Частотные характеристики фильтров, выделяющих гармонические составляющие Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.7

A.A. Аршакян, канд. техн. наук, (487-2)-35-02-19. [email protected] (Россия. Тула. ТулГУ),

Е.В. Ларкин, д-р техн. наук, проф., (487-2)-35-02-19, [email protected] (Россия. Тула. ТулГУ)

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ, ВЫДЕЛЯЮЩИХ ГАРМОНИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Исследуется процесс обработки сигналов с высоким уровнем помехи в системах наблюдения. Показано, что обнаружение гармонического сигнала с заданной частотой возможно с использованием фильтров на основании вейвлетов. Для ряда фильтров указанного класса получены передаточные функции и уравнения для определения граничных частот полосы пропускания. Даны рекомендации по выбору типа фильтра при решении задачи выделения гармонических составляющих сигналов.

Ключевые слова: гармонический сигнал, согласованный фильтр, функция Гаусса, wave-вейвлет, rnhat-вейвлет, вейвлет Морле. гармонический всплеск импульсный отклик, передаточная функция, полоса пропускания.

Выделение гармоник с заданными частотами из сигналов является одним из ключевых моментов функционирования целого ряда информационно-измерительных систем, в частности, пеленгационных, радиолокационных, радиоприемной аппаратуры и других [1, 2]. Как правило, в реальных условиях наблюдения искомая синусно-косинусная составляющая сопровождается шумом и искусственно создаваемыми помехами, что делает актуальной задачу выделения заданной гармоники из наблюдаемого сигнала и измерения ее параметров.

Для достижения поставленной цели может быть применен принцип оптимальной фильтрации [3], согласно которому в импульсном отклике фильтра должна присутствовать в том или ином виде выделяемая гармоника, которая может быть представлена в комплексной форме:

Фильтры, сформированные из вейвлетов, в настоящее время широко применяются для обработки сигналов с высоким уровнем шума [4, 5]. Из существующих вейвлетов наиболее эффективными для частотного анализа сигналов являются фильтры, построенные на основании производных от гауссиана, гармонический всплеск и вейвлет Морле [5].

Производные от гауссиана, нормированного по площади, имеют

вид:

собственно гауссиан -

u(t) = exp iClut, - оо < t < оо, где С1и - частота выделяемой гармоники; t - время; i = yf—1.

(1)

wave-веивлет -

dGp _ dt

exp

(tQff

(3)

mhat-вейвлет

dGx ~dt~

2r\2 f'

yflñ

exp

{tnff

(4)

В (2), (3), (4) Оу - параметр, характеризующий ширину функции

Гаусса.

С учетом того, что преобразование Фурье от гауссиана (2) имеет вид гауссиана, т.е. передаточная функция вейвлета Со имеет вид

s[G0(/)] = exp

( \ со

Q f

V J у

G0 (со),

(5)

где со - круговая частота; - преобразование Фурье [6].

Из (5) в соответствии с теоремой о дифференцировании оригинала [6] могут быть получены передаточные функции wave- и mhat-вейвлета, из которых в свою очередь, могут быть получены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) фильтров, соответствующие их энергетическому спектру, а именно:

А0(со)= G0 (со)

ехр

со

V J J

(6)

A¡ (co)= со2 • exp

r \

со

Q

V j J

f

(7)

A2 (co)= со4 • exp

f ^ со

Q

/

V j J

(8)

Вид амплитудно-частотных характеристик приведен на рис. 1. АЧХ достигают максимума при значениях круговой частоты соj, для которых справедливы условия:

с/А.

с/со

О

со=со,

с/со'

<0,у = 0, 1,2.

(9)

со=со .

Указанным условиям удовлетворяют следующие точки (рис. 1):

соо = 0; сс>1 = Оу; сс>2 = ^^/ ■ Максимумы АЧХ равны, соответственно:

Ло

шах

1; А

1 шах

,2

П г 4Г2

; Л2(со):

4 /

(10)

(11)

Ау( со)

0,8

0,6

0,4

0,2

А0(со)

\ ^ 1— I I I I А2( со) \

4 (со) у''' * * Ч"-^ ! \ ^ | ч. \ !" ч

* / со0 * СО! \ I - * I со2| Ч --- • -ч _ ____ ,

0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 со/Пу

Рис. 1. А ЧХ веивлетов, производных от гауссиана

Считая, что полоса пропускания фильтра определяется для значений амплитуд энергетического спектра, равного 0.25^-тах, можно сформировать уравнения для определения граничных частот 51П]Ш1, ютах полосы пропускания фильтров Сд, ^2:

,2"

ехр

~2

со • ехр

{ ~ \ со

а г

V / У

( ~ А со

0,25:

а г

V J J

а

0,25-

/

(12)

(13)

~4

со • ехр

f „ Л2 со

Q

/

Q

/

(14)

где со - искомые значения граничных частот.

Как следует из полученных результатов, фильтр позволяет выделить из сигнала гармонику с нулевой частотой, фильтр С\ - с частотой Оу и фильтр - с частотой л/2Пу. Существенным недостатком фильтров, импульсные отклики которых представляют собой производные от га-уссиана, является низкая избирательность и жесткая зависимость полосы пропускания от частоты Оу выделяемой гармоники.

Другим типом частотно-временного анализа является гармонический всплеск вида

Gw(t)

Q

w

exp i'Qwf.

