CC BY
35
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 3 (1), с. 199-205
УДК 519.21
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОЙ И ПРИОРИТЕТНОЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ КОНФЛИКТНЫМИ ПОТОКАМИ ТРЕБОВАНИЙ
© 2013 г. Е.В. Пройдакова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 18.03.2013
С использованием метода имитационного моделирования проводится статистический анализ свойств выходных потоков, возникающих в циклической и приоритетной системах обслуживания, находятся численные оценки некоторых параметров функционирования данных систем, изучается продолжительность переходного процесса.
Ключевые слова: имитационная модель, циклическая система обслуживания, система обслуживания с преимуществом, конфликтные потоки, выходной поток, стационарный режим, статистические числовые характеристики.
Введение
Аналитические исследования систем обслуживания в некоторых случаях не могут дать конкретных результатов, поскольку сводятся к изучению сложных стохастических моделей. В таких случаях применяются статистические методы, в частности метод имитационного моделирования. Данный метод позволяет, эффективно используя возможности современной вычислительной техники, с заданной точностью оценивать значения тех характеристик, для которых аналитические расчеты пока недоступны.
Стоит отметить, что при моделировании конкретных систем обслуживания и управления конфликтными потоками заявок и при решении для них задач оптимизации необходимо, чтобы параметры входных потоков удовлетворяли условиям, при которых в системе существует стационарный режим функционирования. В этом режиме средняя длина очереди по каждому из входных потоков является ограниченной величиной.
Для большинства систем массового обслуживания с несколькими независимыми входными конфликтными потоками одним из основных показателей качества работы является время ожидания начала обслуживания произвольного требования. Решение задач оптимизации работы подобных систем ориентировано, прежде всего, на сокращение среднего времени пребывания заявки в системе. Например, для повышения безопасности движения на перекрестках устанавливают автоматическое регулирование конфликтных потоков машин (светофорное регулирование). Простейшие автоматы-светофоры меняют свои сигналы или фазы периодически, независимо от случайного движения
транспорта, реализуя циклическое обслуживание различных потоков машин на перекрестке. Естественно, в этом случае выгодно добиваться такого управления длительностью сигналов, при котором среднее время ожидания начала переезда перекрестка произвольной машиной будет минимальным. В связи с этим определение оптимальной продолжительности фаз светофора с фиксированным ритмом переключения является основной проблемой при обеспечении оптимального управления транспортными потоками.
Настоящая статья продолжает публикацию автором результатов исследования неклассических систем обслуживания двух типов - циклических и приоритетных [1-3]. Обозначения, используемые в данной работе, также соответствуют обозначениям, принятым в [1-3]. Все рассматриваемые в задаче случайные объекты задаются на некотором полном вероятностном пространстве (О, Г, Р(-)). Здесь О - множество описаний элементарных исходов системы, Г -множество всех наблюдаемых исходов и Р(А) -вероятность исхода А е Г. Ниже кратко напомним постановки обеих задач на физическом уровне.
В работах [1-3] рассматриваются системы массового обслуживания, которые являются математическими моделями управления т конфликтными транспортными потоками на пересечении магистралей в классе циклических алгоритмов и алгоритмов с приоритетом. Конфликтность потоков означает, что их нельзя суммировать, и это не позволяет свести задачу к более простому случаю с одним потоком. Под обслуживанием машин понимается их переезд через перекресток. Входные потоки П], П2, ..., Пт считаем пуассоновскими соответственно с
интенсивностями А,1, Х2, ..., Хт. Интенсивность Ху, ] = 1, т, определяет среднее число машин, поступивших к стоп-линии перекрестка за единицу времени. По каждому потоку разрешена очередь неограниченного объема.
