CC BY
7
Доклады БГУИР
2011 №5 (59)
УДК 519.6:621.385
ЧЕТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛН E0j ТИПА В НЕРЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ С КРУГОВЫМ СЕЧЕНИЕМ
М П. БАТУРА, А.А. КУРАЕВ, Т.Л. ПОПКОВА, А О. РАК
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 31мая 2011
Сформулирована система уравнений возбуждения волн E0 ■ в нерегулярном волноводе с круговым сечением в четной форме (первые производные амплитуд E0 ■ -волн в ядре системы отсутствуют). Такая форма уравнений позволяет использовать эффективные и сходящиеся четные алгоритмы решения. На широком ряде примеров решения задач для нерегулярных волноводов с сильно различающимися профилями показана эффективность предложенного метода.
Ключевые слова: нерегулярные волноводы с круговым сечением, четная форма уравнений возбуждения, четные алгоритмы численного решения.
Введение
Теория возбуждения волн в нерегулярных волноводах, базирующаяся на методе преобразования координат и проекционном методе, приводит в конечном итоге к двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно амплитуд связанных нормальных волн в преобразованной системе координат [1-7]. Для нерегулярных волноводов с круговым сечением системы ОДУ для И0 ■ и Е0 ■ волн (волн с нулевым азимутальным индексом) разделяются, т.е. оказываются независимыми [1-7]. Поэтому задачи возбуждения И0 ■ и Е0 ■ решаются независимо.
Однако та и другая задача при одинаковом подходе приводит к различающимся по типу системам ОДУ, что необходимо учитывать при численной реализации их решения. Дело в том, что, как показано в [8-10], при четной форме ядра (главных частей) системы ОДУ численные алгоритмы при соответствующей формулировке оказываются устойчивыми, при смешанной же форме устойчивость численных алгоритмов не обеспечена. Под термином «четная форма» понимается, что в главной части ОДУ только четные операции дифференцирования: нулевая (сама функция), вторая производная, четвертая, шестая и т.д. При «смешанной форме» в ОДУ имеются как четные, так и нечетные операции дифференцирования (первая, третья, пятая и т.д.).
При использовании метода преобразования координат и проекционного метода система уравнений Максвелла в преобразованной системе координат обычно приводится к системе уравнений второго порядка относительно расчетного вектора Е' за счет исключения И' из уравнений [1, 3, 4]. Такой подход весьма целесообразен для волн И0^: во-первых, для них Е' содержит только одну компоненту Еф, и краевая задача приводится к скалярной; во-вторых, в этом случае главная часть системы ОДУ при элементарном преобразовании переменных принимает четную форму [1, 3, 4]. Но такой общий подход нецелесообразен для Е0j -волн: Е' со-
держит две компоненты (Е'р и Е[), а результирующая система ОДУ не приводится к четной форме.
В предлагаемой статье использован (для формулировки уравнений возбуждения Е0у -волн) целесообразный (в свете изложенных выше соображений) подход: в преобразованной системе исключается Е' и строится уравнение второго порядка относительно Н'. При таком подходе краевая задача для Е0^ -волн становится скалярной (Н' имеет только одну компоненту рНф), а результирующая система ОДУ относительно амплитуд нормальных волн приводится к четной форме. Приведенные в статье примеры численного решения задач для Е0^ волн иллюстрируют устойчивость численных алгоритмов для решения полученной для Е0^ волн системы
ОДУ.
Следует также подчеркнуть актуальность формулировки уравнений возбуждения волн Е0^ в нерегулярных волноводах с круговым сечением в адекватной для устойчивых численных
методов форме, поскольку эти типы волн используются в супермощных черенковских генераторах и усилителях, обеспечивающих создание радиолокационных систем и систем ПРО нового поколения.
Уравнения Максвелла в преобразованной системе координат
Будем рассматривать продольно-нерегулярный волновод с круговым сечением, внутренняя граница которого задана как Ь(г), где Ь - радиус волновода при заданном г, г - продольная координата. Граничное условие на идеально проводящей внутренней поверхности Ь( г) задано как
\пЕ ] = 0. (1)
\ J г=Ь( г )
Проведя преобразование координат (переходим от реальной системы координат г, ф, г к системе р,ф,г, где р = г/Ь(г)), получаем граничное условие (1) в виде
[ЯЕ']р=1 = (2) а уравнения Максвелла приобретают следующий вид (среда - вакуум) [1, 3, 4]:
л, ^ дЕ' , —, „ дН'
гоН ' = е0 § — + gJ', тЕ ' = -^0 § —. (3)
дt дt
Здесь е0, - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, а составляющие вспомогательных векторов Е', Н', J' следующим образом связаны с ковари-антными проекциями Е', Н', J' (физические векторы напряженностей электрического и магнитного полей и плотности электрического тока) [1-6]:
Е = Е 'р а1 + Е ' ра2 + Е \а3, Н = Н' а1 + Н ' ра2 + Н \а3,
1 = J 'р а1 + J 'ф ра2 + J\а3
где а1, а2, а3 - система взаимных векторов преобразованной неортогональной системы координат р, ф, г :
. Г0 р ^ а 2 ф0 а 3
1 =--г0--, а = —, а
Ь Ь dz Ьр
Метрический тензор § имеет вид [1, 4]:
(
gii 0
V g3i
0 gi i 0
0 g33
db
\
db
gil = 1+ P V dz) 'gi3 =_pb V dZ ) g3i 'g33 = b
Соответственно g 1 записывается как
Г i о а, Л
0 i о
V G3i 0 G33)
p db i p2 Г db Л
Gi3 = G3i = bdZ' G33= b2 + b1•
(5)
Исключим теперь из системы уравнений (3) Е' и составим уравнение относительно
H':
rot(g lrotH') - 80Ц0—(gñ') - rotJ' = 0.
