CC BY
48
УДК 521.1
А. Ф. Заусаев, А.Г. Ольхин
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ (МЕРКУРИЙ - ПЛУТОН) С УЧЕТОМ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭФФЕКТОВ
Проведено численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) на 1000 -летнем интервале времени с учетом и без учета релятивистских эффектов. Показано, что при исследовании эволюции орбит больших планет на интервале времени порядка 1000 и более лет необходим учет релятивистских эффектов для каждой внутренней планеты (Меркурий - Марс).
Дифференциальные уравнения движения в ньютоновской задаче п-тел в прямоугольной системе координат с началом в центре солнца в матричной форме имеют следующий вид:
-к2 (1 + т) — + ^ к
йі г
і=1
А3 т:
(1)
,3
/
где X - матрица столбец с элементами х, у, /; X! - матрица-столбец с элементами хг, уг, гг.; т, х, у, г - масса и гелиоцентрические координаты возмущаемой планеты; тг, хг, у., 2г - масса и гелиоцентрические координаты возмущающих планет; г, А, г - расстояния, вычисляемые по формулам
г = х2 + у2 + 22; а2 = (х- - х)2 + (у. - у)2 + (2- - г)2; гг = х2 + у. + ^ (2)
Уравнения (1) являются нерелятивистскими уравнениями движения, которые длительное время использовались для исследования движения больших планет. Однако в середине XIX в. Леверье впервые установил, что теоретическое вековое смещение перигелия Меркурия, полученное на основании решения уравнений (1), отличается от наблюдаемого. Полученный результат дал основание усомниться в достоверности нерелятивистских уравнений (1) и побудил исследователей к построению новых теорий движения больших планет.
С созданием специальной теории относительности, фундамент которой заложили Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн, произошел радикальный пересмотр почти всех понятий механики. Поэтому форма законов тяготения, допускающая передачу гравитационного взаимодействия с бесконечной скоростью, оказалась несовместимой с новыми представлениями.
Разработанная Эйнштейном общая теория относительности позволила в дальнейшем создать релятивистскую небесную механику, свободную от вышеуказанного противоречия.
Общая теория относительности наряду с уточнениями уравнений содержит введение новых представлений и понятий, согласно которым: а) гравитационное поле общей теории относительности описывается как проявление свойств метрики пространства-времени; б) движение частицы в гравитационном поле есть движение по инерции с псевдоримановой пространственно - временной метрикой; в) метрика пространства-времени зависит от распределения и состояния масс.
Наиболее простой вид уравнения поля получается в линейной теории для слабых полей, т.е. когда поправки к галилеевым значениям метрики настолько малы, что их квадратами и производными можно пренебречь.
Важным случаем как в теоретическом, так и в практическом отношении является сферически симметричное поле, создаваемое одним неподвижным телом сферической структуры. Задача определения поля тяготения сферически симметричного тела называется задачей Шварциль-да. Решение задачи Шварцильда является одним из немногих известных точных решений уравнений поля общей теории относительности. Гелиоцентрические релятивистские уравнения движения планет с учетом лишь ньютоновских и шварцильдовских членов можно записать в следующем виде [2]:
X = -к 2(1 + т) Щ + ^ к2 тг
т і=1
- X Xt Л А3 тЗ
і
к_
2
к2 X2 (XX) XX
(4 - 2а) —X - (1 + а) —X + 3а X + (4 - 2а) —X
т т т т
(3)
с*
где а - параметр, характеризующий выбор системы координат (для стандартной прямоугольной системы координат а=1); с-скорость света в пустоте; X2 = х2 + у2 + 22;
+
XX = xx + уу + гг; x, у, г - проекции скорости; время, входящее в уравнение (2) - координатное.
После подстановки значения параметра а=1, уравнения (3) в прямоугольной декартовой системе координат запишутся в виде
X = -к2 (1 + т) + ^ к‘
ті
X- X X,.
А3
+
к2
2 *1X - 2 ^ X + 3 ™ X + 2 Щ. X
т т т т
.(4)
Для учета влияния релятивистских эффектов проведены решения уравнений движения (1) и (4) методом Эверхарта на 1000 лет вперед. Начальные положения координат и скоростей больших планет отнесены к эпохе 1949, дек 30 ЕТ = 2433280,5 ГО (ЕТ - всемирное время, ГО -юлианская дата) [1].
