CC BY
43
УДК 656.072
МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ КОЕФЩ1СНТ1В ФУНКЦП ЕФЕКТИВНОСТ1 ТРАНСПОРТНОГО ПЕРЕСУВАННЯ В М1СТ1 ПРИ ДВОХ ВАР1АНТАХ ШЛЯХУ
П.Ф. Горбачов, доцент, ХНАДУ
Анотаця. Обгрунтовуеться методика розрахунку коефiцieнтiв функцП ефективно-стi транспортного пересування в мiстi при двох конкурентних варiантах шляху й наводиться вiдповiдна математична модель.
Ключовг слова: пасажир, ефективтсть пересування, м^ька маршрутна мережа, шлях пересування, вимiрнi параметри шляху, випадкова величина, щшьтсть iмовiр-ностi.
Вступ
Основний науковий штерес у сферi моделювання роботи мюького пасажирського транспорту являе собою визначення ймовiрностi вибору пасажиром шляху пересування.
Найбшьш перспективним автору представляеться шдхвд, побудований на основi двох ппотез, осно-вш риси яких прийнят з мiкроекономiчноl моделi поводження пасажира [1]: а) кожний пасажир, вибираючи k-й шлях, максимiзуе ефективнiсть пересування; б) iснують однорщш групи пасажи-рiв з однаковим ставленням до вимiрних параме-трiв шляху.
k = l, при Vl = R - El ^ max, (1)
де Vl - ефективнють пересування ; Rl - результат використання l-го варiанту шляху пересування; El - витрати вих видiв на пересування l-им варiа-нтом шляху пересування.
При цьому для трудових пересувань покладаеться R, = const, (2)
ки на /-ому шляху (випадкова величина); с -коефщент значущост часу очiкування.
Мета i постановка задачi
Вираз (1) означае, що iз всiх можливих варiантiв, у поточнiй транспортнiй ситуацп, пасажиром обираеться найефективнiший (к-тий) варiант пересування мiж парою райошв (початковим i кiн-цевим пунктами пересування).
V = Rк - Ек = К, - Е/, / е[1, z], (4)
де z - кiлькiсть альтернативних варiантiв шляху пересування мiж парою транспортних райошв.
Як обмеження приймаеться, що для кожно! коре-спонденцп iснуе тiльки два конкурентних варiан-ти шляху пересування z = 2 .
Необхщно розробити методику визначення кое-фiцiентiв у рiвняннi (3), яю адекватно описують переваги пасажирiв при виборi варiанту шляху пересування. Значення коефщенпв повиннi ос-новуватись на результатах обстежень фактичних пересувань пасажирiв та визначатись за допомо-гою методiв математично! статистики.
Ei = X ci • gn + c> •
(3)
Розв'язання задачi
Для запису виразу ефективносп зручно ввести позначення
де п - кшьюсть детермiнованих параметрiв, якi враховуються пасажирами при виборi шляху пересування мiж парою транспортних райошв; ci -коефiцiент значущостi /'-го детермшованого параметра; gi/ - значення /'-го детермшованого параметра для /-го варiанта шляху пересування; // -час оч^вання транспорту пiд час першо! посад-
^ =R -1X
г. г- ^^
X, = V
(5)
(6)
c
c
Тодi
х1 = У■ - Ь . (7)
Вiдповiдно до (4) iмовiрнiсть вибору k-го варiан-ту шляху пересування - це ймовiрнiсть того, що його ефективнють буде вище ефективностi другого варiанту шляху. З урахуванням (3)-(7), iмовiр-нiсть вибору 1 -го варiанту шляху дорiвнюe
Р = р [V > ^ ] = р [Х1 > х 2 ]= (8)
= Р [А - У < ь2 - У2 ]
Розроблений у ХНАДУ метод обстеження прю-ритепв пасажирiв - метод безпосередньо! фжса-цп вибору [2], дозволяе визначати ймовiрнiсть вибору шляхiв пересування, яю використовуе па-сажир. Тобто при вщомш функцп щiльностi роз-подшу часу очiкування транспорту обох варiантiв шляху пересування, в (8) залишаються невщоми-ми значення змiнних У! i У2.
