CC BY
41
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НИЗШИХ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, НАГРУЖЕННОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ
А. Н. Андреев, Е.В. Тайлакова
Исследованы собственные частоты круговой цилиндрической слоистой композитной оболочки, нагруженной статическим осесимметричным внешним давлением.
Eigen frequencies problem of a circular cylindrical multilayered composite shell loading external static axial symmetry pressure is investigated.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, краевая задача, оболочка, композит, устойчивость, колебания, частота, инвариантное погружение.
1. Общие соотношения
Рассмотрим слоистую цилиндрическую композитную оболочку радиуса R и толщины h, каждый слой которой армирован волокнами постоянного сечения либо в осевом, либо в окружном направлении. В качестве отсчетной поверхности принимаем внутреннюю поверхность оболочки. В теле оболочки вводим цилиндрическую систему координат x, ф, z, где x - расстояние, отсчитываемое вдоль образующей от края оболочки (0< x<I), ф - угловая координата (0 <ф< 2 л), г - поперечная координата (0 < г < И) . Уравнения поверхностей раздела у -го и (у +1) -го слоев (] = 1, 2, т-1) запи-
шутся в виде:
2 (0 = И> < Иі<---< Ит_1 < Ит = И). (1.1)
Примем, что оболочка нагружена осесимметричным внешним давлением
°Zz = -PP(x),
(1.2)
где р - постоянный множитель, имеющий размерность напряжения, Р(х) - функция осевой координаты. Для описания механического поведения оболочки под нагрузкой используем нелинейную неклассическую динамическую систему уравнений [1, 2], позволяющую учесть поперечные сдвиговые деформации и включающую в себя следующие группы зависимостей (к = 1, 2, ..., т - порядковый номер слоя):
- соотношения упругости, записанные для к -го слоя
к к к . к к
^хх = а\15хх + а\25фф,
°фф = а12е хх + а225фф,
(1.3)
„к _ _к _ к„к у ’
®хф ®фх а3ЪУхф ,
^хг = ^13Ухг , ^фг = ^23Уфг ;
- закон распределения физических составляющих вектора перемещений по толщине пакета слоев (здесь и всюду в дальнейшем отброшены слагаемые порядка Щ Я как величины, малые по сравнению с 1)
М ІФІ( z )Пx
к Ow
VX = ux - z -Г-
Ox
к z Ow к ф ф
VФ = u<P - R дф+ M22(ZK
v' = w( x ф );
x
(1.4)
- соотношения деформации - перемещения
, f'(z)^x yk = f'(ZK s = 0
/ xz s^k 5 * , 4 " 4
o:.
g:
t Ou д2w t . . дп І
s' =—^ - z--------------------------+ М,Ф,( z)---------- + —
xx -Л -"v 2 / 11 V У
Ox ox Ox 2
vOx у
* І (диф z д2 w , k ^дпф , Л
- —----------T + M77(z)—ф + w
д ф R д ф2 22 д ф
+ -
і( і OwЛ
R дф
2
(1.5)
v R Оф у du.
z д 2 w
Ox R dxd ф
dux , ..к Ф _ Ф д п x
-------+ М і (z)-------
д ф 11 д ф
+ М22 ( z ) "
5п,
Ox
У
І <9w <9w
R Ox д ф
- выражения физических составляющих обобщенных усилий и моментов в отсчетной поверхности оболочки через составляющие напряжений в ее слоях
т
[Тх, мх, ]=2 I [1, г А*(
ф=1 ^-1 Г 1 т
[Тхх , Мхх , ЯхА=^ I ^ [1, ^ Ик22(z)]dz,
ф=1 Аф-1 Г 1 т \
[Тх, Мх, ^ ]=£ I [1, г, М*( фг,
ф= к„-1 Г Л т %
[тх , Мх , ]= 2 I [1, Z, ^2(z)]dz, (16)
m hk
Q, Q.]=T, f
k=1 hk-1
тк Tk
xz ,
G13 G23
f'( z )dz;
2
h
k-l
- представления интегральных характеристик даламберовых массовых сил инерции (точка - знак частного дифференцирования по времени t)
[Х„ I, К
дх
т \ ( 7 ^
^ I Рк Iі* г,
k=1 Иы V Я дф У
(1.7)
- выражения для величин „каа (г) (а = 1, к)
/(-') - Ж-,) ф-1 / (1Ь) - / М.,,-
«ш(г)-—---------------+ 2 —тз---------------• (18)
°аЪ ]=1 0аЪ
- дифференциальные уравнения движения элемента оболочки
дТ 1 дТ 1 дТ дТ
т +--------* -х = о,--------хх + _х- х = 0, (1.9)
дх Я дф
Я дф дх
ё2Ых + 2 д2Мх, | с
дх
^_д_
Я дх
Я дхдф дх
Т
д\у
дх
+
сд
фх
дф) Я2 дф2
1 д
я2 дф
Т
фф
д^ дф
1 д
Я дф
Я
'
V фх дх у
+
-I
д^„
і аг;
дх Я дф
= Р0Р(х\
1 =0,
йх я д
=0
я дф дх ф ф '
Функциональный параметр /(г) принимаем в виде:
3
/ (г) = г3 - - Иг2,
соответствующем [1] квадратичному закону изменения поперечных сдвиговых напряжений по толщине пакета слоев.
