Частотные зависимости скин-слоя и импеданса фрактальной среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

© В.К. Балханов, Ю.Б. Башкусв, М.Г. Дсмбслов, 2007

УДК 537.311.6

В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев, М.Г. Дембелов

ЧАСТОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ СКИН-СЛОЯ И ИМПЕДАНСА ФРАКТАЛЬНОЙ СРЕДЫ *

Рассмотрены результаты моделирования фрактальной геометрией скин-слоя Н с и модуля поверхностного импеданса |8 геоэлек-

трического разреза пункта измерения “Озерный”. Показано, что в диапазоне 10 - 2 - 10 9 Гц Н с - / - 0 48 и в

диапазоне 1 Гц - 1 МГц |8 - / 053 ,

где / - частота. Результаты означают, что проводящие участки разреза образуют канторовское множество с фрактальной размерностью

В = 0.47 ± 0.01.

Природные среды хаотичны, неоднородны и гетерофазны. Такое положение отражается и на электрическом строение вещества. Стандартным представлением геоэлектриче-ского разреза земной среды является моделирование их горизонтальными слоями с однородным в каждом слое значениями проводимости с и диэлектрической проницаемости є . При этом, основными характеристиками, описывающими отклик среды на внешнее электромагнитное поле, является скин-слой Н с и поверхностный импеданс 8 [1, 2]. Скин-слой неоднородной среды находят следующим косвенным методом [3].

Знание частотной характеристики поверхностного импеданса позволяет определить на каждой частоте / эффективное удельное сопротивление

[2]: Р(у) = \8(у}2/2 пє о 7, где

є 0 - диэлектрическая постоянная.

Отсюда уже находится скин-слой:

Н с (У ) = ^2Р(у) /2 0 1 =

2Т7 8(1 )• ш

2 п У

где /и 0 - диэлектрическая постоянная, с - скорость света. Формула (1) не содержит параметров подстилающего разреза, поэтому верна и для неоднородных сред.

Неоднородное строение земной среды можно моделировать с помощью активно развивающегося фрактального подхода [4]. Проникновение электромагнитного поля в неоднородную среду представим как блуждание по проводящим и диэлектрическим участкам. Поскольку проводимость различается по значению в пространстве и, кроме того, разделена диэлектрическими прослойками, то ее геометрия может быть представлена канторовским множеством с фрактальной размерностью О, принимаю-

*Работа частично поддержана грантами РФФИ №№: 05-01-97200, 05-02-97202.

н

Г

(2)

В задачах радиофизики соотношение (2), в силу своей каноничности, можно принять за определение фрактальной размерности О. Соотношения (1) и (2) получены независимо друг от друга. Объединяя их, получаем степенную частотную характеристику для модуля поверхностного импеданса:

(3)

И ' г 1

Ранее, двумя независимыми способами это соотношение было получено в [7, 8]. В докладе будет показано, что законы (2) и (3) удовлетворительно описывают в весьма широком частотном диапазоне 15 - слойный гео-электрический разрез пункта измерения “Озерный”.

Пункт измерения “Озерный” Пункт измерения “Озерный” находится в районе Байкало-Амурской

Рис. 1. Геоэлектрический разрез пункта измерения “Озерный”

шеи значения от нуля до единицы. Однородной среде будет отвечать значение О = 1/2 . После пионерских работ Мандельброта [5] по открытию фрактальной геометрии, фрактальный подход позволяет получить весьма обшее выражение для частотной зависимости скин-слоя [6]:

железнодорожной магистрали [9, 10]. Для него ком-плексированием методов ВЭЗ (вертикальное электрическое зондирование) и МТЗ (магнитотеллурического зондирования с использованием естественного электромагнитного поля Земли) и решением обратной задачи регуляризацией Тихонова был восстановлен 15-слойный геоэлектрический разрез (рис. 1).

Скин-слой такого разреза рассчитывается двумя методами. Первый косвенный метод расчета описан выше. Второй метод расчета скин-слоя, который назовем фрактальным, заключается в следующем. Сначала задается частота единичной электромагнитной волны, падающей вертикально на геоэлектрический разрез. Затем для первого слоя по формуле ехр(— кг) вычисляется амплитуда

прошедшей волны; здесь г - вертикальная вглубь разреза координата, к = ^2 0 Г/2 р , Р - удельное

сопротивление первого слоя. Аналогично рассматриваются второй и т.д. слои. Расчет прекращается, когда амплитуда поля становится меньше падающего в е раз. Изложенный метод расчета повторяется для другой частоты и т.д. Результаты двух рассматриваемых методов расчета скин-слоя