В случае циклической системы все входные потоки равноправны. В случае приоритетной системы входные потоки можно разделить на три типа: П - поток малой интенсивности, заявки которого пользуются приоритетом при обслуживании, П2, ., Пт _ 1 - потоки средней интенсивности и без преимуществ по обслуживанию, Пт - интенсивный поток без преимуществ по обслуживанию. Приоритет первого потока заключается в том, что если поступила хотя бы одна заявка по первому направлению, то она должна быть обслужена как можно быстрее, но не прерывая уже проводящееся обслуживание других требований.
Обслуживание машин (требований) из конфликтных потоков происходит в непересекаю-щиеся промежутки времени. Кроме того, есть еще дополнительные промежутки времени - переналадки, во время которых продолжает обслуживаться тот же поток, что и на предыдущем основном этапе, но уже с большей интенсивностью.
Обслуживающее устройство в случае циклической системы имеет 2т состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2т), причем физический смысл данных состояний состоит в следующем:
- г (2] _ :) - состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается поток Пу с интенсивностью ц и не пропускаются остальные;
- г (2;) - состояние обслуживающего устройства, при котором пропускается поток Пу с интенсивностью Цу > ц и не пропускаются остальные.
В случае системы с приоритетом у обслуживающего устройства 2т + 1 состояние, поскольку добавляется еще одно состояние Г (2т +1), при котором продолжает обслуживаться поток Пт с интенсивностью ц''т > ц'т.
Интенсивность ц (ц у) определяет число машин, пропускаемых в единицу времени в состоянии светофора Г (2у _ :) (Г(2у)) соответственно, а ц"т определяет количество требований, обра-
батываемых в единицу времени в состоянии Г (2т + '). Длительности состояний обслуживаю-
у (1) т-1 (2) т”1 (2т + 1)
щего устройства Г , Г , ... , Г известны и равны Т\, Т2, ..., Т2т + 1 единиц времени.
В случае циклической системы работа обслуживающего устройства осуществляется по фиксированному алгоритму: Г (1) ^ Г (2) ^ ••• ^ Г (2т - !) ^ г (2т) ^ Г (1) ^ •••. Граф смены состояний обслуживающего устройства для приоритетной системы приведен на рисунке 1.
Обслуженные требования (машины) по каждому направлению образуют выходные потоки
П1, П 2,...,Пт .
В нашем случае для циклической и приоритетной систем обслуживания не удается аналитически найти, например, стационарные законы распределения времени ожидания обслуживания заявки по потокам, длин очередей. Чтобы получить для изучаемых систем численные оценки этих и других характеристик, а также найти квазиоптимальные (близкие к оптимальным) параметры функционирования, была создана имитационная модель процесса обслуживания т конфликтных транспортных потоков.
1. Построение имитационной модели
В качестве примера рассмотрим для обеих систем ситуацию с обслуживанием двух потоков (т = 2).
При моделировании предполагалось, что машины обслуживаются последовательно по одной по мере поступления в систему. Вначале задавались следующие входные параметры:
-тип системы массового обслуживания (циклическая или приоритетная);
- длительности фаз обслуживающего устройства (светофора) (71, Т2, Т3, Т4 — для циклической системы и Т\, Т2, Т3, Т4, Т5 — для приоритетной системы);
—длины х1 о, X о очередей в начальный момент времени по первому и второму потокам;
—интенсивности X] (Х2) поступления машин на перекресток по первому (второму) потоку;
—интенсивности ц (ЦУ) и ц2 (ц'2) обслуживания машин в зеленую (желтую) фазу светофора по первому и второму потокам соответственно, а также интенсивность ц''2 обслуживания требований в дополнительном состоянии Г (5) в случае приоритетной системы.
Моделирование включало в себя два описанных ниже этапа.
На первом этапе определялся момент перехода исследуемой системы в квазистационарный (близкий к стационарному) режим функционирования. Для определения начала квазистационар-ного режима при заданном наборе входных параметров одновременно наблюдались две системы заданного пользователем типа. В начальный момент времени очереди первой системы предполагались пустыми (х 0 = х2 0 = 0), а длины очередей второй системы определялись по формулам:
4
X о = \-XjT], у = 1, 2, Т = . Другими слова-
Г=1
ми, начальные очереди второй системы х10 > 0, х20 > 0 задавались в предположении,
что в течение одного цикла работы светофора ни по одному из потоков машины не пропускались. Далее все оценки, полученные для первой системы (с нулевыми начальными очередями), будем отмечать верхним индексом «0», а для второй системы (с положительными начальными очередями) — верхним индексом «+».