Результаты вычислений представлены в табл. 1 и 2, где Т - время в юлианских днях; М -средняя аномалия; а - большая полуось; е - эксцентриситет; а> - аргумент перигелия; О - долгота узла; г - наклонение. Элементы орбит М, ю, О и г приведены в градусах и долях градусов, а - в астрономических единицах.
3
2
г
с
і =1
Т а б л и ц а 1
Элементы орбит, вычисленные без учета релятивистских эффектов
Т=2469805.5 М а е ю О і
Меркурий 22.978784 0.387095 0.205642 29.211147 47.614819 6.99792
Венера 146.297726 0.723335 0.006768 54.755834 75.953689 3.393317
Земля 355.071781 1.000002 0.01667 288.993557 173.440626 0.012763
Марс 228.248625 1.523621 0.093571 286.673534 48.881457 1.842399
Юпитер 96.224222 5.207719 0.048665 274.921105 99.982409 1.306736
Сатурн 207.606007 9.517922 0.055456 339.428787 112.938523 2.492407
Уран 358.040349 19.279836 0.0515 94.151449 73.8696 0.77206
Нептун 353.662001 30.211806 0.011262 288.252962 131.262909 1.774602
Плутон 88.280683 39.404446 0.248943 112.69555 109.732901 17.167853
Т=2626905.5 М а е ю О і
Меркурий 46.64797 0.387025 0.205618 30.33073 47.11794 6.974521
Венера 217.6415 0.723331 0.006534 55.87099 74.84935 3.389846
Земля 351.3331 0.999993 0.016504 291.3843 172.3824 0.063744
Марс 107.6074 1.523596 0.093814 289.4943 47.72685 1.811995
Юпитер 357.3694 5.208287 0.049957 273.5794 100.0459 1.305841
Сатурн 51.73127 9.533254 0.055456 342.1041 111.9415 2.505769
Уран 270.3882 19.26281 0.047168 93.57951 73.87447 0.769039
Нептун 166.6632 29.99421 0.011677 267.1435 131.2847 1.776358
Плутон 306.2047 39.41582 0.247315 113.9562 109.5965 17.14411
Т=2798530.5 М а е ю О і
Меркурий 15.35872 0.386951 0.205639 31.72246 46.49541 6.945413
Венера 126.7604 0.723335 0.006362 57.33883 73.46443 3.384002
Земля 346.8652 1.000003 0.01628 294.1532 171.0726 0.127253
Марс 46.70206 1.523734 0.094139 293.1254 46.27724 1.772839
Юпитер 51.03478 5.207995 0.049564 274.713 100.1319 1.305196
Сатурн 32.7664 9.574752 0.054409 348.327 110.6784 2.510459
Уран 250.3921 19.30264 0.047223 93.63451 74.02749 0.766914
Нептун 163.0978 30.01514 0.012187 280.5648 131.2085 1.776225
Плутон 310.845 39.63206 0.248665 113.0107 109.4848 17.11749
Т а б л и ц а 2
Элементы орбит, вычисленные с учетом релятивистских эффектов
Т=2469805.5 М а е ю О і
Меркурий 22.96389 0.387095 0.205642 29.22309 47.61482 6.99792
Венера 146.2953 0.723335 0.006768 54.75822 75.95369 3.393317
Земля 355.0707 1.000002 0.01667 288.9946 173.4406 0.012763
Марс 228.2483 1.523621 0.093571 286.6739 48.88146 1.842399
Юпитер 96.2242 5.207719 0.048665 274.9211 99.98241 1.306736
Сатурн 207.606 9.517922 0.055456 339.4288 112.9385 2.492407
Уран 358.0403 19.27984 0.0515 94.15145 73.8696 0.77206
Нептун 353.662 30.21181 0.011262 288.253 131.2629 1.774602
Плутон 88.28068 39.40445 0.248943 112.6956 109.7329 17.16785
Т=2626905.5 М а е ю О і
Меркурий 46.54346 0.387025 0.205618 30.39051 47.11784 6.974518
Венера 217.6293 0.723331 0.006534 55.88301 74.84936 3.389846
Земля 351.3276 0.999993 0.016504 291.3898 172.3823 0.063744
Марс 107.6058 1.523596 0.093814 289.4961 47.72686 1.811995
Юпитер 357.3693 5.208287 0.049957 273.5795 100.0459 1.305841
Сатурн 51.73125 9.533253 0.055456 342.1042 111.9415 2.505769
Уран 270.3882 19.26281 0.047168 93.57951 73.87447 0.769039
Нептун 166.6632 29.99421 0.011677 267.1435 131.2847 1.776358
Плутон 306.2047 39.41582 0.247315 113.9562 109.5965 17.14411
Т=2798530.5 М а е ю О і
Меркурий 15.07496 0.386951 0.205639 31.84218 46.49503 6.945401
Венера 126.7363 0.723335 0.006362 57.36262 73.46444 3.384003