Якщо не враховувати значення У! i У2, то ймовiр-нiсть того, що час оч^вання транспорту першо-го варiанта шляху пересування стане менше часу очжування другого варiанта визначаеться за формулою повно! ймовiрностi безперервних випад-кових величин [3].
Р [А < Ь2 ]=/Р [Ь2 > Ь ]• f (tl)dtl, (9)
а1
де а1, Ь1 - вщповщно нижнiй i верхнiй межi роз-подiлу ь1.
Необхiдно звернути увагу на той факт, що змш-них в одному рiвняннi (8) дв1 Звичайно, можна записати аналопчне (8) рiвняння для Р2, але це не принесе результату, внаслщок юнування жорст-кого зв'язку мiж значеннями обох ймовiрностей.
Р = 1 - р. (10)
Тому будь-яке знайдене значення ймовiрностi автоматично забезпечуе виконання (10).
¿1
Р^г < А ]= |Р[Ч > Ьг]• f (t1)dt1 =
а1
¿1
= Г (1 - Р[Ьг > А ]) • f (t1)dt1 =
I . (11)
¿1 ¿1 = | f (t1)dt1 Р[Ьг > Ь]• f =
= 1 - Р[к < Ьг ]
У зв'язку з цим ршення рiвняння (8) може дати тшьки одне певне значення, яке доцшьно позна-чити АУ .
ДУ = У1 - У2. (12)
З урахуванням (12) рiвняння (8) запишеться як
Р = Р[ь1 < Ь2 +ДУ]. (13)
Величина ДУ в (13) означае вщносний зсув _/(/2), який приводить до змши ймовiрностi р[Ь < Ь2 + ДУ ]. Наприклад, якщо припустити, що час очжування обох конкурентних шляхiв, розпо-дiлений за рiвномiрним законом, причому е [0;10] хв, а е [0;20] хв, то !х вихiдне розмi-щення можна представити на рис. 1.
0,12 т-
Р--— — — — — — — — —
0,08 -0,06 -0,04 -0,02 -
0 — — — — — — — — — —----------
0-1 2-3 4-5 6-7 8-9 10- 12- 14- 16- 18_|сИ2Р11| 1, мин 13 15 17 19
Рис. 1. Вихщний розподш часу очжування
При цих вихщних даних ршення (9) дае Р[ь1 < Ь2 ] = 0,75. Якщо ж припустити, що за результатами обстеження виявленого вибору Р = 0,6, то таке значення ймовiрностi буде за-безпечене при ДУ = -3, а взаемне розмщення розподЫв шюструеться рис. 2.
0,12 -
Р ----------
0,08 -
0,06 -
0,04 -
0,02 -
0 -I--------------------
-3- -1- 1-2 3-4 5-6 7-8 9- 11- 13- 15-2 0 10 12 14 16 _□ Х2=12+АУ □ Х1 1, мин_
Рис. 2. Розподш величин Х для варiантiв шляху, що вщповщае Р = 0,6
Величину вщносного зсуву другого розподшу мае сенс розглядати в межах ДУ е [а -Ь2;Ь1 -а2], тому що поза цими межами два розподши не мають загальних зон, i ймовiрнiсть вибору одного з варь анпв шляху пересування буде дорiвнювати 0.
З врахуванням того, що нижня межа розподшу часу оч^вання повинна дорiвнювати 0, AY е [- Ь2; Ь1 ].
Для розглянутого прикладу залежнiсть Р[Х1 > X2 ] вiд AY , разом з ршенням, наведена на рис. 3. 1з графiка видно, що Р[Х1 > Х2 ]е [0;1], тобто охоплюе весь спектр можливих значень iмовiрностi, як можуть бути отриманi за результатами обстеження.
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 ДУ 10
Рис. 3. Залежнють Р[Х1 > X 2 ] вщ AY
Найбiльш кращим способом одержання коефще-нтiв функцп ефективностi е використання методiв математично! статистики. По-перше, вони е зага-льноприйнятим тдходом до визначення виду за-лежносп мiж змiнними, при кореляцiйному хара-ктерi зв'язкiв мiж ними. По-друге, забезпечують мiнiмальну довжину вектора вщхилень мiж роз-рахунковими й фактичними значеннями. Потрете, дозволяють провести обгрунтований аналiз коефiцiентiв i адекватност моделi в цiлому, ви-значити напрямки тдвищення точностi моделi.