На г-м шаге (г = 1, 2, 3.) функционирования обеих систем вычислялись значения МуV и
Му^ ;, у = 1, 2, оценок среднего времени ожидания начала обслуживания машины по каждому потоку в первой и второй системах соответственно. Затем определялись значения у0 и у] оценок среднего времени ожидания начала обслуживания произвольной машины в первой и второй системах соответственно, где
у0 = (Х1ТМУ0,+Х2МУ 2,,. )/(х +Х2),
у- = (ХМ;,. +Х2ГМу+, )/(Х1 +х 2).
При выполнении условия |у° — у^|>8у0 осуществлялся переход к (г + 1)-му шагу. В противном случае, то есть когда выполнялось
I 0 +1 , о 0
у, — у , < 8у, , предполагалось, что система достигла квазистационарного режима функционирования, и фиксировалось время наблюдения /и, которое и являлось оценкой времени переходного процесса в системе. Постоянное число 8 выбиралось из интервала (0, 1), при моделировании использовалось 8 = 0.05. Стоит отме-
тить, что в квазистационарном режиме во всех обозначениях отсутствует индекс і, соответствующий времени.
На втором этапе моделировалась работа системы с нулевыми начальными очередями в квазистационарном режиме для нахождения следующих характеристик: а) значений Му1 и Му2 оценок среднего времени ожидания начала обслуживания машины по первому и второму потокам; Ь) значения у* оценки среднего времени ожидания начала обслуживания произвольной машины, где у* = Му1 + Х2 Му2 )/(^ + Х2); с) значений Мк! и Мк2 оценок средней длины очереди перед зеленым светом по первому и второму потокам, где случайная величина к7, у = 1, 2, определяет очередь в квазистационарном режиме по 7-му потоку непосредственно перед переходом обслуживающего устройства в
Т"1 (27 — 1)
состояние 1 .
Для выходных потоков также находились статистические законы распределения и статистические числовые характеристики. В частности, для случайной величины 9 , у = 1, 2, которая определяет в квазистационарном режиме число обслуженных машин за время, пока светофор находится в состоянии Г (27 - 1), вычислялись: статистический ряд распределения, выборочное математическое ожидание М(9 ■) и выборочная дисперсия 0(9). Все численные
оценки были получены с точностью е = 0.01 и надежностью а = 0.99. При этом объем выборки
*
п, например, для оценки у составлял в среднем не менее 20000 наблюдений.
Моделирование производилось при значениях параметров, удовлетворяющих достаточным условиям существования стационарного движения в обеих системах, а именно при выполнении следующих неравенств:
ХіТ- І1 - 1\< 0,
4
Х2Т - І2 - 12 < 0, Т = ^Тг,
г = 1
где І] — максимально возможное число машин потока П7, которое может обслужиться системой за время работы фазы Г (27 - 1) светофора, а 1]
— это максимально возможное число машин потока П7, которое может обслужиться за время работы фазы Г (27) светофора, у = 1, 2 .
Из теорем работ [1-3] следует, что условия существования стационарного режима при совпадении значений основных параметров систем не зависят от их алгоритмов управления, т.е. одинаковые как для циклической, так и для
Рис. 2. Общий вид области допустимых значений параметров Т и Т
приоритетной систем. Это нетипичный результат, поскольку в различных системах достаточные условия существования стационарного режима, как правило, отличаются [4].
