoelastic models with fractional order operators used in dynamic problems of solid mechanics. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Solid Mechanics. 2022;(1):3-40. (In Russ.)
4. Koltunov M.A. Polzuchest i relaksatsiya = Creep and Relaxation. Moscow: Vysshaya shkola, 1976:277. (In Russ.)
5. Rzhanitsyn A.R. Teoriya polzuchesti = Creep theory. Moscow: Stroyizdat, 1968:418. (In Russ.)
6. Tynda A.N., Romanov A.E. Numerical solution of nonlinear integral Volterra equations with fractional-exponential kernels of rheological models of viscoelastic media. Izvesti-ya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Matematika = Proceedings of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2012;5(2):69-80. (In Russ.)
7. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsionalnyy analiz = Functional analysis. Moscow: Nauka, 1979:744. (In Russ.)
8. Brunner H. Nonpolynomial Spline Collocation for Volterra Equations with Weakly Singular Kernels. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1983;20(6): 1106—1119.
9. Tynda A.N. Mixed spline collocation method for solving weakly singular Volterra integral equations. Trudy Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Proceedings of Middle Volga Mathematical Society. 2005;7(1):351-358. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Александр Николаевич Тында
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Сергей Иванович Геращенко
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой медицинской кибернетики и информатики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная 40)
E-mail: [email protected]
Михаил Сергеевич Геращенко
кандидат технических наук, доцент кафедры медицинской кибернетики и информатики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная 40)
E-mail: [email protected]
Анастасия Александровна Пивкина
ассистент кафедры высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Aleksandr N. Tynda
Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Sergey I. Gerashchenko
Doctor of engineering sciences, professor, head of the sub-department of medical cybernetics and informatics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Mikhail S. Gerashchenko
Candidate of engineering sciences, associate
professor of the sub-department of medical
cybernetics and informatics,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Anastasiya A. Pivkina
Assistant of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 14.10.2024
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.11.2024 Принята к публикации / Accepted 07.12.2024