Також необхщно враховувати особливостi транспортного процесу й шукано! моделi. Пасажир вь льний вибирати будь-якi напрямки пересувань, у вщповщносп зi сво!ми цiлями. При цьому змь нюються всi характеристики шляху пересування, тому порiвнювати мiж собою мае сенс тшьки конкурентнi варiанти шляху мiж заданою парою початку й закшчення пересувань.
У той же час, модель повинна характеризувати не транспортну систему, а саме пасажира, тобто йо-го прюритети, якими вш керуеться при виборi ва-рiанту шляху пересування. Це ж стосуеться й усереднених характеристик груп пасажирiв, од-норщних, з погляду !хнього ставлення до транспортних параметрiв.
За повними результатами обробки одше! анкети iз двома конкурентними варiантами шляху пересування, разом з одержанням величини AY , на ос-новi (5) можуть бути сформованi тшьки два рiв-няння для регресшного аналiзу.
- -^ • gii -... - ^ • gni = Y ct ct ct
R - Cl • g - - Cl • g = Y
g12 ••• gn2 Y 2
Ct Ct Ct
Якщо перейти до стандартних позначень коефщь ентiв регресп й урахувати (12), то
a0 + ai • gll + ••• + an • gn1 = Y1
a0 + ai • gl2 + ••• + an • gn2 = Y1 -AY '
(15)
де а0 = Я/с1 - вшьний член регресп; а1 = - с1/ с -коефiцiенти регресп при детермшованих параметрах шляху пересування.
Така система не дае можливосп визначення кое-фщенпв регресп, оскiльки, з одного боку, кшь-кiсть шуканих коефiцiентiв тшьки в найпрость шому випадку зб^аеться з кiлькiстю рiвнянь у систем^ а в загальному випадку перевищуе його. З iншого боку, у правш частинi рiвнянь перебувае невщома величина Y1.
Першу проблему можна виршити двома способами - розглянути анкету, у якш використовуеть-ся бiльша (г > 2) кшьюсть варiантiв шляху, або включити в систему рiвняння, отриманi за результатами обробки шших анкет.
Перший спошб не дае загального рiшення, оскь льки детермiнованих параметрiв у моделi досить багато, а використання пасажиром п'яти-шести варiантiв шляху для пересування мiж заданою парою транспортних райошв, е скорше виключен-ням, нiж правилом. Другий спошб е бiльш кращим, однак i вiн мае серйозш обмеження, оскшь-ки без спещальних заходiв для вiдносного вирiв-нювання умов пересування, у якостi додаткових, припустиме використання тiльки таких рiвнянь, якi отриманi обробкою анкет з пею же парою райошв вiдправлення й прибуття, що й вихщна анкета.
a0 + ai • gill + ••• + an • gnll = Y11 a0 + ai • gl21 + ••• + an • gn21 = Y11 -AY ...................................................... , (16)
a0 + ai • glim + ••• + an • gnlm = Y1m
a0 + ai • gl2m + ••• + an • gn2m = Y1m - AY
при hcd, c = const; d = const,
(17)
де gijs - значення i-го фактора для у-го варiанта шляху в 5-ш анкетi, що описуе пересування мiж однiею парою районiв с i й?, I е [1; п], у е[1;2],
5 е [1; т]; У15 - значення зсуву розподшу часу очь кування першого шляху за результатами обробки 5-1 анкети; hcd - кореспонденцiя мiж районами с i ^ т - кшьюсть анкет з описом пересування мiж однieю парою районiв с i d, за обстеженням.
Безсумшвно, можна отримати достатнiй обсяг вихщно! шформацп й сформувати систему рiв-нянь для регресiйного аналiзу тшьки по однiй ко-респонденцп. Але й характеризувати така модель буде лише прюритети пасажирiв для даного пересування. Тому вона буде описувати не стшьки прюритети пaсaжирiв, скшьки особливостi даного шляху пересування й використовувати 11 можна тiльки для одше! кореспонденцп. У цьому випадку, щоб охарактеризувати всiх пасажирiв у мюп, буде необхiдно створити кшьюсть моделей, рiвну квадрату кшькосп транспортних районiв у мiстi й це без врахування можливого групування паса-жирiв за 1хшм ставленням до транспортних фак-торiв. Уважати таку модель придатною до вико-ристання неможливо.