Пусть T = Т = ~ = const. Тогда из (1) с учетом того, что lj = [к Ту - і] и lj = [к j T2j], j = 1,2, нетрудно получить область допустимых значений для параметров Т и Т3 автомата-светофора:
R = {гТз): (ХТ + ~(2Х2 -кЛк -X2Г <
< Т3 < ((К - Х1)Т1 + К ~ )X1 1 - 2с}
Стоит отметить, что данная область не является пустой в случае, когда система (1) не противоречива. Несложно видеть, что область представляет собой клиновидную часть плоскости, ограниченную прямыми Т =(X2Т + ~(2X2 - К)Хк2 - Х2) 1 и т = ((к - X )Т + К )хг1 - 2~~, пересекающимися в точке с координатами (т ,Т3) где Т1 = (КіК -ХіК -КіХ 2 )-1 Х
Х ((2Х1 - К1 ХК2 - Х2 ) - К2Х1)~ ,
Т = (КіК 2 -ХіК 2 -КіХ 2 )-1 Х Х ((к 2- Х 2)(2 - Х1-1к1 )- к2 )х х (к - х1)~ - (2 - Х-1К )~~
Загрузка р. системы по j-му потоку находится следующим образом:
р j = Х jT (к jT2j -1 + KjT2j)-1, j =^ 2.
Общая загрузка системы определяется как р = maxp, р2}. При таком определении загрузки ограничения (1) на допустимые значения параметров могут быть представлены в виде неравенства р < 1. Общий вид области R представлен на рисунке 2. Каждая точка области R задает длительности T и T соответствующих фаз автомата-светофора.
2. Качественное исследование характеристик работы систем и возникающих в них выходных потоков
В ходе проведения эксперимента для систем обоих типов изучались различные ситуации в зависимости от значений параметров Т1, Т2, Т3,
74, ^ Ці ^ Ці М 2 X1, Х2*
При получении значений численных оценок рассматривалось несколько вариантов длин периодов работы светофора. Из физических соображений значения величин Т1, Т2, Т3, Т4, Т5 и T нельзя уменьшать ниже некоторых границ:
Т > 4, Т4 > 4, T > 4, T > Т, Т > T и T = T +
+Т + Т + Т > 60.
При существующих ограничениях и с учетом условия существования стационарного режима в обеих системах область поиска квазиоп-тимальных параметров Т1, Т3 сужается до области R = {(Ті, Тз): Ті > 4, Тз > 4, Ті + 7з > 52, Ті + Тз < 112, Хі(Ті + Тз + 8) - li - ¡'і < 0, Х2(Т1 + Т3 + 8) - l2 - l"2 < 0}. Выбирая точки в этой области, можно за конечное число шагов найти квазиоптимальные значения параметров Т1, Т3 и решить задачу оптимизации по крите*
рию у ^ min. Для квазиоптимальных параметров находились статистические законы распределения числа машин, обслуженных по первому и по второму направлениям, полигоны частот, соответствующие данным статистическим законам распределения, а также выборочное математическое ожидание и выборочная дисперсия.
В качестве примера рассмотрим функционирование систем обоих типов при некоторых фиксированных значениях входных параметров. В таблице 1 приведены значения оценок Му, Му2, у*, МKj и Мк2 для различных длин периодов T в случае циклической системы при параметрах Т2 = Т4 = 4, Ці = Ц2 = і, Ц' = Ц ' = 1.2,
Х1 = 0.7 и Х2 = 0.1.
Из таблицы 1 видно, что в случае циклической системы для интенсивностей входных потоков Х1 = 0.7 и Х2 = 0.1 минимальное значение оценки у равно 9.202 и оно достигается при значениях Т = 60, Т1 = 46, Т3 = 6, которые и являются квазиоптимальными.
При квазиоптимальных значениях параметров для первого выходного потока выборочное
математическое ожидание M(9j) = 39.166, а выборочная дисперсия D(9) = 28.666. Для второго потока соответственно М(92) = 4.922 и D (9) = 1.904.