(6)
Полагая, что процесс установившийся и периодический (стационарные режимы релятивистских ЛБВ и ЛОВ), представим искомое решение И' в виде
н '=Re YH:
(t
(7)
Теперь обратимся к рассматриваемому нами случаю возбуждения Е0^ -волн в волноводе. Тогда И'т с учетом граничного условия задачи (2) можно представить в виде следующего конечного ряда [1-6]:
H'm=Y/M (^qJi^p), J0 К ) = 0, i = i,2...
(8)
2
Проекционные соотношения и системы ОДУ для Ам (г) и См (г)
Для нахождения системы ОДУ, определяющих амплитуды связанных нормальных волн Е0;- воспользуемся проекционным методом Галеркина. Подставим искомое решение (7), (8) в исходную систему (6) и заменим ее эквивалентной ей системой проекционных равенств:
|{г°(§ 1г°Ит) - га2ю280^0§И'т } • Ф0 • J1 р
2я 1
2л
i 2— i
2— J J rotJ' • ф0 • Ji (v0Pp) pdp • e-]:atdш t:
0 0
i 2 — i Г a j 1 j Л
- Я! J• Ji (v0pp)pdp • ^ (z), (9)
2— 00 V ap dz
р = 1,2...I, т = 1,2...М
После подстановки в (9) формы решения для И'т (8) с учетом (4), (5), получаем систему ОДУ для АМ:
2 А М (
d2 А
тр
+
2
2 % т - ^
V У
А„р +
1 2 dЬ
+-У 1----I
И | и 1
рр
г=1
Ь dz dz
+ А М
г3_ (М)2 1 d 2Ь
Ь V ) +
I - • I
1Ь2 dz 3,р
■ = -1тр (г)
(10)
Здесь
К = 1112 (у0 р ) ,
2
1
11 рг = I10 р) • 11 (V0рр)У0гр2dр =
13 рг =
|11 (V0гр) • 11 (V0pр)(V0гр)2 dр- .
Граничные условия к системе ОДУ (10) на регулярных согласованных концах волновода имеют стандартный вид [7].
Система (10), однако, не удовлетворяет поставленной нами задаче, поскольку ее ядро содержит первую производную функции лМр, что приводит к неустойчивости вычислительного алгоритма. Поэтому введем замену переменных: положим лМр = Ь (г) Смр (г) . Тогда система ОДУ для СМ принимает требуемую четную форму ядра (главной части):
+(т - % + _1 ( ь )2+2 ^ - ) /зрр ^
dz2 Ь2 Ь2 V dz у Ь dz2 Ь2 V dz у И
V 4 у 4 у рр у
СМ +
2 dЬ I,
у 1-——
¿-II г.2 л- и
г=1,г ^ р |
Ь dz И
^ п м , и — С . + Ь
рр
dz
dCм^
_тг
dz
+ См
( 3 ( dЬ )2 1 d 2ЬЛ
Ь1 V dz 1 Ь dz2
1ир 1 ( dЬ ) 131р
И Ь V dz у И
рр рр
= ^ (г). (11)
Физическая напряженность магнитного поля на частоте тш выражается как
Нт = ф0Нтф , причем
Н тф=усМр ( г ). 11
р=1
'0 р
Ь ( г )
• е
jmшt
а физическая напряженность Ет как
- 1 I г
Е = ] 0
д( гН ) дН
\ тф / 1
]mюе° I г дг
- г-=* -1 е"
т
дг
]тюе,
•УгС
/ I 0 т
М р
е
]тШ I
-у
./тше0 р=1
См • 1 \
тр 1
0 р
V dЬ dC
0 р тр
0 р=1
А М /
1,
Ь (г)У Ь2 (г) dz dz 1 V 0Р Ь (г)
Ь ( г )
Л)
• 1
0р
Ь ( г ).
1
] ^ .у 20С
V
м 0 р
т k
- ] . ^ I
т k
0 тр (
р=1 Ь ( г )
• 1„
0р
Ь ( г )
т- .У
р=1
См • 1'
тр 1
0р
г^ dЬ dC
0 р тр
м
1,
\
Ь (г)У Ь2 (г) dz dz 1 V 0р Ь (г)
Л)
1
(12)
2
м
+
г
е
г
+
г
г
+
г
+
г
г
к = ш = 2я ^ в0 .