Друга проблема системи (16) - наявнють неви-значено1 змшно1 У15 у правiй частинi рiвняння. Найпростший спосiб подолання ще1 проблеми -задання базових значень, наприклад, = 0.
Цей спошб е добрим рiшенням для системи (16), але вiдповiдно до 11 недолЫв не вирiшуе проблеми в цшому.
Для виходу з дано1 ситуацп необхiдно згадати про фiзичний змiст У1, вiдбитiй в (5) - частина функцп ефективносп пересування без часу очiкування, виражена вщносно часу очiкування. Вiдноснiсть ефективносп е 11 об'ективною властивiстю. Вибiр як бази вiдносностi часу оч^вання обумовлений його вiдмiнною рисою - випадковим характером. Тому надалi вщносшсть У1 згадуватися не буде, а сама величина одержить назву «задана (детермь нована) ефектившсть».
У системi рiвнянь (16) детермiнованi параметри першого (так само як i другого) варiанта шляху рiвнi один одному.
= gi.tr;г *5г е[1;т], (18)
Таким чином, значення лiвоl частини будь-якого рiвняння, що описуе перший варiант шляху, бу-дуть постiйнi при дотриманнi (17)
ао + а1 ' Яш + ••• + ап ' = const. (19)
Але й лiвa частина будь-якого рiвняння, що описуе другий вaрiaнт шляху пересування, також буде постшна при дотримaннi (17).
ао + а1 ■ 8125 + - + ап ■ 8п25 = const. (20)
Якщо, у результат обстеження, iMOBipHicTb вибо-ру першого шляху буде постшною для Bcix рес-пондентiв, P1s = const; s е[1, m], то й задаш ефективносп Y1s = const; s е [l, m].
У цьому випадку (16) перетвориться в невизначе-ну систему лiнiйно залежних рiвнянь i3 безлiччю рiшень. Такий результат може бути отриманий тшьки випадково або при недбалому ставленш дослщника до формування вибiрки.
У загальному випадку рiзне ставлення респондента до детермiнованих параметрiв шляху пересування обумовить рiзну ймовiрнiсть P1s Ф const, що призведе до формування несумюно! системи рiвнянь, узагальнене вирiшення яко! методом найменших квадратiв дозволить одержати значення коефщента, що описують усереднене ставлення респондента до параметрiв шляху пере-сування.
Якщо ж зняти обмеження (17) на включения в систему (16) пересувань тшьки мiж одшею парою транспортних райошв, це призведе до порушення рiвностей (19) i (20) через недотримання (18).
При c Ф const; d Ф const, (21)
О) + a1 ' g11s + - + an ' g„1s Ф const . (22)
Саме тому задавання одного базового значення для задано! ефективносп VY1s в системi (19) i е гарним рiшенням, тому що в цьому випадку права частина цих рiвнянь буде постшною величиною.
Таким чином, для рiзних пар райошв вщправлен-ня й прибуття, задаш ефективносп першого варь анта шляху повинш вiдрiзнятися одна вiд одно!. Отже, задавання постшних величин для них не-правомiрно.
Розходження заданих ефективностей виглядае переконливим при постшному, для трудових пересувань, результат й рiзних параметрах шляхiв пересування обумовлених рiзним взаемним роз-ташуванням пар районiв вiдправлення й прибуття. При бшьших значеннях детермшованих ви-трат на пересування задана ефектившсть повинна бути менше й навпаки.
Таким чином, невiдомi значення задано! ефективносп для першого шляху Y1s е вiдносним показ-ником, який визначае розташування ефективнос-тей для рiзних кореспонденцш. А величина вщ-хилення задано! ефективносп другого шляху вщ першого AY - вiдносний зсув ефективносп варь антiв шляху пересування для одше! кореспон-денцi!.
