Четыре следования, три порядка, две матрицы, одна бирешетка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Четыре следования, три порядка, две матрицы, одна бирешетка

Л. Ю. Девяткин

abstract. In this paper it is shown how four consequence relations defined in terms of designated and anti-designated values allow to produce a six-element bilattice on the basis of two arbitrary finite-valued logical matrices for a propositional language L.

Keywords: product of logical matrices, anti-designated values, consequence relation

В настоящей работе будет показано, как основе четырех попарно различных отношений логического следования, которые можно определить в терминах выделенных и анти-выделенных значений, и двух произвольных конечнозначных матриц для некоторого пропозиционального языка L можно построить ше-стиэлементную бирешетку с порядками по отношению логического следования и классу тавтологий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть дан пропозициональный язык L. Логическая матрица M =< A, D >, где A есть некоторая алгебра, а D выделенное подмножество множества-носителя A, является матрицей для L, е.т.е. для каждого n число n-арных базовых операций A равно числу n-арных связок в L.

Тогда можно установить взаимно-однозначное соответствие между связками из L и операциями из A соответствующей местности и определить оценку L-формулы (далее — «формулы») A в M следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Оценка v формулы A в M есть отображение L на A, такое что

• если A есть пропозициональная переменная, то v(A) € V, где V есть множество-носитель A;

• если А\, А 2, ■ ■ ■ , Ап есть формулы, и С есть п-арная связка из Ь, то и(С(А1, А2, ■ ■ ■ , А„)) = ¡п(у(А1),у(А2), ■■■ , у(Ап)), где ¡п есть операция из А, соответствующая С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Формула А логически следует из множества формул Г в М (Г = (М)В), е.т.е. не существует оценки V в ТО, такой что v[Г] С Б (ТО) (то есть, каждая формула из Г принимает значение, выделенное в ТО) и v(A) £ Б(ВД).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Формула А является тавтологией в М (= (ВД)В), е.т.е. А логически следует из любого (в том числе пустого) множества формул Г в М.

Обозначим как С (ТО) множество упорядоченных пар < Г, В >, таких что Г есть множество формул, В — формула и Г = (ТО)В. Обозначим как Т(ТО) множество тавтологий М. Ясно, что каждая пара < Еш, = (ТО) >, где Гш есть множество формул языка Ь, а = (ТО) есть отношение логического следования, заданное на Гш, порождает собственные классы С (ТО) и Т (ТО).

Если А и В есть матрицы для Ь, можно установить взаимнооднозначное соответствие между их базовыми операциями. Это позволяет определить следующую операцию на А и В:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем называть произведением матриц А и В (А х В) такую матрицу С, что

• V(С) есть прямое произведение V(А) и V(В);

• каждой паре соответствующих й-арных базовых операций /к (х1,х2, ■■■ ,Хк) из А и дк (у1,у2, ■■■ ,ук) из В взаимнооднозначно сопоставлена базовая операция Нк из С, причем

Нк (< Х1,у1 >,< Х2,У2 >, ■■■ ,< Хк, у к >) =

< 1к (Х1,Х2, ■■■ ,Хк ),дк (У1,У2, ■■■ ,Ук) >;

• значение < Хг ,У3 > в С является выделенным (< Хг,уз >£ Б(С)), е.т.е. Хг £ Б (А) и у3 £ Б(В);

• значение < Хг,уз > в С является анти-выделенным (< Хг,уз >£ Б*(С)), е.т.е. Хг £ Б(А) и у3 £ Б(В).

Таким образом, С оказывается модифицированной матрицей, где к классам выделенных и невыделенных значений добавля-

ется третий — класс анти-выделенных значений, и каждый элемент множества-носителя С принадлежит одному из трех классов. Матрицы такого типа называются ^-матрицами [4]. Можно определить четыре различных отношения логического следования в произвольной ^-матрице N.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.

1. Г \ (Ж) В, е.т.е. не существует оценки V в N такой что ь[Г] С В(Ж) и v(A) £ В (Ж) (классическое следование);

2. Г \=f (Ж)В, е.т.е. не существует оценки V в Ж, такой что v[Г] С В*(Ж) (то есть, ни одна из формул не принимает анти-выделенное в N значение) и v(A) £ В*(Ж) (см. [1]);

3. Г \=д (Ж)В, е.т.е. не существует оценки V в Ж, такой что v[Г] С В*(Ж) и и(А) £ В(Ж) (д-следование, [4]);

4. Г \=р (Ж)В, е.т.е. не существует оценки v в Ж, такой что v[Г] С В (Ж) и v(A) £ В* (Ж) (р-следование, [2]).