Итак, составлена неклассическая замкнутая система дифференциальных уравнений (1.3) - (1.9), описывающая процесс нелинейного динамического деформирования слоистой упругой цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью. Порядок этой системы равен 12 и от числа слоев не зависит. В корректно поставленной краевой задаче такой порядок требует задания на границе области шести краевых условий. В рассмотренном ниже случае
жесткого защемления краев эти условия сводятся к обращению в нуль на торцах оболочки обобщенных перемещений:
д^
при х = 0, I w = — = и = и = п = п = 0 (1.10)
дх х р х р
и кп - периодичности решения по угловой координате р. В (1.4) - (1.10) w, их, и - соответственно прогиб, осевая и угловая составляющие вектора перемещений отсчетной поверхности, п, п - обобщенные перемещения, связанные с учетом поперечных сдвигов. Отметим, что в результате предельного перехода
0*13 ^ ^, О'къ ^ <х
сформулированная система дифференциальных уравнений преобразуется в систему уравнений классической теории оболочек, базирующейся на кинематической модели недеформируемой нормали.
Эффективные жесткости и податливости материалов слоев, необходимые для выполнения конкретных расчетов, определялись на основе уравнений структурной модели армированного слоя [1].
2. Осесимметричный изгиб цилиндрической оболочки
Осесимметричное напряженно-деформированное состояние жестко защемленной ортотропной цилиндрической оболочки, несущей поперечную нагрузку
(1.2), определяется путем решения линейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения получаются из
(1.3) - (1.9), если опустить в последних динамические и нелинейные слагаемые. Кроме того, в этих уравнениях необходимо опустить слагаемые, содержащие частные производные по угловой переменной р и принять во внимание обращение в нуль угловой составляющей вектора перемещений.
Сформулированная краевая задача приведена к матричной форме:
У' = Ау + Г, (2.1)
при £ = 0, 1 у = У 2 = Уз = У 4 = 0 (2.2)
и решена методом инвариантного погружения [1, 2]. В (2.1), (2.2) £ = х/1, у - вектор безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния. Выражения для компонент 8 -мерных векторов у, Г и 8 х 8 матрицы А ввиду их громоздкости здесь не приводятся. Подробно методика вывода уравнений (2.1), (2.2) изложена в [1].
3. Решение статической задачи устойчивости
Задача устойчивости жестко защемленной слоистой цилиндрической оболочки, нагруженной осесимметричным внешним давлением, решена в рамках концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия. Неклассическая система линейных дифференциальных уравнений задачи устойчивости, записанная в вариациях, включает в себя следующие группы зависимостей:
И
к-1
- соотношения упругости (1.3);
- закон распределения вариаций составляющих вектора перемещений по толщине пакета слоев
(1.4);
- выражения вариаций физических составляющих усилий и моментов в отсчетной поверхности оболочки через вариации составляющих напряжений в ее слоях (1.6);
- соотношения вариации деформаций - вариации перемещении:
/'(г)Пх ..ф /'(г)пх
7* ='
/ хг
Ок
7і =' / ф
єк =
хх
ди
______х.
дх
- — г-
дм
дх2
+ Мк1( г)
О2
дл
______х_
дх
єк = 0,
- +
дм0 дw
єфф л
Ухф
1
+---
Я
1 ( диф г д2 м
~дф Я ~дф
д2 м
дх дх ’
, дл, ^
+ ^22( г ) -* + к
(3.1)
дф
ди
ф— 2 г
дх Я дхдф
+ ^22 (* ) "
дл.
ди
дф
+ Мі( г)
дл
дх
1 дм>0 дм
дф ) Я дх дф
(здесь и ниже знаком «0» отмечены характеристики основного состояния, найденные путем решения задачи осесимметричного изгиба оболочки);
- уравнения нейтрального равновесия:
дТ 1 дТ
хх +________________ 0
дх Я дф ,
д2М 2 дМ
1 дТ дТ
А //У/1 V <1.