пп Ml

<t<

где

2 пп О

2пп

частота гармоники,

Q,

(15)

заполняющей прямоугольное окно;

w

Q

w

2пл

- размер окна с площадью, равной единице.

Передаточная функция фильтра (15) имеет вид: пп

7ш( со-П^)

iGw(t)]

Q

Q

w

2 пп

w

\exp(iClwt) • ехр(- icot)dt = sine

пп

Q

w

Gw(со). (16)

Q

w

АЧХ фильтра описывается следующим выражением:

- / 2

Aw( со)

sine

Q

w

(17)

Вид функции (17) в зависимости от разности частот со-О^ приведен на рис. 2.

Анализ зависимости (17) показывает, что АЧХ достигает максимума при 03 = 0^. В этом случае ^(со) = 1. Таким образом, для выделения из сигнала гармоники с частотой необходимо сформировать фильтр, в котором прямоугольная функция модулируется указанной частотой. Граничные частоты полосы пропускания фильтра определяются из уравнения

пп((Ь - О™) Л _ 8 тс —Ь-^ =0,5. (18)

Q

w

Как следует из (18), при использовании гармонического всплеска появляется возможность изменения полосы пропускания за счет вариации

параметра п. Увеличение п приводит к сужению полосы пропускания фильтра. В пределе, при п —> оо, полоса пропускания стремится к нулю, а АЧХ стремится к 8-функции Дирака.

0,8

0,6

0,4

0.2

со -

-8 -6

-2

6 пп(со - 0^)70*

Рис. 2. АЧХ гармонического всплеска

К недостаткам фильтра можно отнести наличие локальных максимумов на АЧХ, что приводит к выделению данным фильтром других гармоник, отличных от Указанный недостаток является следствием разрывности функции прямоугольного окна импульсного отклика (15). Перспективным типом фильтров, включающим гармоническую составляющую в явном виде и гладкую оконную функцию, не содержащую скачков, являются вейвлет Морле (МогЫ) который описывается выражением

°М = ' ехр(/ЮМ2 )' ехР

л/2п

У

(19)

где Пд/1 - параметр, устанавливающий ширину оконной функции; "

частота гармоники, модулирующей оконную функцию.

Передаточная функция фильтра имеет вид:

со

фм(')]= \ -г1 • ехр[/ЮМ2]• ехр[ - ^ | • ехр(-

[_ 2 ]

Г _ (^М1)2] Г у( ~ 42

I ехр| ШМ2 - Ш - У Ш) |Л = ехр V2л [_ 2

1

со - О

О.

М 2 М\ )

^м(ю)- (20)

Амплитудно-частотная характеристика, представленная на рис. 3, определяется выражением

Лм(со)=ехр

Г ~ г\ \

со-иМ2

о

М1

(21)

0.8

0.6

0.4

0.2

Ом 4 / 1 и

п = Г1 /1 /1 д / \ Ш =0':

1 Й /\

/ ' / / 1 1 1 \ \

/ J л / \

-2

-1

0 1 2 (со~ПМ2)/ПМ1

Рис. 3. АЧХ вейвлета Морле Граничные частоты полосы пропускания фильтра определяются из

уравнения

ехр

О

м\

0,25.

(22)

Как видно из (22), АЧХ вейвлета Морле имеет вид функции Гаусса, центрированной относительно выделяемой частоты Пд/2- ® фильтре имеется возможность управления шириной полосы пропускания за счет изменения параметра Пд/1- При увеличении параметра полоса пропускания фильтра расширяется, а при его уменьшении - сужается. В пределе, при АЧХ вырождается в 5-функцию Дирака.

Наличие ярко выраженных максимумов в приведенных вейвлетах позволяет использовать их в качестве инструмента для идентификации цели, являющейся источником гармонического сигнала. При этом более предпочтительным следует считать фильтры на базе вейвлета Морле, в котором имеется возможность раздельного управления частотой выделяемой гармоники и шириной полосы пропускания, а также отсутствуют локальные максимумы на частотах, отличных от частоты Од/2-

Список литературы

1. Свистов В.И. Радиолокационные сигналы и их обработка. М.: Сов. радио, 1977. 448 с.

2. Ларкин Е.В., Котов В.В. Поиск целей на тепловизионных изображениях // Известия ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. 2001. Вып. 4, Ч. 2. С. 25 - 29.

3. Купер Дж., Макгиллем Н. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 379 с.

4. Ларкин Е.В., Котов В.В. Шаталов И.Е. Определение момента наступления события с помощью вейвлет-анализа // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 3. Информатика. 2002. С. 153 - 157.

5. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. 573 с.

6. Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 336 с.

E. V. Larkin, A.A. Arshakyan

FREQUENCY CHARACTERISTICS OF FILTERS FOR HARMONIC COMPONENTS SELECTION

The process treatment of signals with high level of noise in supervision systems is investigated. It is shown that detection of harmonics with pre-defined frequency is possible with use of wavelet based filters. For a number of filters of referred class transfer functions and equations for pass-band boundary frequencies are received. Recommendations for a choice a type offilters when a task of harmonics detection need be solved are given.

Key words: the harmonious signal, the optimal filter, Gauss-function, wave-wavelet, mhat-wavelet, Morlet wavelet. harmonic splash, pulse response, transfer function, pass-band.

Получено 07.03.12