CC BY
37
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ты Верде, слабая зависимость от температуры, стабильность оптических свойств, малые габариты, доступность и технологичность.
3. Проведенный теоретический анализ и полученные экспериментальные результаты показывают, что среди возможных к реализации оптических систем чувствительных элементов датчиков (однопроходная система, двухпроходная система, многопроходная система) в силу широкого динамического диапазона, низкой достигаемой основной и дополнительной погрешностей, простоте и функциональности оптимальной является однопроходная система чувствительного элемента
Библиографический список
1. Бурков, В.Д. Научные основы создания устройств и систем волоконно-оптической техники / В.Д. Бурков, Г. А. Иванов. - М.: МГУЛ, 2008.
2. Бурков, В.Д. Экоинформатика: Алгоритмы, методы и технологии: монография / В.Д. Бурков, В.Ф. Крапивин. - М.: МГУЛ , 2009.
3. Бурков, В.Д. Теория, расчет и проектирование приборов и систем: лабораторный практикум / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, Т.В. Потапов, М.Е. Удалов. - М.: МГУЛ, 2010.
4. Бурков, В.Д. Теория, расчет и проектирование волоконно-оптических приборов и систем: практикум / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов. - М.: МГУЛ, 2011.
5. Бурков В.Д. Отработка технологических параметров и режимов изготовления волоконно-оптических световодов методом регрессионного анализа.
Учебно-методическое пособие / В.Д. Бурков, В.А. Беляков, Д.А.Голодушкин, А.И. Кофанов и др.
- М.: МГУЛ, 2013.
6. Бурков, В.Д. Испытательный стенд для исследования оптических и волоконно-оптических приборов и систем / В.Д. Бурков, Л.В. Леонов, С.В. Перминов, И.А. Урванцев, и др. // Вестник МГУЛ
- Лесной вестник. - № 3. - 2012. - С. 180-183.
7. Бурков, В.Д. Лабораторный комплекс «Математическое моделирование чувствительного элемента волоконно-оптического датчика магнитного поля и электрического тока» / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, С.И. Чумаченко, М.Е. Удалов и др. // Свидетельство ОФАП об отраслевой регистрации разработки МГУЛ № 2561 от 17.06.2003.
8. Бурков, В.Д. Лабораторный комплекс «Моделирование технологического процесса измерения параметров волоконно-оптических световодов и волоконно-оптических кабелей» / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, С.И. Чумаченко, М.Е. Удалов и др. // Свидетельство ОФАП об отраслевой регистрации разработки МГУЛ № 2562 от 17.06.2003.
9. Базаров, Е.Н. Лабораторный практикум по волоконно-оптической технике / Е.Н. Базаров, В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, Ю.К. Чаморовский. - М.: МГУЛ, 1998.
10. Бурков, В.Д. Миниатюрный волоконно-оптический датчик электрического тока / В.Д. Бурков, А.Н. Демин // Сб. науч. статей докторантов и аспирантов МГУЛ, 2013. - С. 31-39.
11. Патент РФ № 2213356, В.Д. Бурков, Болдырева А.Ю., Исаков В.Н., Кузнецова В.И., Кухта А.В., Малков Я.В., Потапов В.Т., Потапов В.Т., Удалов М.Е., Шалаев В.С. «Волоконно-оптический датчик магнитного поля и электрического тока». За-явл. МГУЛ 28.06.2000, опубл. 27.09.2003.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ВЫЕМКЕ
и между двумя телами
В.И. МЫШЕНКОВ, проф. каф. прикл. мат. и мат. моделирования МГУЛ, д-р физ.-мат. наук, Е.В. МЫШЕНКОВА, доц. «НИУ «МЭИ», канд. физ.-мат. наук
Явление отрыва потока встречается во многих отраслях техники, связанных с движением жидкости и газа, и вызывается воздействием различных устройств: уступов, ступенек, выемок и других элементов. Практически при обтекании любого выпуклого тела возникает отрывное течение. Исследованию отрыва потока посвящено много экспериментальных и теоретических работ [1, 2], в которых получен ряд важных результатов. В настоящей работе рассматривается
myshenkov. @mgul.ac.ru отрывное течение, возникающее в выемке и между двумя последовательно расположенными телами при числах Рейнольдса Rex < 200, поскольку при больших числах Rex обнаружилась неустойчивость используемой разностной схемы. Ранее подобные задачи рассматривались для случая течения несжимаемой жидкости и результаты их носили в основном качественный характер [3, 4]. Поскольку задача об обтекании выемки является моделью задачи обтекания иллюминатора
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2014
133
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
космического аппарата, она является практически актуальной.