Я дф дх
= 0,
(3.2)
дхг
+-----ф+-( к—1+—I т,
Я дхдф дх V дх у дх V дх
дм0
+
Я2 дфф
фф
1 д
Я Я2 дф
0 дм дф
фф
+
1 д
ґ
Я дф
Т0 дм фх дх
1 д
Я дф
Т
фх
дм
дх
0
= 0,
дS\+ 1 д$.
дх Я дф
—а=0,
1 д£_ д£,
Я дф дх
—Я = 0.
Перечисленные зависимости вместе составляют полную систему неклассических уравнений устойчивости цилиндрической оболочки и должны интегрироваться при соответствующих краевых условиях. В рассматриваемом здесь случае жесткого защемления краев эти условия заключаются в обращении в нуль на торцах £ = 0, £ = 1 вариаций составляющих вектора перемещений
дм
(3.3)
w =— = и = и =п =п = 0
х Р Х Р
и в 2п - периодичности решения по угловой координате р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты
г-^0 г-^0
пропорциональны параметру Р0 и
определяются в результате предварительного решения задачи изгиба (2.1), (2.2). Введя безразмерный параметр нагружения Х=, Р0/Е[ и вектор у вариаций безразмерных кинематических и силовых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки, представим задачу ее устойчивости в матричной форме (£ = х/1):
А(£Х) Ц = В( Р*)у + ЛС(£, Р*)у, (3.4)
||Е6,0 Л у(0,р) = 0, | |Е6, Об||у(1,р) = 0. (3.5)
Здесь Е, 06 - 6 х 6 единичная и нулевая матрицы соответственно, А, В, С - 12х12 матрицы, элементы которых - полиномы от дифференциального оператора р (р = д/др) с коэффициентами, зависящими от переменной £ . Выражения для элементов этих матриц ввиду их громоздкости здесь не приводятся. Решение задачи устойчивости (3.4), (3.5) строим в форме ряда Фурье:
У(^,ф) = 2 Уп(^ехрСш^Х
(3.6)
с векторными коэффициентами у (£). Ясно, что представление решения задачи устойчивости в форме (3.6) позволяет удовлетворить условию его 2п -периодичности по угловой координате. Подставляя (3.7) в (3.5), (3.6) и отделяя угловую координату, приходим к распадающимся по индексу п линейным краевым задачам на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений:
уп(£) = А-1 (£)Вп(£)уп(£) + М-1(£)С (£)уп(£), (3.7) 1Еб, ОЛ у п (0) = 0, ||Еб, О Л у п (1) = 0. (3.8)
Элементы матриц Ап (£), Вп (£), Сп (£) получаются из соответствующих элементов матриц А, В, С путем преобразования р ^ п.
Задача (3.7), (3.8) решена численным методом, изложенным в [1] при следующем выборе координатной системы:
w , (£)= л/ 2ф -1 • рк- (2£ -1)е,
(ф = 1, 2, ..., Ь, . е J), (3.9)
где р (£) - ортогональные на [-1, 1] многочлены Лежандра, е - векторы стандартного ортонорми-рованного базиса в Я.12, J - множество номеров ненулевых столбцов матрицы Сп (£) . Выполнен многопараметрический анализ критических интенсивностей давлений и соответствующих им форм потери устойчивости.
4. Собственные колебания оболочки, нагруженной осесимметричным внешним давлением
Пусть интенсивность внешнего давления остается меньше критической. В этом случае равновесное
п=—гс>
состояние цилиндрической оболочки является устойчивым, и существует режим установившихся гармонических колебаний в окрестности этого состояния. Изучению таких колебаний посвящен настоящий раздел.
Дифференциальные уравнения задачи получим из общей системы нелинейных уравнений динамики
(1.3) - (1.9), линеаризовав эту систему в окрестности основного состояния и выполнив преобразование
д2 2
------>-с,
а2
где с-частотный параметр. Получающаяся в результате система уравнений включает в себя следующие группы зависимостей:
- соотношения упругости (1.3);
- закон распределения вариаций составляющих вектора перемещений по толщине пакета слоев
(1.4);
- выражения вариаций физических составляющих обобщенных усилий и моментов в отсчетной поверхности оболочки через вариации составляющих напряжений в ее слоях (1.6);
- соотношения вариации деформаций - вариации перемещении (3.1)
- представления интегральных характеристик даламберовых массовых сил инерции (1.7)
- уравнения собственных колебаний:
дТ 1 дТф^
+
' фх
дх я дф
+ с2 X = 0,
дТ
(4.1)
+
хф
Я дф
д 2 Мхх дх 2
+—(т дд
дх V Т
дх
2 д2 М
+ сс2 = 0,
хф
+ ■
д
д ( 2^\ 1 д
+ — (с Ух ) +----------
дх ^ х х х
Я дхдф дх
0Л 1 д.