1 Г\— 2

диапазоне частот от

в

10 Гц до

10 Гц представлены на рис. 2. Устанавливаем, что фрактальный метод дает следуюшую степенную зависимость:

в

с

Рис. 2. Частотная зависимость скин-слоя в диапазоне от 10 - 2 до 10 9 Гц:

■ - вычисление фрактальным методом, ▲ - вычисление для слоистой среды

10

10

ю6 Ь Гц

Рнс. 3. Сравнение модуля поверхностного импеданса, вычисленная для модели слоистой среды (- ♦) и по фракталыной модели (- я) в диапазоне от 1 до 10 6 Гц

Н с (м) = 13800 • Г (Гц)

- 0.48 ± 0.01

(4)

На участке от 1 Гц до 1 МГц результаты двух методов расчета согласуются друг с другом.

По известной частотной зависимости скин-слоя теперь можно рассчитать модуль поверхностного импеданса. Метод расчета заключается в следующем. Рассмотрим частоту 1 кГц, согласно (4), на этой частоте скин-слой Нс (м) = 500 м. Такая глубина

охватывает полностью верхние семь слоев и частично восьмой слой. Для полученной восьмислойной среды на

частоте 1 кГц прямой задачей рассчитываем модуль поверхностного импеданса, который оказывается равным 0.007. Далее меняется частота, и расчет модуля поверхностного импеданса повторяется. Результаты расчета в диапазоне от 1 Гц до 1 МГц представлены на рис. 3, где также приведено сравнение с формулой (4) , причем установлено, что

И = 1.6 10 - 4 • Г 0 53 ± 001. (5)

Из сравнений формул (4) и (5) следует, что фрактальные размерности: О (скин-слой, 11 декад) = 0.48±0.01; О (импеданс, 6 декад) = 0.47±0.01.

Значения удовлетворительно согласуются друг с другом.

Заключение

Фрактальный подход к электрическому строению подстилающей среды позволил установить соотношения (4) и (5) для частотной характеристики скин-слоя и модуля поверхностного импеданса. Согласно (5), проведя измерения поверхностного импеданса на двух частотах, и полагая фрактальное строение среды, можно определить ее фрактальную размер-

1. Башкуев Ю.Б. Электрические свойства природных слоистых сред. - Новосибирск: Изд. СО РАН. 1996. 196 с.

2. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Основы теории метода поверхностного импеданса. - Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН,

2005. С. 100.

3. Молочнов Г.В., Секриеру В.Г. Исследование эффективной глубины проникновения электромагнитного поля в слоистой среде и возможности приближенной интерпретации магнитотеллурического зондирования. - Ученые записки ДГУ. Серия физ. и геол. наук, 1974. Вып. 24. С. 234-266.

4. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. -М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

6. Балханов В. К., Башкуев Ю.Б. Электрические свойства подстилающей среды с учетом фрактального распределения

ность. Выражение (4) позволяет по известному значению фрактальной размерности диагностируемой среды определять глубину зондирования в широком частотном диапазоне. После чего можно диагностировать среду на разных глубинах зондирования в широком частотном диапазоне. Традиционный метод зондирования предполагает измерения поверхностного импеданса на возможно большем числе частот. При фрактальном же подходе достаточно измерения на двух частотах.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

проводимости // Электромагнитные волны и электронные системы, 2004. № 7. С. 34 -38.

7. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные методы решения радиофизических задач. Часть I. Пространственное и частотное поведение электрических параметров земли // "6 Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)”, С-Пб. 21-24 июня 2005 г. Сборник трудов. С. 262-265.

8. Балханов В. К., Башкуев Ю.Б. Фрактальный метод решения задачи распространения земных радиоволн // Электромагнитные волны и электронные системы,

2006. № 6. С. 39-45.

9. Геология и сейсмичность зоны БАМ (от Байкала до Тынды). Глубинное строение. - Новосибирск: Наука, 1984. 173 с.

10. Мельчинов В.П., Башкуев Ю.Б., Ангархаева Л.Х., Буянова Д.Г. Электрические свойства криолитозоны Востока России в радиодиапазоне. - Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2006. 258 с. ЕШЗ

— Коротко об авторах---------------------------------------------------------------

Балханов Василий Карлович - кандидат технических наук,

Башкуев Юрий Буддич - доктор технических наук, профессор,

Дембелов Михаил Георгиевич - кандидат физико-математических наук,

Отдел физических проблем Бурятского научного центра Сибирского отделения РАН.

Статья представлена Бурятским научным центром Сибирского отделения РАН.