Расчеты рассматриваемых задач проведены при числах Рейнольдса 1 < Rex < 100 и числах Маха набегающего потока 0,3 < Ыш
< 2, а поэтому при малых Rea} и больших Ы^, очевидно, соответствуют области течения разреженного газа. Для определения режима течения газа в рассматриваемых задачах воспользуемся предложенной Тзяном [5] классификацией областей течения, согласно которой течения при числах Кнудсена Kn = Ых / Re1/2
< 0,01 считаются областью течения сплошной среды; при числах Кнудсена в диапазоне 0,01
< Kn < 1 - областью течения со скольжением; а при числах Кнудсена Kn >10 - областью свободномолекулярного течения. Поскольку результаты расчетов рассматриваемых задач получены в диапазоне чисел Кнудсена 0,003 < Ыш / Re1/2 < 0,3, то следует признать исследуемые течения относящимися к области течения со скольжением. Однако в работе [1] показано, что влияние скольжения на давление в отрывных зонах оказывается порядка (u /uj), где u - скорость скольжения, иш - скорость набегающего потока. Величина us определяется из выражения us = Лdu/dy , где Л - длина свободного пробега молекул. Так как интервал исследованных значений отношения (u /u ) составлял от 0,01 до 0,2, то влиянием скольжения на характеристики течения в большинстве расчетов можно пренебречь, а течение рассматривать как течение сплошной среды с граничными условиями прилипания на стенке.
Рассмотрим плоские задачи течения совершенного газа в выемке и между двумя последовательно расположенными телами при условии, что параметры потока заданы на границах исследуемых областей: на бесконечности по £, п, на поверхности обтекаемых тел, на некотором расстоянии от левой стенки выемки вверх по потоку (£, п - прямоугольная система координат). Решение задачи будем искать с помощью уравнений Навье-Стокса в верхней полуплоскости, которую для удобства интегрирования отобразим посредством преобразования х = £ /(£, 2 + 1)1/2, у = п / (п 2 +
1)1/2 в прямоугольную область с координатами -1 < х < 1, 0 < у < 1 (рис. 1).
Задачу будем решать методом установления, предполагая существование и единственность решения при достаточно гладких краевых условиях. Поток считаем текущим слева направо. Используемые система уравнений и двухшаговая разностная схема Лак-са- Вендроффа приведены в работах [6-8]. В качестве определяющих параметров примем параметры набегающего потока: р, u, v, e -плотность, продольную и поперечную составляющие скорости, внутреннюю энергию газа соответственно, д - динамическую вязкость, а в качестве характерного размера - глубину выемки h Нижние индексы у переменных <х>, w обозначают переменные на бесконечности и на стенке соответственно.
Граничные условия рассматриваемых
задач
1) р = u = 1, v = 0, e = еш - при х = 1, 0 < у < 1; и при у = 1, - 0,8 < х < 1;
2) р = ф^Х u = ф2ОХ v = Фз(уХ
e = Ф4(у) - при х = - 0,8, 0,5 <у < 1;
3) u = v = 0, e = ew - при у = 0,5, - 0,8 < х < - 0,5, 0,5 < х < 0,95;
и при х = ± 0,5, 0 <у < 0,5;
4) u = v = 0, e = ew или др / ду = du / ду = de / ду = v = 0 (на оси симметрии для задачи обтекания двух тел) - при у = 0, - 0,5 < х < 0,5.
Здесь ф - функции, задающие параметры на левой границе расчетной области. Для простоты в настоящих расчетах ф . принимались постоянными, равными соответствующим параметрам на бесконечности. В случаях 3) и 4) ри; определялось из уравнения неразрывности.
Начальные значения полей переменных р, u, v, e в области счета первоначально задавались довольно произвольно. В дальнейшем, однако, для ускорения счета в качестве начальных данных при решении задачи для заданных чисел Re, Ых использовалось полученное ранее решение для некоторых других значений определяющих параметров.
