Численное исследование спектра нормальных волн открытого неоднородного волновода с круговым сечением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958;621.372.8

DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-7

Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур, Э. А. Хорошева

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН ОТКРЫТОГО НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОДА С КРУГОВЫМ СЕЧЕНИЕМ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - исследование спектра задачи о распространяющихся электромагнитных волнах открытого неоднородного волновода с круговым сечением.

Материалы и методы. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения численного решения задачи применяется метод Галер-кина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций.

Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи распространения нормальных волн открытого неоднородного волновода с круговым сечением, проведен ряд численных экспериментов.

Вывод. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.

Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, неоднородный волновод с круговым сечением, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, вариационная формулировка, пространства Соболева, метод Галеркина.

E. Yu. Smol'kin, M. O. Snegur, E. A. Khorosheva

A NUMERICAL RESEARCH OF THE RANGE OF NORMAL MODES OF AN OPEN INHOMOGENEOUS WAVEGUIDE WITH CIRCULAR CROSS-SECTION

Abstract.

Background. The aim of the work is to research the range of the problem of propagating electromagnetic waves of an open inhomogeneous waveguide with circular cross-section.

Materials and methods. To determine the solution the authors use a variational formulation of the problem. The physical problem is reduced to solving the eigenvalue problem for the system of ordinary differential euqations. To find a numerical solution the Galerkin method is applied using finite piecewise linear basis functions.

Results. The authors have developed and realized a numerical method for solving the problem of normal mode propagation in an open inhomogeneous waveguide with circular cross-section, as well as carried out a number of numerical experiments.

Conclusions. The suggested numerical method is an efficient way to find an approximate solution to the electromagnetic wave propagation problem.

1 Работа написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (госзадание 1.894.2017/4.6).

Key words: electromagnetic wave propagation problem, inhomogeneous waveguide with circular cross-section, Maxwell equation, differential equations, variational formulation, Sobolev spaces, Galerkin method.

Введение

Одной из важнейших задач электродинамики является задача о распространении волн в волноведущих структурах. При исследовании процессов распространения волн в волноводах с неоднородным заполнением возникают краевые задачи на собственные значения для систем уравнений Гельмгольца. При этом на границах разрыва ставятся дополнительные условия, называемые условиями сопряжения (краевыми условиями). В задачах, описывающих распространение волн в волноводах с однородным заполнением, спектральный параметр присутствует лишь в уравнениях. Однако при анализе достаточно сложных моделей (неоднородных или анизотропных волноводов, волноводов произвольного сечения) спектральный параметр уже входит не только в уравнения, но и в условия сопряжения, причем нелинейным образом. Задача становится несамосопряженной [1].

Для исследования спектральных свойств таких задач оказывается естественным и эффективным метод операторных пучков (или модифицированный метод оператор-функций). После сведения исходной краевой задачи к изучению некоторого операторного пучка (оператор-функции) можно использовать аппарат функционального анализа для исследования его спектральных свойств [2-4].

Электрические параметры s и ц обычных диэлектрических и магнитных сред определяются их физической структурой. Однако нередко требуются среды с необычными свойствами (или заданными свойствами), которые можно получить, используя либо неоднородные (анизотропные) по составу среды, либо частично заполненные. В отличие от предыдущих работ, в данной статье рассматривается случай неограниченной внешней области. Задача сводится к численному исследованию спектра неоднородной волноведущей структуры.

1. Постановка задачи

Рассмотрим трехмерное пространство M с цилиндрической системой координат Орфг . Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £q = const и магнитной проницаемостью Цо = const, где £q , Цо - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Волновод с образующей, параллельной оси Oz и круговым сечением радиуса r из материала с параметрами £о£(р), ЦоЦ(Р) и радиусом r по-

3

мещен в

M . На рис. 1 представлена геометрия задачи. Стержень неограниченно продолжается в направлении z .

Задача о нормальных волнах волноведущей структуры состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла

в виде бегущей волны [5], т.е. с зависимостью eim(P+1Yz от координаты ф и z , вдоль которых структура регулярна:

[rot H = -юеЕ, [rot Е = /юДН,

Е = (Ep (p)ep + Еф (р)еф + Ez (p)e z )eim^z, H = (Яр (р)ер + Нф (р)еф + Hz (р)е z )е™ф+^,

(1)

(2)

причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода, непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела сред

[ЕФ ]|р=, = [Ez i==r =

[НФ ]|р=г = °, [Hz U = °,

(3)

и условие излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при р^^ в области р> г .