Таблица 1
Т Т1 Т3 Му1 Му 2 * у Мк Мк2
100 86 6 4.533 83.168 14.363 8.325 12.811
80 12 7.638 41.445 11.864 12.782 8.567
70 22 17.511 30.995 19.197 22.561 7.604
66 26 47.520 28.064 45.088 44.120 6.936
80 68 4 4.184 65.967 11.907 6.977 10.211
64 8 6.409 35.056 10.002 10.011 7.046
60 12 9.216 30.289 11.851 13.004 6.596
56 16 13.356 25.492 14.873 17.567 6.134
60 48 4 5.761 40.054 10.108 8.432 6.028
46 6 6.784 26.127 9.202 9.062 5.265
44 8 8.204 23.326 10.095 10.558 4.868
42 10 13.132 19.449 13.922 15.347 4.460
Таблица 2
У1 0 22 23 24 25 26 27 28
* Рі 0 0 0.001 0.003 0.004 0.005 0.007 0.001
У1 29 30 31 32 33 34 35 36 37
* Рі 0.013 0.022 0.023 0.029 0.040 0.044 0.054 0.050 0.065
У1 38 39 40 41 42 43 44 45 46
* Рі 0.066 0.055 0.065 0.056 0.057 0.061 0.052 0.043 0.174
В таблице 2 представлен статистический ряд распределения числа машин, обслуженных циклической системой при квазиоптимальных значениях параметров Т1, Т3 по первому потоку за время работы состояния Г(1) светофора.
Здесь и далее через у7, у = 1, 2, обозначены
значения случайной величины 9 , а соответствующие им статистические вероятности - через
*
Ру .
На рисунке 3 изображен полигон частот для статистического ряда распределения числа машин, обслуженных циклической системой при квазиоптимальных значениях параметров Т, Т1, Т3 по второму потоку за время, пока светофор находился в состоянии Г (3).
В таблице 3 приведены значения оценок Му1, Му2, у*, Мк и Мк2 для различных длин периодов Т в случае приоритетной системы при фиксированных параметрах Т5 = 5, Т2 = Т4 = 4, Ці = Ц2 = 1, ц'і = Ц2 = 1.25, ц"2 = = 1.4, Х1 = 0.1 и Х2 = 0.6.
Из таблицы 3 следует, что в случае приоритетной системы при интенсивностях Х1 = 0.1, Х2 = = 0.6 квазиоптимальными являются Т = 60, Т1 = = 4, Т3 = 48. При квазиоптимальных параметрах
для выходного потока П1 выборочное математическое ожидание М(9) = 3.792, выборочная дисперсия 0(9) = 0.325. Для потока П2 —
М(9) = 33.501 и 5(9) = 31.076.
На рисунке 4 изображен полигон частот для распределения числа машин, обслуженных приоритетной системой в случае квазиоптимальных значений параметров Т, Т1, Т3 по первому потоку за время работы состояния Г (1) светофора при интенсивностях Х1 = 0.1, Х2 = 0.6.
В таблице 4 приведен статистический ряд распределения числа машин, обслуженных приоритетной системой при квазиоптимальных значениях параметров Т, Т1, Т3 по второму потоку за время, пока светофор находился в со-Т"1 (3)
стоянии Г .