Решение считалось установившимся, если норма разности векторов продольной составляющей скорости во всей области счета удовлетворяло условию ||Uk+50 - Щ1 < 1,5-10-4. Здесь Uk - вектор продольной составляющей
134
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
да да
скорости в момент времени t = kAt, At - шаг по времени при численном счете, k - номер шага по времени.
Решение рассматриваемой задачи получено в следующих диапазонах изменения определяющих параметров исследуемого течения: чисел Маха 0,3 < М < 2, чисел Рейнольдса Re = р u h /и , 1 < Re < 100, при числе Прандтля Pr = 0,71, показателе адиабаты у = 1,4, температуре газа T да = 300K.
Расчеты показали, что картины течения в выемке и между двумя телами имеют циркуляционный, вихревой характер (рис. 1, где приведено изменение функции тока при Мда = 0,3 и различных числах Re да). Причем интенсивность вихря в выемке меньше, чем между двумя телами, и это расхождение возрастает с уменьшением числа Re и увеличением числа M благодаря усилению тормозящего воздействия нижней стенки. Точки отрыва потока на подветренной стенке и прилипания на наветренной в обоих случаях (выемки и между телами) практически совпадают во всех исследованных диапазонах чисел Re да и Мда . С увеличением Re да они стремятся занять по-
ложение близкое к угловым кромкам, причем точка прилипания потока выходит на угловую кромку раньше. Однако координата положения нулевой линии тока при числах Re да < 10 располагается значительно ниже, чем в случае течения между телами. При числах Reда > 20 они практически совпадают. Центр вихря при малых числах Re у выемки несколько смещен к подветренной стенке в сравнении со случаем течения между телами и находится между подветренной стенкой и центральным сечением выемки. С увеличением числа Re да при Re да > 100 центр вихря перемещается ближе к наветренной стенке за центральное сечение выемки и практически совпадает с положением центра вихря течения между телами.
Распределение давления на верхних поверхностях рассматриваемых тел (при у =
0.5) с изменением числа Re при М = 0,3 меняется практически одинаково (рис. 2, пунктирные линии). Лишь за выемкой наблюдается некоторое расхождение величин давления, не превышающее 1-2%. При больших числах Re > 100 и М = 0.3 давление на верх-
СО СО 1
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
135
Рис. 2. Распределение давления на верхней поверхности выемки приМда = 0,3, Rea = var (пункт, линии) и Rea = 100, Мда = var (сплошные. линии)
них стенках почти постоянно и равно давлению на бесконечности в набегающем потоке. Только у угловой кромки перед выемкой возникает небольшая волна разрежения. Повышение давления у угловой кромки наветренной стенки выемки при Re = 100 небольшое. С уменьшением числа Reда у входной границы области счета (в силу принятого граничного условия 8 = 0) возникает область повышенного давления (пик давления), которая далее к выемке пропадает. С уменьшением Rex градиент давления у угловой кромки перед выемкой увеличивается, а само давление уменьшается. За этим пиком давления далее следует область разрежения, усиливающаяся с уменьшением числа ReДавление в среднем на верхней поверхности за выемкой (и на поверхности второго тела) с уменьшением числа Re в диапазоне 1 < Re < 100 вначале несколько уменьшается, а при Rec^ = 1 становится выше, чем при Rea_ = 100.
Увеличение числа M при постоянном
да
Re =100 (рис. 2, сплошные линии) оказывает такое же воздействие на распределение давления на верхней поверхности рассматриваемых тел, как и уменьшение числа Re^. При Мда = 2 положение пика давления смещается вниз по потоку. От стенки в результате взаимодействия набегающего потока с вязким
слоем отходит слабая ударная волна, интенсивность которой возрастает с увеличением числа Мда. Градиенты давления и величина давления на стенке с увеличением числа Мда возрастают. При Мда > 1 у угловой кромки за выемкой возникает ударная волна, а за ней область разряжения, усиливающаяся с числом Мда. Далее давление снова повышается, достигая некоторого максимума, после чего падает. Максимальные градиенты давления в обеих задачах имеют место в окрестности угловых кромок. Совпадение распределений давления на верхней поверхности рассматриваемых тел объясняется тем, что характер вихревого течения в выемке и между двумя телами (например, линии тока (рис. 1a, 1b) при умеренных числах Reда и Мда почти одинаков. Лишь при малых числах Re <10 и больших Мда > 2 обнаруживаются различия в картинах течения. Тормозящее действие нижней стенки выемки при этом усиливается, что существенным образом сказывается на скорости возвратного течения.