Рис. 1. Геометрия задачи

Диэлектрическая и магнитная проницаемости во всем пространстве имеют вид

_ [е0е(Р), 0<р<г, „ Гцоц(р), 0<р<г,

е Ч Ц = 1 (4)

[е0, р^ г, [Цо, р^ г.

Предполагаем также, что е(р) и ц(р) дважды непрерывно дифферен-

2 2

цируемые функции на отрезке [0,г], т.е. е(р)е С [0,г] и ц(р) е С [0,г].

Задача о нормальных волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра у - нормированной постоянной распространения (затухания) волноведущей структуры.

Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:

m

i—Hz - iуЯф = iroeED, p

iyH p- HZ =-iroeE9, -1 (рНф) - immHp = -iroeEz

p

p

m

i—Ez - iYEф = iro|Hp, p

(5)

Ep = -iro|IHz,

/уЕр " Е^ = /юДНф, 1 (рЕф) "/ —

выразим функции Ер , Нр, Еф, Нф через Ег и Нг из 1, 3, 4 и 5-го уравнений последней системы, получаем:

Е _ ш(й\хН2 - /урЕ^ Н _ /урН + —юёЕг

Ер _ 2 2~~ч , Нр _ 7"2 Т~ ,

E =

p(y -ro e|I) p(y -ro e|I)

ymEZ + iproflHZ _ymHZ - iproHH'z -----, H ф = --

p(y2 -ro2e|)

ф 2 2 p(y2 -ro2eI)

(6)

Из последних формул следует, что поле нормальной волны в волноводе может быть представлено при помощи двух скалярных функций:

ue := iEz (p), um := Hz (p).

(7)

Тем самым задача сводится к нахождению функций ие и ит - компонент электрического и магнитного полей. Всюду (•)' обозначает дифференцирование по р.

Для компонент поля ие и ит имеем следующую задачу (задача Рт) на собственные значения: найти такие уе Ж, что при заданном значении т е Ж существуют нетривиальные решения следующей системы дифференциальных уравнений:

f

ep

Л

ro e |

_Ip_г

-ro2e |i

e p

Д p

f

p2 +-

m

\

p2

y -roe|I 2

m

ue = ymro-

(eI1

I 2 2~~ I y - ro e|I

2 um,

Л

(8)

ro e|I

um = ymro-

(eI1

/ 2 2~~ I y - ro e|I

2 ue,

удовлетворяющие условиям сопряжения на границе г:

[ие ]|г _ ^ [и— ]|г _ ^

(9)

ym

г -1 ~ / г -1 ~ /

ue pЮjLl Um = 0, ym um pЮjLL ue

2~~ 2 2~~ 2 2~~ 2 2~~ 2

ю ejul -y r ю eju -y r ю ejLL -y r ю eju -y

= 0.

где [f ] = lim f (р) - lim f (p), и условию убывания на бесконечности.

r p^r+0 p^r -0

Зная компоненты поля ue и um как решение задачи Pm, можно определить оставшиеся компоненты по формулам (6). Определенное так поле E, H удовлетворяет всем условиям (1)-(3).

2. Дифференциальные уравнения

Вне волновода (р > r) диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид £о и Цо, соответственно тогда из (1) получаем следующие уравнения

(PK )' -(р2*! + m2 \ = 0, (pum )' - (р2^2 +

m \um = 0,

где kj2 =у2 — kg , = №|1q£q . Принимая во внимание условие на бесконечности получаем решение последней системы в виде

К (р; Y) = ClKm (klP),

l"m (р; Y) = C2Km (klP),

(10)

где Кт - модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда) [6]; С и С2 - постоянные.

Внутри волновода из (9) мы получаем систему дифференциальных уравнений:

Ьеие = реие + кеие — деие = /ит, ^тит = ртит + ^тит — Ятит = /ие,

(11)

где

Pe =eP2 *2, Pm =MP2 k2,

Ае = Р2 (це2 + У2е') + рек|,К = р2 ( е'ц2 + у V) + рцк|, Яе = (р2 к| + т2), ^т = Цк| (р2 к2 + т2),

/ = рко ут (ец), к| = у2 — к^ец.