Земля 346.854 1.000003 0.01628 294.1641 171.0724 0.127253
Марс 46.69891 1.523734 0.094139 293.1292 46.27724 1.772839
Юпитер 51.0346 5.207995 0.049564 274.7132 100.1319 1.305196
Сатурн 32.76637 9.574752 0.054409 348.327 110.6784 2.510459
Уран 250.3921 19.30264 0.047223 93.6345 74.02749 0.766914
Нептун 163.0978 30.01514 0.012187 280.5648 131.2085 1.776225
Плутон 310.845 39.63206 0.248665 113.0107 109.4848 17.11749
Т а б л и ц а 3
Значения разности средних аномалий и аргументов перигелиев
Т=2469805.5 Т=2626905.5 Т=2798530.5
ДМ Дю ДМ Дю ДМ Дю
Меркурий -53.604 42.9984 -376.2252 215.226 -1021.525 430.9812
Венера -8.6652 8.5896 -43.6752 43.2648 -86.5656 85.6332
Земля -3.978 3.8988 -19.998 19.584 -40.2804 39.4416
Марс -1.1304 1.3464 -5.6592 6.7428 -11.3256 13.4784
Юпитер -0.0648 0.0612 -0.324 0.3096 -0.6516 0.6192
Сатурн -0.0108 0.0144 -0.0432 0.0504 -0.1044 0.0972
Уран 0 0 -0.0036 0.0036 -0.0036 0.0036
Нептун -0.0036 0.0036 -0.0036 0.0036 -0.1332 0.1404
Плутон -0.0036 0 -0.0036 0 -0.018 0.0108
Как видно из табл. 1 и 2 большие полуоси а и эксцентриситеты е орбит всех планет наиболее устойчивы на тысячелетнем интервале времени. Аргументы перигелиев - ю и долготы восходящих узлов О изменяются поступательно, причем аргументы перигелиев со временем увеличиваются, а долготы узлов уменьшаются. Наклонения / орбит к плоскости эклиптики у различных планет изменяются по-разному, при этом их изменения носят колебательный характер.
Из сопоставления результатов вычислений элементов орбит на соответствующие моменты времени, полученных с учетом и без учета релятивистских эффектов (см. табл. 1 и 2) следует, что большие полуоси, эксцентриситеты, долготы восходящих узлов и наклонения орбит для каждой планеты отличаются друг от друга незначительно. Таким образом, учет релятивистских эффектов не оказывает существенного влияния на изменение этих элементов. Набольшее влияние релятивистских эффектов сказывается на смещении средних аномалий и аргументов перигелиев внутренних планет (Меркурий - Марс). В табл. 3 приведены разности средних аномалий - DM и аргументов перигелиев - Дю на различные моменты времени, характеризующие влияние релятивистских эффектов. Как видно из табл. 3, учет релятивистских эффектов приводит к дополнительному росту аргументов перигелиев почти всех планет, в то время как средние аномалии со временем уменьшаются. Вековые перемещения перигелиев Меркурия, Венеры, Земли и Марса, полученные нами численным методом, вполне удовлетворительно согласуются с теоретическими [2], так как максимальное расхождение в смещении перигелия Меркурия составляет всего 0”03 (три сотые секунды дуги за столетие). Кроме того, из табл. 3 также следует, что для всех планет, кроме Меркурия, прогрессивному увеличению Дю, полученному за счет учета релятивистских эффектов, соответствует уменьшение ДМ почти на ту же величину.
Однако смещение аргумента перигелия Меркурия подобной закономерностью не обладает, так как разность |ДМ - Дю| со временем увеличивается. Полученный результат требует в дальнейшем детального исследования.
В заключение следует отметить, что при разработке точных теорий движения внутренних планет (Меркурий - Марс) на интервале времени порядка тысячи и более лет наряду с ньютоновскими силами необходим учет релятивистских эффектов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 800 с.
2. БрумбергВ.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 383с.
3. EverhartE. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics. 1974. 10. P. 35 -55.
