CC BY
30
УДК 550.837.211:550.8.053(004)
М.М.ПЕЧЕНКИН
Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет), Россия
ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ
Рассмотрена возможность частотно-временного анализа данных магнитотеллурического зондирования с использованием вейвлета Морле.
Article give an account of results magnetotelluric data analysis with application of Morle wavelet.
Электроразведка является инструментом, с помощью которого можно успешно решать целый круг задач, связанных с поисками залежей углеводородов; она существенно дополняет сейсморазведку, а в ряде случаев и решает задачи, которые трактуются сейсморазведкой неоднозначно или их решение обходится слишком дорого, либо сейсморазведка не может выполнить работы в определенном районе из-за экологических, геологических, климатических и других условий. Несмотря на огромные успехи развития сейсморазведки в последние несколько десятилетий, она не в состоянии на 100 % гарантировать наличие углеводородов в предполагаемой ловушке. Дополнительная информация, получаемая с помощью других геофизических методов, и в первую очередь электроразведки, которая оценивается в 10-20 % от стоимости сейсморазведочных работ, может существенно уменьшить степень риска бурения [3].
Магнитотеллурические методы основаны на изучении естественного поля Земли (магнитотеллурического поля). К достоинствам этих методов относятся большая глубинность исследований, низкая стоимость и безопасность работ (в связи с отсутствием мощных источников тока), портативность и мобильность аппаратуры [5]. Современное развитие электронных вычислительных систем позволило повысить скорость и качество обработки и интерпретации данных маг-нитотеллурического зондирования (МТЗ).
В процессе проведения полевых работ методом МТЗ возникает масса вопросов,
важнейшими из которых являются следующие: в какое время лучше регистрировать «высокие» частоты, в какое - «низкие» частоты, а в какое - «средние»? Как выделить из шумоподобных, нестационарных измеряемых сигналов полезную составляющую, несущую информацию о структуре проводимости подстилающей среды в виде набора гладких функций, отражающих электрические свойства земли?
Частично на эти вопросы может дать ответы использование на стадии анализа и обработки полевых данных Фурье-преобразования. Но при работе с нестационарными сигналами Фурье-анализ сталкивается с рядом проблем, важнейшей из которых является неспособность традиционного преобразования Фурье анализировать сигналы, локализованные на некотором временном интервале, так как в процессе Фурье-преобразования теряется информация о временных характеристиках сигнала. Решение этой проблемы связано с использованием частотно-временного анализа, который реализуется с помощью вейвлетов.
Классическое преобразование Фурье (непрерывное или дискретное) является весьма полезным математическим аппаратом для анализа и синтеза сигналов. Преобразования Фурье обладают замечательной способностью фокусировать в точку «размазанную» во времени информацию о периодичности сигнала при переходе из временной области в частотную. Достигается это за счет того, что ядро преобразования Фурье не локализовано во времени, но имеет пре-
Рис. 1. Модельные сигналы двух синусоид
с разными частотами и их периодограммы
дельную локализацию в частотной области. Это и делает преобразование Фурье прекрасным инструментом для изучения процессов, характеристики которых не меняются со временем [4]. Однако оно иногда оказывается недостаточно эффективным при обработке сложных сигналов. Преобразование Фурье, например, не различает сигналы из двух синусоид с разными частотами, один из которых представляет собой последовательно следующие друг за другом синусоиды (рис.1, а), второй - сумму двух синусоид (рис.1, б). В обоих случаях их спектр выглядит как два пика на двух фиксированных частотах (рис.1). Следовательно, преобразование Фурье в своем традиционном виде не приспособлено для анализа нестационарных сигналов, в том числе локализованных на некотором временном интервале, так как теряется информация о временных характеристиках сигнала.
Следовательно, спектральный анализ реальных сигналов необходимо осуществлять как по частоте, так и во времени. Преимущества такого анализа очевидны. На практике чаще всего приходится иметь дело с нестационарными процессами, в которых
информативным является сам факт изменения частотно-временных характеристик сигнала. Примером таких сигналов и является магнитотеллурическое поле.
Для выполнения анализа требуются базисные функции, обладающие способностью выявлять в анализируемом сигнале как частотные, так и временные характеристики. Другими словами, сами базисные функции должны обладать определенными свойствами, называемыми частотно-временной локализацией сигнала [2].
Вейвлет-преобразование как раз и относится к этому типу преобразований. Оно обеспечивает частотно-временное разрешение сигнала, поскольку основано на использовании локализованных во времени ядер преобразования, размеры которых согласованы с масштабом изучаемых компонентов ряда.
Основная идея вейвлет-преобразования отвечает специфике многих временных рядов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик: среднего значения, дисперсии, периодов, амплитуд и фаз гармонических компонентов.
Данный анализ временного ряда магни-тотеллурического сигнала основан на исполь-
зовании интегрального вейвлет-преобразова-ния, которое для функции /(?) е L (К) задается следующим образом:
1
W (a, b) = -U2 J f(t) xyl-\dt, (1)
a
t - b
a
где a,beR, a Ф 0.
Входящая в выражение (1) функция V(t) - вейвлет, f(t) - анализируемый сигнал; символом «*» обозначена процедура комплексного сопряжения. Параметр a называется масштабом и определяет размер вейвлета. Параметр b задает временную локализацию вейвлета и называется сдвигом.