Зная решения в свободном пространстве, задача (8)-(9) может быть сведена к задаче на собственные значения на отрезке [0, г ].

Будем искать решения ие и ит задачи Рт в пространствах Соболева Н1 (0, г) со скалярным произведением и нормой:

(/, * )1=| (/г+м ) р , | и 1=(/, /)1=| (|и |2 +|/|2Р .

0 0

Определение 1. Если для заданного т е Ж существуют нетривиальные ие и ит, отвечающие некоторому у е М, которые при р> г определяются решениями (10), а при 0 <р< г являются решением системы уравнений (11), и функции ие и ит удовлетворяют условиям сопряжения (9), то у называется характеристическим числом задачи Рт .

Основная цель работы: численное исследование характеристических чисел у задачи Рт .

3. Вариационное соотношение

Дадим другую вариационную формулировку задачи Рт . Умножим уравнения системы (11) соответственно на произвольные пробные функции Уе и Ут , считая их пока непрерывно дифференцируемыми на отрезке [0, г]. Используя формулу Грина, получаем

JvLudр = Jpvu"dр + Jhvudp -Jqvudp = pvu |0 - J(pv + p'v)u'dp +

0 0 0 0 0

+J hvud p-J qvud p= pvu\r - J (pv' + p'v )u'd p + J hvud p-J qvud p, (12)

где и = и у, V = Vу, п = пу, р = ру, q = qj, у = е или т .

Применяя полученную формулу (12) отдельно для первого и второго уравнений системы (11) на отрезке [0, г ] и складывая результаты, получим

г

| ^еЬеие + ^Ьтит ) ЛР = 0

г г

= -|^е^е +qmumvm )ЛР + {((Пе - Р'е + (Пт - Рт )и'т^т )Р-0 0

г

(РeU'eV'e + Рт^т^т ) Л Р + Ре (г К ( г К (г ) + Рт ( г )и'т (г ( г ). (13)

0

Принимая во внимание правые части уравнений системы (11), имеем

г г

I (^еие + ^Ьтит ) ЛР = |/(^е + ие^т ) ЛР. (14)

0 0

Зная решения (10), выразим из формул (9) значения нормальных производных при р = г следующим образом:

0

Ре (г К (Г ) = К1"е (Г) + К2иш (Г), Рт ( г )и'т (г) = К2ие (г) + К1 ит (гX

k 4 ^ k2

K1 = ^ k1

m — rki -

^m+1 (^ )

,K2 = k^ymr-^- (|(r )e(r)-1). (15)

Кт (к1г) .

Из формулы (13) с учетом (14) и (15) получаем

г г

I(Чеиеуе + Чтитут)ЛР" |(§еи'еуе + §ти'тут )Р +

+|(Реи'еК + Рти'т^т ) ЛР + | f (ит^е + ие^т ) ЛР" 0 0

"К ( ие (Г)Уе (Г) + ит (г(г) ) " К2 ( ие (г^ (г) + ит (гК (г) ). (16)

Замечание 1. Вариационное соотношение (16) получено для гладких функций Уе и Ут .

4. Проекционный метод

Используя проекционный метод [7-9], сведем вариационное соотношение (16) к системе алгебраических уравнений. Во-первых, разделим отрезок

г

[0, г] на п отрезков длиной к = — . Определим п отрезков:

п

ф. =[(/" 1)к,(/ + 1)к],. = 1,...,п" 1 и Фп =[г"к,г]. Эти отрезки мы назовем носителями.

В соответствии со схемой проекционного метода необходимо ввести базисные функции ф., чтобы определить приближенное решение уравнения (16). Базисные функции определены для каждого носителя Ф. (ф. обнуляется вне Ф.):

Ф» =

р — (i — 1)h

h

р — (i + 1)h

, р < ih,

i = 1, n — 1,

(17)

, P> ih,

и

Фп =

р — Г + I h~

(18)

Приближенные решения рассматриваемой задачи будем искать в виде

(19)

п

п

Ue = Z ai Ф» , Um = Z Р> Ф j, i=1 i=1

где а., Ру - неизвестные коэффициенты; ф. - базисные функции.

