Научная статья на тему 'Численное исследование независимой аппроксимации граничных условий на решениях с разрывами производных'

Численное исследование независимой аппроксимации граничных условий на решениях с разрывами производных Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
156
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ОДНОСТОРОННЯЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОТОКА / МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ / МНОГОТОЧЕЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОТОКА / КОМПАКТНАЯ СХЕМА / НЕОДНОРОДНАЯ ОБЛАСТЬ / АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ / СХЕМА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ / ВЫСОКОТОЧНАЯ СХЕМА / ONE-SIDED STREAM APPROXIMATION / MULTIPOINT BOUNDARY CONDITIONS / MULTIPOINT STREAM APPROXIMATION / COMPACT SCHEME / INHOMOGENEOUS DOMAIN / THE BOUNDARY CONDITIONS APPROXIMATION / HIGHT-ORDER SCHEME

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ичетовкин Дмитрий Александрович, Паасонен Виктор Иванович

Работа является продолжением цикла статей, посвященных численному исследованию разностных схем для параболических и эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, в которых граничные условия аппроксимируются с произвольным порядком непосредственно, без привлечения дифференциального уравнения и его продолженной системы. Вопросы теоретического обоснования метода и его возможные приложения ранее обсуждались на страницах журнала ``Вычислительные технологии'', а предметом настоящей работы является подтверждение порядков сходимости в численных экспериментах на решениях с разрывами первых производных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Numerical study of the independent approximation of the boundary conditions for solutions with discontinuities derivatives

This article is a sequel of other papers devoted to the numerical study of the finite difference schemes for the parabolic and elliptic equations with discontinuous coefficients.Boundary conditions in these systems are directly approximated with arbitrary order, without involving the differential equation and its continuation of the system. Theoretical justification of the method and its possible applications were discussed earlier in this journal and the goal of this article is a confirmation of convergence orders in numerical experiments on solutions with discontinuous first derivatives.

Текст научной работы на тему «Численное исследование независимой аппроксимации граничных условий на решениях с разрывами производных»

Вычислительные технологии

Том 15, № 1, 2010

Численное исследование независимой аппроксимации граничных условий на решениях с разрывами производных*

Д. А. Ичетовкин Новосибирский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

В. И. Паасонен

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

e-mail: [email protected]

Работа является продолжением цикла статей, посвященных численному исследованию разностных схем для параболических и эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, в которых граничные условия аппроксимируются с произвольным порядком непосредственно, без привлечения дифференциального уравнения и его продолженной системы. Вопросы теоретического обоснования метода и его возможные приложения ранее обсуждались на страницах журнала "Вычислительные технологии", а предметом настоящей работы является подтверждение порядков сходимости в численных экспериментах на решениях с разрывами первых производных.

Ключевые слова: односторонняя аппроксимация потока, многоточечные граничные условия, многоточечная аппроксимация потока, компактная схема, неоднородная область, аппроксимации граничных условий, схема высокого порядка точности, высокоточная схема.

Введение

Известно, что многие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, в том числе и с переменными коэффициентами, в ортогональных координатных системах могут быть аппроксимированы с четвертым порядком относительно шагов пространственной сетки на компактном шаблоне, не выступающем за пределы 3 х 3 х ... х 3-точечного шаблона (см., например, [1, 2]). Для применения высокоточных схем и в задачах с разрывными коэффициентами необходимо решить вопрос об аппроксимации с адекватной точностью внутренних граничных условий. Среди существующих подходов для решения этой проблемы отметим методы [3, 4]. Первый базируется на требовании гладкости потока в точках разрыва производной, и его обобщение на двумерный случай проблематично, второй основан на разностных аппроксимациях закона сохранения в балансных ячейках.

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00264) и интеграционного проекта СО РАН № 103.

© ИВТ СО РАН, 2010.

Авторы настоящей статьи считают, что с точки зрения универсальности подхода (относительно характера дифференциальных уравнений, порядка точности, типа граничных условий) для построения простого, гибкого, удобного для пользователя и хорошо структурированного алгоритма целесообразно в граничных условиях непосредственно использовать односторонние разностные аналоги первых производных. При этом необходимая точность в граничных условиях может быть достигнута выбором достаточного числа точек в односторонней аппроксимации потока, В общем виде такой подход сформулирован и исследован в [5], а в [6] предложена эквивалентная параллельная технология для его реализации. Метод устойчив и универсален, пригоден для условий Неймана, для условий третьего рода и условий равенства потоков на границах раздела различных сред.