Каждое из этих отношений характеризует собственные классы формул Сг(Ж) и Тъ(Ж)(г £ {I, ¡, д,р}) языка, матрицей для которого является Ж. В матрицах, где В П В* = 0, между полученными отношениями следования имеет место порядок по С, где \=д есть минимум, а \р есть максимум [6]:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. г. С"(Ж) С С*(Ж); гг. С"(Ж) С Сf (Ж); ггг. С*(Ж) С СР(Ж); т. Сf (Ж) С Ср(Ж).

Ясно, что Утверждение 1 выполняется для С = (А х В). Аналогичный порядок имеет место между С (А), С (В), С" (С) и СР(С).

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть С = (А х В). Тогда имеет место следующее:

г. С1 (С) С C(А);

гг. С1 (С) С C(В);

ггг. C(А) С &(£);

гу. C(В) С &(£).

Доказательство. (г) Пусть Г =1 (С) В и Г ¥ (A)B. Тогда существует оценка v в А, такая что v[Г] С О(А) и v(A) £ О(А). В этом случае, по определению С, -ш[Г] С О* (С) и -ш(А) £ О(С) при некоторой оценке и> в С. Следовательно Г ¥д (С)В, что противоречит условию. Доказательство для (гг) аналогично.

Теперь докажем (ггг) и (гу). Пусть Г ¥д (С)В и В следует из Г в А или В. Тогда существует оценка и> в С, такая что v[Г] С О(С) и v(A) £ О*(С). Это возможно только в том случае, когда имеются оценки v в А и и в В, при которых v[Г] С О(А) и v(A) £ О(А), а также и[Г] С О(В) и и(А) £ О(В). Однако тогда Г ¥ (А)В и Г ¥ (В)В. д.Е.Б.

Итак, =д снова оказывается минимумом, а =р — максимумом. То есть, из Утверждений 1 и 2 можно сделвать вывод, что имеет место решетка с четырьмя промежуточными элементами. Как выясняется, на данных элементах также можно задать порядок по С, однако на этот раз речь пойдет о классах тавтологий.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть С = (А х В). Тогда имеет место следующее:

г. Т* (С) С Т(А);

гг. т*(С) с т(В);

ггг. Т(А) С Т1(С); гу. Т(В) С Т1(С).

Доказательство. В действительности могут быть доказаны более сильные утверждения: (у) Т*(С) = Т(А) ПТ(В); (уг) Т1 (С) = Т(А) и Т(В). Доказательство (у) представлено в [5]. Докажем

(vi) (доказательство аналогичного факта в другой формулировке имеется в [5] и [3]).

Пусть формула A принадлежит множеству T(A) U T(В). Тогда A € T(A) или A € T(В) (в неисключающем смысле). Если A € T(A), то v(A) € D(A) при каждой оценке v в A. Но тогда, согласно определению A х В, не существует оценки w в C, при которой w(A) € D*(C). Следовательно, A € Tf(C). Аналогично для A € T(в).

Теперь пусть A € T(A) или A € T(В). Тогда существуют оценка v в A, такая что v(A) € D(A) и оценка u в В, такая что u(A) € D(B). Но тогда, по определению A х В, существует оценка w в C, при которой w(A) € D*(C) и A € Tf (C). q.e.d.

Из определений \=t (N), \=f (N), \=q (N), Ир (N), а также определения тавтологии вытекает, что T*(N) = Tq (N) и Tf (N) = Tp (N).

Таким образом, произвольные логические матрицы A и В для пропозиционального языка L и их произведение C с четырьмя отношениями следования образуют шестиэлементную бирешет-ку систем < Fm, И (A) >, < Fm, И (В) >, < Fm, И (C) >, < Fm, \=f (C) >, < Fm, \=q (C) > и < Fm, Ир (C) >, в которой первый порядок есть порядок по включению класса C, а второй порядок — по включению класса T.

В заключение отметим одно полезное следствие. Из полученных результатов, в частности, вытекают критерии эквивалентности матриц для L по классу тавтологий и по отношению логического следования: T(A) = T(В), е.т.е. T* (A х В) = Tf (A х В); C(A) = C(В), е.т.е. Cp(A х В) = Cq(A х В).

Литература

[1] Dunn J.M. Partiality and its dual // Studia Logica. V. 66. 2000. Pp. 5-40.

[2] Frankowski S. Formalization of a plausible inference // Bulletin of the Section of Logic. V. 33. 2004. Pp. 41-52.

[3] Kalicki J. A test for the equality of truth-tables // The Journal of Symbolic Logic. V. 17. № 3. 1952. Pp. 161-163.

[4] Malinowski G. Inferential many-valuedness // Philosophical logic in Poland, J.Wolenski (ed.). Synthese Library, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 1994. Pp. 74-84.

[5] Rescher N. Many-Valued Logic. New York (McGraw-Hill), 1969. Reprinted: Aldershot (Gregg Revivals), 1993. Pp. 96-101.

[6] Shramko Y., Wansing H. Entailmant realtions and/as truth values // Bulletin of the Section of Logic. V. 36:3/4. 2007. Pp. 131-143.