Подставляя функции ие и ит с представлением (19) в вариационное соотношение (16), мы получим систему линейных уравнений относительно а. и Ру (для фиксированного значения у):

Ах = 0,

где матрицы А и х имеют вид

,< 1,1

(Аи

лп\

A =

<1,1

А"Л

\ me

Л, n

ли, n ли,1 Aee Aem

A1, n A1,1

me mm

An, n An1 me mm

Л, n ^

1,n

mm

x =

( q^

On в вг

(20)

где

АЦ = J qeФiФjdp- J ge¥iФjdp+ J pe^'iф'' jdp-K19i (r)фj (r),

ф. ф. ф,.

A^m = J /ф,Фjdp-^i (r^j (r), AmJe = J /ф,фjdp - K2ф. (r)фj (r),

ф,- ф,.

Атт = I qmФiФуЛР- I ётф\фуЛР+ I Ртф'(ф'уЛР " к1Фг (г)фу (г), фг ф. ф.

. = 1,...,и и у = 1,...,и .

Таким образом, матрица А имеет размерность 2и X 2и . Обозначим через А определитель матрицы А :

А (у) = аег А.

Определение 2. Если существует у такое, что А(у) = 0 , то у является приближенным решением задачи Р. Другими словами, если интервал у, у]

таков, что А(у)х А(у) < 0, то это означает, что существует у = у , которое является спектральным параметром (постоянной распространения) задачи Р. Это значение может быть вычислено с любой заданной точностью.

5. Численные результаты

Ниже приведены результаты численного решения задачи о распространяющихся электромагнитных волнах неоднородной волноведущей структуры.

Рис. 2. Дисперсионные кривые (гибридные волны);

значения параметров: г = 3, т = 1, е = 9 + Р, ц = 1

г

Рис. 3. Дисперсионные кривые (ТЕ- и ТМ-поляризованные волны); значения

параметров: г = 3, т = 0, е = 9 + Р, ц = 1. Красные кривые соответствуют

г

ТМ-поляризованным волнам, зеленные кривые - ТЕ-поляризованным волнам

Заключение

Исходная задача о нормальных волнах неоднородной волноведущей структуры сведена к краевой задаче для продольных компонент электромагнитного поля в пространствах Соболева. Неоднородность заполнения и вхождение спектрального параметра в условия сопряжения приводят к необходимости дать специальное определение решения задачи. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи.

Библиографический список

1. Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов. - М. : Изд-во МГУ, 1989. - С. 189.

2. Смирнов, Ю. Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений / Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, № 1. - С. 140-147.

3. Смирнов, Ю. Г. Применение метода операторных пучков в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода / Ю. Г. Смирнов // Доклады Академии наук СССР. - 1990. - Т. 312, № 3. - С. 597-599.

4. Делицин, А. Л. Об одном подходе к задаче о полноте системы собственных и присоединенных волн волновода / А. Л. Делицин // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 5. - C. 700.

5. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2009. - C. 267.

6. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. - М. : Наука, 1979. - C. 832.

7. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress. -New York : Springer, 1999. -C. 398.

8. Смолькин, Е. Ю. Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 2 (42). - C. 32-43.

9. Смирнов, Ю. Г. О дискретности спектра в задаче о азимутальных симметричных волнах открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 50-64.

References

1. Il'inskiy A. S., Shestopalov Yu. V. Primenenie metodov spektral'noy teorii v zadachakh rasprostraneniya voln [Application of spectral theory methods in problems of wave propagations]. Moscow: Izd-vo MGU, 1989, p. 189.

2. Smirnov Yu. G. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1991, vol. 27, no. 1, pp. 140-147.

3. Smirnov Yu. G. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of AS USSR]. 1990, vol. 312, no. 3, pp. 597-599.

4. Delitsin A. L. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2000, vol. 36, no. 5, p. 700.

5. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Mathematical methods of researching problems of electrodynamics]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009, p. 267.

6. Abramovits M., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam [Special functions reference book]. Moscow: Nauka, 1979, p. 832.

7. Kress R. Linear Integral Equations. New York: Springer, 1999, p. 398.

8. Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2 (42), pp. 32-43.

9. Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 50-64.

Смолькин Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Снегур Максим Олегович

студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Хорошева Эльвира Александровна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, the research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Snegur Maksim Olegovich Student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Khorosheva El'vira Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.958;621.372.8 Смолькин, Е. Ю.

Численное исследование спектра нормальных волн открытого неоднородного волновода с круговым сечением / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). -С. 76-86. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-7