Представленный здесь материал является продолжением данного цикла работ и посвящен численному исследованию алгоритмов такого типа на одномерных и двумерных задачах теплопроводности с разрывными коэффициентами. Необходимость численного эксперимента вызвана тем, что иногда наличие разрывов в коэффициентах не позволяет получить в расчетах ошибку ожидаемого порядка, вычисленного из теории, которая обычно предполагает достаточную гладкость решения. Предлагаемые здесь численные исследования были проведены с целью подтверждения теоретических результатов путем изучения реально наблюдаемых порядков сходимости.

1. Постановка одномерной разностной задачи

Пусть х0, х1;..., хг — возрастающая последовательность значений пространственной координаты х, представляющих собой координаты границ однородных слоев х^-1 <х<х^-, = 1, ...,г) с постоянными теплофизичеекими характеристиками. Внутри каждого слоя решение и(х, £) удовлетворяет уравнению теплопроводности на интервале времени 0 < £ < Т

ди д2и „ .

На внешних границах х = хо, х = хг поставлены граничные условия первого, второго или третьего рода (объединенные общей формулой)

ди

а на внутренних границах х = х1; ...,хг-1 заданы условия равенства потоков

ди ди

где индексы + и — означают пределы справа и слева.

Во внутренних узлах слоев уравнение теплопроводности аппроксимируем либо обычной чисто неявной схемой точности 0(т + к2), либо компактной схемой точности 0(т2 + к4):

„ и+1 — „.и к2

сА = АА ип- 5Г+1/2, А = Е + а Ь2 А, Б = Е + ^ А,

где Е — тождественный оператор, Л — обычная аппроксимация двойного дифференцирования, а вес с целью повышения порядка точности выражается следующим образом:

1 а Ат а =---, а = ——■

12 2' сЬ2

Таким образом, во внутренних узлах любого однородного слоя разностное уравнение приводится к симметричным трехточечным (временной индекс опущен) соотношениям

аи— + Ьпг + аПг+1 =

где ^ — результат операций над значениями функции и на нижнем слое и правой части f уравнения теплопроводности.

Так как теплофизичеекие характеристики и шаг сетки в пределах слоя постоянны, то с, А и Н, а также коэффициенты разностного уравнения следовало бы снабдить индексом, означающим номер слоя, которому принадлежит текущий узел сетки. Здесь и ниже будем его опускать, подразумевая зависимость этих величин от номера слоя.

Первые производные, входящие во внешние и внутренние граничные условия, аппроксимируем, применяя односторонние разделенные разности на (в + 1)-точечном шаблоне, Разность "вперед" имеет вид

^£ = 1 V- ^ к

к=0

актн.

Здесь Т/ — оператор едвига, аак- коэффициенты разностного оператора. Максимально возможный порядок аппроксимации равен при этом

Т

ак = -—--Ск8, к ф 0, а0 = - У

к=1

где С*к — число сочетайий из в по к.

Аналогично выглядит разность "назад" порядка в:

Д- 1 А 1 '

Н —Н^ к Н

к=0 к=0

Иначе говоря, коэффициенты противоположно ориентированных односторонних высокоточных разностей, как и в случае простейших разностей первого порядка, различаются только знаком,

В узлах, совпадающих с границами раздела сред, разностное уравнение запишем с помощью (в + 1)-точечных односторонних разностей:

. Дй . Д-й

А+—щ - А-—щ = О,

Н+

где индексы + и — означают принадлежность к правому или левому слою относительно данной границы раздела сред. На внешних границах также воспользуемся односторонними аналогами первых производных порядка 0(Нй):

щ—щ + ЦоПо = 00, —им - цгим = -фг. Н+

При сравнении методов различного порядка условимся использовать двух- и трехточечные граничные условия в сочетании с чисто неявной схемой, а в сочетании с компактной схемой — четырех- и пятиточечные граничные условия. Таким образом, при естественном предположении т = 0(к2) получим разностные схемы первого, второго,

к

односторонних разностей на различных шаблонах.

2. Многомерные разностные краевые задачи

В двумерном случае для простоты будем рассматривать только задачу Дирихле для уравнения теплопроводности в области, составленной из полос, занятых материалами с различными постоянными характеристиками. При кусочно-постоянных коэффициентах разностное уравнение, аппроксимирующее с погрешностью 0(т2 + к4) уравнение теплопроводности во внутренних узлах подобластей, получается факторизацией схемы с весами при специальных значениях весов осреднения

- _ ак 12 2 '

Лт и

ак = щ> к

1, 2.