с Я
Уравнения (10)-(12) приведены в размерных единицах длин г, Ь (г) . Очевидно, что если левые и правые части этих уравнений умножить на 1/к2 , то величины г, Ь (г) в них преобразуются в безразмерные, что, естественно, удобно для выполнения расчетов. В дальнейшем мы условимся без изменения обозначений указанных величин считать, что в уравнениях (10) -(12)
Ь (г) = кЬ (г), г = кг. (13)
Четный алгоритм расчета амплитуд С
m
Четная форма уравнений возбуждения Е0] -волн (11) открывает путь для использования
четных алгоритмов пошагового решения этих уравнений, предложенных в [8-10] и апробированных на решении задач возбуждения И0] -волн [8-10].
Воспользуемся приведенным в [8-10] пошаговым алгоритмом решения четного уравнения для И0] -волн вида
d 2C dz 2
+ б ( z) C = f
(14)
в следующей форме:
• 2С.+ С С =—^ —^ -
'i+2
'+1 hQ+i + h2
(15)
где x > 1, число, выбираемое при конкретных расчетах, причем т ^ 1 при уменьшении шага интегрирования.
На рис. 1,а приведен профиль b (z) рассчитываемого волновода (I = 0), на рис. 1,6 -
распределения
г м C1 p
при числе шагов четного алгоритма N = 20000. Приемлемая точность
достигается уже при N = 2000 .
б
25 2
а б Рис. 1. Расчет поля Е-волны с помощью четного алгоритма: профиль волновода и У0р :---Vo2---(а);
25 %
CMp (z)| при N = 20000 :---p = 1;---p = 2;-p = 3;--p = 4 (6)
Рис. 2 иллюстрирует сходимость четного алгоритма при увеличении N : здесь приведе-
ны зависимости максимальной на z относительной погрешности 8 N(p = 1,2,...) .
м C1 p
и зависимость 11 x „ от
Ч
x
x
0.5
500
1500
1000
а б
Рис. 2. Сходимость четного алгоритма при увеличении N 5 = 5 (N) (а);
—(N);-р = 1;---р = 2;--р = 3 ;---р = 4 (б)
2000 N
Рис. 3 иллюстрирует влияние высших (закритических) волн Е0] на структуру поля в волноводе.
Рис. 3. Влияние высших (закритических) волн Е02, Е03, Е04 на структуру поля в волноводе: профиль
волновода Ь( г) (а);
С
(б); модовый состав полного поля в волноводе:
-р = 1;---р = 2;--р = 3;---р = 4 (в)
р
а
б
в
На рис. 3,а приведен профиль волновода, на рис 3,6 - структура поля, рассчитанная при учете только -моды, на рис 3,в - то же самое, но с учетом закритических E02, E03, E04 -
мод. Расчеты проводились при N = 8000. Сравнение рис. 3,б и рис. 3,в указывает на существенную роль закритических волн в рассматриваемом (резонансном) случае: их учет очевидным образом необходим.
Заключение
Приведенные в статье результаты свидетельствуют о целесообразности использования четной формы уравнений возбуждения E0 j волн в нерегулярных волноводах с круговым сечением, позволяющей применять для численного решения задачи эффективные четные алгоритмы, обеспечивающие сходимость решения в отличие от стандартных методов.
THE EVEN FORM FOR EXCITATION EQUATIONS OF EW-MODES IN THE IRREGULAR WAWEGUIDES WITH CIRCULAR SECTION
M P. BATURA, A.A. KURAYEV, T.L. POPKOVA, A O. RAK
Abstract
The system of excitation equations of Eoj-modes in the irregular waveguide with circular section is formulated in the even form (the first derivatives of Eoj-modes amplitudes in the core of system are absent). This form of equations allow to use the effective and convergence even algorithms for solutions. The effectiveness of suggested method is corroborated at series of examples of solution of the problems for irregular waveguides with intense remarkable profiles.
Литература
1. Кураев А.А. // Известия АН БССР. Сер ФТН. 1979. №1. С. 121-127.
2. Кураев А.А. // Весщ НАН Беларусь Сер. ФТН. 1999. №4. С. 60-65.
3. Кураев А.А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. Минск, 1979.
4. Кураев А.А. Мощные приборы СВЧ. Методы анализа и оптимизации параметров. М., 1986.
5. Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн. Мн., 2004.
6. Батура М.П., Кураев А.А., Синицын А.К. Моделирование и оптимизация мощных электронных приборов СВЧ. Минск, 2006.
7. Батура М.П., Кураев А.А., Синицын А.К. Основы теории, расчета и оптимизации современных электронных приборов СВЧ. Минск, 2007.
8. Кураев А.А., Попкова Т.Л. // Радиотех. и электрон. Вып. 25. С. 3-9.
9. КураевА.А., Попкова Т.Л, РакА.О. // Техника и приборы СВЧ. 2010. №1, С. 19-25.
10. БатураМ.П., Кураев А.А., Попкова Т.Л. // Докл. БГУИР. 2010. №8 (54). С. 61-70.