Рис. 3 Рис. 4
Таблица 3
т Т1 Т3 Му1 Му 2 * у М к М к2
6 86 80.0793 2.4328 13.5251 12.3912 6.9420
12 80 70.4239 2.0754 11.8395 10.9421 5.6400
22 70 31.1918 10.2983 13.2831 7.6060 16.5540
32 60 23.6252 22.7197 22.8490 6.6580 25.3820
4 68 70.4239 2.0754 11.8395 10.9421 5.6400
12 60 29.3273 5.5804 8.9728 6.4380 10.6880
18 54 24.1045 9.7110 11.7672 5.9537 14.2797
22 50 20.2058 13.2278 14.2246 5.3778 17.0202
4 48 28.3445 2.5093 6.2000 5.6600 5.5571
8 44 22.2182 4.5887 7.1072 4.8748 8.0951
12 40 18.3501 7.6819 9.2059 4.4583 11.0855
16 36 15.5278 11.8975 12.4161 4.1174 14.1053
Таблица 4
У2 0 18 19 20 21 22 23 24
р2 0 0 0.004 0.010 0.012 0.008 0.022 0.050
У2 25 26 27 28 29 30 31 32 33
р2 0.046 0.068 0.078 0.058 0.062 0.082 0.088 0.094 0.068
У2 34 35 36 37 38 39 40 41 42
р2 0.048 0.056 0.040 0.040 0.016 0.016 0.014 0.006 0.002
У2 43 44 45 46 47 48
р2 0.008 0.002 0.002 0 0.002 0
Целесообразность применения алгоритма с упреждением обоснована в ряде работ, например в [5]. Как правило, данный алгоритм дает меньшее значение средней задержки произвольного требования, чем циклический алгоритм. Полученные результаты имитационного моделирования подтверждают тот факт, что приоритетная система в сравнении с циклической дает выигрыш по среднему времени ожидания начала обслуживания произвольной ма-
шины. Например, при одинаковых входных параметрах Т2 = Т4 = 4, = Ц2 = 1, ММ = М-2 =
= 1.25, X = 0.1, Х2= 0.6 в случае циклической
*
системы наименьшее значение оценки у равно 6.484, а в случае приоритетной — 6.200. Еще большего уменьшения оценки у можно добиться, если увеличивать интенсивность обслуживания заявок приоритетного потока. Алгоритмы с упреждением широко используются
0,00 0.10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0.70 0,80 0,90 1,00
Рис. 5
для управления интенсивным потоком транспорта на основной магистрали и приоритетным малоинтенсивным потоком пешеходов, когда появление пешехода фиксируется установленной на перекрестке кнопкой вызова.
Данные численного эксперимента позволяют
*
сделать вывод, что оценка у среднего времени ожидания начала обслуживания произвольной заявки в системах обоих типов, как правило, уменьшается при сокращении периода работы обслуживающего устройства.
Также с помощью построенной имитационной модели изучался вопрос о продолжительности переходного процесса в системе после некоторого «стандартного» начального возмущения в виде задания размеров начальных очередей по каждому входному потоку. Методика оценивания длительности /и переходного процесса изложена в разделе 1 данной статьи. С применением этой методики проведена серия экспериментов для двух изучаемых алгоритмов управления. Изменение оценки времени переходного процесса /и в зависимости от загрузки р для случая циклической системы отражено на рисунке 5.
Анализ результатов с возможной поправкой на разброс оценок позволяет сделать вывод, что
с увеличением загрузки продолжительность переходного процесса в системе возрастает и наблюдается резкое его увеличение при больших загрузках системы.
Список литературы
1. Федоткин М.А., Пройдакова Е.В. Нелинейная модель процесса циклического обслуживания и выходные потоки // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т.13. № 3. С. 48-60.
2. Пройдакова Е.В., Федоткин М.А. Управление выходными потоками в системе с циклическим обслуживанием и переналадками // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 96-107.
3. Пройдакова Е.В. Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков в системе с приоритетным направлением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2007. № 1. С. 167-172.
4. Зорин А.В. О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системе обслуживания с разделением времени и ветвящимися вторичными потоками // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2007. № 2. С. 145-150.
5. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1996. Вып. 6. С. 51-70.
NUMERICAL STUDY OF CYCLIC AND PRIORITY QUEUING SYSTEMS WITH CONFLICTING FLOWS OF DEMANDS
E. V. Proydakova
The statistical analysis of output flows arising in the cyclic and priority queuing systems is carried out using the simulation method. Numerical estimates of some parameters of the performance of these systems are found. The duration of the transition process is studied.
Keywords: simulation model, cyclic queuing system, priority queuing system, conflict flows, output flow, steady-state regime, statistical numerical characteristics.