На границах раздела сред использованы одномерные разностные условия равенства потоков порядка 5, описанные выше. При этом, как и в одномерном случае, рассмотрим варианты 5 = 1 и 5 = 2 для схемы второго порядка из = 3и 5 = 4 для компактной схемы четвертого порядка с фиксацией естественного предельного соотношения между тк

порядка 0(к5) для зпачений 5 < 4, Сравнение проводилось также с расчетами по схеме сквозного счета (СС) приближенной факторизации.

Для схемы в дробных шагах по линиям сетки с учетом разностных граничных условий на каждом временном шаге стандартным способом формируются одномерные разностные задачи такого же типа, что и в одномерном случае. Каждая из одномерных систем линейных алгебраических уравнений, к которым сводится общая задача, имеет почти трехдиагональную структуру. Ниже в качестве примера приведены два фрагмента расширенной матрицы системы для частного случая 5 = 4, Для компактности записи здесь использованы обозначения

в

^0 -1

к1

-ан

1,

А_

31

11

и,

-а,-.

Первый фрагмент соответствует окрестности левой границы многослойного пакета:

^0 + во в1 в2

а+ а+

0 а+

0 0 а+

0 0 0

0 0

0 0

а+ а+ 0

—Фо

^4

0 0 0 0

0

Второй фрагмент иллюстрирует структуру матрицы в окрестности любой границы раздела сред:

а_ Ь- а- 0 0

0 а- Ь- а- 0

0 а- Ь- а-

0 0 а- Ь-

0 7- 7з" 7- 7-

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 Я-з

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0 0 0 0 Я-2

а- 0 0 0 0

+ 7+ 7+ 72+ 7+ 7+ 0 0

а+ Ь+ а+ 0 0

0 а+ Ь+ а+ 0

0 0 а+ Ь+ а+ 0 -^г+3

0 0 а+ Ь+ а+ Кг+4

К

1-4

Если разбивать каждый слой не грубее, чем на 5 шагов, то "длинные" условия на соседних границах не будут "переплетаться" между собой, что позволяет с помощью стандартных операций метода Гаусса понизить их длину, вычитая из длинных строк комбинации соседних трехточечных строк, В результате таких операций матрица системы превращается в трехдиагональную, после чего можно воспользоваться обычным методом прогонки. Именно так проводилась программная реализация, хотя существует и другой эквивалентный параллельный алгоритм [6],

3. Результаты численных экспериментов

С целью исследования практически наблюдаемых порядков сходимости схем на предмет сравнения их с теоретическими были проведены численные эксперименты. Сравнивались результаты, полученные по четырем различным схемам с односторонними многоточечными разностями в граничных условиях — с первого до четвертого порядка аппроксимации. Эти схемы обозначаются в описании тестов цифрами, соответствующими порядку точности, С целью достижения жестких условий тестирования шаги в слоях были взяты равными, а не подбирались из соображения равенства тепловых сопротивлений слоев, и использовалась двумерная квадратная сетка. Пространственные и поверхностные источники тепла отсутствовали.

При детализации сетки начиная с начального шага к0 = 0.1 наблюдалось стремление численных решений, полученных по различным схемам, к одному пределу, при этом, как и ожидалось, сходимость была быстрее для схем более высокого порядка. Поэтому при сравнении результатов на сетках с шагами к и к/2 за точное решение условно принималось численное решение, полученное по схеме четвертого порядка аппроксимации па сетке с шагом к/4. Всюду ниже термин "точное решение" имеет именно этот смысл. В одномерной задаче для контроля проводилось до восьми дроблений шага вдвое. В двумерной задаче такая детализация сетки была бы обременительна, особенно если учесть, что в этом случае для сохранения постоянства отношения т/к2 шаг по времени каждый раз уменьшался бы в четыре раза. Оценка практически наблюдаемого порядка точности проводилась на сгущающихся сетках по коэффициенту убывания ошибки

Гп= ъ = Чиь-и\\с ; который теоретически при малых к должен стремиться к степепям двойки 25.

В одномерном случае рассматривался двухслойный пакет единичной толщины с границей раздела сред посередине. Теплоемкость в обоих слоях принималась равной единице, а коэффициенты теплопроводности различались в сто раз (А_ = 2 и А+ = 0.02 соответственно для левого и правого слоев).

На рис. 1 показаны результаты расчетов на момент времени £ = 0.8, полученные на различных сетках (с шагом Н = 0.1 и 0.05) по схемам первого и четвертого порядка аппроксимации для смешанной задачи с начальным распределением температур

1Г(х,0) = ^ ехр(—ж2)(1 - 100ж) и внешними граничными условиями

1 д~и

и{ 0, г) = -(1 + 8ш(4тг<)), ^(1, г) = 49/е.