Давление на большей части подветренной стенки выемки при Мда = 0.3 и числах Рейнольдса 10 < Reда < 100 не меняется, оставаясь близким давлению в набегающем потоке (рис. 3a, пунктирные линии). Только у угловой кромки образуется область раз-
136
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 3. Распределение давления при различных числах Reю и Мю : а) на подветренной стенке выемки; b) на наветренной стенке выемки
режения, усиливающаяся с уменьшением Rex. При Rex <10 распределение давления на стенке становится неравномерным, а при Rerxi = 1 даже немонотонным. Характер поведения кривых давления на подветренной стенке при течении между телами аналогичен, только давление на 1-2 % выше.
С увеличением числа Мш при постоянном Rex = 100 давление на подветренной стенке выемки возрастает (рис. 3а, сплошные линии), оставаясь постоянным до Мш = 1 почти на всей стенке, кроме окрестности угловой кромки, где область разрежения с Мш возрастает и усиливается. При Мш = 2 подрастание давления в случае выемки по сравнению с Мш = 1 незначительное, порядка 3-4 %, а градиент давления у угловой кромки существенно больше. В случае же течения между телами давление на подветренной стенке при увеличении Мш с 1 до 2 возрастает более чем на 15 %.
Давление на большей части наветренной стенки выемки при Re > 10 почти постоянно, и лишь в окрестности угловой кромки возникает пик давления, который далее сменяется областью разрежения (рис. 3 b, пунктирные линии). С уменьшением числа Rem от Re ^ = 100 до Re ^ = 1 давление p возрастет на 9 % от значения, близкого к давлению на бесконечности при Rex = 100. Градиенты давления при Re = 1 становятся значительными. Распределение давления на наветренной
стенке в случае течения между телами идентично рассмотренному, расхождения в величинах давления не превышают 2 %.
С увеличением числа Мш распределения давления на наветренной стенке происходит аналогично изменению распределения давления с уменьшением числа Rex, только приращения величин давления здесь больше (рис. 3b, сплошные линии). Область разрежения у угловой кромки с увеличением Мх (в отличие от случая уменьшения Rex) почти не увеличивается. При Мш > 1 здесь образуется интенсивная ударная волна, которая затем распространяется во внешний поток. Этим объясняется относительное постоянство области разрежения у угловой кромки наветренной стенки с изменением Мш. Следует заметить, что величины давления на лобовой стенке второго тела несколько меньше, чем на наветренной стенке выемки (особенно в окрестности донной стенки). Однако максимальные значения давления у угловой кромки одинаковы. Имеющиеся расхождения в величинах давления на рассматриваемых поверхностях для выемки и для течения между телами объясняются менее интенсивным возвратным течением в выемке.
Давление на нижней стенке выемки при М = 0,3 и числах Re > 100 изменяется мало и по величине близко давлению в набегающем потоке (рис. 4а, сплошные линии). С уменьшением Re х давление на дне выемки
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
137
Рис. 4. Распределение давления на дне и верхней границе выемки: а) при м = 0.3, lie: = var, b) при Re = 100, M = var
L да "да
несколько повышается, а вдоль стенки появляется градиент давления. Вблизи наветренной стенки при этом появляется небольшой экстремум давления. Перепад давления на нижней стенке с уменьшением Яеда увеличивается до 7% при Яеда = 1. В случае же течения между двумя телами распределение давления в плоскости симметрии течения идентично, но имеет более плавный характер с несколько меньшим перепадом давления между границами области. Однако при Яеда = 1 перепад давления также достигает 7%.
С увеличением числа Мда давление и градиент давления на нижней стенке выемки увеличиваются (рис. 4b, сплошные линии), а у наветренной стенки образуется усиливающийся с Мда пик давления. Перепад давления на нижней стенке возрастает, достигая 25% при Мда = 2. В случае течения между телами распределение давления в плоскости симметрии идентично, но имеет более плавный характер. Экстремума давления у наветренной стенки не возникает.