В работе был использован вейвлет Морле:
V(t ) = e
-t2 / 2 1'2яt
С
Поскольку при обработке результатов измерений объектами преобразований являются не функции, заданные на всей оси времени, а временные ряды, длина которых всегда конечна, введенным определением интегрального вейвлет-преобразования на практике воспользоваться нельзя. По этой причине вместо теоретических понятий вводятся их практические аналоги.
Наш анализируемый временной ряд задан значениями функций, следующими друг за другом с постоянным шагом А?:
/к = М), ?к = А1к, к = 0, 1, 2, ..., N - 1.
Для оценки вейвлет-преобразования этой последовательности необходимо воспользоваться следующим выражением:
WA (a,b) =
1
N-1
—TT Z fk^
n(a, b) k=o
tk - b
(2)
N-1
1 ( tk-b 12
где n(a,b)= Z e
21 a
k=0
Функция (2) вычисляется для дискретных значений аргументов а, и Ъ/, I = 0, ..., Na - 1; 7 = 0, ..., Nъ - 1. Используя формулу (2), можно ввести оценку локального спектра энергии
Я (а,, Ъ}) = \ (а,, Ъ} )2.
Эту функцию называют скалограммой. Она описывает распределение энергии по масштабам.
Бывает так, что широкие контуры линий гармонических компонент в скалограм-ме мешают проследить за эволюцией их частот во времени. Чтобы отсечь влияние контуров, можно выделить те точки скало-граммы, в которых она имеет максимумы по переменным а и Ъ:
Sc Kb,.) =
Sj, ânëè Si-1, j < S. > Si+1, j
èëè Si, j-1 < Sij > Si, j+1; 0 â ïôîoèâni nëô^àâ.
(3)
Функцию (3) принято называть скелетоном.
В случае синусоидального сигнала точки скелетона располагаются вдоль линий, идущих параллельно оси времени. Если в данных имеются гармонические или квазигармонические компоненты, то топографическая карта будет состоять из линий, ориентированных вдоль оси b. В случае шумового компонента линии скелетона вытягиваются в перпендикулярном направлении, т.е. параллельно оси a. Если в данных присутствуют и гармонические компоненты и шум, то карта скелетона позволяет увидеть их раздельно [1].
Рассмотрим график временного ряда магнитотеллурического зондирования в промежутке от 0 до 430 с (рис.2). Изучение этого ряда во временной области показывает следующие характерные особенности: амплитуда и среднее значение гармонических колебаний постоянно изменяются, период колебаний также постоянно изменяется во времени, что говорит о нестационарности данного процесса. Следовательно, характеристики ряда постоянно изменяются во времени и анализ Фурье не является адекватным методом исследования. На периодограмме исследуемого временного ряда, построенной по данным анализа Фурье, можно увидеть, что сигнал представляет собой сложный процесс, в котором участвуют вариации с различными периодами колебаний (рис.3). Основная энергия сигнала распределена в интервале 0,01-0,1 Гц. И это, в общем-то, все, что может дать при исследовании анализ Фурье.
оо
J.
a
Время, с
Рис.2. Исследуемый временной ряд магнитотеллурического зондирования
Частота, 1/с
Рис.3. Периодограмма исследуемого сигнала, построенная по данным анализа Фурье
Рис.4. Скалограмма исследуемого сигнала Рис.5. Скелетон скалограммы исследуемого сигнала
Применение вейвлет-анализа исследуемого временного ряда позволяет увидеть не только концентрации мощности на известных масштабах, но и проследить за их развитием во времени. По скалограмме, вычисленной с применением вейвлета Морле в диапазоне 0-320 с (рис.4), можно сказать, что основное распределение энергии приходится на масштабы от 10 до 40 с, что соответствует частоте 0,025-0,1 Гц. Но в отличие от спектра Фурье хорошо видно, что время и амплитуды спектральных линий изменяются во времени. Характерной особенностью является резкое падение амплитуды спектральных линий в период со 100 до 150 с, сопровождающееся одновременным изменением периода. На скелетоне скалограммы исследуемого временного ряда (рис.5) можно довольно четко выделить полезную часть сигнала и его шумовую составляющую. Полезная часть сигнала выражена в виде линий вытянутых вдоль оси сдвигов b и расположена в интервале периодов от 10 до 40 с (0,025-0,1 Гц) на протяжении всего времен-
ного ряда и в интервале периодов 100-160 с (0,00625-0,01 Гц) во временном отрезке 250430 с. Шумовая составляющая исследуемого временного ряда ориентирована вдоль оси масштабов a и локализована в интервале периодов 130-240 с (0,00416-0,0076 Гц) во временном отрезке от 0 до 350 с. Зная о времени локализации полезной части сигнала, можно избавиться от шумовой составляющей с применением различных процедур фильтрации данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 2001. 61 с.
2. Витязев В.В. Вейвлет-анализ солнечной активности за 300 лет // НИАИ им. В.В.Соболева. СПб: Изд-во СПбГУ. 9 с.
3. Ингеров О. Применение электроразведочных методов при поисках залежей углеводородов // Зап. Горного института. 2005. Т.162. С.15-26.
4. Поликар Роби. Введение в вейвлет преобразование. СПб: АВТЭКС, http://www.autex.spb.ru
5. Электроразведка: Справочник геофизика / Под ред. В.К.Хмелевского, В.М.Бондаренко. 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: Недра, 1989. Кн.1. 438 с.