Величину задано! ефективносп першого варiанта шляху кожно1 анкети доцiльно визначати 11 вклю-ченням в число змшних при проведеннi регресш-ного аналiзу. Це забезпечить знаходження таких коефщенпв регресп детермiнованих параметрiв шляху пересування й задано! ефективност першого варiанта шляху, при яких значення суми квадрапв вiдхилень для величин ДГ буде мшь мальним. Для 11 включення система (16) повинна бути приведена до такого вигляду
(23)
a0 + aj • Яш + •• • + an 8njj + an+j(-j) = 0
a0 + aj • gj21 + •• • + an gn2J + an+j(-j) = -Д1
a0 + aj • Sjjm + • + an • Snjm + an+m (—j) = 0
a0 + aj • Sj2m + • •• + an Sn2m +an+m (—j) = -Д! m
анкет. При обробщ для кожно! анкети з парамет-piB окремих маршрутiв формуються параметри конкурентних шляхiв пересування. Для автомати-зацп ще! роботи автором розроблена програма в сеpедовищi EXCEL.
На четвертому етат для кожно! анкети прова-диться розрахунок значень вiдхилення задано! ефективност другого шляху вiд першого Д!^ .
На п'ятому етат формуеться система piвнянь (23) i проводиться pегpесiйний аналiз, результатом якого е коефщенти, що визначають ставлення пасажиpiв до транспортних фактоpiв.
Шостий, заключний, етап присвячений аналiзу отриманих результапв i пiдвищенню точностi модель
де ДГ5 - значення ДГ для другого варiанта шляху пересування 5-1 анкети, визначаеться вщповщ-но до (13); ап+5 = —Г15 - додатковий коефщент регресп, за яким визначаеться значення задано1 ефективностi для першого шляху 5-1 анкети.
У систему (23) кожна анкета додае два рiвняння й одну невщому. Таким чином, у нш е п+1 основ-них i т додаткових невщомих, кiлькiсть рiвнянь рiвняеться 2т. Для формування мшмального ма-сиву, достатнього для регресивного аналiзу, при вщсутносп лiнiйно залежних рiвнянь кiлькiсть анкет повинна задовольняти вимозi
т > п +1. (24)
З огляду на (21) виконання ще1 вимоги не стано-вить складностей i фактичний обсяг вибiрки повинен формуватися з урахуванням вимог до точ-ностi коефiцiентiв регресп й моделi в цiлому.
Таким чином, процес створення запропоновано1 моделi визначення ймовiрностi вибору пасажи-ром одного iз двох варiантiв шляху пересування можна представити у виглядi декшькох етапiв.
На першому етат паралельно проводяться анкет-не обстеження пасажирiв методом безпосередньо1 фжсацп вибору й збiр статистичних характеристик про роботу мюьких маршрутiв.
Другий етап - обробка статистичних характеристик роботи мюьких маршрупв, визначення значень детермшованих факторiв i функцш щшьнос-тi розподiлу часу очжування на маршрутах для перiоду «тк».
На третьому етапi провадиться вибракування не-придатних i обробка придатних до використання
Висновок
Результати моделювання вiдповiдають об'ективно iснуючому вiдносному характеру прюритепв па-сажирiв при рiзних напрямках пересування.
Розроблений математичний апарат дозволяе ви-користовувати методи математично1 статистики для ощнки результапв розрахункiв i визначення напрямкiв тдвищення точностi моделi.
Для надання моделi закiнченого характеру необ-хiдно розробити методику одержання виду функ-цп розподiлу часу очiкування транспорту, розши-рити модель до необмежено1 кшькосл конкурентних варiантiв шляху пересування, провести пе-ревiрку адекватностi моделi на основi фактичних даних.
Лiтература
1. Рогова Г.Л. Моделирование выбора путей пере-
движения пассажиров в транспортных системах городов. Автореф. дис... канд. техн. наук. - М., 1987. - 19 с.
2. Дубровский В.В., Горбачев П.Ф. Определение
вероятности выбора пассажиром пути следования // 1нформащйно-керукт системи на затзничному транспорт^ - Харюв. - 2001. -№ 2. - С. 7-9.
3. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные
процессы и математическая статистика. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. -320 с.
Рецензент: М.А. Подригало, професор, д. т. н., ХНАДУ.
Стаття надшшла до редакцп 17 серпня 2006 р.