Давление в среднем сечении верхней границы выемки (и между телами), как показывают расчеты, практически совпадает с давлением на нижней стенке. Однако с приближением к стенкам выемки существенно возрастает расхождение давлений на этих поверхностях. Перепад и градиенты давления на верхней границе оказываются значительно большими, чем на нижней стенке. С уменьшением Яеда и увеличением Мда давление и
градиенты давления на верхней границе увеличиваются (рис. 4, пунктирные линии).
Изменение безразмерной характеристики теплопередачи - числа Нуссельта Nu на верхней поверхности тел при Яеда = 100 и различных Мда идентично и приведено на рис.
5a. Значения Nu определялись со вторым порядком точности по формуле
Nu =- 47”’и+1_3 “”J
1 тп+2
2Ьу[\+{У-\)М112-Тт1Г«
где T = T/T
’ ' 1л;пп 1л; пп
h0 - глубина выемки;
Ay - расстояние между узлами сетки по оси у, нижние индексы m, n у переменных T обозначают нумерацию узлов разностной сетки; да - параметры на бесконечности в набегающем потоке; w - параметры на стенке.
Как видно из графиков, значения числа Nu у входной границы области счета (в силу принятого граничного условия) резко возрастают. Далее по поверхности в направлении к угловой кромке интенсивность теплообмена снижается. На поверхности за выемкой число Nu с удалением от угловой кромки уменьшается более плавно, чем на поверхности перед выемкой. Увеличение числа Мда набегающего потока вызывает монотонное возрастание теплообмена.
Распределение числа Nu на подветренной стенке выемки при Яеда = 100 и различных Мда , как видно из рис. 5 b (пунктирные линии),
138
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
Рис. 5. Распределение числа Nu на поверхности выемки при различных числах Reи : а) на верхней стенке; b) на боковых стенках
имеет монотонный характер с минимальными значениями Nu у нижней стенки. Почти до 4/5 длины стенки имеет место практически линейное изменение числа Nu и лишь у угловой кромки значения Nu резко возрастают. Аналогичное изменение теплообмена имеет место и на наветренной стенке выемки. Только интенсивность теплообмена здесь более чем в два раза выше (рис. 5b, сплошные линии).
Изменение теплообмена на нижней (донной) стенке выемки, как видно из рис. 6, имеет существенно неравномерный характер. Вдоль стенки интенсивность теплообмена меняется более чем на порядок, достигая экстремума на расстоянии 1/3 ее длины от наветренной стороны выемки.
При изменении числа Маха характер теплообмена на стенках выемки остается
Рис. 6. Распределение числа Нуссельта на донной стенке выемки
прежним, а интенсивность его меняется немонотонно. Аналогичная картина имеет место и при изменении числа Рейнольдса.
В случае течения между телами общая закономерность распределения числа Нуссельта такая же, лишь значения Nu на стенках (передней и задней) в окрестности плоскости симметрии течения существенно выше из-за более интенсивного движения потока. Однако максимальные значения числа Nu в окрестностях угловых точек практически одинаковы.
Библиографический список
1. Чжен, П. Отрывные течения / П. Чжен // Мир,1973.
- Т. 1.-300 с.; - Т. 2. - 280 с.; - Т. 3 - 333 с.
2. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлих-тинг. - М.: Наука. - 1969.- 742 с.
3. Roache P.J., Muller T.J. Numerical solutions of laminar separated flows/ PJ. Roache, T.J. Muller// AIAA Journal. - 1970. - V. 8. - № 3. - p. 530-538.
4. Donovan, L.F. A numerical solution of unsteady flow in a two-dimensional square cavity/ L.F. Donovan // AIAA Journal. - 1970. - V. 8. - № 3.
- p. 524-529.
5. Tsien, H.S. Super Aerodynamics, mechanics of Rarefield Gases/H.S. Tsien // J. Aeronaut. Sci., 13, N
12. - 1946.- p. 656-885.
6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч // Мир. - 1980. - 616 с.
7. Мышенков, В.И. Дозвуковое и трансзвуковое течение вязкого газа в следе плоского тела / В.И. Мышенков // Изв. АН СССР,- МЖГ,- 1970. - № 2.
8. Мышенков, В.И. Численное исследование течений вязкого газа в следе плоского тела / В.И. Мышенков // АН СССР- Журнал вычислит. матем. и ма-тем. физ. - 1972.- № 3.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
139