Я дх г
Т
Т
V
дх
У
гт~’0
Т фх
0 дw
X -—ч
дх у дw
Я дх
V дфу
0 Л
+
дw
дф
у
Я2 дф г
Я Я2 дф
Т0
дw
~дф
+
+ ■
Ц Я2 дф
Т
д^'
~дф
0 Л
+ 11 Я дф
Т0 Cw дх
+
+ ■
1 а
Я дф дХ
Т
дw'
дх
+
V к у
1 дSl
Я дф
V дх у
+ с21 = 0,
дх Я дф
1 дАА ЯХх,
фх - а+^с2 х,=0, - а+с?2 х =0-
Я <Эф дх
Перечисленные зависимости вместе составляют полную систему дифференциальных уравнений задачи о собственных колебаниях нагруженной ци-
линдрической оболочки и должны интегрироваться при соответствующих краевых условиях. В рассматриваемом здесь случае жесткого защемления краев эти условия заключаются в обращении в нуль на торцах вариаций составляющих вектора перемещений (£ = х]1): при £ = 0, £ = 1
дw
(4.2)
w =— = и = и =п =п = 0
х Р X Р
и в 2п -периодичности решения по угловой координате р. С математической точки зрения, задача заключается в отыскании значений частотного параметра с, при которых данная линейная однородная краевая задача для системы уравнений с частными производными допускает нетривиальные решения. Матричная форма этой задачи такова:
А(Рр)^ = В(Рр)у + ХС(£,Рр)у + с2ПРр), (4.3)
||Еб, О Л у(0,р) = 0, ||Еб, 0^|у(1,р) = 0. (4.4)
Здесь А, В, С, Г - 12x12 матрицы, причем первые три из них тождественны одноименным матрицам из (3.4). В (4.3), (4.4) параметр X рассматривается как известный и варьируется в пределах 0<Л<Х, где X - безразмерная критическая нагрузка, найденная на предыдущем этапе. Таким образом, неизвестными величинами задачи (4.3), (4.4) служат собственные частоты и соответствующие им нетривиальные решения (собственные вектор-функции), определяющие формы собственных колебаний. Решение этой задачи получено тем же методом, каким было получено решение задачи устойчивости (3.4), (3.5) при использовании координатной системы (3.9).
В таблице 1 приведены данные, иллюстрирующие зависимость трех низших собственных частот от параметра X. Расчет выполнен для двухслойной оболочки, первый слой которой армирован в окружном направлении, второй - в осевом, при следующих значениях геометрических
ЩН = 20, Я/1 = 1, ^ = г2 = 0.5Н, механических
с а с а г\ о т’С т-’С
П =П =^2 = ^2 = 0Л Е1 = Е2,
Еа = Еа2, Еа/Ес = 20
и структурных с = с = С = С = 05 параметров композитной оболочки (^ - толщина
1 7Т,с(а) „ _с(а)
ф - го слоя, Ек ),Ук - соответственно модуль
Юнга связующего (с) и армирующих элементов (а ) к - го слоя, с, - интенсивности армирования в
поверхности ф - го слоя и по его высоте соответственно). При вычислениях использовалась структурная модель армированного слоя, уравнения которой приведены в [1], Результаты получены для случая равномерно распределенного внешнего давления и при значении параметра волнообразования п = 6
2
(образование именно такого числа окружных волн сопровождает потерю устойчивости оболочки при данных значениях параметров). Из таблицы 1 видно, что при увеличении параметра X от X = 0 до X = 0,6Х* (т. е. при достижении интенсивности внешнего давления 60 % от критической) наименьшая собственная частота с уменьшается почти вдвое. Значения второй (ю2) и третьей (ю3) собственных частот также уменьшаются при возрастании интенсивности внешнего давления, но в несколько меньшей степени.
Литература
1. Андреев, А. Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания / А. Н. Андреев, Ю. В. Немировский. -Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.
2. Механика - от дискретного к сплошному / А. Н. Андреев и др.; отв. редактор В. М. Фомин. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. - 344 с.
Рецензент - Ю. А. Фадеев - д-р физ.-мат. наук, профессор, ФГОУ ВПО «Кузбасский государственный технический университет».
Таблица 1
Зависимость низших собственных частот от параметра X
X 0 0,1Х 0,2Х 0,3Х 0,4Х 0,5Х 0,6Х
1.1988 1.1375 1.0726 1.0035 0.9293 0.8485 0.7590
®2 2.0198 1.9868 1.9531 1.9188 1.8839 1.8483 1.8119
®3 3.1856 3.1638 3.1419 3.1199 3.0977 3.0753 3.0538