Из рис. 1 видно, что даже на очень грубой сетке расчеты по схеме 4 весьма близки к точному решению. Расчеты по схемам второго и третьего порядка точности занимали промежуточное положение между приведенными крайними результатами и, чтобы не загромождать рисунок, их графики не представлены.

В таблице приведены нормы ошибок на сгущающихся сетках для тестируемых схем и их отношения. Для всех порядков обнаруживается стремление отношений к 2й, а это свидетельствует о том, что несмотря на наличие существенных изломов в точном решении теоретический порядок точности на практике подтверждается.

Таблица и рис. 2 иллюстрируют сходимость численных решений на сгущающихся сетках для задачи Дирихле в двумерном случае. Область представляет собой единичный квадрат, разделенный по вертикали на два равных прямоугольника, занятых материалами с теми же теплофизическими характеристиками, что и в одномерном варианте. Условия на границе и начальные данные задавались из выражения

и{х,у,г) = \{ 1 + вш(4^)) (¡^т + ^т)-

Заметим, что точным решением эта функция не является, она используется лишь для генерирования согласованных начальных и граничных условий. Сплошной линией

Рис. 1. Численное решение одномерной задачи при пяти (а) и десяти (б) шагах в слое; сплошная

линия — точное решение, квадратики — результаты расчета по схеме 4, Ч--результаты расчета

по схеме 1

Экспериментальная оценка порядка точности в одномерной и двумерной задаче

Схема расчета Ошибка 6/г Ошибка £/¿/2 Коэффициент ть

Одномерная задача

1 /г = 1/20 0.04099 0.01881 2.17931

2 0.03648 0.00903 4.03675

3 0.01207 0.00212 5.68965

4 0.00742 0.00061 12.0609

1 /г = 1/40 0.02684 0.01338 2.00677

2 0.02132 0.00503 4.23852

3 0.00595 0.00079 7.53160

4 0.00215 0.00013 16.0440

Дщр черная, задача

СС 0.077821 0.030338 2.565067

1 /г = 1/20 0.142020 0.049197 2.886750

2 0.077260 0.021209 3.642719

3 0.063559 0.010129 6.274994

4 0.042807 0.003269 13.09257

СС 0.071975 0.024872 2.893750

1 /г = 1/40 0.148847 0.051145 2.910278

2 0.057868 0.013118 4.411326

3 0.027224 0.003122 8.720084

4 0.012520 0.000776 16.13031

Рис. 2. Численное решение двумерной задачи при пяти (а) и десяти (б) шагах в слое

изображены изолинии точного решения на момент времени £ = 1, а маркеры имеют тот же смысл, что и в одномерном случае. Здесь также решение по схеме 4 существенно ближе к точному, чем по схеме 1.

Результаты исследования порядка сходимости дня данного двумерного теста приведены в таблице. Здесь сравнение проводилось также со схемой сквозного счета. Видно стремление отношения погрешностей к целым степеням двойки с показателем, равным порядку аппроксимации, что согласуется с теоретическими результатами.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что схемы с односторонней аппроксимацией потоков в граничных условиях в кусочно-однородных областях имеют порядки точности, совпадающие с теоретическими. Это объясняется тем, что предложенный алгоритм основан на непосредственной аппроксимации потоков односторонними разностными аналогами без привлечения самого дифференциального уравнения или его продолженной системы, в силу чего полная гладкость решения фактически не требуется, необходима лишь его достаточная гладкость в пределах каждого однородного включения отдельно. По этой же причине в отличие от методов, в которых разностные аппроксимации граничных условий зависят от дифференциального уравнения, в рассматриваемом случае не требуется гладкость потока на границах раздела сред.

Список литературы

[1] Паасонен В.И. Компактные схемы для уравнений второго порядка с конвективными членами // Вычисл. технологии. 1998. Т. 3, № 1. С. 55-66.

[2] Paasonen V.l. Compact schemes for system of second-order equations without mixed derivatives // Rus. J. Numer. Analvs. and Math. Model. 1998. Vol. 13, No. 4. P. 335-344.

[3] Коскин П.И. Схема повышенной точности для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами // Численные методы механики сплошной среды. 1979. Т. 10, № 2. С. 85-96.

[4] Ильин В.П. Балансные аппроксимации повышенной точности для уравнения Пуассона // Сибирский мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 151-169.

[5] Paasonen V.l. Compact difference schemes for inhomogeneous boundary value problems // Rus. J. Numer. Analvs. and Math. Model. 2004. Vol. 19, No. 1. P. 65-81.

[6] Паасонен В.И. Параллельный алгоритм для компактных схем в неоднородных областях // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 3. С. 98-106.

Поступила в редакцию 22 декабря 2008 г., в переработанном виде — 8 августа 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.